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2011年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(山东卷,解析版)


2011 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科数学解析版
注意事项: 1 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上.并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置,用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 B 后的方框涂黑。 2 选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标

号。咎在试题卷、草稿纸上无效。 3 填空题和解答题用 0 5 毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区 域内。答在试题卷、草稿纸上无效。 4 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 l0 小题.每小题 5 分,共 50 分在每小题给出的四个选项中,只 有一项是满足题目要求的. 1.设集合 M ={x|(x+3)(x-2)<0},N ={x|1≤x≤3},则 M∩N = (A)[1,2) (B)[1,2] (C)( 2,3] (D)[2,3] 【答案】A 【解析】因为 M ? ?x | ?3 ? x ? 2? ,所以 M ? N ? ?x |1 ? x ? 2? ,故选 A. 2.复数 z=

2?i ( i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为 2?i
(C)第三象限 (D)第四象限

(A)第一象限 (B)第二象限 【答案】D

2 ? i (2 ? i) 2 3 ? 4i ? ? 【解析】因为 z ? ,故复数 z 对应点在第四象限,选 D. 2?i 5 5
3.若点(a,9)在函数 y ? 3 的图象上,则 tan=
x

a? 的值为 6

(A)0

(B)

3 3

(C) 1

(D)

3

【答案】D 【解析】由题意知:9= 3 ,解得 a =2,所以 tan
2
a

a? 2? ? ? tan ? tan ? 3 ,故选 D. 6 6 3

4.曲线 y ? x ? 11在点 P(1,12)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是 (A)-9 (B)-3 (C)9 (D)15

1

5.已知 a,b,c∈R,命题“若 a ? b ? c =3,则 a 2 ? b2 ? c 2 ≥3”,的否命题是 (A)若 a+b+c≠3,则 a 2 ? b2 ? c 2 <3 (B)若 a+b+c=3,则 a 2 ? b2 ? c 2 <3 (C)若 a+b+c≠3,则 a 2 ? b2 ? c 2 ≥3 (D)若 a 2 ? b2 ? c 2 ≥3,则 a+b+c=3 【答案】A 【解析】命题“若 p ,则 q ”的否命题是“若 ? p ,则 ? q ”,故选 A. 6.若函数 f ( x) ? sin ? x (ω >0)在区间 ? 0, ω= (A)

? ?? ?? ? ? 上单调递增, 在区间 上单调递减, 则 , ? ? 3? ? ?3 2? ?

2 3 (B) 3 2

(C ) 2

(D)3

【答 案】B 【解析】由题意知,函数 在 x ?

?
3

处取得最大值 1,所以 1=sin

??
3

,故选 B.

? x ? 2y ?5 ? 0 ? 7.设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,则目 ? x?0 ?
标函数 z ? 2 x ? 3 y ? 1的最大值为 (A)11 【答案】B 【解析】画出平面区域表示的可行域如图所示,当直线 z ? 2 x ? 3 y ? 1平移至点 A(3,1)时, 目标函数 z ? 2 x ? 3 y ? 1取得最大值为 10,故选 B. 8.某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表 (B)10 (C)9 (D)8.5

2

? 为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时销售 ? ?a ? ? bx ? 中的 b 根据上表可得回归方程 y
额为 (A)63.6 万元 (B)65.5 万元 【答案】B (C)67.7 万元 (D)72.0 万元

7 4? 2?3?5 7 49 ? 26 ? 39 ? 54 ? ,y? ? 42 ,因为点 ( , 42) 在回 2 4 2 4 ? 为 9.4 ,所以 42 ? 9.4? 7 ? a ? ?? ? , 解得 a ? 9.1, 故回归方程为 ? ? bx 归直线 y a上 , 且 b 2
【解析】 由表可计算 x ?

