nbhkdz.com冰点文库

1.2.2空间中的平行关系

时间:2015-04-01


空间中的平行关系

学习目标: ①了解空间直线平行的有关概 念。 ②理解并掌握平面基本性质4.

③理解并掌握等角定理。
重点:⑴基本性质4 ⑵等角定 理 难点:等角定理的应用中确定 两角方向相同。

一. 平行直线

1. 平行直线的定义:同一平面内不相交的 两条直线叫做平行线. 2.

平行公理:过直线外一点有且只有一条 直线和这条直线平行.

基本性质4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 若a∥b,b∥c, 则 a∥c。
c
a

b

α

性质4又叫做空间平行线的传递性

等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别 平行,并且方向相同,那么这两个角相等.
已知:?BAC和?B' A' C '的边AB // A' B' , AC // A' C ' ,

因为: AD// A' D' , 所以: AA' D' D是平行四边形 .

求证: ?BAC ? ?B' A' C' 并且角的方向相同 . 证明 : 截取线段A' D ' ? AD, A' E ' ? AE.
D. ' B'
' '

可得 : AA //DD . .
' ' 同理可得 : AA // EE . .

A'

β

E. '

C'

于是: DD //EE .
因此 : DD' E ' E是平行四边形 .

'

'

.D B
A
α

可得 : DE ? D E . ' ' ' 于是 : ?ADE ? ?A D E .
' '

E

.

C

因此 : ?BAC ? ?B ' A'C ' .

推论1如果一个角的两边和另一个 角的两边分别平行,一组边的方向 相同,而另一组边的方向相反,又 如何?

γ
α

β

? ?? ? ? ? ?,?互补 ? , ?互补?

如果两条相交直线和另两条相交直 线分别平行,它们成的角有何关系?

γ

α

推论 2 如果两条相交直线和另两条

相交直线分别平行,那么这两组直 线所成的锐角(或直角)相等.
γ

α

空间四边形:如图(1)所示:顺次连接不共面的四点 A,B,C,D所构成的图形,叫做空间四边形.这四个点中 的各个点叫做空间四边形的顶点;所连接的相邻顶点 间的线段叫做空间四边形的边;连接不相邻的顶点的 线段叫做空间四边形的对角线.空间四边形用表示顶 点的四个字母表示.如图(2)中的空间四边形ABCD,线 段AC,BD是它的对角线.
A A

B C

D B C

D

(1)

(2)

例1:已知空间四边形 ABCD中,E,F,G,H分别是边的 AB,BC,CD,DA 的 中点 . 求证:四边形 EFGH 是平行 四边形

证明: 在?ABD中, 因为: E, H分别是AB, AD的中点 ,
1 所以 : EH // BD , EH ? BD. 2 1 同理 , FG // BD , 且FG ? BD. 2
E A

H D

所以: EH // FG, EH ? FG.

B F C

G

所以: 四边形EFGH是平行四边形 .

练习 题
(1) 下列结论正确的是( D ) A.若两个角相等,则这两个角的两边分别 平行 B.空间四边形的四个顶点可以在一个平面 内 C.空间四边形的两条对角线可以相交 D.空间四边形的两条对角线不相交

(2) 下面三个命题, 其中正确的个数是( D )

①三条相互平行的直线必共面; ③若四边形有一组对角都是直角,则这个四 边形是圆的内接四边形 A. 1个
C. 3个

②两组对边分别相等的四边形是平行四边形;

B. 2个
D. 一个也不正确

(3).空间两个角α、β, α与β的两边对应平行, 且α=600, 则β等( ) D A. 60° B. 120° C. 30° D. 60°或120° (4)若空间四边形的对角线相等,则以它的四 条边的中点为顶点的四边形是( B ) A.空间四边形 B.菱形 C.正方形 D.梯形

5. 设AA1是正方体的一条棱,这个正方 3 体中与AA1 平行的棱共有___条.

