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2014年高考文科数学试题分类汇编立体几何详细解答

时间:2014-06-22


2014 年高考文科数学试题分类汇编:立体几何详细解答
一、选择题: 1、某几何体的三视图如图所示,则该几何的体积为( )

A. 16 ? 8?

B. 8 ? 8?

C. 16 ? 16?

D. 8 ? 16?

【解析】 :本题考查两个方面的内容:一、三视图;二、立体图形的体积计算; 一、三视图: 1、如果三个三视图中有两个三角形,这个立体图形一定是椎体,另一个三视图用来说明其为 锥体的那一种; 2、如果三个三视图中有两个矩形,这个立体图形一定是柱体,另一个三视图用来说明其为柱 体的那一种; 3、如果三个三视图中有两个梯形,这个立体图形一定是台体,另一个三视图用来说明其为台 体的那一种; 二、立体图形的体积计算:
1 1、锥体的体积计算: V ? ? 底面积 ? 高 3

2、柱体的体积计算: V ? 底面积 ? 高 3、台体的体积计算: V ? 大椎体体积 ? 小椎体体积 解:本题目是由两个立体图形组成的一个组合图形,一般情况下,我们需要分为两个部分各

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自处理。 上半部分:三视图为三个矩形,说明这个立体图形为四棱柱。
V ? 底面积 ? 高= 4 ? 2 ? 2 ? 16

下半部分:三视图为两个矩形一个半圆,说明这个立体图形为圆柱的一半。
V? 1 ? ? ? 2 2 ? 4 ? 8? 2

所以:该组合立体图形的体积为 16 ? 8? 。 2、已知正四棱锥 ABCD ? A1B1C1D1 中, AA1 ? 2 AB ,则 CD 与平面 BDC1 所成角的正弦值等于 ( A. )

2 3

B.

3 3

C.

2 3

D.

1 3

【解析】本题考查线与面的夹角计算,线与面的夹角计算有两种方法: 方法一: 第一步:线中两个端点一般情况下一个在平面上,一个在平面,由不在平面上的点找到在 该平面上的投影点。(该点和投影点之间的连线垂直于该平面) 第二步:连接线重在平面的端点和投影点,形成一个直角三角形。 第三步:三角形中在平面的边与该直线之间的夹角就是线与面的夹角。 第四步:在直角三角形中利用三角函数求该角的三角函数值。 如图所示:

其中 ? PAP ' 为直线 PP ' 和平面 ? 的夹角,在 Rt ?PAP ' 中计算 ? PAP ' 的三角函数值。 方法二:利用法向量计算: 第一步:建立空间坐标系;
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第二步:计算与面和线有关的点的坐标; 第三步:计算法向量和线的向量坐标; 第四步:求法向量和线的向量之间的夹角余弦值; 第五步:因为线与面的夹角和法向量与线向量之间的夹角互余求线与面夹角的余弦值。 解:方法一:如图所示:

过 C 做平面 BDC1 的投影点 C ' ,连接 DC ' ,得到直角三角形 CC ' D ,其中 ?CDC ' 为线与面的 夹角。 根据三棱锥顶点转换求 C 到平面 BDC1 的距离 CC ' : 设底面边长为 a ,根据 AA 1 ? 2 AB ? AA 1 ? 2a 在三棱锥 C ? BDC1 中,根据顶点转换得到:

DC ? S ?CC1B 1 1 VC ? BDC1 ? VD ?CC1B ? ? CC '?S ?BDC1 ? ? DC ? S ?CC1B ? CC ' ? 3 3 S ?BDC 1
1 1 在 ?CC1 B 中: S ?CC1B ? ? CC1 ? BC ? ? 2a ? a ? a 2 2 2

在 ?BDC1 中: BD ? 2a, DC1 ? 5a, BC1 ? 5a ,

cos?BDC1 ?

