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高中数学选修1-1第二章


湖南省澧县第二中学

高中数学

选修 1-1

教案

第 15 课时 课题:2.3.2 抛物线的简单几何性质 (2)
教学目标: 知识与技能: 利用抛物线的标准方程和定义来解决问题;利用抛物线焦点弦的性质及焦点弦长的求 法. 过程与方法: 让学生进一步体会数形结合等数学思想;培养学生运用

类比、联想等方法提出问 题. 情感态度与价值观: 通过具体的情境感知研究抛物线的简单几何性质;体会数学的对称美、简洁美, 培养学生的审美情趣 ,形成学习数学知识的积极态度. 教学重点与难点 重点:抛物线定义的应用;抛物线的焦点弦长求法;抛物线综合知识的应用. 难点:抛物线各个知识点的灵活应用. 教学过程: 一、复习引入 1.抛物线的定义及几何性质. 说明:抛物线的几何性质的特点:有一个顶点,一个焦点,一条准线,一条对称轴,无 对称中心,没有渐近线. 2.练习: ①抛物线 mx ? ny ? 0( m ? n ? 0) 的顶点坐标是 (0, 0) ,焦点坐标是 (?
2

m , 0) ,准线方 4n

程是 x ?

m ,离心率是 1. 4n
2

②抛物线 y ? 2 x 上的两点 A 、 B 到焦点的距离之和为 5,则线段 AB 的中点的横坐标 是 2 . 二、讲授新课 例 1. 斜率为 1 的直线经过抛物线 y2=4x 的焦点,与抛物线相交于两点 A、B,求线段 AB 的长. 解法一:如图,由抛物线的标准方程可知,抛物线焦点的坐标为 F(1, 0), 则直线 AB 的方程为 y=x-1 ① y 2 将①代入抛物线方程 y =4x,得(x-1)2=4x. 化简得 x2-6x+1=0. A 解得 x1 ? 3 ? 2 2 ,

x2 ? 3 ? 2 2 .

可得 y1 ? 2 ? 2 2 , y 2 ? 2 ? 2 2 . 即 A、B 的坐标分别为 ( 3 ? 2 2 , 2 ? 2 2 )、( 3 ? 2 2 , 2 ? 2 2 ).

O F B

x

? AB ? (4 2 ) 2 ? (4 2 ) 2 ? 8.
1

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选修 1-1

教案

解法二:由第一种解法,x2-6x+1=0.
2 利用弦长公式 AB ? 1 ? k ? x1 ? x 2 ?

1 ? k 2 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 ? x 2
A?

y
A O F

p ? 2, 解法三:由题意,
由抛物线的定义知, AF ? AA? ? x1 ? 1 , BF ? BB? ? x2 ? 1. 于是得|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2. 根据根与系数的关系可以直接得到 x1+x2 =6. |AB|=x1+x2+2=6+2=8. 1、抛物线焦半径公式 抛物线 y2=2px (p>0)上的点 M(x0, y0) 与焦点 F 的距离|MF|=

B?

B

x

p ? x0 . 2 p ? x0 . 2 p ? y0 . 2 p ? y0 . 2

抛物线 y2=-2px(p>0)上的点 M(x0, y0)与焦点 F 的距离|MF|=

抛物线 x2=2py (p>0)上的点 M(x0, y0) 与焦点 F 的距离|MF|=

抛物线 x2=-2py(p>0)上的点 M(x0, y0))与焦点 F 的距离|MF|=

思考: 抛物线 y2=2px (p>0)过焦点的弦与抛物线交于点 A(x1, y1)、 B(x2, y2) , 则焦点弦|AB| 的长为多少? y 2、焦点弦长公式 抛物线 y2=2px (p>0)过焦点的弦与抛物线交于点 A(x1, y1)、B(x2, y2), 则焦点弦|AB|的长为|AB|=x1+x2+p. 3、抛物线的通径 抛物线 y2=2px (p>0),通过焦点而垂直于 x 轴的直线与抛物线

