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必修一第二章本章复习学案设计

时间:2015-11-25


学案设计

第二章

基本初等函数(Ⅰ) 本章复习
学习目标

①复习巩固指数、对数的运算性质,进一步熟练地运用指数函数、对数函数及幂函数的 性质解决一些问题; ②在学生对教材知识掌握的基础上,引导学生利用所学的知识解决问题,提高学生分析问 题与解决问题的能力.

合作学习
一、复习回顾,承上启下 1.n 次方根的定义: n 次方根:如果 xn=a,那么 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n>1,且 n∈N*. 2.n 次方根的性质 (1) 当 n 为奇数时 , 正数的 n 次方根是一个正数 , 负数的 n 次方根是一个负数 , 记 为 ; (2)当 n 为偶数时,正数的 n 次方根有两个,它们互为相反数,记为 ; (3)负数没有偶次方根,0 的任何次方根都是 0. 3. =


;为奇数 ||;为偶数
1

4.有理数指数幂的运算性质 an=· …(n∈N*);a0=1(a≠0);a-n= (a≠0,n∈N*).


(1)am· an=am+n(m,n∈Q); (2)(am)n=amn(m,n∈Q); (3)(ab)n=an· bn(n∈Q). 其中 am÷ an=am· a-n=am-n,( )n=(a· b-1)n=an· b-n= . 5.对数:如果 ax=N(a>0,且 a≠1),那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 做对数的底数,N 叫做真数. 根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系: 当 a>0,且 a≠1 时,ax=N? x=logaN(符号功能)——熟练转化; 常用对数:以 10 为底 log10N 写成 ; 自然对数:以 e 为底 logeN 写成 (e=2.71828…). 6.对数的性质 (1)在对数式中 N=ax>0(负数和零没有对数); .其中 a 叫


学案设计 (2)loga1=0,logaa=1(1 的对数等于 0,底数的对数等于 1); (3)如果把 ab=N 中的 b 写成 ,则有lo g N =N(对数恒等式). 7.对数的运算性质:如果 a>0,且 a≠1,M>0,N>0,那么: (1)loga(M· N)= ; (2)loga = (3)logaMn= (4)logab=
log b log a

; ; (a>0,且 a≠1;c>0,且 c≠1;b>0)(换底公式);

(5)logab= ; (6)log bn= . 8.指数函数的性质
函数名称 定义 指数函数 函数 y=ax(a>0 且 a≠1)叫做指数函数 a>1 图象 0<a<1

定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 函数值的 变化情况 a 变化对 图象的 影响 图象过定点 非奇非偶 在 R 上是 函数 在 R 上是 函数 ,即 x=0 时,y=1

y>1(x>0),y=1(x=0),0<y<1(x<0) 在第一象限内,a 越大图象越高,越靠近 y 轴; 在第二象限内,a 越大图象越低,越靠近 x 轴

y>1(x<0),y=1(x=0),0<y<1(x>0) 在第二象限内,a 越小图象越高,越靠近 y 轴; 在第一象限内,a 越小图象越低,越靠近 x 轴

9.对数函数的性质
函数名称 定义 对数函数 函数 y=logax(a>0 且 a≠1)叫做对数函数 a>1 0<a<1

图象

定义域 值域

学案设计
过定点 奇偶性 单调性 在(0,+∞)上是 logax>0(x>1) logax=0(x=1) logax<0(0<x<1) 在第一象限内,a 越大图象越低,越靠近 x 轴, 在第四象限内,a 越大图象越高,越靠近 y 轴 函数 在(0,+∞)上是 logax<0(x>1) logax=0(x=1) logax>0(0<x<1) 在第一象限内,a 越小图象越低,越靠近 y 轴, 在第四象限内,a 越小图象越高,越靠近 x 轴 函数 图象过定点 ,即 x=1 时,y=0

