nbhkdz.com冰点文库

数学建模试题

时间:2013-06-20


2012-2013 第一学期 《数学建模》试题卷

班级:2010 级 统计 姓名:石光顺 学号:20101004025 成绩:



一、用Matlab求解以下优化问题(10分) 用Matlab 求解下列线性规划问题:

解:首先化Matlab标准型,即

min w ? ?

3x1 ? x2 ? x3

? x1 ? ?1 ?2 1 ? ? ? ?11 ? ? 4 ?1 ?2? ? x2 ? ? ? ?3? , ? ?? ? ? ? ? x3 ?

? ?2

0 1? ? ? x1

x2

x3 ? ? 1
T

然后编写Matlab程序如下: f=[-3,1,1]; a=[1,-2,1;4,-1,-2]; b=[11,-3]; aeq=[-2,0,3]; beq=1; [x,y]=linprog(f,a,b,aeq,beq,zeros(3,1)); x,y=-y 运行结果: x = 0.0000 2.3333 0.3333

y = -2.6667 即当 x1 ? 0, x2 ? 2.3333, x3 ? 0.3333 时, max z ? ?2.6667 。



二、求解以下问题,列出模型并使用Matlab求解(20分) 某厂生产三种产品 I,II,III。每种产品要经过 A, B 两道工序加 工。设该厂有两种规格的设备能完成 A 工序,它们以 A1, A2 表示; 有三种规格的设备能完成 B 工序,它们以 B1, B2, B3 表示。产品 I 可 在 A, B 任何一种规格设备上加工。产品 II 可在任何规格的 A 设备上 加工,但完成 B 工序时,只能在 B1 设备上加工;产品 III 只能在 A2 与 B2 设备上加工。已知在各种机床设备的单件工时,原材料费,产 品销售价格, 各种设备有效台时以及满负荷操作时机床设备的费用如 表 1,求安排最优的生产计划,使该厂利润最大。 表1

解:(1)根据题意列出所有可能生产产品 I、II、III 的工序组合形式, 并作如下假设: 按(A1,B1)组合生产产品 I,设其产量为 x1 ; 按(A1,B2)组合生产产品 I,设其产量为 x 2 ; 按(A1,B3)组合生产产品 I,设其产量为 x3 ; 按(A2,B1)组合生产产品 I,设其产量为 x 4 ; 按(A2,B2)组合生产产品 I,设其产量为 x5 ;


按(A2,B3)组合生产产品 I,设其产量为 x6 ; 按(A1,B1)组合生产产品 II,设其产量为 x7 ; 按(A2,B1)组合生产产品 II,设其产量为 x8 ; 按(A2,B2)组合生产产品 III,设其产量为 x9 ; 则目标函数为:

max Z ? (1.25 ? 0.25)( x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ? x6 ) ?(2.00 ? 0.35)( x7 ? x8 ) ? (2.80 ? 0.5) x9 300 [5( x1 ? x2 ? x3 ) ? 10 x7 ] 6000 321 ? [7( x4 ? x5 ? x6 ) ? 9 x8 ? 12 x9 ] 10000 250 ? [6( x1 ? x4 ) ? 8( x7 ? x8 )] 4000 783 ? [4( x2 ? x5 ) ? 11x9 ] 7000 ?
约束条件为:

? 5( x1 ? x2 ? x3 ) ? 10 x7 ? 6000 ?7( x ? x ? x ) ? 9 x ? 12 x ? 10000 8 9 ? 4 5 6 ?6( x1 ? x4 ) ? 8( x7 ? x8 ) ? 4000 ? s.t. ? ?4( x2 ? x5 ) ? 11x9 ? 7000 ?7( x3 ? x6 ) ? 4000 ? ? xi ? 0, (i ? 1, 2?9) ?
目标函数整理得:

Max Z ? 0.37 x1 ? 0.31x2 ? 0.40x3 ? 0.34x4 ? 0.34x5 ? 0.43x6 ? 0.65x7 ? 0.86x8 ? 0.68x9
(2)用 Matlb 程序求解目标函数,编写程序如下: f=[-0.37;-0.31;-0.40;-0.34;-0.34;-0.43;-0.65;-0.86;-0.68]; a=[5,5,5,0,0,0,10,0,0 0,0,0,7,7,7,0,9,12 6,0,0,6,0,0,8,8,0 0,4,0,0,4,0,0,0,11 0,0,7,0,0,7,0,0,0]; b=[6000;10000;4000;7000;4000]; [x,y]=linprog(f,a,b,[],[],zeros(9,1)); x,y=-y



