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高中竞赛教程1.2.4 质点的圆周运动

时间:2011-04-08


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§2.4 质点的圆周运动 刚体平面平行运动与定轴转动
2.4.1、质点的圆周运动 . . 、
(1)匀速圆周运动 匀速圆周运动 如图 2-4-1 所示,质点 P 在半径为 R 的圆周上运动时,

它的位置可用角度θ表示(习惯上以逆时针转角正, 顺时针转角为负),转动的快慢用角速度表示:
?θ ω = lim ? t → 0 ?t
y v 2
R

v1
θ

?θ ?l P
O x

质点 P 的速度方向在圆的切线方向,大小为

Rθ ?l v = lim = lim 0 = ωR ?t →0 ?t ?t →0 ?t

图 2-4-1

ω(或 v)为常量的圆周运动称为匀速圆周运动。这里的“匀速”是指匀角 速度或匀速率,速度的方向时刻在变。因此,匀速圆周运动的质点具有加速度, 其加速度沿半径指向圆心,称为向心加速度(法向加速度)。

ω n = v 2 / R = ω 2 R = ωv
向心加速度只改变速度的方向,不改变速度的大小。
(2)变速圆周运动

ω(或 v)随时间变化的圆周运动,称为变速圆周运

动,描述角速度变化快慢的物理量为角加速度

β = lim

?ω ?t → 0 ?t

r 质点作变速圆周运动时,速度的大小和方向都在变化。将速度增量 ?v 分解
r r r r r v2 平行的分量 ?v // 和 v2 垂直的分量 ?v1 ,如图 2-4-2。 v1 相当于匀速圆周运动 为与

r r 个的 ?v , ?v11 的大小为 ?v12 = v 2 ? v1 = ω 2 R ? ω1 R = R?ω
质点 P 的加速度为

r v2

r ?v
r ?v//

r v1 r v⊥ r v1

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R

P

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r r r ? v // r ?v⊥ ?v a = lim0 = lim0 + lim0 ?t→ ?t → ?t → ?t ?t ?t

r r = aτ + a n r r 其中 a r , a n 就是切向加速度和法向加速度。

aτr = βR
an = v 2 / R = ω 2 R

β为常量的圆周运动,称为匀变速圆周运动,类似于变速直线运动的规律, 有

ω = ω 0 + βt
θ = ω 0 t + βt 2
v0 = ω 0 R v = ωR = v 0 + βRt = v 0 + a r t (3)圆周运动也可以分解为二个互相垂直方向上的分运动。参看图 2-4-3 一个 1 2

质点 A 在 t=0 时刻从 x 正方向开始沿圆周逆时针方向做匀速圆周运动, x 方向 在 上

x = R cosωt
v x = ?v sin ωt = ?ωR sin ωt
a x = ? a cos ωt = ?ω R cos ωt
2

y

v
vx

vy

O

ω tR

A

v x

在 y 方向上:

y = R sin ωt = R cos(ωt ?

π
2

)

图 2-4-3

v y = v cos ωt = ?ωR sin(ωt ?

π
2

)

a y = ? a sin ωt = ?ω 2 R cos(ωt ?

π
2

)

从 x 和 y 方向上的位移、速度和加速度时间 t 表达的参数方程可以看出:匀速圆

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π
周运动可以分为两个互相垂直方向上的简谐运动,它们的相位相差 2

2.4.2、刚体的平面平行运动 . . 、
刚体平面平行运动的特征是, 刚体上的任意质点都作平行于一个固定平面的 运动。如圆柱沿斜面的滚动,即为平面平行运动。可取刚体上任意平行于固定平 面的截面作为研究对象。 刚体的平面平行运动,常有两种研究方法:一种是看成随基点(截面上任意 一点都可作为基点)的平动和绕基点的转动的合运动;另一种是选取截面上的瞬 时转动中心 S(简称瞬心)为基点。瞬心即指某瞬间截面上速度为零的点。这样, 刚体的平面平行运动看成仅作绕瞬心的转动。 确定瞬心的方法有两种:如图 2-4-4(a)所示,若已知截面上两点的速 度,则与两速度方向垂直的直线的交点
A B S A

vA

即为瞬心。或如图 2-4-4(b)所示,已知 截面转动的角速度及截面上某一点 A 的速度 v A ,则在与速度垂直的直线上, 与 A 点距离为 v A / ω 的点即为瞬心。

vA
(a)

vB
图 2-4-4

vA / w
S (b)

