nbhkdz.com冰点文库

15-16版:三 简单曲线的极坐标方程

时间:2016-05-14



[学习目标]

简单曲线的极坐标方程

1.了解极坐标方程的意义.2.掌握直线和圆的极坐标方程.3.能够根据极坐标方程

研究有关数学问题.

[知识链接] 1.上节课我们学了点的直角坐标与极坐标的互化,若已知一曲线的极坐标方程是 ρ=2cosθ, 那么该曲线对应怎样的几何图形? 答案 由 ρ=2cosθ 得 ρ2=2ρcosθ,即 x2+y2=2x,即标准方程为(x-1)2+y2=1,曲线为以 (1,0)为圆心,半径为 1 的圆. 2.在平面直角坐标系中,若曲线 C 可以用方程为 f(x,y)=0 表示,那么曲线与方程应满足怎 样的关系? 答案 (1) 曲线 C 上点的坐标都是方程 f(x,y)=0 的解; (2)以方程 f(x,y)=0 的解为坐标的点都在曲线 C 上. [预习导引] 1.曲线的极坐标方程 一般地, 在极坐标系中, 如果平面曲线 C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程 f(ρ, θ) =0,并且坐标适合方程 f(ρ,θ)=0 的点都在曲线 C 上,那么方程 f(ρ,θ)=0 叫做曲线 C 的 极坐标方程. 2.常见曲线的极坐标方程 曲线 圆心在极点,半径为 r 的圆 图形 极坐标方程 ρ=r (0≤θ<2π) ρ=2rcosθ 圆心为(r,0),半径为 r 的圆

?-π≤θ<π? 2? ? 2
ρ=2rsinθ (0≤θ<π) (1)θ=α(ρ∈R)或 θ=π+α(ρ∈R) (2)θ=α(ρ≥0)和 θ=π+α(ρ≥0)

π? 圆心为? ?r,2?,半径为 r 的圆

过极点,倾斜角为 α 的直线

ρcosθ=a 过点(a,0),与极轴垂直的直线

?-π<θ<π? ? 2 2?
ρsinθ=a (0<θ<π)

π? 过点? ?a,2?,与极轴平行的直线

要点一 圆的极坐标方程 3π? 例 1 在极坐标系中,求半径为 r,圆心为 C? ?r, 2 ?的圆的极坐标方程. 解 由题意知,圆经过极点 O,OA 为其一条直径,设 M(ρ,θ)为圆上除点 O,A 以外的任意一点,则|OA|=2r,连接 AM,则 OM⊥MA, 在 Rt△OAM 中, |OM|=|OA|cos∠AOM, 3π ? 即 ρ=2rcos? ? 2 -θ?,∴ρ=-2rsinθ, 3π? 经验证,点 O(0,0),A? ?2r, 2 ?的坐标满足上式. 所以满足条件的圆的极坐标方程为 ρ=-2rsinθ. 规律方法 求轨迹方程时,我们常在三角形中利用正弦、余弦定义找到变量 ρ,θ 的关系.

在圆的问题中,经常用到直角三角形中的边角关系. 跟踪演练 1 在圆心的极坐标为 A(4,0),半径为 4 的圆中,求过极点 O 的弦的中点的轨迹. 解 设 M(ρ, θ)是轨迹上任意一点.连接 OM 并延长交圆 A 于点 P(ρ0, θ0), 则有 θ0=θ,ρ0=2ρ. 由圆心为(4,0),半径为 4 的圆的极坐标方程为 ρ=8cosθ, 得 ρ0=8cosθ0.所以 2ρ=8cosθ, 即 ρ=4cosθ. 故所求轨迹方程是 ρ=4cosθ.它表示以(2,0)为圆心,2 为半径的圆. 要点二 射线或直线的极坐标方程 π 例 2 求过点 A(1,0)且倾斜角为 的直线的极坐标方程. 4 解 方法一 如图, π 3π 设 M(ρ, θ)为直线上除点 A 以外的任意一点, 则∠xAM= , ∠OAM= , 4 4 π ∠OMA= -θ, 4

