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排列组合二项式定理


排列组合、二项式定理
复习纲要

两个计数原理
1、分类加法计数原理:完成一件事,有n类办法,在 第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2 种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法. 那么 完成这件事共有 N ? m1 ? m2 ? ? ? mn 种不同的方 法. 2、分步乘法计数原理:完成一件事,需要分成n个步 骤,

做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的 方法……,做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件 事共有 N ? m1 ? m2 ? ? ? mn种不同的方法.

分类计数原理
区别1 完成一件事,共有n类 办法,关键词“分类”

分步计数原理
完成一件事,共分n个 步骤,关键词“分步”

每类办法都能独立地完成 这件事情,它是独立的、 区别2 一次的、且每次得到的是 最后结果,只须一种方法 就可完成这件事。 区别3

每一步得到的只是中间结果, 任何一步都不能独立完成这件 事,缺少任何一步也不能完成 这件事,只有各个步骤都完成 了,才能完成这件事。
各步之间是互相关联的。

各类办法是互相独立的。

例1 某校组织学生分4个组 从3处风景点中选一处去春游,则 不同的春游方案的种数是 A. C
3 4

B. P

3 4

C. 3

4

D. 4

3

( 选 C.)

1.2:排列与组合 排列:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元 素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元 素中取出m个元素的一个排列。 排列数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所 有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个 m 元素的排列数。用符号 An 表示.

排列数公式: A ? n?n ? 1??n ? 2?? ?n ? m ? 1?
m n

n! ? ?n ? m ? !
其中:n, m ? N * , 并且m ? n.

1.2:排列与组合 组合:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元 素合成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素 的一个组合。 组合数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所 有不同组合的个数叫做从n个不同元素中取出m个 m 元素的组合数。用符号 C n 表示. n?n ? 1??n ? 2?? ?n ? m ? 1? m 组合数公式: C n ? m! n! ? m! ?n ? m ? ! 其中:n, m ? N * , 并且m ? n.

1. n的阶乘n!=①________________. n(n-1)(n-2)…2·1 m n! 2. An =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=②________. m (n - m)! n! An =③__________. 3. C m = n m m !(n - m)! Am 4.组合数的两个性质是:④__________; m n -m Cn ? Cn ⑤_________________. m m-1 m Cn ? Cn ? Cn ? 1 5.规定0!=⑥_____; 0 =⑦_____. 1 Cm 1 6.n(n-1)!=⑧_____. n!

判断一个具体问题是否为组合问题,关键是看取 出的元素是否与顺序有关,有关就是排列,无关便 是组合.判断时要弄清楚“事件是什么”.

组合数性质:

C

m n m n

?C

n? m n

C ?C

m ?1 n

?C

m n ?1

排列组合应用题的常用方法
1、基本原理法 3、捆绑法 5、间接法 7、隔板法 三大原则 2、特殊优先法 4、插空法 6、穷举法

1、先特殊后一般

2、先取后排
3、先分类后分步

相邻问题,常用“捆绑法” 不相邻问题,常用 “插空法” 例:有4个男生和3个女生排成一排,按下列要求各有多少种不 同排法: (1)男甲排在正中间; (2)男甲不在排头,女乙不在排尾;

(3)三个女生排在一起;
(4)三个女生两两都不相邻;

分组问题
问题1:3个小球分成两堆,有多少种分法?
2 1 C 3 C1

问题2:4个小球分成两堆,有多少种分法?
2 2 C4 C2 3 1 C 4 C1 + 2 A2

问题3:6个小球分成3堆,有多少种分法?

平均分成m m 组要除以 Am

C 21C11 C62C42C 22 4 C61C 52C 33 +C 6 2 + A2 A33

分配问题
问题1:3个小球放进两个盒子,每 个盒子至少一个,有多少种放法? 问题2:4本书分给两个同学,每人 至少一本,有多少种放法? 问题3:三名教师教六个班的课,每人 至少教一个班,分配方案共有多少种?
2 2 2 1 1 ? 1 2 3 4 C 2 C1 C 6 C 4 C 2 ? 3 + ? C 6 C 5 C 3 +C 6 ? A3 2 3 A2 A3 ? ?

C C A

2 3

1 1

2 2

2 2 ? 3 1 C4 C2 ? 2 A ? C 4 C1 + 2 ? 2 A2 ? ?

