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2012年数学一轮复习试题 函数的奇偶性与周期性

时间:


第七讲
括号内.)

函数的奇偶性与周期性

一、选择题:(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,将正确答案的代号填在题后的

1.定义在 R 上的函数 f(x)满足:f(x)·f(x+2)=13,f(1)=2,则 f(99)=( A.13 B.2 13 C. 2 2 D. 13

/>)

解析:由 f(x)·f(x+2)=13,知 f(x+2)·f(x+4)=13,所以 f(x+4)=f(x),即 f(x)是周期函 13 13 数,周期为 4.所以 f(99)=f(3+4×24)=f(3)= = . f(1) 2 答案:C 2.(2010·郑州)定义在 R 上的函数 f(x)满足:对于任意 α,β∈R,总有 f(α+β)-[f(α)+ f(β)]=2010,则下列说法正确的是( A.f(x)-1 是奇函数 C.f(x)-2010 是奇函数 ) B.f(x)+1 是奇函数 D.f(x)+2010 是奇函数

得 解析:依题意, α=β=0,得 f(0)=-2010;取 α=x,β=- x, f(0)-f(x)-f(-x)=2010, 取 f(-x)+2010=-[f(x)-f(0)]=-[f(x)+2010],因此函数 f(x)+2010 是奇函数,选 D. 答案:D 3.设 f(x)是定义在 R 上以 2 为周期的偶函数,已知 x∈(0,1)时,f(x)=log1(1-x),则函
2

数 f(x)在(1,2)上(

) B.是增函数,且 f(x)>0 D.是减函数,且 f(x)>0
2

A.是增函数,且 f(x)<0 C.是减函数,且 f(x)<0

解析:由题意得当 x∈(1 ,2)时,0<2-x<1,0<x-1<1,f(x)=f(-x)=f(2-x)=log1[1-(2 -x)]=log1(x-1)>0,则可知当 x∈(1,2)时,f(x)是减函数,选 D.
2

答案:D 4. f(x)是连续的偶函数, 设 且当 x>0 时是单调函数, 则满足 f(x)=f? A.-3 B.3 C.-8 D.8

?x+3?的所有 x 之和为( ? ?x+4?

)

解析:因为 f(x)是连续的偶函数,且 x>0 时是单调函数,由偶函数的性质可知若 f (x)= f?

?x+3?,只有两种情况:①x=x+3;②x+x+3=0. ? x+4 x+4 ?x+4?
由①知 x2+3x-3=0,故两根之和为 x1+x2=-3. 由②知 x2+5x+3=0,故其两根之和为 x3+x4=-5. 因此满足条件的所有 x 之和为-8.

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答案:C 5.已知奇函数 f(x)在区间[3,7]上是增函数,且最小值为 5,那么函数 f(x)在区间[-7, -3]上( ) B.是增函数且最大值为-5 D.是减函数且最大值为-5

A.是增函数且最小值为-5 C.是减函数且最小值为-5

解析:∵f(x)为奇函数,∴f(x)的图象关于原点对称. ∵f(x)在[3,7]上是增函数, ∴f(x)在[-7,-3]上也是增函数. ∵f(x)在[3,7]上的最小值为 5, ∴由图可知函数 f(x)在[-7,-3]上有最大值-5. 答案 :B 评析:本题既涉及到函数的奇偶性,又涉及到函数的单调性,还涉及到函数的最值,是 一道综合性较强的题目,由于所给的函数没有具体的解析式,因此我们画出函数 f(x)在区间 [3,7]上的示意图,由图形易得结论. 6.(2010·新课标全国)设偶函数 f(x)满足 f(x)=x3-8(x≥0),则{x|f(x-2)>0}=( )

A.{x|x<-2 或 x>4} B.{x|x<0 或 x>4} C.{x|x<0 或 x>6} D.{x|x<-2 或 x>2} 解析:当 x<0 时,-x>0,∴f(-x)=(-x)3-8=-x3-8, 又 f(x)是偶函数,∴f(x)=f(-x)=-x3-8,[来源:学科网 ZXXK]
?x3-8,x≥0 ?(x-2)3-8,x≥2 ? ? ∴f(x)=? 3 .∴f(x-2)=? , 3 ? ? ?-x -8,x<0 ?-(x-2) -8,x<2 ? ? ?x≥2 ?x<2 ? 或? ,解得 x>4 或 x<0 .故选 B. 3 3 ? ? ?-(x-2) -8>0 ?(x-2) -8>0

答案:B 二、 填空题: (本大题共 4 小题, 每小题 6 分, 24 分, 共 把正确答案填在题后的横线上. ) 7.(2010·江苏)设函数 f(x)=x(ex+ae x)(x∈R)是偶函数,则实数 a 的值 为________. 解析:设 g(x)=x,h(x)=ex+ae x,因为函数 g(x)=x 是奇函数,则由题意知,函数 h(x) =ex+ae x 为奇函数,又函数 f(x)的定义域为 R,∴h(0)=0,解得 a=-1. 答案:-1 8.已知函数 f(x+1)是奇函数,f(x-1)是偶函数,且 f(0)=2,则 f(4)=________. 解析:依题意有 f(-x+1)=-f(x+1),f(-x-1)=f(x-1),所以 f(4)=f(-(-3)+1)= -f(-2)=-f(-1-1)=-f(0)=-2. 答案:-2 9.(2010·湖北八校)设函数 f(x)的定义域、值域分别为 A、B,且 A∩B 是单元集,下列 命题
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- - -

