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湖北八校(黄冈中学华师一附中等)2010届高三年级第二次联考数学文

时间:2010-11-14


湖北省

黄冈中学 黄石二中 华师一附中 荆州中学 孝感高中 襄樊四中 襄樊五中 鄂南高中

八校

2010 届 高 三 第 二 次 联 考

数学试题(文科)
注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号填写在试题卷封线内,将考号 最后两位填在答题卷右上方座位号内, 同

时机读卡上的项目填涂清楚, 并认真阅读 答题卷和机读卡上的注意事项。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把机读卡对应题目的答案标号涂黑;如需改 动,用像皮擦干净后,再选涂其它答案标号,答在试题卷上无效。 3.将填空题和解答题用 0.5 毫米黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卷上每 题对应的答题区域内,答在试卷上无效。 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 ) 1.已知集合 A = {x | x 2 + 2 x ? 8 ≥ 0}, B = {x || x ? 1 |≤ 3}, 则A ∩ B 等于 A.[2,4] B.[-2,2] C.[-2,4] D.[-4,4] ( D.2 ) ( )

2.已知向量 a = ( ?2,1), b = ( ?3,0) ,则 a在b 方向上的投影为 A. ? 5 B. 5 C.-2

3. y = f (x ) 的图像是由 F 的图像按向量 a = (?1,2) 平移后得到的,若 F 的函数解析式为

1 ( x ≠ 0), 则y = f ( x) 的反函数的解析式为 ( x 1 1 A. y = ? 1( x ∈ R且x ≠ 2) B. y = + 1( x ∈ R且x ≠ ?2) x?2 x+2 1 1 C. y = + 1( x ∈ R且x ≠ 2) D. y = ? 1( x ∈ R且x ≠ ?2) x?2 x+2 y=
4.设 m ? α , n ?



β , 且α ⊥ β , 则" m ⊥ β "是" m ⊥ n" 的
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件





A.充分不必要条件 C.充要条件

5.同时具有性质①最小正周期是 π ;②图像关于直线 x = 数的一个函数是 A. y = sin(

π
3

对称;③在 [ ?

π π

, ] 上是增函 6 3
( )

x π + ) 2 6

B. y = cos(2 x +

π
3

)

C. y = sin( 2 x ?

π
6

)

D. y = cos( ?

x π ) 2 6
( )

6.等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,若 S17 = 170, 则a 7 + a 9 + a11 的值为

A.10 B.20 C.25 D.30 7.某班有 50 名学生,在一次考试中,统计数学平均成绩为 70 分,方差为 102,后来发现 2 名同学的成绩有误,甲实得 80 分却记为 50 分,乙实得 60 分却记为 90 分,更正后平均 成绩和方差分别为 ( ) A.70,90 B.70,114 C.65,90 D.65,114

x2 y2 8. 双曲线 C 的方程为 2 ? 2 = 1( a > 0, b > 0), l1 , l 2 为其渐近线, 为右焦点, F 作 l // l 2 F 过 a a
且 l 交双曲线 C 于 R,交 l1 于 M。若 FR = λ FM , 且λ ∈ ( , ) ,则双曲线的离心率的 取值范围为 A. (1, 2 ) B. ( 2 , 3 ) C. ( 3 , 5 ) D. ( 5 ,+∞) ( )

1 2 2 3

9.等边三角形 ABC 的三个顶点在一个半径为 1 的球面上,A、B 两点间的球面距离为 则 ?ABC 的外接圆的面积为 A. π B.2 π (

π
2

, )

2π C. 3

3π D. 4

10.甲、乙、丙等五人站成一排,要求甲、乙均不与丙相邻,则不同的排法种数为( ) A.72 种 B.52 种 C.36 种 D.24 种 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。将答案填在答题卷相应位置上) 11. ( x ?

1 10 ) 的展开式中含 x 的正整数指数幂的项共有 3x

项。 。

12.在抛物线 y 2 = 2 px 上,横坐标为 4 的点到焦点的距离为 5,则 p 的值为 13.当 x, y 满足 | x | + | y |< 1 时,变量的取值范围是 。

14.如图,某城市的电视发射塔 CD 建在市郊的小山上,小山的高为 35 米,在地面上有一 点 A,测得 A,C 间的距离为 91 米,从 A 观测电视发射塔的视角

(∠CAD)为45° ,则这座电视发射塔的高度为

米。

15 . 如 图 , 在 平 面 斜 坐 标 系 xOy 中 , ∠xOy = 135° , 斜 坐 标 定 义 : 如 果

OP = xe1 + y e2 , (其中e1 , e2 分别是x轴, y轴的单位向量) ,则( x, y )叫做 P 的斜坐
标。 (1)已知 P 的斜坐标为 (1, 2 ) ,则 | OP |= 。