多个分给少个时,采用先分组再分配的策略

例、 从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每 校至少有1人,这样有几种选法?
分析:问题相当于把个30相同球放入6个不同盒子(盒 子不能空的)有几种放法?这类问题可用“隔板法”处 5 理. C29 ? 4095 解:采用“隔板法” 得:

混合问题,先“组”后“排”
例:对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品, 一一进行测试,至区分出所有次品为止,若所有次 品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法 有种可能? 解:由题意知前5次测试恰有4次测到次品,且第5 次测试是次品。故有: 3C 1 A4 ? 576 种可能。 C
4 6 4

练习:1、某学习小组有5个男生3个女生,从中选3名 男生和1名女生参加三项竞赛活动,每项活动至少有1 人参加,则有不同参赛方法______种.
解:采用先组后排方法:
3 1 2 3 C5 ? C3 ? C4 ? A3 ? 1080

2、3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生

体检,每校分配 1 名医生和 2 名护士,不同的分配方
法共有多少种?
解法一:先组队后分校(先分堆后分配)

C C ?A
2 2 6 4

3 3

? 540

解法二:依次确定到第一、第二、第三所学校去的医生和护士.

(C C ) ? (C C ) ?1 ? 540
1 3 2 6 1 2 2 4

涂色问题
例:如图,要给地图A、B、C、D四个区域分 别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜 色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不 同的涂色方案有多少种?

解法一: 按地图A、B、C、D四个区域依 次分四步完成, 第一步, m1 = 3 种, 第二步, m2 = 2 种, 第三步, m3 = 1 种, 第四步, m4 = 1 种, 所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案 种数共有 N = 3 × 2 ×1×1 = 6 种。 解法二: 3种颜色4块区域,则肯定有两块同色, 只能A、D同色,把它们看成一个整体元素,所 以涂色的方法有:

A ? 6(种)
3 3

涂色问题
例3:如图,要给地图A、B、C、D四个区域 分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种 颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色, 不同的涂色方案有多少种?
若用2色、4色、5色 等,结果又怎样呢?

1.3:二项式定理
1、二项定理: 一般地,对于n ?N*有

(a ? b) ? C a ? C a
n 0 n n 1 n

n ?1

b?C a
2 n r

n? 2

b ?
2 n

?? C a
r n

n? r

b ??? C b
n n

通项公式 Tr+1 = C a b
r n-r n
n

r

2 2、 + x) ? 1 + C1 x + Cn x2 + ? + Cr xr + ? + Cn xn (1 n n n

一般地, (a ? b) 展开式的二项式系数
n

C , C , ?C

0 n

1 n

(1) C (2) C

n n 有如下性质: m n?m (对称性) n n

?C

m n

?C

m ?1 n

?C

m n ?1
n 2 n

(3)当n为偶数时, C

最大

当n为奇数时, C
(4) C
0 n 1 n

n ?1 2 = n
n n

C

n ?1 2 n
n

且最大

? C ??? C ? 2

1.3:二项式定理

奇数项二项式系数和 ? 偶数项二项式系数和: C ? C ? C ?? ? C ? C ? C ?? ? 2
0 n 2 n 4 n 1 n 3 n 5 n n ?1

赋值法

x 2 5 1.求: ( ? ) 的有理项 2 x
4 3 2 ( 2.化简:x ? 1) ? 4( x ? 1) ? 6( x ? 1) ? 4( x ? 1) ? 1 ?

.

3.(1 ?

x) ? (1 ? x) ? (1 ? x) ? ? ? (1 ? x)
2 3

15

1820 展开式中含x3项的系数为___________。

2 n 4. ( x ? 2 ) 的展开式中,第五项与第三项的二项式系 x
数之比为14:3,求展开式的常数项

Tr ?1 ? C ( x )
r 10

10? r

2 r r r (? 2 ) ? (?2) C10 x x
1

10?5 r 2

王新敞
奎屯

新疆

( x ? 7 y ) n 展开式的二项式系数之和为128、那么展 5.
开式的项数是 ;各项系数之和为:

近似计算问题
1、计算0.9973 的近似值(精确到0.001)

0.9973= (1-0.003)3 =1?3· 0.003+3· 0.0032?0.0033 ≈1?3· 0.003 =0.991
练习:求2.9986的近似值(精确到小数点后第三位); 2.9986=(3-0.002)6 =36?6·35· 0.002+15· 4· 3 0.0022?20· 3· 3 0.0023+?