6. 如果OA∥O1A1, OB∥O1B1 ,那么
∠AOB与∠A1O1B1 ( C ) B.互补 D.以上答案都不对

A.相等 C.相等或互补

7.如图,已知 AA1, BB1, CC1 ,不共面 且AA1∥BB1, BB1∥CC1 ,AA1=BB1, BB1= CC1. 求证:△ABC ≌ △A1B1C1.
A1 A

B1 C1

B

C

线面位置关系
直线在平面内 有无数个公共点 有且仅有一个公 共点

直线和平面相交 直线和平面平行

没有公共点

平行于同一平面的二直线的 位置关系是 ( )

D

(A) 一定平行 (B) 平行或相交 (C) 相交

(D) 平行,相交,异面

(1)点A是平面?外的一点,过A 和平面?平行的直线有 无数 条。

A α

(2)点A是直线l 外的一点,过A和 直线l 平行的平面有 无数 个。

A

(3)过两条平行线中的一条和另 一条平行的平面有 无数 个。

(4)过两条异面直线中的一条和 另一条平行的平面有 且仅有一 个。

(5)如果l1 // l2 , l1 平行于平面?, 则 l2 平面? ? 或 //
l2

l1 ? l2

(6)如果两直线a ,b 相交,a平行 于平面?,则b与平面?的位置关系 相交或平行 。 是
b

a
b

?

感知定理
观察 问题1、观察开门与关门, 门的两 边是什么位置关系.当门绕着一边 转动时,此时门转动的一边与门框 所在的平面是什么位置关系?

l

动手 体验
l

问题2、请同学门将一本书平放 在桌面上,翻动书的封面,观察 封面边缘所在直线l与桌面所在的 平面具有怎样的位置关系?桌面 内有与l 平行的直线吗?

探究 归纳

问题 3、根据以上实例总结在 什么条件下一条直线和一个平 面平行?

如果平面外一条直线和这个平面内的一 条直线平行,那么这条直线和这个平面 平行

线面平行判定定理——如果平面外
一条直线和这个平面内的一条直线平行, 那么这条直线和这个平面平行。

已知:a??? b??? a//b 求证:a//?
(1) a,b确定平面?,???=b (2) 假设a与?不平行 则a与?有公共点P 则P? ???=b (3) 这与已知a//b矛盾 ? (4) ∴a // ?

a b

?

P

直线与平面平行的判定定理: 平面外的一条直线与此平面内的一条直线平 行,则该直线与此平面平行. 解读定理

a
线线平行 线面平行
?

b

将线面平行转化为线线平行 符号表示: 即:a? ? a //? b? ?? 将空间问题转化为平面问题 b//a 三个条件不能少

例2.已知空间四边形ABCD中, E,F分别为AB,AD

的中点
求证:EF//平面BCD. 证明:如图,连接BD,在△ABD中, A F D C

因为 E,F分别为AB,AD的中点, E 所以 EF ∥BD, 又因为BD ? 平面BCD, B EF ? 平面BCD,
所以 EF ∥平面BCD。

规律总结
1.要证明直线与平面平行可以运用线面平行的判定 线线平行 线面平行 定理;
2.能够运用定理的条件要满足三个条件: “一线面内、 一线面外、 a ?? 两线平行” a // ? b??
b // a

3.运用定理的关键找平行线;找平行线又经常会用到 三角形中位线、梯形的中位线、平行四边形、平行线 的判定定理,平行公理.(一般题中有中点再找中点,有 分点再找分点得平行关系.) 4.数学思想方法: 转化化归的思想方法:

