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【优化方案】2016年高中数学 第三章 概率 3.2.2(整数值)随机数(random numbers)的产生学案 新人教A版必修3


3.2.2

(整数值)随机数(random numbers)的产生

1.问题导航 (1)什么叫随机数、伪随机数? (2)随机数如何产生? (3)随机模拟方法又叫什么方法?随机模拟有什么好处? 2.例题导读 通过对例 6 的学习,学会如何用随机模拟的方法求解非古典概型的概率.

1.随机数 * 要产生 1~n(n∈N

)之间的随机整数,把 n 个大小形状相同的小球分别标上 1,2,3,?, n,放入一个袋中,把它们充分搅拌,然后从中摸出一个,这个球上的数就称为随机数. 2.伪随机数 计算机或计算器产生的随机数是依照确定算法产生的数,具有周期性(周期很长),它们 具有类似随机数的性质.因此,计算机或计算器产生的并不是真正的随机数,我们称它们为 伪随机数. 3.随机数产生的方法 (1)用计算器产生;(2)用计算机产生;(3)抽签法产生.

1.用随机模拟方法得到的频率( ) A.大于概率 B.小于概率 C.等于概率 D.是概率的近似值 解析:选 D.频率是概率的近似值,故 D 正确. 2 .用计算器或计算机的随机函数可以产生从整数 a 到整数 b 的取________值的随机 数.( ) A.实数 B.有理数 C.整数 D.小数 答案:C 3.一个小组有 6 位同学,选 1 位小组长,用随机模拟方法估计甲被选中的概率,给出下 列步骤: ①统计甲的编号出现的个数 m; ②将 6 名同学编号 1,2,3,4,5,6; ③利用计算机或计算器产生 1 到 6 之间的整数随机数,统计个数为 n; ④则甲被选中的概率近似为 . 其正确步骤顺序为________(写出序号).

m n

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解析:正确步骤顺序为:②③①④. 答案:②③①④ 4.随机模拟方法的基本思想是什么? 解:随机模拟方法是通过将一次试验所有可能发生的结果数字化,由计算机或计算器产 生的随机数来替代每次试验的结果,其基本思想是:用产生整数值随机数的频率估计事件发 生的概率.

1.利用计算机或计算器做随机模拟试验,可以解决非古典概型的概率求解问题. 2.对于某些试验,如果亲手做大量重复试验的话,花费的时间太多,因此利用计算机或 计算器做随机模拟试验可以大大节省时间. 3.随机函数 RANDBETWEEN(a,b)产生从整数 a 到整数 b 的取整数值的随机数.

随机数的产生方法 某校高一全年级共 25 个班 1 200 人,期末考试时,如何把学生分配到 40 个考场中 去? [解] 要把 1 200 人分到 40 个考场中去,每个考场 30 人,首先要把全体学生按一定顺 序排成一列,然后从 1 号到 30 号去第 1 考场,31 号到 60 号去第 2 考场,?,人数太多,如 果用随机数表法给每个学生找一个考试号,太费时费力,我们可以用随机函数给每一个学生 一个随机号数,然后再按号数用计算机排序即可. (1)按班级、学号顺序把学生档案输入计算机. (2)用随机函数 RANDBETWEEN(1,1 200)按顺序给每个学生一个随机数(每个人的都不同). (3)使用计算机排序功能按随机数从小到大排列,即可得到考试号从 1 到 1 200 人的考试 序号(注:1 号应为 0001,2 号应为 0002,用 0 补足位数.前面再加上有关信息号码即可). 方法归纳 (1)解决此题的关键是用随机函数给每个学生一个随机数作为序号. (2)常见产生随机数的方法比较 方法 优 劣 抽签法 保证机会均等 耗费大量人力,物力 用计算器或计算机产生 操作简单,省时省力 由于是伪随机数,不能保证等可能性

1.全班 50 人,试用随机数把他们排成一列. 解: 给 50 名同学编号 1, 2, 3, ?, 50, 用计算器的 RANDI(1, 50)或计算机的 RANDBETWEEN(1, 50)产生 50 个不重复的取整数值的随机数,排成一列,即为 50 名学生的排列顺序(如 10,5, 21,7,?,表示 10 号在第一位,5 号在第二位,21 号在第三位,?).

