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2015-2016学年人教B版高中数学课件 必修3:第二章 统计 2.2《用样本的数字特征估计总体的数字特征》(2课时)

时间:2016-11-04


2.2 用样本估计总体
2.2.1 用样本的数字特征估计总体的数字特征
第2课时 标准差

本课主要学习用样本的数字特征估计总体的数字特征 的相关内容,具体包括标准差的意义与计算方法。 本课开始提出问题“只有平均数还难以概括样本数据 的实际状态”,引发学生思考,接着以一个射击案例作 为课前导入,引导学生用平均数以外的量来估计总体, 从而引出标准差的概念以及计算方法。然后通过两个例 题进行系统讲解,并通过一系列习题进行加深巩固。

1. 了解标准差的意义与计算方法。 2.根据标准差对事件进行科学的决策。

平均数向我们提供了样本数据的重要信息,但是 平均有时也会使我们作出对总体的片面判断.因为

这个平均数掩盖了一些极端的情况,而这些极端情
况显然是不能忽的.因此,只有平均数还难以概括

样本数据的实际状态.

有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次,每次命中 的环数如下: 甲:7 乙:9 8 5 7 7 9 8 5 7 4 6 9 8 10 6 7 7 4 7

如果你是教练,你应当如何对这次射击作出评价? 如果看两人本次射击的平均成绩, 可以发现两人射击的平均 成绩是一样的.

那么两个人的水平就没有什么差异吗?

将两位射击运动员的成绩作成频率分布直方图,如下:
频率 频率

如果你是教练,你应当如何对这次射击情况作出评价?如果这是一次选拔性 考核,你应当如何作出选择?

环数 甲 乙

环数

直观上看,还是有差异的.如:甲成绩比较分散,乙 成绩相对集中.

标准差
考察样本数据的分散程度的大小,最常用的统计量 是标准差.标准差是样本平均数的一种平均距离,一

般用s表示.
? ? ? 1? 2 2 2? s? ( x ? x ) ? ( x ? x ) ? ? ? ( x ? x ) . 1 2 n ? n? ? ?

例题1:画出下列四组样本数据的直方图,说明它 们的异同点.
(1) 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5; (2) 4, 4, 4, 5 , 5, 5, 6, 6, 6; (3) 3 , 3 , 4 , 4 , 5, 6 , 6, 7 , 7; (4) 2 , 2 , 2 , 2, 5 , 8 , 8 , 8 , 8 ;

解:四组样本数据的直方图是:

频率 频率 1.0 ? 0.9 x?5 0.8 0.7 0.6 0.5 S=0.00 0.4 0.3 0.2 0.1 o 1 2 3 45 6 7 8 (1) 频率 1.0 ? 0.9 x?5 0.8 0.7 0.6 S=1.49 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 o 1 2 3 45 6 7 8 (3) 1.0 x?5 0.9 0.8 0.7 S=0.82 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 o 1 2 3 45 6 7 8 (2)
?

频率 x?5 1.0 0.9 S=2.83 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 (4)

?

四组数据的平均数都是5.0,标准差分别0.00,0.82,1.49,2.83. 虽然它们有相同的平均数,但是它们有不同的标准差,说明数据 的分散程度是不一样的.

从数学的角度考虑, 人们有时用标准差的平方s 2 ? ?方差 来代替标准作为测量样本数据分散程度的工具:

? ? ? 1 ? 2 2 2 2? s ? ?( x1 ? x) ? ( x2 ? x) ? ? ? ( xn ? x) ?. n? ?

例2、甲乙两人同时生产内径为25.40mm的一种零件.为了 对两人的生产质量进行评比,从他们生产的零件中各抽出20件

,量得其内径尺寸如下(单位:mm)
甲 25.46, 25.32, 25.45, 25.39, 25.36 25.34, 25.42, 25.45, 25.38, 25.42

25.39, 25.43, 25.39, 25.40, 25.44
25.40, 25.42, 25.35, 25.41, 25.39



25.40, 25.43, 25.44, 25.48, 25.48 25.47, 25.49, 25.49, 25.36, 25.34 25.33, 25.43, 25.43, 25.32, 25.47 25.31, 25.32, 25.32, 25.32, 25.48

从生产的零件内径的尺寸看,谁生产的质量较高?

分析
每一个工人生产的所有零件的内径尺寸组成一个总体 ,由于零件的生产 标准已经给出 ( 内径 25.40mm), 生产质量可以从总体的平均数与标准差两个 角度来衡量.总体的平均数与内径标准尺寸 25.00mm的差异在时质量低,差异 小时质量高 ;当总体的平均数与标准尺寸很接近时 , 总体的标准差小的时候 质量高, 标准差大的时候质量低 . 这样比较两人的生产质量只要比较他们所 生产的零件内径尺寸所组成的两个总体的平均数与标准差的大小即可 .但是 这两个总体的平均数与标准差都是不知道的 , 根据用样本估计总体的思想 , 我们可以通过抽样分别获得相应的样体数据 ,然后比较这两个样本的平均数 ,标准差,以此作为两个总体之间的估计值. 解:用计算器计算可得:

x甲 ? 25.4005 , x乙 ? 25,4008 ; s甲 ? 0.038, s乙 ? 0.074

?

?

1.农场种植的甲乙两种水稻,在面积相等的两块稻田中连续 6年的平均产量如下(单位是:500g): 品种 甲 第1年 第2 年 第3年 第四年 第5年 900 920 900 850 910 第6年 910



890

960

950

850

860

890

解: 依题意计算可得
X1

=900

X 2 =900
s2 ≈42.6

s1≈23.8

甲乙两种水稻6年平均产量的平均数相同,但甲的标准差比乙的 小,所以甲的生产比较稳定.

2.一个小商店从一家食品有限公司购进21袋白糖,每袋的 标准重量是500g,为了了解这些白糖的重量情况,称出各袋白 糖的重量(单位:g)如下:

486
498

495
484

496
497

498
504

499
489

496
495

493
503

499

503

509

498

487

500

508

解 : (1) 平均重量约为496.86 g , 标准差约为6.55 (2)重量位于(x-s , x+s)之间有14袋白糖,所占 百分比为66.67%.

3.下列数据是30个不同国家中每100000名男性患某种疾

病的死亡率:
27.0 23.9 41.6 33.1 40.6 18.8 13.7 28.9 13.2 14.5 27.0 34.8 28.9 3.2 50.1 5.6 8.7 15.2 7.1 5.2

16.5 13.8 19.2 11.2 15.7 10.0 5.6

1.5

33.8 9.2

请由这些数据计算平均数、中位数、标准差,并对它们的 含义进行解释。 解:平均数x ≈19.25, 中位数为15.2, 标准差s≈12.50.

这些数据表明这些国家男性患该病的平均死亡率约为19.25, 有一半国家的死亡率不超过15.2, x > 15.2 说明存在大的异 常数据, 这些异常数据使得标准差增大.

①标准差概念:
考察样本数据的分散程度的大小,最常用的统计量 是标准差.标准差是样本平均数的一种平均距离,一 般用s表示.
? ? ? 1? 2 2 2? s? ( x ? x ) ? ( x ? x ) ? ? ? ( x ? x ) . 1 2 n ? ? n? ?

②方差计算公式:
? ? ? 1? 2 2 2? s ? ?( x1 ? x) ? ( x2 ? x) ? ? ? ( xn ? x) ?. n? ? 2

Thank you!


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