将线面平行转化为线线平行

将空间问题转化为平面问题

如图,空间四面体P-ABC, M,N分 别是面PCA和面PBC的重心 求 证:MN//面BCA

∵MN// EF
∴ MN //面BCA

P

线线平行 线面平行
E

F

在正方体AC1中,E 为DD1的中点,求证: DB1//面A1C1E
D1
A1

F
B1

C1

∵DB1 // EF ∴ DB1 //面A1C1E

E
D A B C

线线平行

线面平行

在正方体AC1中,O为 平面ADD1A1的中心, 求证:CO // 面A1C1B
D1
A1 C1

B1 O
D

F
C

A

B

线面平行的性质
(1)如果一条直线与一个平面平行,则 这条直线与这个平面无公共点 (2)如果一条直线与一个平面平行,则 这条直线与这个平面内的直线成异面 直线或平行直线 (3)如果一条直线与一个平面平行,经 过这条直线的平面和这个平面相交, 则这条直线与交线平行。

思考: 如果一条直线与平面平行,那么 由直线与平面平行可知,这条直线与这个平面内
的任意一条直线都没有公共点,所以它们只能平 这条直线是否与这平面内的所有直线都 行或异面。 平行?
a c

?

b

那么直线a会与平面?内那些线平行呢?

请观察长方体中A1B1 、 AB和平面ABB1A1 、平 面ABCD的位置关系,你能从中得到什么启发?
D1

C1

A1 D

B1

C

E
A B

F

直线和平面平行的性质定理

如果一条直线和一个平面平行,经过这 条直线的平面和这个平面相交,那么这 条直线和交线平行。

a??? , a ? ?, ? ?? ?b
注意:

a // b
a b

1、定理三个条件缺一不可。

2、简记:线面平行 线线平行。

已知:l //α,l

?β,α∩β=m,
? ?
l m

求证:l //m. 证明:因为l //α,所以
l与α没有公共点,

又因为m在α内,所以l与m也没有公共点. 因为l和m都在平面β内,且没有公共点, 所以l //m. 这条定理,由“线面平行”去判断“线线平 行”

性质延伸:1如果平面外的两条平 行线中的一条与这个平面平行, 则另一条直线与这个平面也平行

a
c

b

性质延伸2如果一条直线和两个相 交平面都平行,则这条直线与它们 的交线平行
已知:a // ?, a// ? ,? ? ?=l

?

a
?

则:a // l

b l
c

例3. 求证:如果过一个平面内一点的直线 平行于与该平面平行的一条直线,则这条 直线在这个平面内。 已知:l //α,点P∈α,P∈m,m // l, 求证:m ? α. 证明:设l与P确定的平面为β, 且α∩β=m’, 则l //m’,又知l //m, m∩m’=P,
l

?

?

m'

P

m

由平行公理可知,m与m’重合. 所以m ? α.
l

?

?

m'

P

m

(1)以下命题 (其中a,b表示直线,?表示平面)

练习:

①若a∥b,b??,则a∥? ②若a∥?,b∥?,则a∥b ③若a∥b,b∥?,则a∥? ④若a∥?,b??,则a∥b

其中正确命题的个数是(A) (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个

(2)下列命题中正确的个数是(B )

①若直线 l上有无数个点不在平面α内,则

l // α

②若直线 l 与平面α平行,则 l与平面α内的 任意一条直线平行 ③如果两条平行直线中的一条与一个平面平 行,那么另一条也与这个平面平行 ④若直线 l 与平面α平行,则 l与平面α内的 任意一条直线都没有公共点. ( A) 0 ( C) 2 ( B) 1 ( D )3

(3)、如图,在正方体ABCD——A1B1C1D1六个表面 中, (Ⅰ)与AB平行的直线有: A1B1、CD、C1D1 (Ⅱ)与AB平行的平面有:平面A C 、平面D C 1 1 1
D1 A1 B1 C1

D A B

C

(4)、如图,长方体ABCD—A1B1C1D1 中,E为DD1的中点。试判断BD1与平 面AEC的位置关系,并说明理由。
D1 A1 E D A
F

C1 B1 C B

(5)、如图,已知在三棱柱ABC—A1B1C1中, D是AC的中点。

求证:AB1//平面DBC1

A1

C1

B1

P
D A C

B

(6)、如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1 中,E、F分别是棱BC与C1D1的中点。 求证:EF//平面BDD1B1.
D1 A1 B1 F C1 A1 D1 F C1 B1

M

ND M
A B E

C A

D E B

C

问题

怎样使用水平仪来检测桌面是否水平?