BD2 ? DC1 ? BC1 2a 2 ? 5a 2 ? 5a 2 10 3 10 ? ? ? sin ?BDC1 ? 2 ? BD ? DC1 10 10 2 ? 2a ? 5a

2

2

1 1 3 10 3 2 S ?BDC1 ? ? BD ? DC1 ? sin ?BDC1 ? ? 2a ? 5a ? ? a 2 2 10 2
a ? a2 2 ? a 所以: CC ' ? 3 2 3 a 2

第 3 页 共 3 页

2 a CC ' 3 2 在直角三角形 CDC ' 中: sin ?CDC' ? ? ? CD a 3
方法二:建立坐标系,利用法向量求解。如下图所示:

设底面的边长为 a ,测棱的长度为 2a 。 下列点的坐标分别为: D(0, a,2a),C(a, a,2a), B(a,0,2a),C1 (a, a,0) 在平面 BDC1 中: BD ? (0, a,2a) ? (a,0,2a) ? (?a, a,0) , BC1 ? (a, a,0) ? (a,0,2a) ? (0, a,?2a) 设平面的法向量为 m ? (1, y, z) 得到方程组:
? a ?1 ? a ? y ? 0 ? z ? 0 ? y ? 1
0 ?1 ? a ? y ? (?2a) ? z ? 0 ? z ? 1 所以法向量 m ? (1,1, ) 2 1 2

向量 CD ? (0, a,2a) ? (a, a,2a) ? (?a,0,0) 设 m, CD 之间的夹角为 ?

所以: cos? ?

CD ? m | CD | ? | m |

?

1? ( ? a ) ? 0 ? 1 ? 0 ?

1 2

1 12 ? 12 ? ( ) 2 (?a) 2 ? 02 ? 02 2

?

?a 2 ?? 3 3 a 2

线与面的夹角为 900 ? ? 所以: sin( 90 0 ? ? ) ?| cos ? |?
2 3

第 4 页 共 4 页

3、一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是 (



A.棱柱

B.棱台

C.圆柱

D.圆台

【解析】本题考查的是三视图与立体图形之间的对应关系,在第 1 道选择题中已经讲过。 题目中出现了两个梯形,说明该立体图形为台体,俯视图是两个同心圆,所以该立体图形为 圆台。 4、已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是( )

A.108cm3

B.100 cm3

C.92cm3

D.84cm3

5、如下图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, P 为对角线 BD1 的三等分点,则 P 到各顶点的距离的 不同取值有 ( )

A.3 个

B.4 个

C.5 个

D.6 个

第 5 页 共 5 页

6、某三棱锥的三视图如下图 所示,则该三棱锥的体积是(



A.

1 6

B.

1 3

C.

2 3

D. 1

7、已知正方体的棱长为 1,其俯视图是一个面积为 1 的正方形,侧视图是一个面积为 2 的矩形, 则该正方体的正视图的面积等于( A.
3 2

) C.
2 ?1 2

B.1

D. 2 )

8、设 m.n 是两条不同的直线,α.β是两个不同的平面( A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n C.若 m∥n,m⊥α,则 n⊥α

B.若 m∥α,m∥β,则α∥β D.若 m∥α,α⊥β,则 m⊥β

9、已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上,若 AB ? 3,AC ? 4 , AB ? AC ,

AA1 ? 12 ,则球 O 的半径为
A.
3 17 2



) C.

B. 2 10

13 2

D. 3 10 )

10、设 l 为直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题中正确的是( A.若 l //? , l // ? ,则 ? // ? C.若 l ? ? , l // ? ,则 ? // ?

B.若 l ? ? , l ? ? ,则 ? // ? D.若 ? ? ? , l //? ,则 l ? ?

第 6 页 共 6 页

11、一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如下图所示该四棱锥侧面积和体 积分别是( )

A. 4 5,8

B. 4 5,

8 3

C. 4( 5 ? 1), )

8 3

D.8,8

12、一几何体的三视图如右所示,则该几何体的体积为(

A.200+9π 二、填空题:

B.200+18π

C.140+9π

D.140+18π

13、已知正四棱锥 O-ABCD 的体积为错误!未找到引用源。 用源。,则以 O 为球心,OA 为半径的球的表面积为________.

3 2 ,底面边长为错误!未找到引 2

14、我国古代数学 名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆 接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸, 则平地降雨量是__________寸. (注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸)

第 7 页 共 7 页

15、已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点, AH : HB ? 1: 2 , AB ? 平面 ? , H 为垂足, ? 截球 O 所得截 面的面积为 ? ,则球 O 的表面积为_______. 16、某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积为__________.

17、某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为________

18、已知圆 O 和圆 K 是球 O 的大圆和小圆,其公共弦长等于球 O 的半径, OK ? 所在的平面所成角为 60°,则球 O 的表面积等于______.