OF

2p

x

? p), 连结这两点的线段叫做抛物线的通径, 两交点的坐标分别为 ( ,p ), ( ,
它的长为 2p. 4、焦点弦的几条性质 设直线过焦点 F 与抛物线 y2=2px(p>0)相交于 A(x1, y1),B(x2, y2)两点,则: ① x1x2=

p 2

p 2

p2 ; ② y1y2=-p2;③ 通径长为 2p;④ 焦点弦长 |AB|=x1+x2+p. 4

2

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y y1 O y2 A x

y N HO M F B A x

F B

例 2. 过抛物线 y2=2px 的焦点的一条直线和此抛物线相交,两个交点的纵坐标为 y1、y2, 求证:y1y2=-p2. 过抛物线 y2=2px 的焦点的一条直线和此抛物线相交, 两个交点的横坐标为 x1、x2,那么:x1x2=

p2 . 4

例 3.求证:以通过抛物线焦点的弦为直径的圆必与抛物 线的准线相切. 证明:(法一)设抛物线方程为 y ? 2 px ,则焦点 F (
2

p , 0) , 2

M1

M

p .设以过焦点 F 的弦 AB 为直径的圆 2 的圆心 M , A 、 B 、 M 在准线 l 上的射影分别是 A1 、 B1 、 M1 ,则 | AA1 | ? | BB1 |?| AF | ? | BF |?| AB | , 又 | AA1 | ? | BB1 |? 2 | MM1 | , 1 ∴ | MM1 |? | AB | ,即 | MM 1 | 为以 AB 为直径的圆的半径,且准线 l ? MM1 , 2
准线 x ? ? ∴命题成立. (法二)设抛物线方程为 y ? 2 px ,则焦点 F (
2

p , 0) , 2

p .过点 F 的抛物线的弦的两个端点 A( x1 , y1 ) , 2 B( x2 , y2 ) ,线段 AB 的中点 M ( x0 , y0 ) p p 则 | AB |? x1 ? ? x2 ? ? x1 ? x2 ? p , 2 2 1 1 ∴以通过抛物线焦点的弦为直径的圆的半径 r ? | AB |? ( x1 ? x2 ? p) . 2 2 p p x ? x2 p 1 点 M 到准线 x ? ? 的距离 d ? x0 ? ? 1 ? ? ( x1 ? x2 ? p) , 2 2 2 2 2 ∴圆 M 与准线相切.
准线 x ? ? 三、课堂小结 1.焦半径,焦点弦, 2.焦点弦的性质 四、布置作业 P64 B 组 1,2 题

3

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第 16 课时 课题:2.3.2 抛物线的简单几何性质 (3)
教学目标: 知识与技能: 抛物线的性质的运用;与抛物线有关的轨迹的求法;直线与抛物线的位置关系. 过程与方法: 让学生进一步体会数形结合等数学思想;培养学生运用类比、联想等方法提出问 题. 情感态度与价值观: 通过具体的情境感知研究抛物线的简单几何性质;体会数学的对称美、简洁美, 培养学生的审美情趣 ,形成学习数学知识的积极态度. 教学重点与难点 重点: 抛物线几何性质的运用,与抛物线有关的轨迹的求法及直线与抛物线的位置关系。 难点:抛物线几何性质的综合运用用. 教学过程: 一、复习引入 问题 1、抛物线焦半径公式是什么? 问题 2、抛物线焦点弦公式是什么? 问题 3、直线与抛物线的位置关系有哪些? 二、讲授新课 1、直线与抛物线的位置关系 例 1. 已知抛物线 y2=6x,过点 P(4, 1)引一条弦,使它恰在点 P 被平分, 求这条弦所在的直线方程.

2、抛物线中的两弦垂直的问题 例 2.直线 y=x-2 与抛物线 y2=2x 相交于点 A、B(如图),求证:OA⊥OB. 证法 1: 将 y=x-2 代入 y2=2x 中,得(x-2)2=2x,即 x2-6x+4=0, 得 x1 ? 3 ? 5 , x2 ? 3 ? 5 , ∴ kOB ? kOA ? 则 y1 ? 1 ? 5 , y2 ? 1 ? 5 .

y

B

1? 5 3? 5

?

1? 5 3? 5
∴ OA⊥OB.

O A

x

∴ kOB ? kOA ? 证法 2:

1? 5 ? ?1. 9?5

同证法 1 得 x2-6x+4=0, 可知 x1+x2 =6, x1· x2 =4. ∴y1· y2=(x1-2)· (x2-2)=x1· x2-2(x1+x2)+4=4-12+4=-4. ∴ kOA ? kOB ?

y y y1 y2 ?4 ? 1 2 ? ? ? ?1. x1 x 2 x1 x 2 4

∴ OA⊥OB.