|OM| |OA| 在△OAM 中,由正弦定理得 = , sin∠OAM sin∠OMA 即 ρ 1 = , 3π π sin sin? -θ? 4 4

π ? 2 ∴ρsin? ?4-θ?= 2 , π π 2 ρ(sin cosθ-cos sinθ)= , 4 4 2 化简得 ρ(cosθ-sinθ)=1, 经检验点 A(1,0)的坐标适合上述方程, π 5π 所以满足条件的直线的极坐标方程为 ρ(cosθ-sinθ)=1, 其中, 0≤θ< (ρ≥0)和 <θ<2π(ρ≥0). 4 4 方法二 以极点 O 为直角坐标原点,极轴为 x 轴,建立平面直角坐标系 xOy,直线的斜率 k π =tan =1,直线方程为 y=x-1, 4 将 y=ρsinθ,x=ρcosθ 代入上式,得 ρsinθ=ρcosθ-1, ∴ρ(cosθ-sinθ)=1, π 5π 其中,0≤θ< (ρ≥0)和 <θ<2π(ρ≥0). 4 4 规律方法 解决此类问题一般有两种方法: 一通过运用正弦定理解三角形建立了动点的坐标 所满足的等式,从而集中条件建立了以 ρ,θ 为未知数的方程;二先求出直线的直角坐标方 程,然后通过直角坐标向极坐标的转化公式间接得解,过渡自然,视角新颖,不仅优化了思 维方式,而且简化了解题过程. π 2, ?且平行于极轴的直线方程. 跟踪演练 2 求过 A? ? 4? 解 如图所示,在直线 l 上任意取点 M(ρ,θ). π 2, ? , ∵A? ? 4? π ∴|MH|=2· sin = 2, 4 在 Rt△OMH 中,|MH|=|OM|sinθ,即 ρsinθ= 2, π? 所以,过 A? ?2,4?平行于极轴的直线方程为 ρsinθ= 2,其中 0<θ<π. 要点三 直角坐标方程与极坐标方程的互化 例 3 将下列直角坐标方程与极坐标方程互化. (1)直线 x+y=0; (2)圆 x2+y2+2ax=0(a≠0); (3)ρcosθ=2;(4)ρ=2cosθ;(5)ρ2cos2θ=2.

解 (1)将 x=ρcosθ,y=ρsinθ 代入 x+y=0 得, ρcosθ+ρsinθ=0,∴ρ(cosθ+sinθ)=0,∴tanθ=-1, 3π 7π ∴θ= (ρ≥0)和 θ= (ρ≥0). 4 4 综上所述,直线 x+y=0 的极坐标方程为 3π 7π θ= (ρ≥0)和 θ= (ρ≥0). 4 4 (2)将 x=ρcosθ,y=ρsinθ 代入 x2+y2+2ax=0 得, ρ2cos2θ+ρ2sin2θ+2aρcosθ=0, 即 ρ(ρ+2acosθ)=0,∴ρ=-2acosθ, 所以圆 x2+y2+2ax=0(a≠0)的极坐标方程为 ρ=-2acosθ. (3)∵ρcosθ=2,∴x=2. (4)∵ρ=2cosθ,∴ρ2=2ρcosθ, ∴x2+y2-2x=0,即(x-1)2+y2=1. (5)∵ρ2cos2θ=2,∴ρ2(cos2θ-sin2θ)=2, 即 ρ2cos2θ-ρ2sin2θ=2,∴x2-y2=2. 规律方法 在实践中,由于问题的需要和研究的方便,常需把这两种坐标进行换算,我们有 必要掌握这两种坐标间的互化.在解这类题时,除正确使用互化公式外,还要注意与三角恒 等变换等知识相结合.化为极坐标方程时,如果不加特殊说明,就认为 ρ≥0. 跟踪演练 3 (1)将 x2-y2=a2 化为极坐标方程;

(2)将 ρ=2asinθ 化为直角坐标方程. π (3)将 θ= 化为直角坐标方程. 3 解 (1)直接代入互化公式,ρ2cos2θ-ρ2sin2θ=a2, ∴ρ2cos2θ=a2,这就是所求的极坐标方程. (2)两边同乘以 ρ 得 ρ2=2a· ρsinθ. ∴x2+y2=2ay,这就是要求的直角坐标方程. y π y (3)tanθ= ,∴tan = = 3,化简得 y= 3x(x≥0). x 3 x 要点四 求动点的轨迹方程 例 4 在极坐标系中,从极点 O 作直线与另一直线 l:ρcosθ=4 相交于点 M,在 OM 上取一 点 P,使|OM|· |OP|=12. (1)求点 P 的轨迹方程; (2)设 R 为 l 上任意一点,试求 RP 的最小值. 解 方法一 (1)设动点 P 的极坐标为(ρ,θ),