3 , 且圆 O 与圆 k 2

19、已知圆柱 ? 的母线长为 l ,底面半径为 r , O 是上地面圆心, A 、 B 是下底面圆周上两个不同 的点, BC 是母线,如图.若 直线 OA 与 BC 所成角的大小为

π 1 ,则 ? ________. 6 r
9? , 则正方体的棱长为______. 2

20、已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为

21、某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是____________.

第 8 页 共 8 页

22、如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且 AB//CD,则直线 EF 与正方体的 六个面所在的平面相交的平面个数为_____________.

23、 如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1, P 为 BC 的中点, Q 为 线段 CC1 上的动点,过点
A, P, Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S ,则下列命题正确的是__________(写出所有正确

命题的编号).

①当 0 ? CQ ?

1 1 3 时, S 为四边形; ②当 CQ ? 时, S 为等腰梯形;③当 CQ ? 时, S 与 C1 D1 的交点 2 2 4

6 1 3 . R 满足 C1 R ? ;④当 ? CQ ? 1 时, S 为六边形;⑤当 CQ ? 1 时, S 的面积为 2 3 4

第 9 页 共 9 页

三、解答题: 24、如图, AB 是圆的 O 直径, PA 垂直圆 O 所在的平面, C 是圆 O 上的点,

(1) 求证: BC ? O 平面 PAC ; (2) 设 Q 为 PA 的中点, G 为 ?AOC 的重心,求证: QG //平面 PBC . 25、如图,在在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ⊥面 ABCD , AB = BC =2, AD = CD = 7, PA = 3, ∠ ABC =120°, G 为线段 PC 上的点.

(1) 证明: BD ⊥面 PAC ; (2) 若 G 是 PC 的中点,求 DG 与 APC 所成的角的正切值; (3) 若 G 满足 PC ⊥面 BDG ,求
PG 的值. GC

第 10 页 共 10 页

26、如图, 四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形, O 为底面中心, A1O⊥平面 ABCD,
AB ? AA1 ? 2 .

(1) 证明: A1BD // 平面 CD1B1; (2) 求三棱柱 ABD-A1B1D1 的体积.

第 11 页 共 11 页

27、如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? ABCD , AB / / DC , AB ? AD , BC ? 5 , DC ? 3 , AD ? 4 ,
?PAD ? 60 .

(1) 当正视图方向与向量 AD 的方向相同时,画出四棱锥 P ? ABCD 的正视图.(要求标出尺 寸,并画出演算过程); (2) 若 M 为 PA 的中点,求证: DM //面 PBC ; (3) 求三棱锥 D ? PBC 的体积.

第 12 页 共 12 页

28、如图 1,在边长为 1 的等边三角形 ABC 中, D, E 分别是 AB, AC 边上的点, AD ? AE , F 是 BC 的中点, AF 与 DE 交于点 G ,将 ?ABF 沿 AF 折起,得到如图 2 所示的三棱锥 A ? BCF ,其中
BC ? 2 . 2

(1) 证明: DE //平面 BCF ; (2) 证明: CF ? 平面 ABF ; (3) 当 AD ?
2 时,求三棱锥 F ? DEG 的体积 VF ? DEG . 3

第 13 页 共 13 页

29、如图所示.在直菱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC=90°,AB=AC=错误!未找到引用源。,AA1=3,D 是 BC 的中点,点 E 在菱 BB1 上运动.

(1) 证明:AD⊥C1E; (2) 当异面直线 AC,C1E 所成的角为 60°时,求三菱子 C1-A2B1E 的体积.

第 14 页 共 14 页

30、如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, AB / / CD , AB ? AD , CD ? 2 AB ,平面 PAD ? 底面 ABCD ,
PA ? AD , E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点,求证:

(1) PA ? 底面 ABCD ;

(2) BE / / 平面 PAD ;

(3) 平面 BEF ? 平面 PCD

第 15 页 共 15 页

31、如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, CA ? CB , AB ? AA1 , ?BAA1 ? 60 .