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例 3 教科书 70 面例 5 练习 1.若一直线与抛物线 y2 = 2px (p>0)交于 A、B 两点且 OA⊥OB,点 O 在直线 AB 上的 射影为 D (2, 1),求抛物线的方程. 【分析】由条件易求出直线 AB 的方程,联立方程组,得到一元二次方程,由 OA⊥OB, 利用根与系数间的关系,可建立关于 p 的等式. 【解析】∵ k OD ?
1 ,∴kAB = –2,则 AB 方程为 y – 1 = –2 (x – 2), 2

即 y = –2x + 5 与 y2 = 2px 联立,可得 4x2 – 2 (10 + p) x + 25 = 0. 由韦达定理知: x1 ? x 2 ?
10 ? p 25 . , x1 x 2 ? 2 4

∵OA⊥OB,∴x1x2 + y1y2 = 0,

又∵y1y2 = (–2x1 + 5) (–2x2 + 5) = 4x1x2 – 10(x1 + x2) + 25. ∴x1x2 + y1y2 = 5x1x2 – 10 (x1 + x2) + 25 = 0,即 x1x2 – 2 (x1 + x2) + 5 = 0, ∴
5 25 ? (10 ? p) ? 5 ? 0 ,解之得 p ? , 4 4
2

∴所求抛物线方程为 y 2 ?

5 x. 2

2.过抛物线 y ? 2 x 的顶点做互相垂直的二弦 OA, OB .(O 为坐标原点) (1)、求 AB 中点的轨迹方程 (2)证明: AB 与 x 轴的交点为定点 (3)求△ABC 面积的最小值

三、课堂小结 1. 抛物线中的平行问题; 2. 抛物线中的两弦垂直的问题; 3、中点弦问题 四、布置作业 P64 B 组 3 题

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选修 1-1

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第 17、18 课时 课题: 圆锥曲线小结与复习
一、 定义 知识回顾:1、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质 椭圆 双曲线 抛物线 1. 到两定点 F1,F2 的距离之 1.到两定点 F1,F2 的距 和为定值 2a(2a>|F1F2|)的点 离之差的绝对值为定值 的轨迹 2a(0<2a<|F1F2|)的点的 轨迹 2.与定点和直线的距离之 2.与定点和直线的距离 与定点和直线的距离 比为定值 e 的点的轨迹. 之比为定值 e 的点的轨 相等的点的轨迹. (0<e<1) 迹.(e>1)
x2 y2 ? ? 1 ( a ? b >0) a2 b2 x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0) a2 b2

图形 标准 方 方程 参数 方程

y2=2px
? x ? 2 pt 2 ? y ? 2 pt (t 为参数) ?



? x ? a cos? ? y ? b sin ? ? (参数?为离心角)
─a?x?a,─b?y?b 原点 O(0,0) (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) x 轴,y 轴; 长轴长 2a,短轴长 2b F1(c,0), F2(─c,0) 2c (c= a 2 ? b 2 )
e? c (0 ? e ? 1) a

? x ? a sec? ? y ? b tan? ? (参数?为离心角)
|x| ? a,y?R 原点 O(0,0) (a,0), (─a,0) x 轴,y 轴; 实轴长 2a, 虚轴长 2b. F1(c,0), F2(─c,0) 2c (c= a 2 ? b 2 )
e? c (e ? 1) a

范围 中心 顶点 对称轴 焦点 焦距 离心率 准线

x ?0 (0,0) x轴
p F ( ,0) 2

e=1
x?? p 2

a2 x= ? c

a2 x= ? c

渐近线 焦半径 通径

y=±

b x a r ? x? p 2

r ? a ? ex
2b 2 a a2 c

r ? ?(ex ? a)
2b 2 a a2 c

2p

焦参数

P

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2、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的其他形式及相应性质. 3、等轴双曲线 4、共轭双曲线 5. 方程 y2=ax 与 x2=ay 的焦点坐标及准线方程. 6.共渐近线的双曲线系方程.

