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2006年上海市高中数学竞赛试卷


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2006 年上海市高中数学竞赛试卷
(2006 年 3 月 26 日 题 号 一 1~8 得 分 评 卷 复 核 【说明】解答本试卷不得使用计算器 一、填空题(本题满分 60 分,前 4 小题每小题 7 分,后 4 小题每小题 8 分) 1.设 x,y,z 是

正实数,满足 xy ? z ? ( x ? z )( y ? z ) ,则 xyz 的最大值 是 . 2.设从正整数 k 开始的 201 个连续正整数中,前 101 个正整数的平方和等 于后 100 个正整数的平方和,则 k 的值为 . 9 10 星期日 二 11 12 上午 8:30~10:30) 总分

3. n (n ?) 是给定的整数, 1 , x2 ,?, xn 是实数, sin x1 cos x2 ? sin x2 cos x3 ? 设 则 2 x

? ? sin xn cos x1 的最大值是



4.在△ABC 中,已知 ?A ? 30?, ?B ? 105? ,过边 AC 上一点 D 作直线 DE, 与边 AB 或者 BC 相交于点 E, 使得 ?CDE ? 60? , DE 将△ABC 的面积两等分, 且

? CD ? 则? ? ? ? AC ?

2



5.对于任意实数 a,b,不等式 max ? a ? b , a ? b , 2006 ? b ? ? C 恒成立,则 常数 C 的最大值是 6. f ( ) ? 2? b cs 设 x x a ? o x x . (注: max ? x, y, z ? 表示 x,y,z 中的最大者. ) , x f ( x) ? 0, x ? R? ? ? x f ( f ( x)) ? 0, x ? R ? ? ? , ? .

则满足条件的所有实数 a,b 的值分别为

7.在直三棱柱中,已知底面积为 s 平方米,三个侧面面积分别为 m 平方米, n 平方米,p 平方米,则它的体积为 8.已知函数 f : R ? →R 满足:对任意 x, y ? R ? ,都有 立方米.

?1 1 ? f ( x) f ( y) ? f ( xy) ? 2006 ? ? ? 2005 ? , ?x y ?
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则所有满足条件的函数 f 为 二、解答题
y



9. (本题满分 14 分) 已知抛物线

y 2 ? 2 px ( p ? 0) ,其焦点为 F,一条过焦
点 F,倾斜角为 ? (0 ? ? ? ? ) 的直线交抛 物线于 A,B 两点,连接 AO(O 为坐标原 点) ,交准线于点 B? ,连接 BO,交准线于 点 A? ,求四边形 ABB?A? 的面积.
O F x

10. (本题满分 14 分) 数列 ?an ? 定义如下: a1 ? 1 ,且当 n ? 2 时,

? a n ? 1, 当 n 为偶数时, ? 2 ? an ? ? 1 , 当 n 为奇数时. ? ? an ?1 ?
已知 an ?
30 ,求正整数 n. 19

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11. (本题满分 16 分) 对一个边长互不相等的凸 n (n ? 3) 边形的边染色, 每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种,但是不允许相邻的边有相同的颜 色.问:共有多少种不同的染色方法?

… … … … …

密 封 线 … … … … …

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12. (本题满分 16 分) 设 a, b ? [0, 1] ,求
S? a b ? ? (1 ? a)(1 ? b) 1? b 1? a

的最大值和最小值.

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2006 年上海市高中数学竞赛答案
一、填空题(本题满分 60 分,前 4 小题每小题 7 分,后 4 小题每小题 8 分) 1、 3、
1 27
n 2

2、20100 4、
3 6

5、1003 7、
s 2
4

6、 0 ? a ? 4 ,b=0
(m ? n ? p)(m ? n ? p)( p ? m ? n)(n ? p ? m)

8、 f ( x) ?

1 ? 2006 x

二、解答题 9. (本题满分 14 分) 已知抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) ,其焦点为 F,一条过焦 点 F,倾斜角为 ? (0 ? ? ? ? ) 的直线交抛物线于 A,B 两点,连接 AO(O 为坐标 原点) ,交准线于点 B? ,连接 BO,交准线于点 A? ,求四边形 ABB?A? 的面积. 解 当? ?

?
2

时, S ABB?A? ? 2 p2 .

…………………(4 分)

当 ??

?
2

n 时 , 令 k ? t a? . 设
y A/ A

A( 1 , 1 ) , B 2 x ,则由 x y ( ,2 y )
p y ? k(x ? ) , 2

① ②
O F B x B/

y 2 ? 2 px ,

2p y ? p 2 ? 0 ,所以 消去 x 得, y 2 ? k 2p y1 ? y2 ? , y1 y2 ? ? p2 . ③ k

又直线 AO 的方程为: y ?

y1 2p x ,即为 y ? x ,所以,AO 与准线的交点的 x1 y1

坐标为 B?(?

p p2 p2 , ? ) ,而由③知, y2 ? ? ,所以 B 和 B? 的纵坐标相等,从而 2 y1 y1

BB? ? x 轴.同理 AA? ? x 轴,故四边形 ABB?A? 是直角梯形.………………(9 分)

所以,它的面积为

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S ABB?A? ?