?

地面

思考

工人师傅常将水平仪 在桌面上交叉放置两 次,如果水平仪的气 泡两次都在中央,就 能判断桌面与地面 平行.

为什么工人师傅只检查两次且交叉放置 呢?

一.学习目标
1.了解两个平面之间的位置关系; 2.理解和掌握两个平面平行的判定 定理及其简单运用.

2.如果平面 //平面? ,直线 a ? ? ,那 么直线 a 和平面 ? 的位置关系是________ a //

一.预习检测

?

?

α

a

β

一.预习检测

3.如果平面 //平面 ? ,直线 a ? ? ,直 线 b ? ? ,那么直线 和 b 的位置关系是 平行或异面 _______________

?

a

a
α

a
α β

b
β

b

一.预习检测

4.(2)如果平面α内有一条直线a 平行于平面β,那么α∥β (×)
a

β α

一.预习检测

4.(3)如果平面α内有无数条直线 (×) 都平行于平面β,那么α∥β .

α

β

一.预习检测
4.(4)若两个平面分别经过两条平行直线, 则这两个平面平行。 ( a // b, a ? ? , b ? ? ? ? // ? (×) )

a
α

b

β

二.知识点归纳 (一)两个平面的位置关系
位置关系 公共点 符号表示 图形表示

两平面平行
没有公共点 α∥β

两平面相交 有一条公共直线
α∩β=a

(二).两平面平行的判定
?
A

b a

?

地面

?
?
?

当水平仪 的气泡居 中时,水 平仪所在 的直线就 是水平线。

平面与平面平行的判定定理: 一个平面内有两条相交直线与另一个平面平 行,则这两个平面平行. a 即:a ? ? b A α b?? a∩ b=A a// β b// β ? //β β 线不在多,重在相交

简述为:线面平行?面面平行

直线的条数不是关键

直线相交才是关键

判定定理:一个平面内两条相交直线分别 平行于另一个平面,那么这两个平面平行.
?1〉两条 ? 直线 条件要点:?内有?2〉相交 ?3〉分别和?平行 ? 结论:? // ? a?? ? 符号语言: ? b?? ? ? a ? b ? P ? ? ? // ? ? a // ? ? ? b // ? ?
判定定理剖析:
b

?

P

a

?

证题思路:要证明两 平面平行,关键是在 其中一个平面内找出 两条相交直线分别平 行于另一个平面.

如何正确理解两个平面平行的判定定理:
1.两个平面平行需要多少个条件? 5个条件 2.两个平面平行时为什么只需要其中一个平 面内的两条相交直线与另一个平面平行,而 不是一条或更多条直线?
(公理3的推论2:两条相交直线确定一个平面)

3.两个平面平行时为什么不用其中一个平面 内的两条平行直线与另一个平面平行?
两平面无论是什么位置关系都有无数条平行线。

两个平面平行的判定方法

1、两个平面没有公共点
2、一个平面内有两条相交 直线都平行于另一个平面 3、都垂直于同一条直线的 两个平面
两 个 平 面 平 行

推论:如果一个平面内有两条相交直线分 别平行于另一个平面内的两条直线,则这 两个平面平行。

c d

性质定理:如果两个平行平面同时和第三 个平面相交,那么它们的交线平行。

α β

a

b γ

例4.如图,三棱锥P-ABC中,D,E,F分别是PA, PB,PC的中点,求证:平面DEF//平面ABC。
证明:在 PAB中,
?