二、几种常见求轨迹方程的方法 1.直接法 由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件 列出等式,再用坐标代替这等式,化简得曲线的方程,这种方法叫直接法. 例 1(1)求和定圆 x2+y2=k2 的圆周的最小距离等于 k 的动点 P 的轨迹方程; (2)过点 A(a,o)作圆 O∶x2+y2=R2(a>R>o)的割线,求割线被圆 O 截得弦的 中点的轨迹. 2.定义法 利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写 出所求的动点的轨迹方程,这种方法叫做定义法. 例 2 设 Q 是圆 x2+y2=4 上的动点,另有点 A( 3, 0), 线段 AQ 的垂直平分线 l 交半径 OQ 于点 P,当 Q 点在圆周上运动时,求点 P 的轨迹方程. 3.相关点法 若动点 P(x,y)随已知曲线上的点 Q(x0,y0)的变动而变动,且 x0、y0 可用 x、 y 表示,则将 Q 点坐标表达式代入已知曲线方程,即得点 P 的轨迹方程.这种方 法称为相关点法(或代换法). 例3 已知抛物线 y2=x+1,定点 A(3,1)、B 为抛物线上任意一点,点 P 在 线段 AB 上,且有 BP∶PA=1∶2,当 B 点在抛物线上变动时,求点 P 的轨迹方程. 例4.垂直于y轴的直线与y轴及抛物线 y2=2(x–1)分别交于点A和点P,点B在y轴上 且点A分 OB 的比为1:2,求线段PB中点的轨迹方程.

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4.待定系数法 求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求. 例4 已知抛物线 y2=4x 和以坐标轴为对称轴、 实轴在 y 轴上的双曲线仅有

两个公共点,又直线 y=2x 被双曲线截得线段长等于 2 5 ,求此双曲线方程. 三、点、直线与圆锥曲线的位置关系 1.点 P(x0,y0)和圆锥曲线 C:f(x,y)=0 的位置关系有:点 P 在曲线 C 上、 点 P 在曲线 C 内部(含焦点区域)、点 P 在曲线的外部(不含焦点的区域).

2.直线 l:Ax+By+C=0 和圆锥曲线 C:f(x,y)=0 的位置关系可分为:相交、 相切、相离.这三种位置关系的条件是:
? Ax ? By ? C ? 0 设直线 l:Ax+By+C=0,圆锥曲线 C: f(x,y)=0 ; 由 ? 消去 y (或 x) ? F ( x, y ) ? 0

得: ax2+bx+c=0 (a≠0) ;令 Δ =b2-4ac, 则 (1)Δ >0?相交; (2)Δ =0?相切 (3)Δ <0?相离. 注意:直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的 必要条件,但不是充分条件.
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3、例题 例 1 若直线 y=kx+1 与焦点在 x 轴上的椭圆
x2 y2 ? ? 1 总有公共点,求 m 的 5 m

取值范围. 提示:分别从曲线和方程与数形结合思想两个角度分析、解题. 例 2 椭圆 C: 取值范围.
1 点拨 1:对称点在直线 l’ : y ? ? x ? n 上,且 l’与椭圆 C 有两个不同的 4 交点,可用“判别式法”.
x2 y2 ? ? 1 上有相异两点关系直线 l: y=4x+m 对称,求 m 的 4 3

点拨 2:两对称点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)连线的中点 M(x0,y0)在椭圆 C 内, 可用“内点法”. 说明:判别式法和内点法,是解决圆锥曲线上存在两点关于直线的对称的一 般方法 例3.已知抛物线C:y=─x2+mx─1,点A(3,0),B(0,3),若抛物线C与线段AB有两 个交点,求m的取值范围. 提示:转化为一元二次方程根的分布. 例 4.过椭圆 C:
x2 a
2

?

y2 b
2

? 1 (a>b>0)上一动点 P 向圆 O:x2+y2=b2 引两条切线

PA、PB,切点分别是 A、B,直线 AB 与 x 轴,y 轴分别交于 M,N 两点,求△ MON 面积的最小值 点拨:充分利用平几知识解题. 四、与圆锥曲线有关的几种典型题 1.圆锥曲线的弦长求法 设圆锥曲线 C∶f(x,y)=0 与直线 l∶y=kx+b 相交于 A(x1,y1)、B(x2,y2) 两点,则弦长|AB|为:

(2)若弦 AB 过圆锥曲线的焦点 F,则可用焦半径求弦长,|AB|=|AF|+|BF|. 1 例 1 过抛物线 y ? ? x 2 的焦点作倾斜角为 α 的直线 l 交抛物线于 A、 B 两点, 4 且|AB|=8,求倾斜角 α. 2.与圆锥曲线有关的最值(极值)的问题 在解析几何中求最值,关键是建立所求量关于自变量的函数关系,再利用代 数方法求出相应的最值.注意点是要考虑曲线上点坐标(x,y)的取值范围.
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例2

已知 x +4(y-1)2=4,求:
2

(1)x2+y2 的最大值与最小值; (2)x+y 的最大值与最小值. 3.与圆锥曲线有关的证明问题 它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法,以及定点、定值 问题的判断方法. 例3 在抛物线 x2=4y 上有两点 A(x1,y1)和 B(x2,y2)且满足|AB|=y1+y2+2,