1 1 ( AA? ? BB? ) ? A?B? ? AB ? A?B? 2 2 1 ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? y2 ? y1 2

1 1 1 1 ? ( y2 ? y1 )2 1 ? 2 ? 1 ? 2 ?( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ? ? 2 k 2 k ?
3 1 ?2 ? ? 2 p ?1 ? 2 ? ? 2 p 2 (1 ? cot 2 ? ) 2 . ……………… (14 分) ? k ? 2 3

10. (本题满分 14 分) 数列 ?an ? 定义如下: a1 ? 1 ,且当 n ? 2 时,

? a n ? 1, 当 n 为偶数时, ? 2 ? an ? ? 1 , 当 n 为奇数时. ? ? an ?1 ?
已知 an ? 解
30 ,求正整数 n. 19

由题设易知, n ? 0, n ?1, 2, ? . 又由 a1 ? 1 , 可得, n 为偶数时, n ? 1 ; 当 a a
1 ? 1. an ?1

当 n (? 1) 是奇数时, an ?

………………(4 分)

由 an ?

30 n 30 11 ? 1 ,所以 n 为偶数,于是 a n ? ? 1 ? ? 1 ,所以, 是奇数. 19 2 19 19 2

于是依次可得:
an ?
2 ?1

n 19 ? 1 , ? 1 是偶数, 2 11

an?2 ?
4

n?2 19 8 是奇数, ?1 ? ? 1 , 4 11 11 n?6 11 ? 1, 是偶数, 4 8

an?2 ?
4 ?1

a n ?6 ?
8

n?6 11 3 ? 1 ? ? 1, 是奇数, 8 8 8 n ? 14 8 ? 1, 是偶数, 8 3

a n ?6 ?
8 ?1

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n ? 14 8 5 是偶数, a n ?14 ? ? 1 ? ? 1 , 16 3 3 16 n ? 14 5 2 是奇数, ……………(9 分) a n ?14 ? ? 1 ? ? 1, 32 3 3 32

a n ?14 ?
32 ?1

n ? 46 3 是偶数, ? 1, 32 2

a n?46 ?
64

n ? 46 3 1 是奇数, ?1 ? ? 1, 64 2 2 n ? 110 是偶数, 64

an?46 ? 2 ? 1 ,
64 ?1

an?110 ? 2 ? 1 ? 1 ,
128

所以,

n ? 110 ? 1 ,解得,n=238. 128

……………… (14 分)

11. (本题满分 16 分) 对一个边长互不相等的凸 n (n ? 3) 边形的边染色, 每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种,但是不允许相邻的边有相同的颜 色.问:共有多少种不同的染色方法? 解 设不同的染色法有 pn 种.易知 p3 ? 6 . ………………(4 分)

当 n ? 4 时,首先,对于边 a1 ,有 3 种不同的染法, 由于边 a2 的颜色与边 a1 的颜色不同,所以,对边 a2 有 2 种不同的染法,类似地,对边 a3 ,…,边 an ?1 均有 2 种 染法.对于边 an ,用与边 an ?1 不同的 2 种颜色染色,但

an a1

an-1

a2 a3

是,这样也包括了它与边 a1 颜色相同的情况,而边 a1 与边 an 颜色相同的不同染 色方法数就是凸 n-1 边形的不同染色方法数的种数 pn?1 ,于是可得

pn ? 3? 2n?1 ? pn?1 ,
pn ? 2n ? ? ? pn ?1 ? 2n ?1 ? .

………………(10 分)

于是

pn ? 2n ? ( 1 n)3 ? p3 ? ? ?

3

?2?

? ( ?n12) , 2 ?

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pn ? 2n ? ( 1 ) , n ? 3 . ? n? 2
综上所述,不同的染色方法数为 pn ? 2n ? (?1)n ? 2 . ………………(16 分) 12. (本题满分 16 分) 设 a, b ? [0, 1] ,求
S? a b ? ? (1 ? a)(1 ? b) 1? b 1? a

的最大值和最小值. 解 因为
S? a b ? ? (1 ? a)(1 ? b) 1? b 1? a

?

1 ? a ? b ? a 2b 2 ab(1 ? ab) ? 1? (1 ? a)(1 ? b) (1 ? a)(1 ? b)
, ………………(6 分)

?1

当 ab ? 0 或 ab ? 1 时等号成立,所以 S 的最大值为 1. 令T ?
ab(1 ? ab) , x ? ab ,则 (1 ? a)(1 ? b) T? ab(1 ? ab) ab(1 ? ab) ? 1 ? a ? b ? ab 1 ? 2 ab ? ab

x 2 (1 ? x 2 ) x 2 (1 ? x) . ? ? 1? x (1 ? x) 2
下证
x 2 (1 ? x) 5 5 ? 11 . ? 1? x 2

………………(10 分)



① ? (x ?

5 ?1 2 ) ( x ? 5 ? 2) ? 0 , 2 5 5 ? 11 , 2 13? 5 5 , 2

所以

T?

从而

S?

当a ? b ?

5 ?1 13? 5 5 时等号成立,所以 S 的最小值为 .……………(16 分) 2 2

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