输出结果为: x = 0.0000 762.7155 437.2845 0.0000 95.9051 134.1441 0.0000 500.0000 324.1379 y = 1.1521e+003 即当

x1 ? 0, x4 ? 0, x7 ? 0,
可以获得最大利润 1152 元。

x2 ? 762.7, x5 ? 95.9, x8 ? 500,

x3 ? 437.3, x6 ? 134.1, x9 ? 324.1;



三、使用图论知识求解下面问题,并使用 Matlab 求解(20 分) 北京(Pe)、东京(T)、纽约(N)、墨西哥城(M)、伦敦(L)、巴黎 (Pa)各城市之间的航线距离如表2。 表2

由上述交通网络的数据确定最小生成树。
解:(1)根据表2得北京(Pe)、东京(T)、纽约(N)、墨西哥城(M)、伦敦 (L)、巴黎(Pa)之间的无向连线图如下:

(2)用prim算法求上图的最小生成树 用 result3?n 的第一、 三行分别表示生成树边的起点、 二、 终点、 权集合。 Matlab 程序如下: a=zeros(6); a(1,2)=56;a(1,3)=35;a(1,4)=21;a(1,5)=51;a(1,6)=60; a(2,3)=21;a(2,4)=57;a(2,5)=78;a(2,6)=70; a(3,4)=36;a(3,5)=68;a(3,6)=68; a(4,5)=51;a(4,6)=61; a(5,6)=13; a=a+a'; a(a==0)=inf;


result=[];p=1;tb=2:length(a); while size(result,2)~=length(a)-1 temp=a(p,tb);temp=temp(:); d=min(temp); [jb,kb]=find(a(p,tb)==d); j=p(jb(1));k=tb(kb(1)); result=[result,[j;k;d]];p=[p,k];tb(find(tb==k))=[]; end result 输出结果为: result = 1 4 21 1 3 35 3 2 21 1 5 51 5 6 13

由输出结果可知最小生成树的边集为 {v1v4 , v1v3 , v3v2 , v1v5 , v5v6 } ,且有

v1v4 ? 21, v1v3 ? 35, v3v2 ? 21, v1v5 ? 51, v5v6 ? 13 。
最小生成树的值为sum= v1v4 ? v1v3 ? v3v2 ? v1v5 ? v5v6 ? 141。 该图的最小生成树如下图:



四、综合题(50分) 飞机降落曲线 在研究飞机的自动着陆系统时,技术人员 需要分析飞机的降落曲线(图 1). 根据经验, 一架水平飞行的飞机,其降落曲线是一条五次 多项式. 飞行的高度为 h ,飞机着陆点 O 为原 点,且在这个降落过程中,飞机的水平速度始 图1

终保持为常数 u . 出于安全考虑,飞机垂直加速度的最大绝对值不得 超过
g ,此处 g 是重力加速度. 1.若飞机从距降落点水平距离 s 处开 10

始降落, 试确定出飞机的降落曲线. 2. 求开始下降点 s 所能允许的最 小值.



关于飞机降落曲线的研究

摘要
飞机的降落过程是飞机技术人员十分关注的一个问题, 为了能够实现飞机安 全降落着地, 本文采用待定系数法首先对飞机的降落曲线作出相应的假设,然后 对飞机在降落过程中作出合理的假设,利用微分学复合函数的求导法则,确定出 了符合实际的飞机降落曲线以及飞机在一定的高空中开始降落时距离着地点的 最小水平距离。

关键词:微分学 复合函数求导 竖直加速度



一、问题重述
经验表明, 水平飞行的飞机,其降落曲线为一条五次多项式. 飞机的飞行高 度为 h ,着陆点为原点 O ,且在这个降落过程中,飞机的水平速度始终保持为常 g 数 u . 现考虑飞机能够安全着陆,飞机垂直加速度的最大绝对值不得超过 , 10 其中 g 是重力加速度.若飞机从距降落点水平距离 s 处开始降落,试解决以下两 个问题: 问题一:确定出飞机的降落曲线. 问题二:开始下降点 s 所能允许的最小值。

二、模型假设与符号约定

2.1、模型假设
1.飞机的降落曲线为 y ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? a3 x3 ? a4 x4 ? a5 x5 2.飞机自身的高度不计; 3.飞机降落过程中垂直加速度的最大绝对值不得超过
g ; 10

(0 ? x ? s) ;

4.飞机降落过程中,都保持水平飞行姿态; 5.为了能够保证飞机安全着陆, 假设有飞机开始降落时竖直方向的加速度与速度 大小均为 0,飞机在原点着地时竖直方向上的加速度与速度大小也为 0.