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随机模拟法估计概率 种植某种树苗,成活率为 0.9,现采用随机模拟的方法估计该树苗种植 5 棵恰好 4 棵成活的概率,先由计算机产生 0 到 9 之间取整数值的随机数,指定 1 至 9 的数字代表成活, 0 代表不成活,再以每 5 个随机数为一组代表 5 次种植的结果.经随机模拟产生 30 组随机数: 69 801 66 097 77 124 22 961 74 235 31 516 29 747 24 945 57 558 65 258 74 130 23 224 37 445 44 344 33 315 27 120 21 782 58 555 61 017 45 241 44 134 92 201 70 362 83 005 94 976 56 173 34 783 16 624 30 344 01 117 据此估计,该树苗种植 5 棵恰好 4 棵成活的概率为________. (链接教材 P132 例 6) [解析] 由题意知模拟 5 次种植的结果,经随机模拟产生了 30 组随机数,在 30 组随机 数中表示种植 5 棵恰好 4 棵成活的有:69 801,66 097,74 130,27 120,61 017,92 201, 70 362,30 344,01 117,共 9 组随机数, 9 ∴所求概率约为 =0.30. 30 [答案] 0.30 [互动探究] 在本例中,若树苗成活的概率是 0.8,则 5 棵树苗至少有 4 棵成活的概率约 是多少? 解:利用计算器或计算机可以产生 0 到 9 之间取整数值的随机数,我们用 0 和 1 代表不 成活,2 到 9 的数字代表成活,这样可以体现成活率是 0.8.因为是种植 5 棵,所以每 5 个随 机数作为一组.例如,产生 20 组随机数: 23 065 37 052 89 021 34 435 77 321 33 674 01 456 12 346 22 789 02 458 99 274 22 654 18 435 90 378 39 202 17 437 63 021 67 310 20 165 12 328 这就相当于做了 20 次试验,在这些数组中,如果至多有一个是 0 或 1 的数组表示至少有 4 棵成活, 共有 15 组, 于是我们得到种植 5 棵树苗至少有 4 棵成活的概率近似为 15÷20=0.75. 方法归纳 估计非古典概型的概率要设计恰当的试验方法,并且使试验次数尽可能多,这样才与实 际概率更接近.

2.某人玩射击游戏,每次击中目标的概率都是 0.8,他射击 4 次,求至少击中 3 次的概 率. 解:利用计算器或计算机产生 0 到 9 之间取整数值的随机数,我们用 0、1 代表没有击中 目标,2 到 9 代表击中目标,这样体现击中目标的概率是 0.8.因为射击 4 次,所以每 4 个随 机数作为一组,可产生 N 组随机数,在这些数组中,至少有 3 个大于 1 的数的数组的个数为

N1 N1,然后计算 fn(A)= ,即为至少击中目标 3 次概率的近似值. N

易错警示

随机模拟数含义不明致误

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天气预报说,在今后的三天中,每一天下雨的概率均为 40%,用随机模拟的方法估 计这三天中恰有两天下雨的概率.可利用计算机产生 0 到 9 之间的整数值的随机数,如果我 们用 1,2,3,4 表示下雨,用 5,6,7,8,9,0 表示不下雨,顺次产生的随机数如下: 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 631 257 393 027 556 488 730 113 137 989 则这三天中恰有两天下雨的概率约为( ) A. C. 13 20 9 20 B. 7 20

11 D. 20

[解析] 由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果,经随机模拟产生了 20 组随机数,在 这 20 组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有:191,271,932,812,631,393,137,共 7 7 组随机数,∴所求概率为 . 20 [答案] B [错因与防范] 本题易错点有两处:一是错误的理解数字的代表意义,将 1,2,3,4 理解为不下雨,5, 6,7,8,9,0 理解为下雨;二是理解随机数的意义出错或数据统计错误. (1)解决此类题目时正确设计试验,准确理解随机数的意义是解题的基础和关键. (2)认真统计数据,确保数据准确是解题的保证.

3.(1)在利用整数随机数进行随机模拟试验中,a 到 b 之间的每个整数出现的可能性是 ________. 解析:[a,b]中共有 b-a+1 个整数,每个整数出现的可能性相等,所以每个整数出现 的可能性是 答案: 1 . b-a+1 1 b-a+1

(2)抛掷两颗骰子,计算: ①事件“两颗骰子点数相同”的概率; ②事件“点数之和等于 7”的概率; ③事件“点数之和等于或大于 11”的概率; ④设计一个用计算器或计算机模拟前三小题试验的方法,估计它们的概率. 解:分别记①,②,③中的事件为 A、B、C,抛掷两颗骰子共有 36 个不同结果,对应 36 个基本事件.