①若 A∩B={a},则 f(a)=a; ②若 B 不是单元集,则满足 f[f(x)]=f(x)的 x 值 可能不存在; ③若 f(x)具有奇偶性,则 f(x)可能为偶函数 ; ④若 f(x)不是常数函数,则 f(x)不可能为周期函数. 其中,正确命题的序号为________. 解析:如 f(x)=x+1,A=[-1,0],B=[0,1]满足 A∩B={0},但 f(0)≠0,且满足 f[f(x)] =f(x)的 x 可能不 存在,①错,②正确;如,f(x)=1,A=R,B={1},则 f(x)=1,A=R 是 偶函数,③正确;如 f(x)=x-2k+1,A=[2k-1,2k],B=[0,1],k∈Z,f(x)是周期函数,但 不是常数函数,所以④ 错误. 答案:②③ 10. 对于定义在 R 上的函数 f(x), 有下述四个命题, 其中正确命题的序号为________. [来 源:Z*xx*k.Com] ①若 f(x)是奇函数,则 f(x-1)的图象关于点 A(1,0)对称; ②若对 x∈R,有 f(x+1)=f(x-1),则 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称; ③若函数 f(x-1)的图象关于直线 x=1 对称,则 f(x)为偶函数;[来源:Zxxk.Com] ④函数 y=f(1+x)与函数 y=f(1-x)的图象关于直线 x=1 对称. 解析:f(x-1)的图象是由 f(x)的图象向右平移一个单位而得到,又 f(x)是奇函数,其图 象关于原点对称,所以 f(x-1)的图象关于点 A(1,0)对称,故①正确; 由 f(x+1)=f(x-1)可知 f(x)的周期为 2,无法判断其对称轴,故②错误; f(x-1)的图象关于直线 x=1 对称,则 f(x)关于 y 轴对称,故 f(x)为偶函数,③正确; y=f(1+x)的图象是由 y=f(x)的图象向左平移一个单位后得到,y=f(1-x)是由 y=f(x) 的图象关于 y 轴对称后再向右平移一个单位而得到,两者图象关于 y 轴对称,故④错误. 答案:①③ 三、解答题:(本大题共 3 小题,11、12 题 13 分,13 题 14 分,写出证明过程或推演步骤.) -2x+b 11.已知定义域为 R 的函数 f(x)= x+1 是奇函数. 2 +a (1)求 a、b 的值; (2)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求 k 的取值范围. 分析:(1)由 f(0)=0 可求得 b,再由特殊值或奇函数定义求得 a;(2)先分析函数 f(x)的单 调性,根据单调性去掉函数符号 f,然后用判别式解决恒成立问题. 解:(1)因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数,所以 f(0)=0, 即 b-1 1-2x =0?b=1,所以 f(x)= + , a+2 a+2x 1

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1 1- 2 1-2 又由 f(1)=-f(-1)知 =- ?a=2. a+4 a+1 1-2 1 1 (2)由(1)知 f(x)= , + =- + x 2 2 +1 2+2x 1 易知 f(x)在(-∞,+∞)上为减函数. 又因 f(x)是奇函数,从而不等式: f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 等价于 f(t2-2t)<-f(2t2 -k)=f(k-2t2), 因 f(x)为减函数,由上式推得:t2-2t>k- 2t2, 1 即对 t∈R 有 :3t2-2t-k>0,从而 ?=4+12k<0?k<- . 3 12.设函数 f(x)的定义域为 R,对于任意的实数 x,y,都有 f(x+y)=f(x)+f(y),当 x>0 时,f(x)<0,求证:(1)f(x)为奇函数;(2)f(x)在(-∞,+∞)上是减函数.[来源:Z_xx_k.Com] 证明:(1)令 x=y=0,得 f(0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0. 再令 y=-x,得 f(0)=f(x)+f(-x),∴f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数. (2)设 x1、x2∈(-∞,+∞)且 x1<x2,则 x2-x1>0, ∵当 x>0 时,f(x)<0,∴f(x2-x1)<0.又∵对于任意的实数 x,y 都有 f(x+y)=f(x)+f(y) 且 f(x)为奇函数,∴f(x2-x1)=f[x2+(-x1)]=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1). ∴f(x2)-f(x1)<0,∴f(x)在(-∞,+∞)上是减函数. 13.设函数 f(x)的定义域关于原点对称,且满足 f(x1)f(x2)+1 ①f(x1-x2)= ; f(x2)-f(x1) ②存在正常数 a,使 f(a)=1.求证:(1)f(x)是奇函数; (2)f(x)是周期函数,并且有一个周期为 4a. 证明:(1)不妨令 x=x1-x2,则 f(x2)f(x1)+1 f(x1)f(x2)+1 f(-x)=f(x2-x1)= =- =-f(x1-x2)=-f(x).∴f(x)是奇函数. f(x1)-f(x2) f(x2)-f(x1) (2)要证 f(x+4a)=f(x), 可先计算 f(x+a),f(x+2a), f(-a)f(x)+1 -f(a)f(x)+1 f(x)-1 ∵f(x+a)=f[x-(-a)]= = = ,(f(a)=1). f(-a)-f(x) -f(a)-f(x) f(x)+1 f(x)-1 -1 f(x+a)-1 f(x)+1 1 ∴f(x+2a)=f[(x+a)+a]= = =- . f(x) f(x+a)+1 f(x)-1 +1 f(x)+1 ∴f(x+4a)=f[(x+2a)+2a]= 1 =f(x) -f(x+2a)
x

故 f(x)是以 4a 为周期的周期函数.
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高三数学一轮复习练习题--函数奇偶性和周期性有详细答案

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