因为 D,E分别是PA,PB的中点, 所以 DE//AB, 又知 DE? 平面ABC, 因此 DE//平面ABC, 同理 EF//平面ABC, 又因为 DE ?EF=E, 所以 平面DEF//平面ABC.
A D

P F E C B

想一想:应用推论怎样证

例5.平面?//平面?//平面 ?,两条直线l,m分别与平面?,? , AB DE 相交于点A,B,C和点D,E,F。求证: ? BC EF

证明:连接DC,设DC与平面 ? 相交于点G,则平面ACD与平面? , ? 分别相交于直线AD,BG.平面DCF 与平面 ? , ? 分别相交于直线GE,CF 因为? // ? , ? // ?
所以 BG//AD,GE//CF.
AB DG DG DE 于是,得 BC ? GC , GC ? EF .

l

m D

?
? B

A

G

E

AB DE ? . 所以 BC EF

?C

F

简述为:两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例。

判断下列命题是否正确? 1、平行于同一直线的两平面平行 2、垂直于同一直线的两平面平行

3、与同一直线成等角的两平面平行
α β

α

θ θ β

α θ β

4、垂直于同一平面的两平面平行 5、若α∥β,则平面α内任一直线a ∥β

6、若n α,m α,n∥β,m ∥β则α∥β
α m
n β

α γ

β

例题、如图,在正方体

D1
A1

C1 B1

ABCD-A1B1C1D1 中,
求证:面AB1D1∥面BDC1 证明:

BD∥B1D1 A BD 面BDC1 B1D1∥面BDC1 B1D1 面BDC1 同理:AB1∥面BDC1 B1D1∩AB1=B1

D B

C

面AB1D1∥ 面BDC1

线 ∥线

线 ∥面

面 ∥面

1:若 如图,在正方体 变形2: O为BD上的点 A 1 ABCD-A B C D 中, 求证:OC ∥1面1 EFG 1 11 E,F,G分别为A1D1, A1B1,G A1A的中点 由上知 求证:面EFG∥面BDC1 A 面EFG∥面BDC1 OC1 面BDC1

E

D1

C1 B1

F

D

O

C

B
OC1 ∥面EFG

面 ∥面

线 ∥面

变形3:如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, A1 E,F,M,N分别为A1B1, A1D1, B1C1, C1D1 的 中点 A 求证:面AEF∥面BDMN

F

D1
E

N

C1 B1
M

D B

C

小结: 三种平行关系的转化 线 平行 线
线面平行性质 线面平行判定

线 面面平行判定



平行

面面平行性质

平行


练习
A 已知:四面体A-BCD, E,F,G分别为AB,AC,AD 的中点

E
F B

G

求证:面EFG∥面BCD

D

C

考点2 直线和平面平行问题
【例 2】 (2012 北京师大附中)如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面是边长为 1 的正方形,侧棱 PA ? 底面 ABCD ,且 PA ? 2 , E 是侧棱 PA 上的中点. (1)求证: PC ∥平面 BDE ; (2)求四棱锥 P ? ABCD 的体积.

P

E A B C

D

【解析】 (1)连结 AC 交 BD 于 O ,连结 OE ,如图:

P
∵四边形 ABCD 是正方形,∴ O 是 AC 的中点. 又∵ E 是 PA 的中点,∴ PC ∥ OE . ∵ PC ? 平面 BDE , OE ? 平面 BDE , ∴ PC // 平面 BDE . (2)∵ PA ? 平面 ABCD , ∴ VP ? ABCD

E

A B O C

D

1 1 2 2 ? S正方形ABCD ? PA ? ?1 ? 2 ? , 3 3 3
2 . 3

∴四棱锥 P ? ABCD 的体积为

考点3 平面和平面平行问题
【例 3】如图,已知 ABC ? A?1B1C1 是正三棱柱,棱长均为 5 , E 、 F 分别 是 AC 、 A?1C1 的中点. (1)求证:平面 AB1F ∥平面 BEC1 ; (2)求点 A 到平面 BEC1 的距离.

A1

F B1

C1

A

E B

C

【解析】 (1)∵ 在正三棱柱 ABC ? A?1B1C1 中,

E 、 F 分别是 AC 、 A?1C1 的中点.
∴ AE ? FC1 , AE ∥ FC1 , ∴ AEC1F 为平行四边形,∴ AF ∥ EC1 , ∵ EF

AA1 , BB1

AA1 ,∴ EF

BB1 ,

∴ EFB1 B 为平行四边形,∴ BE ∥ B1F , ∵ AF

B1F ? F , C1E

BE ? E ,

∴ 平面 AB1F ∥平面 BEC1 .