≈36?6· 5· 3 0.002+15· 4· 3 0.0022=729?2.916+0.00486
≈ 726.089

余数与整除问题
求:112004被10除的余数。

(10 ? 1)

2004

? C 10
0 2004

2004

? C 10
1 2004

2003

??? C

2003 2004

10 ? C

2004 2004

? 10 ? M ? 1
练:①5510被8除的余数.

②5710被8除的余数.

余数与整除问题
求证:5555+1能被8整除; 因为5555+1=(56?1)55+1=56· M?1+1=56· M,

所以5555+1能被8整除.
求证:42n+1+3n+2能被13整除;

42n+1+3n+2=4· n+9·n 16 3

=4· (13+3)n+9·n 3
=4· M+4·n+9·n 13· 3 3 =4· M+13·n 13· 3
所以42n+1+3n+2能被13整除.

求值、等式与不等式证明问题 3 5 (1)求值:? C5 ? 22 ? C52 ? 24 ? C5 ? 26 ? C54 ? 28 ? C5 ? 210 1 1
1 2 3 4 5 (2)证明: ? 39 C10 ? 38 C10 ? 37 C10 ? 36 C10 ? 35 C10 310

? 3 C ? 3 C ? 3 C ? 3C ? 1024
4 6 10 3 7 10 2 8 10 9 10

⑶求证: 3 ? 2
n

n ?1

(n ? 2)(n ? N , n ? 2)

五、一系列组合数的等式的证明和求值

1、组合数的下标不变,有成等比数列的系数,

用二项式定理、赋值法;
0 n 1 n 2 2 n 3 3 n n n n

例:已知 ? 2C ? 2 C ? 2 C ? ? ? 2 C ? 729, C 求C ? C ? C ? ? ? C 的值。
1 n 2 n 3 n n n

答案:63

2、组合数的下标不变,有成等差数列的系数, k k ?1 用倒加法,或借助于公式: kC ? nC
n n ?1

例:求值 C ? C ? 2C ? 3C ? ? ? nC
0 n 1 n 2 n 3 n n n

3、组合数的下标不变,有成调和数列的系数, 1 用公式: 1 k k ?1

k ?1
例:求证:

Cn ?

n?1

C n?1

1 1 1 2 1 n C ? Cn ? Cn ? ? ? Cn 2 3 n?1 1 n?1 ? (2 ? 1) n?1
0 n

4、组合数的下标递变,上标不变(各项系数 为1) 用裂项相消求和:

C ?C
k n

k n?1

?C

k ?1 n

或C ? C
k n

k ?1 n ?1

?C

k ?1 n

例:求值

C31+C42+C53+C64+‥‥‥+C4139
3=11479 答案:C42

5、一系列组合数的2次积(幂)的和:
构造恒等式或构造一个组合事件,用组 合意义证明或求解

例:
1 2 n 证 明 : n ) 2 ? (C n ) 2 ? (C n ) 2 ? ? ? (C n ) 2 (C 0

?

?2n ?!

n!

n!

1.若n∈N*,且n<10, 则(10-n)(11-n)…(100-n)等于( C ) 10- n 90 A. A100-n B. A100-n

C. A D. A 解:积的个数为(100-n)-(10-n)+1=91. 故选C.

91 100- n

92 100- n

2.若 S ? A1 ? A2 ? A3 ? A4 ? ? ? A100 , 1 2 3 4 100 则S的个位数字是( C ) A. 8 B. 5 C. 3 D. 0 解: 1 =1, 2 =2, 3 =6, 4 =24, A3 A1 A4 A2 而 5 , 6 ,…, 100 的个位数字均为0, A5 A6 A100 从而S的个位数字是3.

3.组合数C (n>r≥1,n、r∈Z)恒等于(
r ? 1 r -1 A. Cn-1 n ?1 C. nrC
r -1 n -1

r n

) D

B. ( n ? 1)( r ? 1)C n r -1 D. Cn-1 r n

r -1 n -1

解:由组合数的变形公式得

r

C

r -1 n -1

. ?C
r n

题型1 排列数、组合数的四则运算 1. 计算下列各式的值:
98 97 A85 ? A84 C100 ? C100 (1) 6 5 ;(2) . 3 A9 - A9 A101

4 A84 ? A84 5 A84 5 A84 5 解:(1)原式= . ? ? ? 5 5 5 4 4 A9 - A9 3 A9 3 ? 9 A8 27 2 3 3 C100 ? C100 C101 1 1. (2)原式= ? 3 ? ? 3 A101 C101 · 3! 6 3

点评:排列数、组合数公式的化简与运 算,就是公式的顺用、逆用和变用的结合.