? ? 9.4 x ? 9.1 , 令 x=6 得 y ? ? 65.5,选 B. y
9.设 M( x0 , y0 )为 抛物线 C: x2 ? 8 y 上一点,F 为抛物线 C 的焦点,以 F 为圆心、 FM 为 半径的圆和抛物线 C 的准线相交,则 y0 的取值范围是 (A)(0,2) 【答案】C 【解析】设圆的半径为 r,因为 F(0,2)是圆心, 抛物线 C 的准线方程为 y ? ?2 ,由圆与准线 相切知 4<r,因为点 M( x0 , y0 )为 抛物线 C: x ? 8 y 上一点,所以有 x0 2 ? 8 y0 ,又点 M( x0 ,
2

(B)[0,2]

(C)(2,+∞)

(D)[2,+∞)

y0 ) 在圆 x2 ? ( y ? 2)2 ? r 2 , 所以 x02 ? ( y0 ? 2) 2 ? r 2 ? 16 , 所以 8 y0 ? ( y0 ? 2)2 ? 16 , 即
有 y02 ? 4 y0 ?12 ? 0 ,解得 y0 ? 2 或 y0 ? ?6 , 又因为 y0 ? 0 , 所以 y0 ? 2 , 选 C. 的距离为 y0 ? 2 ,

1 1 1 ? 2 cos x ,所 以令 y ' ? ? 2 cos x ? 0 ,得 cos x ? ,此时原函数是增 2 2 4 1 1 ' 函数;令 y ? ? 2 cos x ? 0 ,得 cos x ? ,此时原函数是减函数,结合余弦函 数图象,可得 2 4
【解析】因为 y ?
'

选 C 正确. 11.下图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题:①存在三棱 柱, 其正(主)视图、 俯视图如下图;②存在四棱柱,其正(主)视图、俯视图如下图;③存在圆柱, 其正(主)视图、

3

俯视图如下图. 其中真命题的个数是

(A)3 【答案】A

(B)2 (C)1

(D)0

【解析】对于①,可以是放倒的三棱柱;容易判断②③可以. 12.设 A1 , A2 , A3 , A4 是平面直角坐标系中两两不同的四点,若 A 1A 3 ? ?A 1A 2 (λ ∈R), 且 A1 A4 ? ? A1 A2 (μ ∈R),

1

?

?

1

?

? 2 ,则称 A3 ,A4 调和分割 A1 ,A2 ,已知点 C(c, o),D(d,

O) (c,d∈R)调和分割点 A(0,0),B(1,0),则下面说法正确的是 (A)C 可能是线段 AB 的中点 (B)D 可能是线段 AB 的中点 (C)C,D 可能同时在线段 AB 上 (D) C,D 不可能同时在线段 AB 的延长线上 【答案】D 【解析】由 A 1A 3 ? ?A 1A 2 (λ ∈R), A 1A 4 ? ?A 1A 2 (μ ∈R)知: 四点 A1 , A2 , A3 , A4 在同一条直线上, 因为 C,D 调和分割点 A,B,所以 A,B,C,D 四点在同一直线上,且

1 1 ? ? 2 , 故选 D. c d

第 II 卷(共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有 150、150、400、300

4

名学生,为了解学生的就业倾向,用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取 40 名学生进 行调查,应在丙专业抽取的学生人数为 . 【答案】16 【解析】由题意知,抽取比例为 3:3:8:6,所以应在丙专业抽取的学生人数为 40 ? 14.执行右图所示的程序框图,输入 l=2,m=3,n=5,则输出的 y 的值是 【答案】68 【解析】 由输入 l=2, m=3, n=5, 计算得出 y=278,第一次得新的 y=173;第二次得新的 y=68<105, 输出 y. 15.已知双曲线

8 =16. 20

x2 y 2 x 2 y2 ? ? 1( a > 0 , b > 0) ? =1 有相同的焦点,且双曲线的离 和椭圆 a 2 b2 16 9
.