(2)设点 A 到平面 BEC1 间的距离为 h ,则 ∵在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, CC1 ? 平面 ABC ,

BE ? 平面 ABC ,∴ CC1 ? BE , ∵ E 是 AC 的中点,∴ BE ? AC , ∵ AC C1C ? C ,∴ BE ? 平面 ECC1 ,

EC1 ? 平面 ECC1 ,∴ BE ? EC1 . 1 1 ∵ VA? BEC1 ? VC1 ? ABE , S ?BEC1 ? h ? S ?ABE ? CC1 , 3 3 1 1 BE ? EC1 ? h ? BE ? AE ? CC1 , ∴ 2 2 5 ? 5 AE ? CC1 ∴ h? ? 2 ?1 , 5 EC1 2 ∴点 A 到平面 BEC1 间的距离为 1 .


1.2.2 空间中的平行关系(1)——平行直线(人教B版必修2)

1.2.2 空间中的平行关系(1)——平行直线自主学习 学习目标 能认识和理解空间平行线的传递性,会证明空间等角定理. 自学导引 1 . ___ 的两条直线叫做平行线,...

1.2.2 空间中的平行关系(2)——直线与平面平行的判定(...

1.2.2 空间中的平行关系(2)——直线与平面平行的判定(人教B版必修2)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。1.2.2 空间中的平行关系(2)——直线与平面平行的...

...B版必修2同步测试:1.2.2.3《空间中的平行关系 平面...

2015-2016高中数学人教B版必修2同步测试:1.2.2.3《空间中的平行关系 平面与平面平行》(含答案)_数学_高中教育_教育专区。高中数学人教B版必修2同步测试 ...

1.2.2 空间中的平行关系(4)——平面与平面平行(人教B版...

1.2.2 空间中的平行关系(4)——平面与平面平行(人教B版必修2)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。1.2.2 空间中的平行关系(4)——平面与平面平行自主学习 ...

...高中数学必修2同步练习:1.2.2-空间中的平行关系第2课时

2017年春季学期新人教B版高中数学必修2同步练习:1.2.2-空间中的平行关系第2课时_数学_高中教育_教育专区。1.已知 m、n、l1、l2 表示直线,α、β 表示平面....

1.2.2 空间中的平行关系(3)——直线与平面平行的性质(...

1.2.2 空间中的平行关系(3)——直线与平面平行的性质(人教B版必修2)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。1.2.2 空间中的平行关系(3)——直线与平面平行的...

1.2.2-空间中的平行关系第2课时同步练习含试卷分析人教...

1.2.2-空间中的平行关系第2课时同步练习含试卷分析人教B版必修2_其它课程_高中教育_教育专区。1.已知 m、n、l1、l2 表示直线,α、β 表示平面.若 m 则α...

...年高中数学第一章第11课时1.2.2空间中的平行关系__...

2016_2017学年高中数学第一章第11课时1.2.2空间中的平行关系__直线与直线之间的位置关系课时作业_数学_高中教育_教育专区。第 11 课时 1.2.2 空间中的平行...

...1.2.2 空间中的平行关系(2) 直线与平面平行的判定学...

(课堂设计)2014-2015高中数学 1.2.2 空间中的平行关系(2) 直线与平面平行的判定学案 新人教B版必修2_数学_高中教育_教育专区。1.2.2 空间中的平行关系(2)...

...1.2.2 空间中的平行关系(2) 直线与平面平行的判定学...

(课堂设计)2014-2015高中数学 1.2.2 空间中的平行关系(2) 直线与平面平行的判定学案 新人教B版必修2_数学_高中教育_教育专区。1.2.2 空间中的平行关系(2)...