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函数的基本知识 教师用


函数的基本知识
例 1:已知映射 f:A→B,其中集合 A={-3,-2,-1,1,2,3,4},集合 B 中的元素都是 A 中元素在映射 f 下的象,且对任意 a∈A,在 B 中和它们对应的元素是|a|,则集合 B 中元素的 个数是 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7

例 2:设 A={(x,y)∣x∈R,y∈R }.如果由 A 到 A 的一

一映射,使象集合中的元素(y-1,x+2) 和原象集合中的元素(x,y)对应,那么象(3,-4)的原象是 A. (-5,5) 练习: 1.对于映射 f:A→B,下列说法正确的是 A.A 中某一元素的象可以不止一个 C.A 中两个不同元素的象必不相同 ( ) B. (4,-6) C. (2,-2) D. (-6,4) ( )

B.B 中某一元素的原象可以不止一个 D.B 中两个不同元素的原象可能相同 个一一映射.

2.设集合 A={a,b,c},B={m,n,p},那么从集合 A 到 B 可以建立

3.已知 A=B=R,x∈A,y∈B,且 f:x→y=ax+b,若 5 和 20 的原象分别是 5 和 10,则 7 在 f 下的象为 . ( x2-1 x-1 C. f(x)= x2, g(x)=|x| )

4.下列函数中,表示同一函数的是 A. f(x)=1, g(x)=x° B. f(x)=x+1, g(x)=

D. f(x)=x, g(x)=( x)2 .

5.函数 y=x-1,x∈Z 且 x∈[-1,5 ],则函数的值域为 6.给出三个命题: ①映射 f:A→B 是函数,则 A 叫做函数的定义域,B 叫做函数的值域; ② f ( x) ? x ? 4 ? 3 ? x 是函数; ③函数 y=3x(x∈Z)的图象是一条直线. 其中正确的有 A.0 个 巩固练习: 1. B.1 个 C.2 个 D.3 个 (



集合 M={a,b,c},N={-1,0,1},映射 f:M→N 满足 f(a)+f(b)+f(c)=0,

那么映射 f:M→N 的个数是多少? 2. 已知(x,y)在映射 f 下的象是(x+y,x-y),则(2,4)在 f 下的原象是( )

A.(6,-2) B.(3,-1) C.(-2,6) D.(-1,3) 3. 设集合 M={-1,0,1},N={0,1,2,3},下面的对应法则能构成从 M 到 N 的映射 的是( )

4. 对于映射 f:A→B,若 A 中的任一元素(x,y)在 B 中的象是(x+y,x-y),则 B 中 元素(1,2)在 A 中的原象是( )

5. 若(x,y)在一映射下的象是(x+y,x-y),其中 x、y 为任意实数,则(2,-3)的原 象是____. 6. 求下列函数的定义域 (1) f ( x ) ?
1 x? | x |

(2) f ( x ) ?

1 1 1? x

(3) f (x) ? ? x 2 ? 4x ? 5

(4) f ( x ) ?

4 ? x2 x ?1

(5) f ( x ) ? x 2 ? 6x ? 10

(6) f (x) ? 1 ? x ? x ? 3 ? 1

7. 判断下列函数 f(x)与 g(x)是否表示同一个函数,说明理由? (1)f ( x ) = x; g ( x ) =

x2
2

(2)f ( x ) = x 2;f ( x ) = (x + 1) (3)f ( x ) = | x | ;g ( x ) = (4) 8.
y ? x ? 1; y ?

x2

x2 ?1 (5) y ? 3 x 3 ; y ? x x ?1

下列各图形中,是函数的图象的是 (
y y y


y

O A

x

O B

x

O C

x

O D

x

9.