计算: C

3n 13? n

?C

3n -1 12 ? n

?C

3n -2 11? n

??? C .
17- n 2n

解:据题意, 3n ? 13 ? n ,所以17 ? n ? 13 . 又n∈N*,故n=6.
1 19

17 - n ? 2n

3

2

18 17 16 11 所以原式 ? C19 ? C18 ? C17 ? ? ? C12

?C ? C ? C ??? C
1 18 1 17

1 12

? 19 ? 18 ? 17 ? ? ? 12 ? 124.

题型2

解排列数、组合数方程

2. 解下列方程: -7 2 (1) 3Cxx-3 ? 5 Ax-4 ; (2) C n ?1 ? C n-1 ? C n-2 ? C n .
n ?3 n ?1 n n ?1

解:(1)方程可化为 3 ? ( x - 3)! ? 5 ? ( x - 4)! , ( x - 7)!4! ( x - 6)! 即 3( x - 3) ? 5 ,所以(x-3)(x-6)=40,
4! x-6 2-9x-22=0,所以x=11或x=-2(舍去). 即x

经检验,x=11是原方程的解.

1 (2)方程可化为 Cn2?3 ? Cn2?1 ? Cn2 ? Cn?1 (n ? 2), 2 1 2 2 1 2 即 Cn? 2 ? Cn? 2 ? Cn? 2 ? Cn ,所以 Cn? 2 ? Cn, 即n ? 2 ? n(n -1) ,所以n2-3n-4=0. 2 所以n=4或n=-1(舍去). 故n=4是原方程的解. 点评:解排列数、组合数方程时,一般先把 排列式、组合式化成全排式(阶乘式),然后约去 一些公共因式,得到基本方程,最后求得的解需 符合排列式、组合式的意义.

某参观团共18人,从中选 出2人担任联络工作,要求选出的2人 中至少要有一个男人,而其中有2个老 年男人不能入选,已知符合要求的选 法共有92种,求该参观团男女成员各 多少人?

解:设参观团有女人n个,则男人 有18-n个,且0<n<15,n∈N*. 由已知 C1C1 ? C 2 ? 92, n 16-n 16- n 所以n(16-n)+ 1 (16-n)(15-n)=92, 即n2-n-56=0,2 所以n=8或n=-7(舍去). 故参观团有男人10人,女人8人.

题型3

解排列数、组合数不等式

3. 解下列不等式: x x x -1 (1) A x ? 6 A x -2 (2)C21-4 ? C21-2 ? C21. ; 9 6 解: (1)原不等式可化为 9! 6 ! ,即 9 ? 8 ? 7 ? 6? ? 6, (9 - x)! (8 - x)! 9- x 得-75<x<9. 又1≤x-2≤6,故3≤x≤8,x∈N*. 所以原不等式的解集是{3,4,5,6,7,8}.

(2)原不等式可化为
21! 21! 21 ! ? ? (25 - x)!x - 4)!(23- x)!( x - 2)! (22 - x)!x -1)! ( ( 1 1 ? 即 (25 - x)(24 - x) ( x - 2)( x - 3),



1 1 ? 23 - x x -1

(25 - x)(24 - x)? ( x - 2)( x - 3) 即 , 23 - x? x -1 4 ? x ? 22

由此解得,4≤x<12(x∈N*).所以原 不等式的解集是{x|4≤x<12,x∈N*}. 点评:解排列式、组合式型的不等 式有两个关键之处:一是先转化为常规 的不等式,二是符合公式意义的自然数 解.

求集合M共有多少个子集?

