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数学人教A版必修4第一章教案:1.2.1《任意角的三角函数》


1.2 任意角的三角函数
1.2.1 任意角的三角函数(一)
一、教学目标: 1、知识与技能 (1)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各 象限的符号)(2)理解任意角的三角函数不同的定义方法; ; (3)了解如何利用与单位圆有关 的有向线段,将任意角α 的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出 来; (4

)掌握并能初步运用公式一; (5)树立映射观点,正确理解三角函数是以实数为自变 量的函数. 2、过程与方法 初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把这个 定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意 角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数 的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.讲解例题,总结方法, 巩固练习. 3、情态与价值 任意角的三角函数可以有不同的定义方法,而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于用 角的终边上点的坐标的“比值”来定义,这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角 的三角函数的推广,有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数,但它对准确把 握三角函数的本质有一定的不利影响, “从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的 一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系有冲突,而且“比值”需要通过运算才能得到, 这与函数值是一个确定的实数也有不同,这些都会影响学生对三角函数概念的理解. 本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.这个定义清楚地表明了正 弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系,也表明了这两个函数之间的关系. 二、教学重、难点 重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各 象限的符号) ;终边相同的角的同一三角函数值相等(公式一). 难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各 象限的符号) ;三角函数线的正确理解. 三、学法与教学用具 任意角的三角函数可以有不同的定义方法,本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正 弦函数、余弦函数.表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系,也表明了这 两个函数之间的关系. 另外,这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接,数形结合更加紧密, 这就为后续内容的学习带来方便,也使三角函数更加好用了. 教学用具:投影机、三角板、圆规、计算器 四、教学设想 第一课时 任意角的三角函数(一) 【创设情境】 提问:锐角 O 的正弦、余弦、正切怎样表示? 借助右图直角三角形,复习回顾.
-1-

y P (a, b) r M

?
O

引入:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数。 数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗? 如图,设锐角 ? 的顶点与原点 O 重合,始边与 x 轴的正半轴重合,那 么它的终边在第一象限.在 ? 的终边上任取一点

P(a, b) ,它与原点的距离 r ? a2 ? b2 ? 0 .过 P 作

y

a的终边
P(x,y)

x 轴的垂线,垂足为 M ,则线段 OM 的长度为 a ,线 MP b ? ; 段 MP 的长度为 b .则 sin ? ? OP r OM a MP b cos ? ? ? ; tan ? ? ? . OP r OM a

O

x

思考:对于确定的角 ? ,这三个比值是否会随点 P 在 ? 的终边上的位置的改变而改变呢? 显然,我们可以将点取在使线段 OP 的长 r ? 1 的 特殊位置上,这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数:

sin ? ?

思考:上述锐角 ? 的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后, 我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改,以利推广到任意角呢?本节课就研究这个 问题――任意角的三角函数. 【探究新知】 1.探究:结合上述锐角 ? 的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢? 显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为 1,然后就可以类似锐 角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原 点 O 为圆心,以单位长度为半径的圆. 2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义? 如图,设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P ( x, y ) ,那么: (1) y 叫做 ? 的正弦(sine),记做 sin ? ,即 sin ? ? y ; (2) x 叫做 ? 的余弦(cossine),记做 cos? ,即 cos? ? x ; (3)

MP ?b; OP

cos ? ?

OM ?a; OP

tan ? ?

MP b ? . OM a

y y 叫做 ? 的正切(tangent),记做 tan ? ,即 tan ? ? ( x ? 0) . x x

注意:当α 是锐角时,此定义与初中定义相同(指出对边,邻边,斜边所在) ;当α 不是 锐角时,也能够找出三角函数,因为,既然有角,就必然有终边,终边就必然与单位圆有交 点 P ( x, y ) ,从而就必然能够最终算出三角函数值. 3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角 函数值呢? 前面我们已经知道,三角函数的值与点 P 在终边上的位置无关,仅与角的大小有关.我们 只需计算点到原点的距离 r ?

x 2 ? y 2 ,那么 sin ? ?

y x ?y
2 2

, cos ? ?

x x ? y2
2

,

-2-

tan ? ?

y .所以,三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函 x

数,又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,故三角函数也可以看成实数为自 变量的函数. 4.例题讲评 例 1.求

5? 的正弦、余弦和正切值. 3

例 2.已知角 ? 的终边过点 P (?3, ?4) ,求角 ? 的正弦、余弦和正切值. 0 教材给出这两个例题,主要是帮助理解任意角的三角函数定义.我也可以尝试其他方法: 如例 2:设 x ? ?3, y ? ?4, 则 r ? 于是 sin ? ?

(?3) 2 ? (?4) 2 ? 5 .

y 4 x 3 y 4 ? ? , cos ? ? ? ? , tan ? ? ? . r 5 r 5 x 3

5.巩固练习 P 第 1,2,3 题 17 6.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表;再 将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中: 定义域 三角函数 角度制 弧度制 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限

sin ?

cos?
tan ?
7.例题讲评 例 3.求证:当且仅当不等式组 {

sin ? ? 0

tan ? ? 0

成立时,角 ? 为第三象限角.