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①因为事件 A 含有(1,1);(2,2);(3,3);(4,4);(5,5);(6,6)共 6 个基本事件, 6 1 所以 P(A)= = . 36 6 ②因为事件 B 含有(1,6);(2,5);(3,4);(4,3);(5,2);(6,1)共 6 个基本事件, 6 1 所以 P(B)= = . 36 6 3 1 ③因为事件 C 含有(5,6);(6,5);(6,6)共 3 个基本事件,所以 P(C)= = . 36 12 ④因为抛掷两次相当于一次试验,所以应把用计算器随机函数 RANDI(1,6)或计算机随机 函数 RANDBETWEEN(1,6)产生的 1 到 6 之间的随机整数且连续产生两个作为一组. 重复上面试验过程,统计出产生的 n 组随机数,再统计出这几组中满足事件 A、B、C 中 各自所含的基本事件的组数 N1,N2,N3. 计算 , , 就分别得到了 P(A),P(B),P(C)的近似值.

N1 N2 N3 N N N

1.用随机模拟方法估计概率时,其准确程度决定于( ) A.产生的随机数的大小 B.产生的随机数的个数 C.随机数对应的结果 D.产生随机数的方法 解析:选 B.用随机模拟方法估计概率时,其准确程度决定于产生的随机数的个数.故选 B. 2.抛掷一枚骰子两次,用随机模拟方法估计点数和为 7 的概率,共进行了两次试验,第 1 次产生了 60 组随机数,第 2 次产生了 200 组随机数,那么两次估计的结果相比较( ) A.第 1 次准确 B.第 2 次准确 C.两次的准确率相同 D.无法比较 解析:选 B.用随机模拟方法估计概率时,产生的随机数越多,估计的结果越准确.故选 B. 3.某班有 6 个小组,每个小组内有 8 人,每个小组被分配去做不同的事情,其中第 4 小 组被分配去绿化浇水(共有 6 个不同任务)的概率是( ) A. C. 1 2 1 8 B. D. 1 6 1 48

解析:选 B.有 6 个小组,被分配去做 6 件不同的事情,每个小组做某事的概率相同,都 1 是 .故选 B. 6 4.一个小组有 6 位同学,选 1 位小组长,用随机模拟方法估计甲被选中的概率,按下面 步骤: ①把 6 位同学编号为 1~6;②利用计算器或计算机产生 1 到 6 的整数随机数;③统计总 试验次数 N 及甲的编号出现的次数 N1;④计算频率 fn(A)= ,即为甲被选中的概率的近似值;

N1 N

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N1 1 ⑤ 一定等于 .其中步骤错误的是( N 6
A.②④ C.⑤

) B.①③④ D.①④

解析:选 C.概率是频率的稳定值,频率是概率的近似值,频率不一定等于概率, 不一 1 定等于 .故选 C. 6

N1 N

[A.基础达标] 1.某银行储蓄卡上的密码是一个 6 位数号码,每位上的数字可以在 0~9 这 10 个数字中 选取.某人未记住密码的最后一位数字,如果随意按密码的最后一位数字,则正好按对密码 的概率是( ) A. C. 1 6 10 1 2 10 B. D. 1 5 10 1 10

1 解析:选 D.只考虑最后一位数字即可,从 0 到 9 这 10 个数字中随机选一个的概率为 . 10 2.袋子中有四个小球,分别写有“幸”“福”“快”“乐”四个字,有放回地从中任取 一个小球,取到“快”就停止,用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率:先由计算器 产生 1 到 4 之间取整数值的随机数,且用 1,2,3,4 表示取出小球上分别写有 “幸”“福”“快”“乐”四个字,以每两个随机数为一组,代表两次的结果,经随机模拟 产生了 20 组随机数: 13 24 12 32 43 14 24 32 31 21 23 13 32 21 24 42 13 32 21 34 据此估计,直到第二次就停止的概率为( ) A. C. 1 5 1 3 B. D. 1 4 1 2

解析:选 B.由随机模拟产生的随机数可知,直到第二次停止的有 13,43,23,13,13 共 5 1 5 个基本事件,故所求的概率为 P= = . 20 4 3.(2015·临沂高一检测)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为 a,从{1,2,3}中随 机选取一个数为 b,则 b>a 的概率是( ) A. C. 4 5 2 5 B. D. 3 5 1 5