下列对应能构成映射的是





A.A=N,B=N+,f:x→∣x∣

B.A=N,B=N+,f:x→∣x-3∣

C.A={x∣x≥2,x∈N },B={y∣y≥0,y∈Z },f:x→y=x2-2x+2 D.A={x∣x>0,x∈R },B=R,f:x→y=± x 10. 已知集合M={a,b,c},N={-1,0,1},若f是M→N的映射,且f(a)=f(b)+f(c),则这样 的映射共有[ A.4个 ] B.6个 C. 7个 D.27个

1 1 11. 给定映射 f : ( x, y) ? (2 x ? y, xy) ,点 ( , ? ) 的原象是. 6 6

? x ? 3,( x ? 10) 12. 设函数 f ( x) ? ? ,则 f (5) =. ? f ( f ( x ? 5)),( x ? 10)
13. 已知集合 A={1,2,3,k},B={4,7,a3,a2+3a},且 a∈Z,k∈Z.映射 f:x→y=3x+1, x∈A,y∈B,求实数 a、k 的值. 14. 已知映射 f:A→B 中,A=B={(x,y)∣x∈R,y∈R },f:(x,y) →(x+2y+2,4x+y). (1)求 A 中元素(5,5)的象; (2)求 B 中元素(5,5)的原象; (3)是否存在这样的元素(a,b),使它的象仍是自己?若有,求出这个元素. 3f(x-1) + f(x-2) ( x ? 0) ?2, 15. 已知 f(x)= ? ,g(x)= (x>0),求 y=g(x)的解析式. 2 ?1, ( x ? 0) 16. 已知 f ( x ?1) ? 2x ? 3, 求 f(x).

17. 设函数 f(x)满足 f(x)+2 f(

1 )= x (x≠0) ,求 f(x)函数解析式. x

18. 若 f ( x) 是定义在 R 上的函数,且满足 f ( x) ? 2 f (? x) ? x ,求 f ( x) 。 19. 已知 f ( x) 是二次函数,设 f(2x)+f(3x+1)=13x2+6x-1, 20. 已知 f( x +1)= x+2 x ,求 f(x)的解析式. 21. 已知 2f(x)+f(-x)=10x , 22. 已知 f{f[f(x)]}=27x+13, 求 f(x). 且 f(x) 是一次函数,
1 2? x

求 f(x).

求 f(x).
y? x2 x

23. 函数的定义域(1) f ( x) ? x ? 1 ?
f (x) ? 练习: 求下列函数的定义域 (1)

(2)

1 ; (2) f (x) ? x? | x |

1 1 1? x

; (3) f ( x ) ? ? x 2 ? 4x ? 5

(4) f ( x ) ?

4 ? x2 ; (5) f ( x ) ? x 2 ? 6x ? 10 ; x ?1

(6) f (x) ? 1 ? x ? x ? 3 ? 1



(7) f ( x ) ? x ?

( x ? 1) 0 2 1 ; (8) f ( x) ? (9) y ? x ?1 1? x ?1 x ?x

(10) f ( x) ?

x ?3 2 ?8
x

24. 若函数 y=f (x)的定义域是[-2, 4], 求函数 g(x)=f (x)+f (1-x)的定义域 25.已知函数 f ( x) 的定义域是(0,1) ,则 f (2 x) 的定义域为_______; f ( x 2 ) 的定义域 26. 函数 y=f (2x+1)的定义域是(1, 3],求函数 y=f (x)的定义域 27. 函数 f (2x-1)的定义域是[0, 1),求函数 f (1-3x)的定义域是 28. 若函数 y ? f ( x) 的定义域是 [0, 2] ,求函数 g ( x ) ? 29. 函数 f ( x) ? x 2 ? x ? 1 ? 30. 函数 f ( x) ?
1 的定义域为 x ? 2x ? 1
2

f (2 x) 的定义域 x ?1

x ? 2 ?1 ( x ? 3)( x ? 1)

的定义域为

x 31. 已知 f (2 ) 的定义域为 [0,8] ,则 f (3x) 的定义域为

32. 设集合 A 和集合 B 都是自然数集合 N,映射 f : A ? B 把集合 A 中的元素 n 映射到集合 B 中的元素 2 n ? n ,则在映射 f 下,象 20 的原象是( (A)2 (B)3 (C)4 )

(D)5 )
x2 x

33. 下列函数式中与 f ( x) ? x 为同一函数的是( (A) F ( x) ? 3 x 3 (B) g ( x) ? x 2 (C) y ?

(D)y=|x|

34. 已知集合 (A)
35.

,则 (B) 到 的映射 ,

等于( (C) ,则

) (D) 的原象是__________. ,且 ,求实数 的取

已知从

36. 已知集合 值范围。
37. 已知集合



,若

,求实数 的

取值范围。


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