2.2、符号说明
1. h :飞机开始降落时的竖直高度; 2. u :飞机降落过程中的水平恒定速度; 3. s :飞机开始降落时与着陆点 o 的水平距离; 4. y :飞机降落过程中与地面的竖直高度; 5. x :飞机降落过程中与着陆点 o 的水平距离;
d2y 6. 2 :飞机降落过程中竖直方向的加速度; dt

7.

dy :飞机降落过程中竖直方向的速度。 dt

10

三、问题分析
本模型主要是对飞机降落曲线进行模拟, 以便更好的预测飞机开始降落到着 陆点的水平距离, 为飞机驾驶员提供一定的数据支撑,以此避免发生不必要的危 险。 飞机降落过程中, 都保持水平飞行姿态, 能过让乘客感觉不到有任何的不适; 在模型中采用待定系数法, 列出飞机的飞行曲线,并根据飞机的竖直加速度的最 g 大绝对值不能超过 ,以此求解 s 的最小值。 10

四、模型建立与求解

4.1、问题一模型建立与求解
根据微分学中复合函数求导法则有: dy dy dx ? ? y '( x) ? u ; 飞机在竖直方向的速度大小 dt dx dt dy d( ) d2y 飞机在竖直方向的加速度大小 2 ? dt ? y ''( x) ? u 2 . dt dt 由假定飞机降落曲线为 y ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? a3 x3 ? a4 x4 ? a5 x5 得:
dy ? u (a1 ? 2a2 x ? 3a3 x 2 ? 4a4 x 3 ? 5a5 x 4 ) dt

d2y ? u 2 (2a2 ? 6a3 x ? 12a4 x 2 ? 20a5 x3 ) 2 dt

根据模型假设以及飞机从高度为 h 的高空开始降落时,距降落点(原点 O) 水平距离为 s ,飞机在降落的过程中保持水平;有
? y (0) ? 0, ? y ( s ) ? h, ? ? dy ? |x ? s ? 0, ? dt ?d2 y ? 2 |x ? s ? 0, ? dt ? dy ? |x ?0 ? 0, ? dt ?d2 y ? 2 |x ?0 ? 0. ? dt

11

?a0 ? 0 ?a ? 0 ? 1 ?a0 ? a1s ? a2 s 2 ? a3 s 3 ? a4 s 4 ? a5 s 5 ? h ? 即? 2 3 4 ?u (a1 ? 2a2 s ? 3a3 s ? 4a4 s ? 5a5 s ) ? 0 ? 2a u 2 ? 0 ? 2 ?u 2 (2a2 ? 6a3 s ? 12a4 s 2 ? 20a5 s 3 ) ? 0 ?

解得: a0 ? 0, a1 ? 0, a2 ? 0, a3 ?

10h 15h 6h , a4 ? ? 4 , a5 ? 5 . 3 s s s

因此,飞机的降落曲线为: 10h 15h 6h y ? 3 x3 ? 4 x 4 ? 5 x5 s s s

x ? [0, s ] .

4.2、问题二的模型建立与求解
由问题一飞机的降落曲线为 y ? 竖直方向的加速度
10h 3 15h 4 6h 5 x ? 4 x ? 5 x s3 s s x ? [0, s ] , 则飞机在

d 2 y 60h 2 180h 2 2 120h 2 3 ? 3 u x? 4 u x ? 5 u x ; dt 2 s s s

记 a ( x) ?

d2y .则 dt 2
a '( x) ?

60h 2 360h 2 360h u ? 4 u x ? 5 u 2 x2 3 s s s 60h 2 360h 2 360h 2 2 令 a '( x) ? 3 u ? 4 u x ? 5 u x ? 0 得: s s s

x1 ?

3? 3 s, 6

x2 ?

3? 3 s 6

当 x1 ?

10 3? 3 hu 2 ; s 时, a( x) 在 [0, s] 上取得最大值 2 6 3s 10 3? 3 hu 2 . s 时, a( x) 在 [0, s] 上取得最小值 ? 2 6 3s 10 hu 2 . 2 3s

当 x2 ?