(2)在此坐标系内,已知 A(0,2) ,B(2,0) ,动点 P 满足

| AP |=| BP | ,则 P 的轨迹方程是



三、解答题(本大题共 6 小题,满分 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16 . 在 ?ABC 中 , 内 角 A 、 B 、 C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c , 其 外 接 圆 半 径 为 6 ,

b 4 = 24,sin A + sin C = . 1 ? cos B 3 (1)求 cos B ; (2)求 ?ABC 的面积的最大值。

17.2010 年 5 月 1 日,上海世博会将举行,在安全保障方面,警方从武警训练基地挑选防 爆警察,从体能、射击、反应三项指标进行检测,如果这三项中至少有两项通过即可入 选。假定某基地有 4 名武警战士(分别记为 A、B、C、D)拟参加挑选,且每人能通过 体能、射击、反应的概率分别为

2 2 1 , , 。这三项测试能否通过相互之间没有影响。 3 3 2

(1)求 A 能够入选的概率; (2)规定:每有 1 人入选,则相应的训练基地得到 3000 元的训练经费,否则得不到训 练经费,求该基地得到训练经费恰为 6000 元的概率。

18.如图,在直角梯形 ABCD 中,AD//BC, ∠ABC = 90° ,当 E、F 分别在线段 AD、BC 上,且 EF ⊥ BC ,AD=3,BC=4,AE=2,现将梯形 ABCD 沿 EF 折叠,使平面 ABFE 与平面 EFCD 垂直。 (1)证明:直线 AB 与 CD 是异面直线; (2)当直线 AC 与平面 EFCD 所成角为 30°时,求二面角 A—DC—E 的余弦值。

P 且 19. A、 分别是 x 轴, y 轴上的动点, 在直线 AB 上, AP = 设 B

3 PB, | AB |= 2 + 3. 2

(1)求点 P 的轨迹 E 的方程; (2)已知 E 上定点 K(-2,0)及动点 M、N 满足 KM ? KN = 0 ,试证:直线 MN 必过

x 轴上的定点。

20.某商店投入 38 万元经销某种纪念品,经销时 人 60 天,为了获得更多的利润,商店将 每天获得的利润投入到次日的经营中,市场调研表明,该商店在经销这一产品期间第 n

?1, ? 天的利润 a n = ? 1 ? 25 n ?
bn =

1 ≤ n ≤ 25 26 ≤ n ≤ 60
(单位:万元, n ∈ N ) ,记第 n 天的利润率
*

a3 第n天的利润 ,例如 b3 = . 前n天投入的资金总和 38 + a1 + a 2

(1)求 b1 ,b2 的值; (2)求第 n 天的利润率 bn ; (3)该商店在经销此纪品期间,哪一天的利润率最大?并求该天的利润率。

21. f ( x ) = ? x 3 + ax 2 + bx + c ( a > 0) , x = 1 处取得极大值, 设 在 且存在斜率为 (1)求 a 的取值范围; (2)若函数 y = f ( x ) 在区间 [ m, n] 上单调递增,求 | m ? n | 的取值范围;

4 的切线。 3

(3)是否存在 a 的取值使得对于任意 x ∈ (? ∞,0] ,都有 f ( x ) ≥ 0 。

参考答案

1 A 2.D 6.D 7.A 11.2 12.2 13. (? , ) 14.169 y=x 15.1 16. (1)解:

3.A 8.B.

4.A 9.C

5.C 10.C

1 1 3 3

b 2 × 6sin B = 24 ? = 24 1 ? cos B 1 ? cos B
(3 分)

2(1 ? cos B ) = sin B

4(1 ? cos B) 2 = sin 2 B = (1 ? cos B)(1 ? cos B)
∵1 ? cos B ≠ 0,∴ 4(1 ? cos B) = 1 + cos B,∴ cos B =
(2)∵ cos A + sin C =

3 , 分) (6 5

4 a c 4 ,∴ + = , 即 a + c = 16 . 3 12 12 3 3 4 又∵ cos B = ,∴ sin B = .(8 分) 5 5 1 2 2 a + c 2 128 ∴ S = ac sin B = ac ≤ ( ) = .(10 分) 2 5 5 2 5 128 而 a = c = 8 时, S max = .(12 分) 5

17. (1)设 A 通过体能射击反应分别记为事件 M、N、P 则 A 能够入选包含的下几个互斥事件: MN P, M NP, M NP, MNP.