心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为

16.已知函数 f(x) = loga x ? x ? b(a>0,且a ? 1). 当 2<a<3<b<4 时,函数 f(x)的零 点 x0 ? (n, n ? 1), n ? N * , 则n= 【答案】5 【解析】方程 loga x ? x ? b(a>0,且a ? 1) =0 的根为 x0 ,即函数 y ? loga x(2 ? a ? 3) 的 图象与函数 y ? x ? b(3 ? b ? 4) 的交点横坐标为 x0 ,且 x0 ? (n, n ? 1), n ? N * ,结合图象,因 为当 x ? a(2 ? a ? 3) 时 , y ? 1 , 此时对应直线上 y ? 1 的点的横坐标 x ? 1 ? b ? (4,5) ; 当 .

y ? 2 时 , 对 数 函 数 y ? loga x(2 ? a ? 3) 的 图 象 上 点 的 横 坐 标 x ? ( 4 , 9 , )直线 y ? x? b ( 3 ? b ?4的图象上点的横坐标 ) x ? (5, 6) ,故所求的 n ? 5 .
三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 17.(本小题满分 12 分) 在 ABC 中 ,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 (I) 求

cos A-2cos C 2c-a = . cos B b

sin C 的值; sin A

5

(II)

若 cosB=

1 , ABC的周长为5,求b的长. 4

【 解 析 】 (1) 由 正 弦 定 理 得 a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C, 所 以

c o s A - 2 c o s C = c o s B b

2 c - a
=

2sin C ? sin A sin B

,



sin B cos A ? 2sin B cos C ? 2sin C cos B ? sin A cos B , 即 有 si n( A ? B )? 2 si n( B ? C ,)

sin C =2. sin A c sin C (2)由( 1)知 =2,所以有 ? 2 ,即 c=2a,又因为 ?ABC 的周长为 5,所以 b=5-3a,由余弦 a sin A
即 sin C ? 2sin A ,所以 定理得:

1 b2 ? c2 ? a2 ? 2ac cos B ,即 (5 ? 3a) 2 ? (2a) 2 ? a 2 ? 4a 2 ? ,解得 a=1,所以 b=2. 4
18.(本小题满分 12 分) 甲、乙两校各有 3 名教师报名支教,其中甲校 2 男 1 女,乙校 1 男 2 女. (I)若从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名,写出所有可能的结果,并求选出的 2 名教 师性别相同的概率; (II)若从报名的 6 名教师中任选 2 名,写出所有可能的结果,并求选出的 2 名教师来自同 一学校的概率. 【解析】 (1) 从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名, 所有可能的结果为(甲男 1,乙男)、 (甲 男 2, 乙男)、(甲男 1, 乙女 1)、(甲男 1, 乙女 2)、(甲男 2, 乙女 1)、(甲男 2, 乙女 2)、 (甲女, 乙女 1)、(甲女, 乙女 2) 、(甲女, 乙男),共 9 种;选出的 2 名教师性别相同的结 果有(甲男 1,乙男)、(甲男 2, 乙男)、(甲女 1, 乙女 1)、(甲女 1, 乙女 2),共 4 种,所以 选出的 2 名教师性别相同的概率为

4 . 9

(2) 从报名的 6 名教师中任选 2 名, 所有可能的结果为(甲男 1,乙男)、 (甲男 2, 乙男)、 (甲 男 1, 乙女 1)、(甲男 1, 乙女 2)、(甲男 2, 乙女 1)、(甲男 2, 乙女 2)、(甲女, 乙女 1)、 (甲女, 乙女 2) 、(甲女, 乙男) 、(甲男 1, 甲男 2)、(甲男 1, 甲女)、(甲男 2, 甲女)、 (乙男, 乙女 1)、(乙男, 乙女 2)、(乙女 1, 乙女 2),共 15 种;选出的 2 名教师来自同一 学校的所有可能的结果为(甲男 1, 甲男 2)、(甲男 1, 甲女)、(甲男 2, 甲女)、(乙男, 乙 女 1)、(乙男, 乙女 2)、(乙女 1, 乙女 2),共 6 种,所以选出的 2 名教师来自同一学校的 概率为