解析:选 D.设 Ω ={(a,b)|a∈{1,2,3,4,5},b∈{1,2,3}},包含的基本事件总
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3 数 n=15,事件“b>a”为{(1,2),(1,3),(2,3)},包含的基本事件数为 3,其概率 P= 15 1 = . 5 4. 已知某射击运动员每次击中目标的概率都是 0.8.现采用随机模拟的方法估计该运动员 射击 4 次,至多击中 1 次的概率:先由计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数,指定 0,1 表示没有击中目标,2,3,4,5,6,7,8,9 表示击中目标;因为射击 4 次,故以每 4 个随 机数为一组,代表射击 4 次的结果.经随机模拟产生了 20 组随机数: 5 727 0 293 7 140 9 857 0 347 4 373 8 636 9 647 1 417 4 698 0 371 6 233 2 616 8 045 6 011 3 661 9 597 7 424 6 710 4 281 据此估计,该射击运动员射击 4 次至多击中 1 次的概率为( ) A.0.95 B.0.1 C.0.15 D.0.05 解析:选 D.该射击运动员射击 4 次至多击中 1 次,故看这 20 组数据中含有 0 和 1 的个数 1 多少,含有 3 个或 3 个以上的有 1 组数,故所求概率为 =0.05. 20 5.甲、乙两人一起去游某公园,他们约定,各自独立地从 1 号到 6 号景点中任选 4 个进 行游览,每个景点参观 1 小时,则最后一小时他们同在一个景点的概率是( ) A. C. 1 36 5 36 B. D. 1 9 1 6

解析:选 D.甲、乙最后一小时他们所在的景点共有 36 种情况,甲、乙最后一小时他们同 在一个景点共有 6 种情况. 由古典概型的概率公式知最后一小时他们同在一个景点的概率是 P 6 1 = = . 36 6 6.从长度分别为 2,3,4,5 的四条线段中任意取出三条,则以这三条线段为边可以构 成三角形的概率是________. 解析:从四条线段中任取三条有 4 种取法:(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4, 5),其中能构成三角形的取法有 3 种:(2,3,4),(2,4,5),(3,4,5),故所求的概率为 3 . 4 3 答案: 4 7.抛掷两枚相同的骰子,用随机模拟方法估计向上面的点数和是 6 的倍数的概率时,用 1,2,3,4,5,6 分别表示向上的面的点数,用计算器或计算机分别产生 1 到 6 的两组整数 随机数各 60 个,每组第 i 个数组成一组,共组成 60 组数,其中有一组是 16,这组数表示的 结果是否满足向上面的点数和是 6 的倍数:________.(填“是”或“否”) 解析:16 表示第一枚骰子向上的点数是 1,第二枚骰子向上的点数是 6,则向上的面的点 数和是 1+6=7,不表示和是 6 的倍数. 答案:否 8.从集合{a,b,c,d}的子集中任取一个,这个集合是集合{a,b,c}的子集的概率是

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________. 解析:集合{a,b,c,d}的子集有?,{a},{b},{c},{d},{a,b},{a,c},{a,d}, {b,c},{b,d},{c,d},{a,b,c},{a,b,d},{b,c,d},{a,c,d},{a,b,c,d}, 共 16 个,{a,b,c}的子集有?,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c},共 1 8 个,故所求概率为 . 2 1 答案: 2 9.甲、乙两支篮球队进行一局比赛,甲获胜的概率为 0.6,若采用三局两胜制举行一次 比赛,试用随机模拟的方法求乙获胜的概率. 解:利用计算器或计算机生成 0 到 9 之间取整数值的随机数,用 0,1,2,3,4,5 表示 甲获胜;6,7,8,9 表示乙获胜,这样能体现甲获胜的概率为 0.6.因为采用三局两胜制,所 以每 3 个随机数作为一组.例如,产生 30 组随机数(可借助教材 103 页的随机数表). 034 743 738 636 964 736 614 698 637 162 332 616 804 560 111 410 959 774 246 762 428 114 572 042 533 237 322 707 360 751 就相当于做了 30 次试验.如果恰有 2 个或 3 个数在 6,7,8,9 中,就表示乙获胜,它 们分别是 738,636,964,736,698,637,616,959,774,762,707,共 11 个.所以采用 11 三局两胜制,乙获胜的概率约为 . 30 10.试用随机数把 a,b,c,d,e 五位同学排成一列. 解:要把五位同学排成一列,就要确定这五位同学所在的位置.可以赋给每位同学一个 座号,让他们按照座号排成一列即可. (1)用计算器的随机函数 RANDI(1,5)或计算机的随机函数 RANDBETWEEN(1,5)产生 5 个 不同的 1 到 5 之间的取整数值的随机数,即依次为 a,b,c,d,e 五名同学的座号. (2)按照座号由小到大的顺序排成一列即为一种排法. [B.能力提升] 1.从 1,2,3,4,5,6 六个数中任取 2 个数,则取出的两个数不是相邻自然数的概率 是( ) A. C. 3 5 1 3 B. D. 2 5 2 3