∴ P ( A) = P ( MN P ) + P ( M NP ) + P ( MNP )

2 2 1 2 1 1 1 2 1 2 2 1 12 2 = × × + × × + × × + × × = = 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2 18 3

(6 分)

24 8 ? 2? ?1? (2) P = C × ? ? × ? ? = = 81 27 ? 3? ? 3?
2 4

2

2

(12 分)

18..解:法一(反证法) (1)假设 AB,CD 共面, 则 AB∥CD 或 AB 与 CD 相交,若 AB∥CD,又 AB∥EF, 则 CD∥EF 矛盾.若 AB ∩ CD = P , 则 P ∈ EF ,∴ AB ∩ EF = P ,矛盾.(6 分) 法二:在 FC上 取一点 M,使 FM = ED , 又 FM

ED , ∴ EFMD 是平行四边形.

∴ DM EF , 又EF MB,∴ DM
则 DM , AB 确定平面 α ,

AB ,

D ∈ α , C ? α , AD ? α ,∴ BC 与 AD 是异面直线.(6 分)
(2)法一:∵ AE ⊥ EF ,平面 ABFE ⊥ 平面 EFCD , ∴ AE ⊥ 平面 EFCD . ∴∠ACE 是直线 AC 与平面 EFCD 所成的角.交 ∠ACE = 30° , AE = 2 .

∴ EC = 2 3 ,又 FC = 2,∴ EF = 2 2 .(8 分)
延长 CD ,EF 相交于 N,过 E 作 EH ⊥ DN 于 H, 连 AH ,则 AH ⊥ DN . ∴∠AHE 是二面角 A ? DE ? E 的平面角,又 DE=1,FC=2, 则 NE = EF = 2 2 .

∴ EH =
.

NE i DE NE 2 + DE 2

=

2 2 AE 2 3 2 22 , tan ∠AHE = = = , cos ∠AHE = 3 EH 2 2 2 11

∴ 二面角 A ? DC ? E 的余弦值是

22 .(12 分) 11

法二:∵ AE ⊥ EF ,面 ABFE ⊥ 面 EFCD,∴ AE ⊥ 平面 EFCD .又 ∠DEF = 90° . 可以以 E 为坐标原点, ED 为 x 轴, EF 为 y 轴, EA 为 z 轴建立空间直角坐标系, 可求 ED = 1, EA = 2, FC = 2 .由于 AE ⊥ 平面 EFCD ,

则 AC 与平面 EFCD 所成角为 ∠ACE . 而 ∠ACE = 30° , AE = 2, 则 EC = 2 3 , 可求 EF = 2 2 .(8 分) 则点 D (1, 0, 0), C (2, 2 2, 0), A(0, 0, 2), DC = (1, 2 2, 0) , DA = ( ?1, 0, 2) , 设平面 ADC 的法向量 n = ( x, y , z ) , 则有 DC in = x + 2 2 y = 0, DAi n = ? x + 2 z = 0 , 可取 n = (2 2, ?1, 2) . 平面 EFCD 的法向量 m = (0, 0,1) . | cos( min) |=|

mi n 2 22 |=| |= . | m || n | 11 8 +1+ 2

即当直线 AC 与平面 EFCD 所成角的大小为 30° 时,二面角 A ? DC ? E 的余弦值为

22 .(12 分) 11
19..解: (1)可求 E :

x2 y 2 + = 1 (5 分) 4 3

设 KM : y = k ( x + 2) ( k ≠ 0) 与 3 x 2 + 4 y 2 ? 12 = 0 联立

(3 + 4k 2 ) x 2 + 16k 2 x + 16k 2 ? 12 = 0
设 M ( x1 , y1 ) ,

16k 2 16k 2 6 ? 8k 2 则 x0 + x1 = ? , x1 = ? +2= 3 + 4k 2 3 + 4k 2 3 + 4k 2
y1 = k ( x + 2) =
∴M(

12k 3 + 4k 2

6 ? 8k 2 12k , ) 3 + 4k 2 3 + 4k 2 1 ( x + 2) (k ≠ 0) , k

设 KN : y = ?

6k 2 ? 8 12k 同理可得: N ( 2 , 2 ? ) (8 分) 3k + 4 3k + 4

k MN =

yM ? y N 7k =? xM ? xN 4(k 2 ? 1)

(k 2 ≠ 1) (10 分)

则 MN : y ?

12k 7k 6 ? 8k 2 =? (x ? ) 3 + 4k 2 4(k 2 ? 1) 3 + 4k 2
7k 2 (x + ) 2 4(k ? 1) 7

化简可得 y = ?