则点 M 为(ρ0,θ). 12 ∵|OM|· |OP|=12,∴ρ0ρ=12,得 ρ0= . ρ 12 ∵M 在直线 ρcosθ=4 上,∴ρ0cosθ=4.即 cosθ=4, ρ 于是 ρ=3cosθ(ρ>0)为所求的点 P 的轨迹方程. (2)由于点 P 的轨迹方程为 3 ρ=3cosθ=2· cosθ, 2 3 ? 3 所以点 P 的轨迹是圆心为? ?2,0?,半径为2的圆(去掉极点). 又直线 l:ρcosθ=4 过点(4,0)且垂直于极轴,点 R 在直线 l 上,由此可知 RP 的最小值为 1. 方法二 (1)直线 l:ρcosθ=4 的直角坐标方程为 x=4, 设点 P(x,y)为轨迹上任意一点, 4y → → 点 M(4,y0),由OP∥OM得 y0= (x>0). x 又|OM|· |OP|=12,则|OM|2· |OP|2=144, 16y ? ∴(x +y )? ?16+ x2 ?=144,
2 2 2

整理得 x2+y2=3x(x>0), 这就是点 P 的轨迹的直角坐标方程. 3 ? 3 (2)由上述可知,点 P 的轨迹是圆心为? ?2,0?,半径为2的圆(去掉原点). 又点 R 在直线 l:x=4 上,由此可知 RP 的最小值为 1. 规律方法 在直角坐标系中,求曲线的轨迹方程的方法有直译法,定义法,相关点法等.在

极坐标系中,求曲线的极坐标方程以上方法仍然是适用的. π? 跟踪演练 4 在极坐标系中,已知圆 C 的圆心 C? ?3,3?,半径 r=3. (1)求圆 C 的极坐标方程; → → (2)若 Q 点在圆 C 上运动,P 在 OQ 的延长线上,且OQ=2QP,求动点 P 的轨迹方程. 解 (1)设 M(ρ,θ)是圆 C 上任意一点, π 在△OCM 中,∠COM=|θ- |, 3 由余弦定理得|CM|2=|OM|2+|OC|2-2|OM||OC|· cos∠COM, π? ∴32=ρ2+32-2×3×ρcos? ?θ-3?, π? 即 ρ=6cos? ?θ-3?为所求.

(2)设点 Q 为(ρ1,θ1),点 P 为(ρ,θ), → → → → → 由OQ=2QP得OQ=2(OP-OQ), 2 → 2→ ∴OQ= OP,∴ρ1= ρ,θ1=θ, 3 3 π π 2 θ1- ?的方程得 ρ=6cos?θ- ?, 代入圆 ρ1=6cos? 3? ? ? 3? 3 π? 即 ρ=9cos? ?θ-3?为所求.

π 1.在极坐标系中,圆心为(1, ),且过极点的圆的方程是( 2 A.ρ=2sinθ C.ρ=2cosθ 答案 A B.ρ=-2sinθ D.ρ=-2cosθ

)

π 解析 方法一 如图所示,圆心为(1, ),且过极点的圆的半径为 r=1,设圆 2 上任一点 P 的极坐标为(ρ,θ), π? π 易得 ρ=2rcos? ?θ-2?=2cos(2-θ)=2sinθ. 方法二
? ?x=ρcosθ=0, π π 在圆心(1, )中,ρ=1,θ= ,所以圆心的坐标为? 即圆心的坐标 2 2 ?y=ρsinθ=1 ?

为(0,1),圆心到极点的距离为 1,即圆的半径为 1.所以圆的标准方程为 x2+(y-1)2=1,即 x2+y2-2y=0,即 ρ2-2ρsinθ=0,解得 ρ=2sinθ,选 A. 2.极坐标方程(ρ-1)(θ-π)=0(ρ≥0)表示的图形是( A.两个圆 C.一个圆和一条射线 答案 C 解析 由(ρ-1)(θ-π)=0(ρ≥0)得,ρ=1 或 θ=π,其中 ρ=1 表示以极点为圆心,半径为 1 的圆,θ=π 表示以极点为起点与 Ox 反向的射线. 3.在极坐标系中,极点到直线 ρcosθ=2 的距离为. 答案 2 解析 由 ρcosθ=2 得 x=2.所以原点到直线 x=2 的距离为 2.即极点到直线 ρcosθ=2 的距离 为 2. π 8, ?,半径为 5 的圆的极坐标方程. 4.在极坐标系中,求圆心为 A? ? 3? B.两条直线 D.一条直线和一条射线 )

