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空间几何练习题一(含答案)

时间:2014-05-09


1.四边都相等的四边形不一定是菱形(如空间四边形) . 2 .无公共点的两条直线不一定平行(可能是异面的) ;不平行的两条直线不一 定相交(可能异面) . 3.分别在两个平面内的两条直线不一定是异面直线(可能平行,也可能相交) . 4.两两相交的三条直线不一定共面(如教室中三面墙的交线) ,当它们相交于一 点且不共面时,能确定三个平面. 5.平行于同一平面的两条直线不一定平行(可

能相交,也可能异面) . 6.两条平行线中的一条直线平行于一个平面,但另一条不一定平行于这个平面 (另一条可能在这个平面内) . 7.一个平面内有无数条直线平行于另一个平面,这两个平面不一定平行(当这 个平面内的任意一条直线,平行于另一个平面时,这两个平面平行) . 8.夹在两平行平面间的等长线段不一定平行(还可能相交,也可能异面) . 9.与两条异面直线都相交的两条直线不一定异面(还可能相交) . 例1 如图:已知正方体 ABCD—A 1 B 1 C 1 D 1 中,面对角线 A B 1 ,
A1 D1 B1 E G D A N M B C F C1

BC 1 上分别有两点 E、F,且 B 1 E = C 1 F.
求证:⑴EF∥平面 ABCD;⑵平面 AC D 1 ∥平面 A 1 BC 1 . 一、线与面垂直关系转化 线线垂直、线面垂直、面面垂直这三者之间的关系非常密切, 可以相互转化, 从前面推出后面是判定定理, 而从后面推出前面是 性质定理,应当灵活应用这些定理证明问题和求解问题. 例 2 如图,△ABC 为正三角形,EC⊥平面 ABC,BD∥ E CE,且 CE = CA= 2BD,M 是 EA 的中点,求证:⑴DE = DA; ⑵平面 BDM⊥平面 ECA;⑶平面 DEA⊥平面 ECA. F

D M

C N A 二、创设辅助线与面 如果已知条件中找不出现成的平行或垂直关系,此时要 根据题意灵活作出有理有据的辅助线或辅助面, 适当添加辅助线或 辅助面是面是促进转化的重要环节.
D1 A1 B1 M N

B

C1

D A B

C

例3

正方体 ABCD—A 1 B 1 C 1 D 1 中,M、N 分别是对角线 AB 1 、BC 1 上两点,且

B1 M C1 N = ,求证:MN∥平面 A 1 B 1 C 1 D 1 . MA NB

1.⑴证明:过 E、F 分别作 AB、BC 的垂线,EM、FN 分别交 AB、BC 于 M、N, 连接 MN, ∵BB 1 ⊥平面 ABCD,∴BB 1 ⊥AB,BB 1 ⊥BC,∴EM∥BB 1 ,FN∥BB 1 ,∴EM∥FN. ∵A B 1 = BC 1 ,B 1 E = C 1 F,∴AE = BF,又∠B 1 AB =∠C 1 BC = 45°,∴Rt △AME≌Rt△BNF,∴EM = FN. ∴四边形 MNFE 是平行四边形,∴EF∥MN. 又 MN ? 平面 ABCD,∴EF∥平面 ABCD. ⑵证明: 如图 ∵正方体 ABCD—A 1 B1 C 1 D 1 中, AD 1 ∥BC 1 , CD 1 ∥B A 1 , 又 AD 1 ? CD 1 = D 1 ,BC 1 ? B A 1 = B, ∴平面 ACD 1 ∥平面 A 1 BC.
A A1 D B D1 B1 C1

C

说明:较低一级的位置关系,判定着较高一级的位置关系, 如线线平行 ? 线面平行 ? 面面平行,反之较高一级的位置关系具有较低一级的 性质,如面面平行 ? 线面平行 ? 线线平行,这种低级到高级、高级到低级的转 化构成位置关系证题中的主要思维指向. 2.分析:⑴要证明 DE = DA,只须证明 Rt△DFE≌Rt△DBA;⑵注意 M 为 EA 的中点,可取 CA 的中点 N,先证明 N 点在平面 BDM 内,再证明平面 BDMN 经过平 面 ECA 的一条垂线即可;⑶仍需证明平面 DEA 经过平面 ECA 的一条垂线. 证明:⑴如图,取 EC 的中点 F,连接 DF, ∵EC⊥BC,易知 DF∥BC,∴DF⊥EC. 在 Rt△DFE 和 Rt△DBA 中, 1 ∵EF = EC = BD,FD = BC =AB, 2 ∴Rt△DFE≌Rt△DBA, 故 DE = DA.

// ⑵取 CA 的中点 N,连接 MN、BN,则 MN ?
∴MN∥BD,即 N 点在平面 BDM 内, ∵EC⊥平面 ABC,∴EC⊥BC,

1 EC, 2

又 CA⊥BN,∴BN⊥平面 ECA, ∵BN 在平面 MNBD 内, ∴平面 MNBD⊥平面 ECA. ⑶∵DM∥BN,BN⊥平面 ECA, ∴DM⊥平面 ECA, 又 DM ? 平面 DEA, ∴平面 DEA⊥平面 ECA. 说明:本题涉及线面垂直、面面垂直的性质和判定,其中证明 BN⊥平面 ECA 是关键.从解题方法上说,由于“线线垂直” 、 “线面垂直”与“面面垂直”之间 可以相互转化, 因此整个解题过程始终沿着线线垂直 ? 线面垂直 ? 面面垂直转 化途径进行. 3.分析:在图中,根据已知条件找不出现成的线线平行关系,怎么办?往往 通过两条途径去探索证明思路:①用“面面平行 ? 线面平行” ;②添加辅助线, 创设使用线面平行判定定理的条件,具体方法如下: ⑴由“面面平行 ? 线面平行”去证. 在面 A 1 B 内,作 MK∥A 1 B 1 ,交 BB 1 于 K 点,连接 KN,由平行线截割定理知
B1 M B1 K BM CN BK CN = ,而 1 = 1 已知) ,∴ 1 = 1 ,则 KN∥B 1 C 1 , MA KB MA NB KB NB D1

C1 B1 N M K D C B

∴平面 MKN∥平面 A 1 B 1 C 1 D 1 , 即平面 MKN ? 平面 A 1 B 1 C 1 D 1 = ? , 而 MN ? 平面 MKN, ∴MN∥平面 A 1 B 1 C 1 D 1 . ⑵添加辅助线,由“线线平行 ? 线面平行”去证.

A1

A

连接 BM 并延长交 A 1 B 1 于 P 点,连接 PC 1 ,则可证△B 1 MP∽△AMB,
B M PM BM CN ∴ 1 = ,而 1 = 1 (已知) , MA MB MA NB
PM C1 N ∴ = ,由平行截割定理得:MN∥PC 1 , MB NB
D1 A1 M D A B B1 N C C1

而 PC 1 ? 平面 A 1 B 1 C 1 D 1 ,∴MN∥平面 A 1 B 1 C 1 D 1 .

说明:辅助线、辅助面所具有的性质,一定要以某一性质定理为依据,决不 能凭主观臆断.


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