6 2 ? . 15 5

19.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱台 ABCD ? A1B1C1D1

6

中 , D1D ? 平 面 A B C D, 底 面 ABCD 是 平 行 四 边 形 , A B = 2 A D , AD=A1B1 ,

?BAD= 60°
(Ⅰ)证明 : AA1 ? BD ; (Ⅱ)证明: CC1∥平面A1BD . 【解析】 (Ⅰ)证明:因为 AB=2AD ,所以设 AD=a, 则 AB=2a, 又 因 为 ?B A D = 60 ° , 所 以 在 ?ABD 中 , 由 余 弦 定 理 得 :

BD2 ? (2a)2 ? a2 ? 2a ? 2a ? cos60 ? 3a2 ,所以 BD= 3a ,所以 AD2 ? BD2 ? AB2 ,故 BD
⊥AD,又因为

D1D ? 平面 ABCD ,所以 D1D ? BD,又因为 AD ? D1D ? D , 所以 BD ? 平面 ADD1 A1 ,
故 AA1 ? BD .

ABCD 是平行四边形得:O 是 AC 的中点,由四 (2)连结 AC,设 AC ? BD=0, 连结 AO 1 ,由底面
棱台 ABCD? A 1 B 1 C 1 D 1知 : 平面 ABCD ∥平面 A 1B 1C1 D 1 , 因为这两个平面同时都和平面

ACAC AC 1 1 相交,交线分别为 AC、 AC 1 1 ,故 AC 1 1 ,又因为 AB=2a, BC=a, ?ABC=120 ,
所以可由余弦定理计算得 AC= 7a ,又因为 A1B1=2a, B1C1=

3 a , ?A1B1C1 =120 ,所以 2

可由余弦定理计算得 A1C1=

7 a ,所以 A1C1∥OC 且 A1C1=OC,故四边形 OCC1A1 是平行四边形, 2

所以 CC1∥A1O,又 CC1 ? 平面 A1BD,A1O ? 平面 A1BD,所以 CC1∥平面A1BD . 20.(本小题满分 12 分) 等比数列 ?an ? 中, a1 , a2 , a3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且 a1 , a2 , a3 中 的任何两个数不在下表的同一列. 第一列 第一行 第二行 第三行 3 6 9 第二列 2 4 8 第三列 10 14 18

(Ⅰ) 求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足: bn ? an ? (?1)ln an ,求数列 ?bn ? 的前 2 n 项和 S 2 n .

7

【解析】 (Ⅰ)由题意知 a1 ? 2, a2 ? 6, a3 ? 18 ,因为 ?an ? 是等比数列,所以公比为 3,所以数 列 ?an ? 的通项公式 an ? 2 ? 3n?1 . (Ⅱ)因为 bn ? an ? (?1)ln an = 2 ? 3
n ?1

? (?1)ln 2 ? 3n?1 , 所以 Sn ? b1 ? b2 ?
=

? bn ?
=

(a1 ? a2 ?

? an ) ? (ln a1 ? ln a2 ? ? 3n?1 ) =

ln an )

2(1 ? 3n ) 1? 3

-

ln a1a2 an

3n ? 1 -

ln(2n ?1? 31 ? 32 ?
3n ? 1- ln(2n ? 3
n ( n ?1) 2

) ,所以 S 2 n = 32 n ? 1 - ln(22 n ? 3

2 n (2 n ?1) 2

) = 9 n ? 1 - 2n ln 2 ? (2n2 ? n) ln 3 .

21.(本小题满分 12 分) 某 企 业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米) ,其中容器的中间为圆柱形, 左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为

80? 立方米,且 l≥2 r .假设该容器的建 3

造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元,半球形部分每平方 米建造费用为 c (c>3) .设该容器的建造费用为 y 千元. (Ⅰ)写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的 r . 【解析】 (Ⅰ)因为容器的体积为

80? 立方米,所以 3

80 4r 4? r 3 80? ? ? r 2l ? , 解得 l ? 2 ? , 所以圆柱 3r 3 3 3 80 4r 160? 8? r 2 2 ? 的侧面积为 2? rl = 2? r ( 2 ? ) ? , 两端两个半球的表面积之和为 4? r , 3r 3 3r 3
所以 y ?

l 160? ? 8? r 2 + 4? cr 2 ,定义域为(0, ). 2 r

' (Ⅱ) 因为 y ? ?