即飞机在降落过程中的最大加速度的绝对值 | a( x) |? 于是根据题目要求有

12

10 g hu 2 ? 2 10 3s

所以 s ? u

100h ? 10u 3g

3h . 3g
3h . 3g

即开始下降点 s 所能允许的最小值为 10u

五、模型检验
由上述设计可知在飞机的降落曲线为一个五次多项式与实际相符, 飞在机开 始降落距离着地点的水平距离 s ? 10u 超过

3h 的情况下,竖直方向上的加速度不 3g

g (远小于重力加速度 g) ,所以在降落曲线为该五次多项式下飞机的降落 10 过程是安全的。

六、模型的评价
优点: 飞机在降落过程中, 考虑比较全面, 利用微分的知识解决了相关问题; 模型假设合理,基本上符合实际,具有可推广型。 缺点:不能很直观地看出模型。

参考文献:
[1] 欧阳光中 朱学炎 金福临 陈传璋,数学分析—3 版,北京:高等教育出版 社,2007.4. [2] 赵静 但琦,数学建模与数学实验—3 版,北京:高等教育出版社,2008.1.

13

第四题分以下几部分完成 1. 论文题目; 2. 论文摘要(不得超过 300 字) 3. 关键词(不得少于三个) 4. 论文正文:问题提出(按你的理解对所给题目做更清晰 的表述) ;问题分析(根具问题的性质,你打算建立什么样的数 学模型) ;模型假设(有些假设须作必要的解释) ;模型设计(对 出现的数学符号必须有明确的定义) ;模型的解法与结果;模型 结果的分析和检验,包括误差分析、稳定性分析等;模型的优缺 点及改进的方向;必要的计算机程序。 5. 参考文献 说明 1. 文件名:学号+姓名+班级. 2. 2012 年 12 月 12-13 日上课时以班为单位将电子文档、 打印文档统一交给老师. 3. 纸质文档从左边装订. 4. 将你不做的题目全部删去. 5. 电子文档用 Word2003 排版.

14


1992--2012数学建模历年竞赛试题汇总_图文

数学建模题目浏览:1992--2012 1992 年 (B) 1993 年 (B) 1994 年 (B) 1995 年 (B) 1996 年 (A) 施肥效果分析问题 实验数据分解问题 (A) 非线性交调...

2015数学建模A题

2015数学建模A题_数学_自然科学_专业资料。太阳影子定位 摘要本文通过分析物体的太阳影子变化, 利用太阳影子定位技术建立确定视频拍 摄的地点和日期的模型。 针对问题...

数学建模考试题(开卷)

2015-2016 学年下学期数学建模试题 (开卷) 完成方式:一人单独完成,8 页以上) 交卷形式:纸质文档+电子文档,纸质文档的第一页必须写好姓名、学号、所选题名。...

数学建模练习题

数学建模竞练习题 6页 1下载券 数学建模练习题作业 19页 免费 09数学建模练习...软件使用 练习题 1.求下列非线性规划问题,要求写出 lingo 程序和求出结果。(...

数学建模考题

数学建模考题答案 ***感谢赵汝强同学整理*** 一、选择题 1、 矩阵输入 2、 实验 1(2) 随机生成 4 种类型的随机矩阵,编程求出其最大值及其所处的位置 %...

数学建模讨论题

数学建模讨论题_数学_自然科学_专业资料。数学建模讨论题一、 某厂向用户提供发动机 ,合同规定:第一 ,第二,第三季度末分别交货 40 台、60 台、80 台。 每季...

2015年数模A题

2015年数模A题_理学_高等教育_教育专区。2015年江西省研究生数学建模A题 竞赛论文评阅过程的评价分析摘要本文通过分析不同论文题目的网评数据,采取数理统计、方差分析...

数学建模B题

数学建模B题_理学_高等教育_教育专区。2015 年第十二届五一数学建模联赛承 诺书 我们仔细阅读了五一数学建模联赛的竞赛规则。 我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不...

数学建模经典例题

1 数学建模经典例题 某学校有三个系共 200 名学生,其中甲系 100 名,乙系 ...数学建模试题及优秀例题 2页 免费 数学建模型 典型例题 2页 免费 经典的...

数学建模试题

云南师范大学 2005 ~ 2006 试卷 学年 上 学期统一考试学号__ 试卷编号(A 卷) : 数学建模 学院 数学学院 专业 数学与应用数学 年级考试方式(闭卷) : 题号 ...