(1) 证明: AB ? A1C ; (2) 若 AB ? CB ? 2 , A1C ? 6 ,求三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的体积. 32、如图,四棱锥 P ? ABCD 中, AB ? AC , AB ? PA , AB∥CD, AB ? 2CD , E , F , G, M , N 分别为
PB, AB, BC , PD, PC 的中点

(1)求证: CE //平面 PAD ;

(2) 求证:平面 EFG ? 平面 EMN

第 16 页 共 16 页

33、如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C 中,侧棱 AA1 ? 底面 ABC , AB ? AC ? 2 AA1 ? 2 , ?BAC ? 120 ,

D, D1 分别是线段 BC, B1C1 的中点, P 是线段 AD 上异于端点的点.

(1)在平面 ABC 内,试作出过点 P 与平面 A1 BC 平行的直线 l ,说明理由,并证明直线 l ? 平 面 ADD1 A1 ;
1 (2 )设(1)中的直线 l 交 AC 于点 Q , 求三棱锥 A1 ? QC1D 的体积 .(锥体体积公式 : V ? Sh , 3

其中 S 为底面面积, h 为高)

第 17 页 共 17 页

34、如图,某地质队自水平地面 A,B,C 三处垂直向地下钻探,自 A 点向下钻到 A1 处发现矿藏,再继续 下钻到 A2 处后下面已无矿,从而得到在 A 处正下方的矿层厚度为 A1A2 ? d1 .同样可得在 B,C 处正下方 的矿层厚度分别为 B1B2 ? d 2 , C1C2 ? d3 ,且 d1 ? d2 ? d3 . 过 AB , AC 的中点 M , N 且与直线 AA2 平行的平 面截多面体 A1 B1C1 ? A2 B2C2 所得的截面 DEFG 为该多面体的一个中截面,其面积记为 S中 .

(1) 证明:中截面 DEFG 是梯形; (2) 在△ABC 中,记 BC ? a ,BC 边上的高为 h ,面积为 S . 在估测三角形 ABC 区域内正下方的 矿 藏 储 量 ( 即 多 面 体 A1 B1 C1? A2 B2 C 的 2 体 积 V ) 时 , 可 用 近 似 公 式 V估 ? S 中 ? h来 估 算 . 已 知
1 V ? (d1 ? d 2 ? d 3 )S ,试判断 V估 与 V 的大小关系,并加以证明. 3

第 18 页 共 18 页

35、如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D,E 分别是 AB,BB1 的中点.

(1)证明: BC1//平面 A1CD; (2)设 AA1= AC=CB=2,AB=2 错误!未找到引用源。,求三棱锥 C 一 A1DE 的体积.

第 19 页 共 19 页

36、如图,四棱锥 P ? ABCD中,?ABC ? ?BAD ? 90 ,BC ? 2 AD, ?PAB与?PAD 都是边长为 2 的等边三角形.

(1) 证明: PB ? CD;

(2) 求点 A 到平面 PCD 的距离;

37、如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形, ?BAD ? 60 .已知

第 20 页 共 20 页

PB ? PD ? 2, PA ? 6

(1) 证明: PC ? BD (2) 若 E 为 PA 的中点,求三菱锥 P ? BCE 的体积.

第 21 页 共 21 页

38、如图,正三棱锥 O ? ABC 底面边长为 2 ,高为 1,求该三棱锥的体积及表面积.

39、 如图, 三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 侧棱 A1A⊥底面 ABC,且各棱长均相等. D, E, F 分别为棱 AB,

第 22 页 共 22 页

BC, A1C1 的中点.

(1) 证明 EF//平面 A1CD; (2) 证明平面 A1CD⊥平面 A1ABB1; (3) 求直线 BC 与平面 A1CD 所成角的正弦值.

第 23 页 共 23 页

40、如图,四棱锥 P ? ABCD 中, PA ⊥底面 ABCD , PA ? 2 3 , BC ? CD ? 2 ,
?ACB ? ?ACD ?

?
3

.z

(1) 求证: BD ⊥平面 PAC ; (2) 若侧棱 PC 上的点 F 满足 PF ? 7 FC ,求三棱锥 P ? BDF 的体积.

第 24 页 共 24 页

41、如图,直四棱柱 ABCD – A1B1C1D1 中,AB//CD,AD⊥AB,AB=2,AD=错误!未找到引用 源。,AA1=3,E 为 CD 上一点,DE=1,EC=3

(1) 证明:BE⊥平面 BB1C1C; (2) 求点 B1 到平面 EA1C1 的距离

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