解 在圆上任取一点 P(ρ,θ),那么,在△AOP 中, π ? |OA|=8,|AP|=5,∠AOP=? ?3-θ?. π ? 82+ρ2-52 由余弦定理得 cos? , ?3-θ?= 2×8· ρ π? 即 ρ2-16ρcos? ?θ-3?+39=0 为所求圆的极坐标方程.

1.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的区别 由于平面上点的极坐标的表示形式不惟一,即(ρ,θ),(ρ,2π+θ),(-ρ,π+θ),(-ρ,-π +θ)都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的惟一性明显不同 .所以对于曲线上的点的极 坐标的多种表示形式, 只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程 ρ=θ, π π? π π? ?π π ? ?π π ? ? π 5π? 点 M? 其中, 只有? ?4,4?可以表示为?4,4+2π?或?4,4-2π?或?-4, 4 ?等多种形式, ?4,4? 的极坐标满足方程 ρ=θ. 2.求曲线的极坐标方程,就是在曲线上任找一点 M(ρ,θ),探求 ρ,θ 的关系,经常需利用三 角形知识和正弦、余弦定理来求解.


赞助商链接

...学年人教A版高中数学选修4-4课后习题:1.3简单曲线的极坐标方程...

2017-2018学年人教A版高中数学选修4-4课后习题:1.3简单曲线的极坐标方程_数学_高中教育_教育专区。三 简单曲线的极坐标方程课后篇巩固探究 A组 1.在极坐标系...

人教版数学选修4-4课后练 1.3 简单曲线的极坐标方程 课...

人教版数学选修4-4课后练 1.3 简单曲线的极坐标方程 课末 含答案 - 第一讲 1.3 1.在极坐标系中,圆ρ=-2sin π? ? A.?1,2? ? ? C.(1,0) ...

2016新课标创新人教A版数学选修4-4 1.3 简单曲线的极坐标方程_...

2016新课标创新人教A版数学选修4-4 1.3 简单曲线的极坐标方程_高二数学_数学...|15-0-30| 因为圆心 C 到直线 l 的距离 d= =3. 5 所以|AB|=2 25-...

《简单曲线的极坐标方程》教学设计

简单曲线的极坐标方程》教学设计 - 《简单曲线的极坐标方程》教学设计 一、课标要求 能在极坐标系中给出简单图形 (如过极点的直线、 过极点或圆心在极点的圆...

简单曲线的极坐标方程练习题有答案

简单曲线的极坐标方程练习题有答案 - 简单曲线的极坐标方程 1.在极坐标系中,求出满足下列条件的圆的极坐标方程 圆心位置 圆心在极点(0,0) 半径为 r 圆心在...

简单曲线的极坐标方程(教案)

3.激情投入,高效学习,体验探究、归纳、总结的过程,增强应用数学的能力. 【教学重难点】 简单曲线的极坐标方程的求法 【教学过程】 一、复习、预习自学: 基础知识...

选修4-4《1.3简单曲线的极坐标方程》知能提升演练

选修4-4《1.3简单曲线的极坐标方程》知能提升演练...即ρ2-16ρcos?θ- ?+39=0 为所求圆的极坐标...文档贡献者 蒙霄东 贡献于2017-05-15 1/2 相关...

最新人教版高中数学选修4-4《简单曲线的极坐标方程》知...

最新人教版高中数学选修4-4《简单曲线的极坐标方程》知识讲解 - 三 简单曲线的极坐标方程 1.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线,过极点或圆心在极点的...

2015-2016学年高中数学 1.3简单曲线的极点坐标方程练习...

1.3简单曲线的极点坐标方程练习 新人教A版选修4-4...4y+15=0, 相应的极坐标方程是 ρ-4 3ρ π? ...可通过等式变形找关系. 16.(2014·天津高考理科·...

三《简单曲线(圆和直线)的极坐标方程》导学案

高二数学《选修 4—4 第一章》导学案 编制人: 审核人: 班级: 小组: 姓名: 等级: 三简单曲线(圆和直线)的极坐标方程》导学案 1、《圆的极坐标方程》...