函数值的 变化情况 a 变化对 图象的 影响

10.反函数 (1)反函数概念 函数 y=ax(x∈R)与对数函数 y=logax(x∈(0,+∞))互为反函数.即同底的指数函数与对数函 数互为反函数. (2)反函数的性质 互为反函数的两个函数的图象关于直线 对称. 11.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地,函数 叫做幂函数,其中 x 是自变量,α 是常数. (2)幂函数的图象

(3)幂函数的性质 ①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限 ,第四象限无图象.幂函数是偶函数时, 图象分布在第一、二象限(图象关于 y 轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关 于原点对称);是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限; ②过定点:所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都通过点(1,1); ③单调性:如果 α>0,则幂函数的图象过原点,并且在[0,+∞)上为增函数.如果 α<0,则幂函 数的图象在(0,+∞)上为减函数,在第一象限内,图象无限接近 x 轴与 y 轴; ④奇偶性:当 α 为奇数时,幂函数为奇函数,当 α 为偶数时,幂函数为偶函数.当 α=(其中 p,q 互质,p 和 q∈Z),若 p 为奇数 q 为奇数时,则 y= 是奇函数,若 p 为奇数 q 为偶数时,则 y= 是偶 函数,若 p 为偶数 q 为奇数时,则 y= 是非奇非偶函数; ⑤图象特征:幂函数 y=xα,x∈(0,+∞),当 α>1 时,若 0<x<1,其图象在直线 y=x 下方,若 x>1,




学案设计 其图象在直线 y=x 上方;当 α<1 时,若 0<x<1,其图象在直线 y=x 上方,若 x>1,其图象在直线 y=x 下方. 二、典例分析,性质应用 1.指数、对数运算 熟练掌握指数的定义、运算法则、公式和对数的定义、运算法则.公式是指数、对数函 数及其一切运算赖以施行的基础. 【例 1】计算下列各式的值. (1)(0.027)-3 -( )-2+(2 )2 -( 2-1)0; (2)lg5(lg8+lg1000)+(lg2 3 )2+lg6+lg0.06.
1
1

1 7

7 1 9

【例 2】设 4a=5b=100,求 2( + )的值.

1

2

【例 3】(选讲)已知 f(x)= (1)求 f(a)+f(1-a)的值;

4 ,且 4 +2

0<a<1,

(2)求 f(1001)+f(1001)+f(1001)+…+f(1001)的值.

1

2

3

1000

说明:如果函数 f(x)= + ,则函数 f(x)满足 f(x)+f(1-x)=1. 2.指数函数、对数函数、幂函数的图象 熟悉指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质是熟练求解指、对、幂问题的关键. 【例 4】已知 c<0,下列不等式中成立的一个是( ) A.c>2c B.c>(2)c
1



C.2c<(2)c

1

D.2c>(2)c

1

学案设计 【例 5】方程 2x-x2=2x+1 的解的个数为 . 2 0.3 【例 6】0.3 ,log20.3,2 这三个数之间的大小顺序是( ) 2 0.3 2 0.3 A.0.3 <2 <log20.3 B.0.3 <log20.3<2 2 0. 3 C.log20.3<0.3 <2 D.log20.3<20.3<0.32 【例 7】方程 log3x+x=3 的解所在的区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,+∞) 【例 8】函数 f(x)=1+log2x 与 g(x)=2-x+1 在同一直角坐标系下的图象大致是( )

3.指数函数、对数函数的性质 【例 9】比较下列每组中两个数的大小. (1)2.10.3 2.10.4;(2)( 5 )1.3
1

( 5 )1.6;(3)2.10.3 log34.

1

( 5 )-1.3;(4)log51.9

1

log52;(5)log0.70.2 log0.52;(6)log42 【例 10】求下列函数的定义域.
1

(1)y=82-1 ;(2)y= 1-( ) ;(3)y=log 1 (3x-2);(4)y= log1 (-5).
2 2

1 2

【例 11】求下列函数的值域. (1)y=1-2x,x∈[1,4];(2)y=3+log2x,x∈[1,+∞).