注意,瞬心的速度为零,加速度不一定为零。

2.4.3、刚体的定轴转动 . . 、
刚体运动时,刚体上或其延展部分有一根不动直线,该直线称为定轴,刚体 绕这一轴转动。 刚体作定轴转动时, 其上各点都在与轴垂直的平面内作圆周运动, 各点作圆周运动的半径不同,在某一时刻,刚体上所有各点的角位移、角速度和 角加速度都是相同的。而各点的线位移、线速度和线加速度则随各点离开转轴的
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垂直距离不同而不同。

2.4.4、一些求曲率半径的特殊方法 . . 、
x2 y2 + 2 =1 2 B 先看椭圆曲线 A , 要求其 两顶点处的曲率半径。 介绍以下两种方 法: (1)将椭圆看成是半径 R=A(设 A >B)的圆在 δ 平面上的投影,圆平面 和 δ 平面的夹角 ? 满足关系式(如图 2-4-5)
cos ? = B B = R A a= v2 A ,从上图
y Q Φ p x

如图 2-4-5

设一个质点以速率 v 在圆上做匀速圆周运动,则向心加速度

中可以看出,当顶点的投影在椭圆的长轴(x 轴)上的 P 点时,其速率和加速度 分别为:
B v x = v cos ? = v A , v2 ax = A

当质点的投影在椭圆的短轴(y 轴)上的 Q 点时,其速率和加速度分别为:
vy = v

a y = a cos Φ = B

v2 A2 。

因此椭圆曲线在 P、Q 的曲率半径分别为:
v2x B2 ρp = = ax A

ρQ =

v 2 y A2 = ay B

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(2)将椭圆看成是二个简谐运动的合成,可以把
y

椭圆的参数方程(设 A>B)(如图 2-4-6)
B

Q A P x

? x = A cos θ ? ? y = B sin θ
? x = A cos ωt ? ? π ? y = B cos( wt ? 2 ) ?







为 图 2-4-6

即可进一步写出 x,y 二个方程的速度 v 和加速度 a:
?v x = ? Aω sin ωt ? 2 ?a x = ? Aω cos wt
π ? ? v y = ? B ω sin( ω t ? 2 ) ? ? ? a = ? B ω 2 cos( wt ? π ) ? y 2 ?

0 那么在长轴端点 P 处( ωt = 0 )的曲率半径:

ρp =

v2 p ap

( Bω ) 2 B 2 = = A Aω 2

在短轴端点 Q 处(

ωt =

π
2 )的曲率半径

ρQ =

2 vQ

aQ

=

( Aω ) 2 A 2 = B Bω 2
y

再把抛物线 y=Ax 2 , 要求其任意一点的曲率半 径(如图 2-4-7)因为抛物线可以写作参数方程
? x = v0 t ? ? 1 2 ? y = 2 at ?
a =A 其中 2vo ,这样就可以导出

a na a

vy v
t

θ

vx
x

图 2-4-7

?v x = vo ?a x = 0 和? ? ?v y = at ?a y = a

对任意一个 t 值: v=

2 2 2 v x + v y = v 0 + at) ( 2

a N =acos θ =a

vx = v

av 0
2 v 0 + at) ( 2

所以这一点的曲率半径
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ρ=
x 将 t= v0 代入,可得 2A =

v (v + a t ) = aN av 0
2 2 0

3 2 2 2

a2 a 2 ρ = 1 + 4 x 2) / 2 ( v0 v0

3

因为

a 2 v 0 ,所以抛物线 y=Ax 2 上任意一点的曲率半径

ρ = 1+ 4A x ) / 2A (
2

3 2 2

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