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9.03集合的基本运算1正

时间:2017-09-18


1.1.3 集合的基本运算 (一)

类比引入

思考:
两个实数除了可以比较大小外,还可以进 行加法运算,类比实数的加法运算,两个集合 是否也可以“相加”呢?

类比引入

思考:
考察下列各个集合,你能说出集合C与集 合A、B之间的关系吗?
(1) A={1,3,

5}, B={2,4,6},

C={1,2,3,4,5,6}.
(2)A={x|x是有理数}, B={x|x是无理数}, C={x|x是实数}.

集合C是由所有属于集合A或属于B的元素 组成的.

并集概念
一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所 组成的集合,称为集合A与B的并集(Union set). 记作:A∪B(读作:“A并B”) 即: A∪B ={x| x ∈ A , ( 或 ) x ∈ B}
说明:两个集合求并集,结果还是一个集合,是由集合A 与B 的所有元素组成的集合(重复元素只看成一个元素).
Venn图表示: A
A∪B

B

A
A∪B

B

A
A∪B

B

例题
例1.设A={4,5,6,8},B={3,5,7,8}, 求AUB. 解:A ? B ? {4,5,6,8} ? {3,5,7,8} ? {3,4,5,6,7,8}

例2.设集合A={x|-1<x<2},B={x|1<x<3}, 求AUB. 解:A ? B ? { x | ?1 ? x ? 2} ? { x | 1 ? x ? 3} ? ?x | ?1 ? x ? 3?
可以在数轴上表示例2中的并集,如下图:
集合运算常用数 轴画图观察

并集的相关性质: 并集的交换律 1: A ? B ? B ? A

2: A? A ? A 3 : A ?? ? A
4: A? B ? A ? B ? A

5: B ? A ? A? B ? A
6 : A ? A ? B, B ? A ? B

7 : ( A ? B) ? C ? A ? ( B ? C )

并集的结合律

8: A? B ? A ? A? B ? A ? B ? A

类比引入

思考:
考察下面的问题,集合C与集合A、B之 间有什么关系吗?
(1) A={2,4,6,8,10}, B={3,5,8,12}, C={8}. (2)A={x|x是余姚中学2017届参加数学竞赛辅导的同学},
B={x|x是余姚中学2017届参加物理竞赛辅导的同学}, C={x|x是余姚中学2017届既参加数学竞赛辅导又参加物理竞赛辅导的同 学}.

集合C是由那些既属于集合A且又属于集合 B的所有元素组成的.

交集概念
一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组 成的集合,称为A与B的交集(intersection set). 记作:A∩B(读作:“A交B”) 即: A ∩ B ={x| x ∈ A( 且 )x ∈ B}
说明:两个集合求交集,结果还是一个集合,是由集合A 与B 的公共元素组成的集合.
Venn图表示: A
A∩B

B
A∩B

B

A
A∩B=?

B

(1) 设 A = {1 , 2} , B = {2 , 3 , 4} ,则 A∩B = {2} .

? (2)设A={x|x<1},B={x|x>2},则A∩B= .

类比并集的相关性质
1: A ? B ? B ? A
1: A ? B ? B ? A

2: A? A ? A
3 : A ?? ? ?
4: A? B ? A ? B ? A

2: A? A ? A
3 : A ?? ? A
4: A? B ? A ? B ? A

5: B ? A ? A? B ? A
6 : A ? A ? B, B ? A ? B

5: B ? A ? A? B ? A
6 : A ? A ? B, B ? A ? B

7 : ( A ? B) ? C ? A ? ( B ? C )

7 : ( A ? B) ? C ? A ? ( B ? C )

例题:
用适当的符号( ? 、 ? )填空

A∩ B ? A , B ? A∩B, A ∪ B ? A A∪ B ? B , A∩B ? A∪ B

一些性质(补充): A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C); A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C).

开放探究提优1.

设集合A ? {( x, y ) y 2 ? x ? 1 ? 0}, 集合B ? {( x, y ) 4 x 2 ? 2 x ? 2 y ? 5 ? 0}, 集合C ?( { x, y) y ? kx ? b}是否存在k, b ? N,使得(A ? B) ? C ? ?? 若存在,请求出 k, b的值;若不存在,请说 明理由。

开放探究提优2.

已知集合A ? {x ? R x 2 - ax ? a 2 ? 19 ? 0}, B ? {x ? R x 2 ? 5 x ? 6 ? 0}, C ? {x ? R x 2 ? 2 x ? 8 ? 0}.是否存在实数 A,使得A ? B ? ?,A ? C ? ? ? 若存在,求出 a的值;若不存在,说明 理由。

开放探究提优3.

已知 A ? {x x 2 ? 2 x ? m ? 0}, 且A ? {x x ? 0} ? ?, 求实数 m的取值范围。

开放探究提优4.

A ? B ? {1,2,3,4,5,6,7,8}, A ? B ? ?, 又 A ? A, B ? B, 求所有分配方案共有多 少种?(注: A 表示集合A中元素的个数)

开放探究提优 5 若{ a ,1} ? {1,2,a} ? {1,2,4,a 2 },求实数a的值。