160? 8? [(c ? 2)r 3 ? 20] 20 ' 8 ? cr ? 16 ? r + = ,所以令 y ? 0 得: r ? 3 ; 2 2 r r c?2
3

令 y ? 0 得: 0 ? r ?
'

20 20 ,所以 r ? 3 米时, 该容器的建造费用最小. c?2 c?2

22.(本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 .如图所示,斜率为 k (k>0) 且不 3

过原点的直线 l 交椭圆 C 于 A , B 两点,线段 AB 的中点为 E ,射线 OE 交椭圆 C 于点 G ,

8

交直线 x ? ?3 于点 D(?3, m) . (Ⅰ)求 m2 ? k 2 的最小值; (Ⅱ)若 OG ? OD ? OE , (i)求证:直线 l 过定 点; (ii)试问点 B , G 能否关于 x 轴对称?若能,求出此时
2

ABG 的外接圆方程;若不能,请说明理由.
【解析】 (Ⅰ)由题意:设直线 l : y ? kx ? n(n ? 0) ,

? y ? kx ? n ? 2 2 2 由 ? x2 消 y 得: (1 ? 3k ) x ? 6knx ? 3n ? 3 ? 0 ,设 A ( x1 , y1 ) 、B ( x2 , y2 ) ,AB 的中 2 ? y ? 1 ? ?3
点 E

( x0 , y0 )

,















:

x1 ? x2

=

?6 kn 1 ? 3k 2

,



n ?3kn ?3kn ?k ? n ? , y0 ? kx0 ? n ? , 所 以 中 点 E 的 坐 标 为 2 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 1 ? 3k ?3kn n 1 m , ) ,因为 O、E、D 三点在同一直线上,所以 kOE ? KOD ,即 ? ?? , E( 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 3k 3

x0 ?

解得

m?

1 1 2 2 2 2 ,所以 m ? k = 2 ? k 2 ? 2 ,当且仅当 k ? 1 时取等号,即 m ? k 的最小值为 2. k k

m ? y ? ? x ? m ? 3 (Ⅱ) (i)证明:由题意知:n>0,因为直线 OD 的方程为 y ? ? x ,所以由 ? 2 得交 3 x 2 ? ? y ?1 ? ?3
n m2 2 点 G 的纵坐标为 yG ? ,又因为 y E ? , yD ? m ,且 OG ? OD ? OE ,所 2 2 1 ? 3k m ?3


1 m2 n ? m? , 又由( Ⅰ)知 : m ? , 所以解得 k ? n , 所 以直线 l 的方程为 2 2 k m ?3 1 ? 3k

l : y ? kx? k, 即有 l : y ? k( x? 1) , 令 x ? ?1 得 ,y=0, 与实数 k 无关 , 所以直线 l 过定点
(-1,0). (ii)假设点 B , G 关于 x 轴对称,则有 ABG 的外接圆的圆心在 x 轴上,又在线段 AB 的 中垂线上,

9

由(i)知点 G( (

?3 m ?3
2

,

m m ?3
2

) ,所 以点 B( (

?3 m ?3
2

,

?m m2 ? 3

) ,又因为直线 l 过定

?m
点(-1,0),所以直线 l 的斜率为

m 2 ? 3 ? k ,又因为 m ? 1 ,所以解得 m2 ? 1 或 6,又 ?3 k ?1 2 m ?3
2

因为 3 ? m ? 0 ,所以 m ? 6 舍去,即 n ? 1 ,此时 k=1 ,m=1,E (
2 2

?3 1 , ) ,AB 的中垂线为 4 4

2x+2y+1=0, 圆心坐标为 ( ?

1 ?3 1 1 2 5 5 2 , 0) , G( ( , ) ,圆半径为 , 圆的方程为 ( x ? ) ? y ? . 2 2 2 2 4 2

2 2 综上所述, 点 B , G 关于 x 轴对称,此时 ABG 的外接圆的方程为 ( x ? ) ? y ?

1 2

5 . 4

10


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