求证: (1)A、B 和这抛物线的焦点三点共线;

4.圆锥曲线与圆锥曲线的相交问题 直线与圆锥曲线相交问题,一般可用两个方程联立后,用△≥0 来处理.但 用△≥0 来判断双圆锥曲线相交问题是不可靠的. 解决这类问题: 方法 1, 由 “△ ≥0” 与直观图形相结合;方法 2,由“△≥0”与根与系数关系相结合;方法 3, 转换参数法. 例 4.已知曲线 C1 : x 2 ? 范围.
( y ? a) 2 ? 1及C2 : y ? x 2 ? 1 有公共点,求实数 a 的取值 2

五、练习
x2 1.求椭圆 ? y 2 ? 1 到点 A(1,0)的距离为最小的点 P 的坐标. 4
2

2.已知圆(x-1) +y2=1 与抛物线 y2=2px 有三个公共点,求 P 的取值范围.

3.设抛物线 y2=4x 截直线 y=2x+k 所得的弦长为 3 5 ,求 k 的值. 4.(1)直线过点 A(0,1)且与抛物线 y2=x 只有一个公共点,这样的直线有几 条? (2)过点 P(2,0)的直线 l 与双曲线 x2-y2=1 只有一个公共点,这样的直线有 几条?

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5.求曲线 C∶x2+4y2=4 关于直线 y=x-3 对称的曲线 C′的方程. 明:椭圆
x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 与双曲线 ? ? 1 的交点是一个矩形的顶点. 20 5 12 3

6.两定点的距离为 6,点 M 到这两个定点的距离的平方和为 26,求点 M 的 轨迹方程.

7.动点 P 到点 F1(1,0)的距离比它到 F2(3,0)的距离少 2,求 P 点的轨迹.

8.已知圆 x +y2=4 上有定点 A(2,0),过定点 A 作弦 AB,并延长到点 P,使
2

3|AB|=2|AB|,求动点 P 的轨迹方程.

9.求抛物线 y2=2px(p>0)上各点与焦点连线的中点的轨迹方程.

10.已知曲线 C:y=-x2+x+2 关于点(a,2a)对称的曲线是 C′,若 C 与 C′ 有两个不同的公共点,求 a 的取值范围.(-2<a<1)

11.过圆 O: x2+y2=4 与 y 轴正半轴的交点 A 作这圆的切线 l, M 为 l 上任一点, 过 M 作圆 O 的另一条切线,切点为 Q,求点 M 在直线 l 上移动时,△MAQ 垂心 的轨迹方程.

x2 y2 12.椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的左焦点到左准线的距离是 a b

(A)a-c (B)a-b

(C)

b2 c

(D)

c2 a

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13.双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的离心率 e∈(1, 2),则 k 的取值范围是 4 k

(A)(0, 6) (B)(3, 12) (C)(1, 3) (D)(0, 12) 14.抛物线 y=x2 上的点到直线 2x-y=4 的最短距离是 3 3 2 3 5 (C) 5 (D) 10 (A) (B) 5 5 5 5
x2 y 2 15.双曲线 ? ? 1 上的点 P 到点(5, 0)的距离是 15,则点 P 到点(-5, 0)的距 16 9

离是 (A)7

(B)23

(C)5 或 25

(D)7 或 23

16.椭圆 为 (A)4

x2 y 2 ? ? 1 上的点 M 到焦点 F1 的距离是 2,N 是 MF1 的中点,则|ON| 25 9

(B)2

(C)8

(D)

3 2

17.已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,连接它的四个顶点得到的四边形的 面积是 4 2 ,分别连接椭圆上一点(顶点除外)和椭圆的四个顶点,连得线段所在 四条直线的斜率的乘积为 ,求这个椭圆的标准方程.
1 4

18.设抛物线 y2=2px (p>0)上各点到直线 3x+4y+12=0 的距离的最小值为 1,求 p 的值.

19.直线 y=x+b 与双曲线 2x2-y2=2 相交于 A, B 两点,若以 AB 为直径的圆过原 点,求 b 的值.

20.已知椭圆的中心在原点,准线为 x=±4 2 ,若过直线 x- 2 y=0 与椭圆的 交点在 x 轴上的射影恰为椭圆的焦点, (1)求椭圆的方程; (2)求过左焦点 F1 且与直线 x- 2 y=0 平行的弦的长.

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