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长春市2013届一模理科数学试题[

时间:2012-12-25


2013 年长春市高中毕业班第一次调研测试

数学试题卷(理科)
考生须知: 1. 本试卷分试题卷和答题卡,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 2. 答题前,在答题卡指定位置上填写学校、班级、姓名和准考证号. 3. 所有答案必须写在答题卡上,写在试卷上无效. 4. 考试结束,只需上交答题卡.

第Ⅰ (选择题,共 60 分

) 卷
一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的,请将正确选项填写在答题纸上) 1. 已知集合 A ? {x | x2 ? x ? 2 ? 0} , B ? {x | y ? ln(1? | x |)} ,则 A ? (?R B) ? A. (1, 2) C. (?1,1) 2. B. [1, 2) D. (1, 2]
开始 输入 a,b,c

已知复数 z ? 1 ? ai (a ?R) ( i 是虚数单位) ,

x?a
b ? x?

是 否 是

z 3 4 ? ? ? i ,则 a ? z 5 5 A. 2 B. ?2 1 C. ?2 D. ? 2
3. 如图的程序框图,如果输入三个实数 a,b,c,要求输出 这三个数中最大的数, 那么在空白的判断框中, 应该填入 下面四个选项中的 A. c ? x ? B. x ? c ? C. c ? b ? D. b ? c ? 一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的 体积为

x?b

x?c

输出 x 结束

4.

3

(8 ? ? ) 3 A. 6 (6 ? ? ) 3 C. 6
?1 ? 1

(8 ? 2? ) 3 B. 6 (9 ? 2? ) 3 D. 6
?1 1

1

正视图

2

2 侧视图

俯视图

5. 6.

设a ?

?

?0

A. a ? b ? c B. b ? a ? c C. a ? c ? b D. b ? c ? a 在正项等比数列 {an } 中,已知 a1a2 a3 ? 4 , a4 a5a6 ? 12 , an?1an an?1 ? 324 ,则 n ? A. 11 B. 12 C. 14 D. 16
数学试题卷(理科) 第 1 页(共 4 页)

x 3 dx , b ? 1 ? ? x 2 dx , c ? ? x3dx ,则 a 、 b 、 c 的大小关系为
?0

?1

?0

7.

直线 l1 与 l2 相交于点 A , 动点 B 、C 分别在直线 l1 与 l2 上且异于点 A , AB 与 AC 若 的夹角为 60 , BC ? 2 3 ,则 ?ABC 的外接圆的面积为
?

??? ?

??? ?

??? ?

A. 2? 8.

B. 4?

给定命题 p :函数 y ? sin(2 x ? 命题 q :当 x ? k? ? 说法正确的是 A. p ? q 是假命题 C. p ? q 是真命题

?
4

C. 8?

) 和函数 y ? cos(2 x ?

?
2

3? ) 的图像关于原点对称; 4

D. 12?

(k ?Z) 时,函数 y ? 2(sin 2x ? cos 2x) 取得极小值. 下列
B. ? p ? q 是假命题 D. ? p ? q 是真命题

9.

若两个正实数 x, y 满足 范围是 A. (??, ?2] ? [4, ??) C. (?2, 4)

2 1 ? ?1, 并且 x ? 2 y ? m2 ? 2m 恒成立, 则实数 m 的取值 x y
B. (??, ?4] ? [2, ??) D. (?4, 2)
2 2

10. 已知直线 x ? y ? k ? 0 (k ? 0) 与圆 x ? y ? 4 交于不同的两点 A 、 B , O 是坐标

? 3 ??? | AB | ,那么 k 的取值范围是 3 A. ( 3, ??) B. [ 2, ??) C. [ 2, 2 2) 11. 如图,等腰梯形 ABCD 中, AB // CD 且 AB ? 2 AD , ? 设 ?DAB ? ? ,? ? (0, ) , A 、B 为焦点, 以 且过点 D 2 的双曲线的离心率为 e1 ;以 C 、 D 为焦点,且过点 A 的
原点,且有 | OA ? OB |≥ 椭圆的离心率为 e2 ,则 A. 当 ? 增大时, e1 增大, e1 ? e2 为定值 B. 当 ? 增大时, e1 减小, e1 ? e2 为定值 C. 当 ? 增大时, e1 增大, e1 ? e2 增大 D. 当 ? 增大时, e1 减小, e1 ? e2 减小

??? ??? ? ?