1 1 2 设集合M ? {n | 3 - 4 ? 5 , n ? N *} , Cn Cn Cn

解:不等式可化为
6 24 ? n(n -1)(n - 2) n(n -1)( n - 2)( n - 3) 240 (n ? 5) n(n -1)(n - 2)(n - 3)( n - 4)



4 40 ? 即 1n - 3 (n - 3)(n - 4)



化简得n2-11n-12<0,解得-1<n<12. 因为n≥5,且n∈N*, 所以M={5,6,7,8,9,10,11}, 从而其子集的个数为 0 1 7 =27=128(个). C ? C ? ?? C
7 7 7

参 考 题
题型 证明排列数、组合数恒等式

1. 证明下列等式:
m m m (1) An ? mAn -1 ? An ?1



(2) m ? 1 C m?1 ? n - m ? 1 C m-1 n n n-m m

证明:(1)证法1:
A ? mA
m n m -1 n

n! n! ? ? m? (n - m)! (n - m ? 1)! n !(n - m ? 1) n! ? ? m? (n - m ? 1)! (n - m ? 1)! n! ? ? (n - m ? 1) ? m? (n - m ? 1)! n !(n ? 1) (n ? 1)! ? ? (n - m ? 1)! (n ? 1- m)!
m ? An ?1

证法2:从a1,a2,…,an+1这n+1个不 同元素中任取m个元素作排列, 共有Am 个排列. n ?1 其中含有元素a1的排列数 为 1 ;不含有元素a1的 m-1 m-1 Am ? An ? mAn 排列数为 m . An 由分类计数原理,得 m m -1 m .

An ? mAn ? An ?1

m ? 1 m ?1 m ? 1 n! (2)因为 Cn ? ? n-m n - m (m ? 1)!(n - m -1)! n! m ? ? Cn , m !(n - m)!

n - m ? 1 m-1 n - m ? 1 n! Cn ? ? m m (m -1)!(n - m ? 1)! n! m , ? ? Cn m !(n - m)!

所以 m ? 1

n - m ? 1 m-1 m ?1 Cn ? Cn n-m m

.

题型

化简、求和问题

2. 化简下列各式:
1 2 n (1) + + ? + ; 2! 3! (n ? 1)! m! (m ? 1)! (m ? 2)! (m ? n)! (2) ? . ? ??? 0! 1! 2! n!

解: (1)因为

k (k ? 1) -1 1 1 ? ? , (k ? 1)! (k ? 1)! k ! (k ? 1)!
2 ! 2 3! ! 1 ? n ! ( n ? 1)!? ? ?

所以原式 ? (1- 1 ) ? ( 1 - 1 ) ? ? ? ? 1 ?
1 ? 1(n ? 1)!

.

(m ? n)!? ? (m ? 1)! (m ? 2)! ? ??? (2)原式? m ! ?1 ? ? m! m !2! m !n ! ? ? 0 1 2 n ? m !(Cm ?1 ? Cm ?1 ? Cm ? 2 ? ? ? Cm ? n ) ? m !(C ? m !(C ? m !C
m ?1 m?2 m ?1 m?n

?C

m m?2 m m?n

??? C )
n m ? n ?1

n m?n

)

?C

m ?1 m ? n ?1

? m !C

.

x( x -1) ?( x - m ? 1) 3. 规定 C ? ,其中 m0! m x∈R,m是正整数,且 C =1,这是组合数 Cn x
m x

(n、m是正整数,且m≤n)的一种推广.
(1)求C 的值;
3 ?8
m n (2)组合数的两个性质:① Cn ? Cn -m ; m m m -1 m ② Cn ? Cn ? Cn?1 是否都能推广到 C x(x∈R,

m是正整数)的情形?若能推广,则写出推广 的形式并给出证明;若不能,则说明理由.

(2)性质 ①不能推广. 例如取x= 2 时, 1 有定义, C2 但 C 2 -1 无意义. 2 性质②能推广,其推广形式是 (x∈R,m是正整数). m m -1 m Cx ? Cx ? Cx ?1

-8 ? (-9) ? (-10) 解:(1) C ? ? -120 . 3!
3 -8

0 证明:当m=1时, 1 ? Cx ? x ? 1 ? C1?1 . Cx x 当m≥2时,

C ?C
m x

m -1 x

故②能推广.

x( x -1)( x - 2) ? ( x - m ? 1) ? m! x( x -1)( x - 2) ? ( x - m ? 2) ? (m -1)! x( x -1)( x - 2) ? ( x - m ? 2) ? ? ( x - m ? 1m ? 1) (m -1)! ( x ? 1) x( x -1) ? ( x - m ? 2) ? m! ? C xm?1.


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排列组合二项式定理知识总结

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高中数学 排列组合及二项式定理 知识点和练习

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排列组合二项式定理

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