8.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系? 显然: 终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:

sin(? ? 2k? ) ? sin ? cos(? ? 2k? ) ? cos ? tan(? ? 2k? ) ? tan ?
9.例题讲评 例 4.确定下列三角函数值的符号,然后用计算器验证: (1) cos 250 ;
?

(其中 k ? Z )

(2) sin( ?

?
4

) ; (3) tan(?672? ) ; (4) tan 3?

例 5.求下列三角函数值:

-3-

(1) sin1480 10 ;

?

'

(2) cos

9? 11? ) ; (3) tan(? 4 6
? ?

利用公式一,可以把求任意角的三角函数值, 转化为求 0 到 2? (或 0 到 360 )角的三角 函数值. 另外可以直接利用计算器求三角函数值,但要注意角度制的问题. 10.巩固练习 P 第 4,5,6,7 题 17 11.学习小结 (1)本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同? (2)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗? (3)请写出各三角函数的定义域; (4)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?你在解题时会准确熟练应用公式一吗? 五、评价设计 1.作业:习题 1.2 A 组第 1,2 题. 2.比较角概念推广以后,三角函数定义的变化.思考公式一的本质是什么?要做到熟练应 用.另外,关于三角函数值在各象限的符号要熟练掌握,知道推导方法.

第二课时 任意角的三角函数(二) 【复习回顾】 1、 三角函数的定义; 2、 三角函数在各象限角的符号; 3、 三角函数在轴上角的值; 4、 诱导公式(一) :终边相同的角的同一三角函数的值相等; 5、 三角函数的定义域. 要求:记忆.并指出,三角函数没有定义的地方一定是在轴上角,所以,凡是碰到轴上角 时,要结合定义进行分析;并要求在理解的基础上记忆. 【探究新知】 1.引入:角是一个图形概念,也是一个数量概念(弧度数).作为角的函数——三角函 数是一个数量概念(比值) ,但它是否也是一个图形概念呢?换句话说,能否用几何方式来表 示三角函数呢? 2.[边描述边画]以坐标原点为圆心,以单位长度 1 为半径画一个圆,这个圆就叫做单位 圆(注意:这个单位长度不一定就是 1 厘米或 1 米). y 当角 ? 为第一象限角时,则其终边与单位圆必有一个 a角的终 边 交点 P ( x, y ) ,过点 P 作 PM ? x 轴交 x 轴于点 M , P T 则请你观察: 根 据 三 角 函 数 的 定 义 : | MP |?| y |?| sin ? | ; O M A x

| OM |?| x |?| cos ? |
随着 ? 在第一象限内转动,MP 、OM 是否也跟 着变化? 3.思考: (1)为了去掉上述等式中的绝对值符号,能否给线段 MP 、 OM 规定一个适当

-4-

的方向,使它们的取值与点 P 的坐标一致? (2)你能借助单位圆,找到一条如 MP 、 OM 一样的线段来表示角 ? 的正切值吗? 我们知道,指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角 ? 的终边不在坐标轴时,以 O 为始点、 M 为终点,规定: 当线段 OM 与 x 轴同向时,OM 的方向为正向, 且有正值 x ; 当线段 OM 与 x 轴反向时, OM 的方向为负向,且有正值 x ;其中 x 为 P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有

OM ? x ? cos ? 同理,当角 ? 的终边不在 x 轴上时,以 M 为始点、 P 为终点,规定:
当线段 MP 与 y 轴同向时, MP 的方向为正向,且有正值 y ;当线段 MP 与 y 轴反向 时, MP 的方向为负向,且有正值 y ;其中 y 为 P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有

MP ? y ? sin ?
4.像 MP、OM 这种被看作带有方向的线段,叫做有向线段(direct line segment). 5.如何用有向线段来表示角 ? 的正切呢? 如上图,过点 A(1,0) 作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与 ? 的终边交于点 T , 请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段 OA、AT ,我们有

y x 我们把这三条与单位圆有关的有向线段 MP、OM 、AT ,分别叫做角 ? 的正弦线、余弦 tan ? ? AT ?
线、正切线,统称为三角函数线. 6.探究: (1)当角 ? 的终边在第二、第三、第四象限时,你能分别作出它们的正弦线、 余弦线和正切线吗? (2)当 ? 的终边与 x 轴或 y 轴重合时,又是怎样的情形呢?

7.例题讲解

-5-

例 1.已知

?
4

?? ?

?
2

,试比较 ? , tan ? ,sin ? ,cos ? 的大小.

处理:师生共同分析解答,目的体会三角函数线的用处和实质. 8.练习 P 第 1,2,3,4 题 19 9 学习小结 (1)了解有向线段的概念. (2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段,将任意角 ? 的正弦、余弦、正切函数值分别 用正弦线、余弦线、正切线表示出来. (3)体会三角函数线的简单应用. 【评价设计】 1. 作业: 比较下列各三角函数值的大小(不能使用计算器) (1) sin15 、 tan15
? ?

(2) cos150 18 、 cos121

?

'

?

(3)

? ? 、 tan 5 5

2.练习三角函数线的作图.

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

-6-


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