D. [ 3, 2 2)

D

C

A

B

12. 对于非空实数集 A ,记 A* ? { y | ?x ? A, y≥ x}. 设非空实数集合 M 、 P 满足:

M ? P ,且若 x ? 1 ,则 x ? P . 现给出以下命题: ①对于任意给定符合题设条件的集合 M 、 P ,必有 P* ? M * ; ②对于任意给定符合题设条件的集合 M 、 P ,必有 M * ? P ? ? ; ③对于任意给定符合题设条件的集合 M 、 P ,必有 M ? P* ? ? ; ④对于任意给定符合题设条件的集合 M 、P , 必存在常数 a , 使得对任意的 b ? M * , 恒有 a ? b ? P* ,其中正确的命题是
A. ①③ B. ③④
数学试题卷(理科)

C. ①④
第 2 页(共 4 页)

D. ②③

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分, 13 题-21 题为必考题, 第 每个试题考生都必须作 答,第 22 题-24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、 填空题(本大题包括 4 小题, 每小题 5 分, 20 分, 共 把正确答案填在答题纸中的横线上). ?1 ? 2 ≤ x ≤1 y ?1 13. 若实数 x, y 满足 ? y ≥ ? x ? 1 ,则 的取值范围是____________. ? x ? y ≤ x ?1 ? ?
2 2 14. ?ABC 中, a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边,若 a ? c ? 2b ,且 sin B ? 6 cos A ? sin C ,则 b 的值为____________.

15. 若一个正四面体的表面积为 S1 ,其内切球的表面积为 S2 ,则

S1 ? ____________. S2
时,f ( x) ? x 2 ? 2x ,

4 ] , 1 16. 定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f (x) ? f (x ?5) ?16 , x ? (? 当

则函数 f ( x ) 在 [0, 2013] 上的零点个数是____________. 三、 解答题 (本大题包括 6 小题, 70 分, 共 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤) . 17. (本小题满分 12 分) 函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0 , ? ? 0 , ? ⑴ 求函数 y ? f ( x) 的解析式; ⑵ 当 x ?[?? , ? ] 时,求 f ( x) 的取值范围. 6 18. (本小题满分 12 分) 数列 {an } 的前 n 项和是 Sn ,且 S n ? ⑴ 求数列 {an } 的通项公式; ⑵ 记 bn ? log 3
2 an 3 1 ,数列 { } 的前 n 项和为 Tn ,证明: Tn ? . 16 4 bn ? bn? 2

?

2

? ? ? )( x ?R) 的部分图像如图所示. 2

?

?

y
1

1 an ? 1 . 2

O

π
6

2π 3

x

19. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧面 AAC1C ? 底面 ABC , 1

AA1 ? AC ? AC ? 2 , AB ? BC , AB ? BC , 1 O 为 AC 中点. ⑴ 证明: AO ? 平面 ABC ; 1 ⑵ 求直线 AC 与平面 A AB 所成角的正弦值; 1 1 ⑶ 在 BC1 上是否存在一点 E ,使得 OE // 平面 A1 AB ?若存在,确定点 E 的位置;若不存在,说 A
明理由.

A1

C1

B1

O B

C

数学试题卷(理科)

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20. (本小题满分 12 分)

y
A O

x y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 2 a b 2 其左、右焦点分别为 F 、 F2 ,点 P 是坐标平面内一 1 ? ??? ? 7 ???? ???? 3 点,且 | OP |? , PF1 ? PF2 ? ,其中 O 为坐标 4 2
已知椭圆 C: 原点. ⑴ 求椭圆 C 的方程;

2

2

x
S B

1 3 否存在定点 M ,使以 AB 为直径的圆恒过这个点?若存在,求出点 M 的坐标;若
不存在,请说明理由. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e x (ax 2 ? 2 x ? 2) , a ? R 且 a ? 0 . ⑴ 若曲线 y ? f ( x) 在点 P(2, f (2)) 处的切线垂直于 y 轴,求实数 a 的值; ⑵ 当 a ? 0 时,求函数 f (| sin x |) 的最小值; ⑶ 在⑴的条件下,若 y ? kx 与 y ? f ( x) 的图像存在三个交点,求 k 的取值范围. 请考生在 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲. 如图, 已知⊙ 和⊙ 相交于 A、 两点, 为⊙ O M B AD M ? A 的直径, 直线 BD 交⊙ 于点 C, G 为 BD 中点, O 点 连结 AG 分别交⊙ O、BD 于点 E、F,连结 CE. ⑴ 求证: AG ? EF ? CE ? GD ;
E O M F D

⑵ 如图,过点 S (0, ? ) ,且斜率为 k 的动直线 l 交椭圆于 A 、 B 两点,在 y 轴上是

B C G 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方 程选讲. 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4cos ? ,以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴建立平

GF EF 2 ? . ⑵ 求证: AG CE 2

? 3 t ?x ? 5 ? ? 2 ( t 为参数). 面直角坐标系,设直线 l 的参数方程为 ? ?y ? 1 t ? ? 2 ⑴ 求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程; ⑵ 设曲线 C 与直线 l 相交于 P 、 Q 两点,以 PQ 为一条边作曲线 C 的内接矩形,求
该矩形的面积. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲. 设函数 f ( x) ? | x ?1| ? | x ? 2 | ?a . ⑴ 当 a ? 5 时,求函数 f (x) 的定义域; ⑵ 若函数 f (x) 的定义域为 R ,试求 a 的取值范围.
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