2 2 ,0) ,另 MN 斜率不存在时,也过( ? , 0 ) (13 分) 7 7 2 ∴ 直线 M、N 必过定点 (? , 0) 7 1 1 20.. (1)当 n = 1 时, b1 = ;当 n = 2 时, b2 = . (2 分) 38 39
即 MN 过定点( ? (2)当 1 ≤ n ≤ 25 时, a1 = a2 = ? = an ?1 = an = 1 .

∴ bn =

an 1 1 = = . 38 + a1 + a2 + ? + an ?1 38 + n ? 1 37 + n

(4 分)

当 26 ≤ n ≤ 60

n an 2n 25 . bn = = = 2 , 38 + a1 + ? + a25 + a26 + ? + an ?1 63 + (n ? 26)(n + 25) n ? n + 2500 50

? 1 1 ≤ n ≤ 25 (n ∈ N * ) ? 37 + n , ? ∴ 第 n 天的利润率 bn = ? 2n ?   ≤ n ≤ 60 (n ∈ N * ) 26 2 ? n ? n + 2500 ?
(3)当 1 ≤ n ≤ 25 时, bn = 当 26 ≤ n ≤ 60 时,

(8 分)

1 1 是递减数列,此时 bn 的最大值为 b1 = ; 37 + n 38

4n 2 2 2 2500 = ≤ = (当且仅当 n = ,即 n ? n + 2500 n + 2500 ? 1 2 2500 ? 1 99 n n n = 50 时,“=”成立). (10 分) 1 2 1 又∵ > ,∴ n = 1 时, (bn ) max = . 38 99 38 1 ∴ 该商店经销此纪念品期间,第 1 天的利润率最大,且该天的利润率为 . (12 分) 38 bn =
2

21.解: (1) f ′( x ) = ?3 x 2 + 2ax + b , f ′(1) = ?3 + 2a + b = 0 ∴ b = 3 ? 2a

f '( x) = ?3( x ? 1)[ x ? (

2a 2a ? 1)] = 0 , x1 = 1 , x2 = ?1 3 3

f ( x) 在 x = 1 处有极大值,

2a ?1 < 1 ∴ a < 3 3 4 又 f ( x ) ? = 0 有实根, a ≤ 1 或 a ≥ 5 , 3 ∴ 0 < a ≤ 1 (4 分) 2a (2) f ( x ) 的单调增区间为 ( ? 1,1) 3
则 则 x1 ? x2 = 2 ? [m、n] ? [ x1 , x2 ]

2a ? 4 ? ∈ ,2? 3 ?3 ? ?

∴ m ? n ∈ (0, 2) (8 分)
(3) (方法一)由于 f ( x)在( ?∞, 在(

2a ? 1) 上是减函数, 3

2a ? 1,1) 上是增函数. 3

在 (1, +∞) 上是减函数,而 x ∈ ( ? ∞, 0] , 且

2a 1 ? 1 ∈ (?1, ] . 3 3

f ( x) 在 ( ?∞ , 0] 上的最小值就是 f ( x) 在 R 上的极小值. 2a 4 3 4 2 ? 1) = a ? a + 3a ? 2 + c ≥ c , 3 27 3 4 3 4 2 4 8 4 9 9 得 g (a) = a ? a + 3a + 1, g ′(a ) = a 2 ? a + 3 = ( x ? )(a ? ) , 27 3 9 3 9 2 2 1 在 [ ,1] 上单调递增. 2 1 1 1 3 ∴ g (a ) min = g ( ) = ? + ? 2 > 0 ,不存在. 2 54 3 2 f ( x) min = f (
依上,不存在 a 的取值,使 f ( x) ≥ c 恒成立.(14 分) (方法二) f ( x) ≥ c 等价于 ? x + ax + bx + c ≥ c
3 2

即 ? x + ax + bx ≥ 0 , x ∈ ( ?∞, 0]
3 2

当 x = 0 时,不等式恒成立; 当 x ∈ ( ?∞, 0 ) 时,上式等价于 x ? ax ? b ≥ 0
2

即 x ? ax ? 3 + 2a ≥ 0 , x 2 ? 3 ≥ ( x ? 2) a
2

a≥

x2 ? 3 1 = x?2+ +4 x?2 x?2
1 + x ? 2 + 4 在 ( ?∞, 0 ) 上递增 x?2

g ( x) =

所以 g ( x ) < ?2 + 4 = 2 即 a > 2 而 0 < a ≤ 1 故不存在。 (14 分)


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