解析:选 D.从六个数中任取 2 个,则有 15 个基本事件,其中取出的两个数是相邻自然数 5 2 有 5 种情况,故 P=1- = . 15 3 2. 已知某运动员每次投篮命中的概率为 40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投 篮恰有两次命中的概率:先由计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数,指定 1,2,3,4 表 示命中,5,6,7,8,9,0 表示不命中;再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果.经 随机模拟产生了如下 20 组随机数: 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989

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据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率约为( ) A.0.35 B.0.25 C.0.20 D.0.15 解析:选 B.该随机数中,表示三次投篮,两次命中的有:191,271,932,812,393,共 5 1 5 组,故所求概率约为 = =0.25. 20 4 3.(2015·山东烟台模拟)设集合 P={x,1},Q={y,1,2},P? Q,x,y∈{1,2,3,?, 9}.在直角坐标平面内,从所有满足这些条件的有序实数对(x,y)所表示的点中任取一个, 2 2 2 2 2 其落在圆 x +y =r 内的概率恰为 ,则 r 可取的整数是________. 7 解析:满足条件的点有(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(2,8),(2,9), 2 (3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(7,7),(8,8),(9,9),共 14 个.欲使其点落在 x +

y2=r2 内的概率为 ,则这 14 个点中有 4 个点在圆内,所以只需 29<r2≤32,故 r2=30 或 31
或 32. 答案:30,31,32 4.通过模拟试验产生了 20 组随机数: 6830 3013 7055 7430 7740 4422 7884 2604 3346 0952 6807 9706 5774 5725 6576 5929 9768 6071 9138 6754 如果恰有三个数在 1,2,3,4,5,6 中,则表示恰有三次击中目标,问四次射击中恰有 三次击中目标的概率约为________. 解析:因为表示三次击中目标分别是 3013,2604,5725,6576,6754,共 5 个数.随机 5 数总共 20 个,所以所求的概率近似为 =25%. 20 答案:0.25 5.一个学生在一次竞赛中要回答的 9 道题是这样产生的:从 20 道物理题中随机抽 4 道; 从 15 道化学题中随机抽 3 道;从 12 道生物题中随机抽 2 道.使用合适的方法确定这个学生 所要回答的三门学科的题的序号(物理题的编号为 1~20,化学题的编号为 21~35,生物题的 编号为 36~47). 解:用计算器的随机函数 RANDI(1,20)或计算机的随机函数 RANDBETWEEN(1,20)产生 4 个不同的 1 到 20 之间的整数随机数(如果有一个重复,重新产生一个);再用计算器的随机函 数 RANDI(21,35)或计算机的随机函数 RANDBETWEEN(21,35)产生 3 个不同的 21 到 35 之间的 整数随机数;用计算器的随机函数 RANDI(36,47)或计算机的随机函数 RANDBETWEEN(36,47) 产生 2 个不同的 36 到 47 之间的整数随机数,就得到 9 道题的题号. 6.(选做题)某人有 5 把钥匙,其中 2 把能打开门,现随机地取 1 把钥匙试着开门,不能 开门就扔掉, 问第三次才打开门的概率是多少?如果试过的钥匙不扔掉, 这个概率又是多少? 设计一个试验,随机模拟估计上述概率. 解:用计算器或计算机产生 1 到 5 之间的整数随机数,1,2 表示能打开门,3,4,5 表 示打不开门. (1)三个一组(每组数字不重复),统计总组数 N 及前两个大于 2,第三个是 1 或 2 的组数

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N1 N1,则 即为不能打开门,即扔掉,第三次才打开门的概率的近似值. N
(2)三个一组(每组数字可重复),统计总组数 M 及前两个大于 2,第三个为 1 或 2 的组数

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M1 M1,则 即为试过的钥匙不扔掉,第三次才打开门的概率的近似值. M

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