【例 12】解下列不等式. (1)2<2x-1<4;(2)log0.7(2x)<log0.7(x-1).
1

- 变式:设函数 f(x)= 2 ( ≤ 0), 若 f(x0)<2,求 x0 的取值范围. + 1( > 0),

4.指数、对数型复合函数的单调性 指数、对数函数的单调性应用十分广泛,可以用来比较数或式的大小,求函数的定义域、

学案设计 值域、最大值、最小值,求字母参数的取值范围等. 对复合函数 y=f[g(x)],若 u=g(x)在区间(a,b)上是增函数,其值域为(c,d),又函数 y=f(u)在(c,d) 上是增函数,那么复合函数在(a,b)上为增函数.可推广为下表(简记为同增异减):
u=g(x) y=f(u) y=f[g(x)] 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增

【例 13】如果函数 f(x)=(a2-1)x 在 R 上是减函数,求实数 a 的取值范围.

【例 14】求下列函数的单调区间. (1)f(x)=(2 )
1
2 -6x+17

;(2)y=log5(x2-2x-3).

变式:求下列函数的单调区间. (1)y=5
2 -2x

;(2)y=log0.1(2x2-5x-3).

【例 15】函数 y=loga(x-4)的单调增区间是(4,+∞),求实数 a 的取值范围.

【例 16】(选讲)求函数 y=4x+2x+1+3 在区间[0,1]上的最大值与最小值.

2 【例 17】求函数 y=2log2 1 x-log 1 x +1( ≤x≤4)的值域.
2 2

1 4

学案设计

5.探究问题 【例 18】课本 P75 习题 2.2B 组第 5 题. (1)试着举几个满足“对定义域内任意实数 a,b,都有 f(a· b)=f(a)+f(b)”的函数例子,你能说 出这些函数具有哪些共同性质吗? (2)试着举几个满足“对定义域内任意实数 a,b,都有 f(a+b)=f(a)· f(b)”的函数例子,你能说 出这些函数具有哪些共同性质吗?

三、作业精选,巩固提高 1.计算下列各式的值. (1)log(1+
2) (3+2

2);(2)lg25+lg2×lg50;

(3)log6[log4(log381).

2.求下列函数的定义域. (1)y= 1-3 ;(2)y= log2 (4 + 3);(3)y=
3

1 ;(4)y=loga(x-1)2(0<a≠1);(5)y=log(x+1)(16-4x 1-log3 (x-1)

).

3.求下列函数的值域: (1)y=(3)x+2,x∈[-1,2]; (2)y=log2(x2-4x-5).
1

4.求函数 y=log2 · log2 (x∈[1,8])的最大值和最小值.

2

4

5.函数 f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为 a,求实数 a 的值.

学案设计

6.求下列函数的单调区间. (1)f(x)=2- +2x+8 ; (2)f(x)=log4(2x+3-x2); (3)f(x)=
2 +2x -3 2

(0<a≠1).

7.(1)y=log( 2 -1) x 是减函数,求实数 a 的取值范围; (2)若函数 f(x)=log0.5(x2-ax+3a)在区间[2,+∞)上是减函数,求实数 a 的取值范围; (3)已知函数 f(x)=loga(2-ax)在区间[0,1]上是减函数,求实数 a 的取值范围; (4)已知 f(x)= (3-1) + 4, ≤ 1, 是(-∞,+∞)上的减函数,求实数 a 的取值范围. log x,x > 1

8.求不等式 loga(2x+7)>loga(4x-1)(a>0,且 a≠1)中 x 的取值范围.

9.已知 f(x6)=log2x,求 f(8).

10.判断函数 f(x)=lg( 2 + 1-x)的奇偶性.

11.已知函数 f(x)=loga

1+ (a>0,且 1-

a≠1).

(1)求函数 f(x)的定义域;(2)判断函数 f(x)的奇偶性;(3)求不等式 f(x)>0 的解集.

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参考答案
一、复习回顾,承上启下 2.(1)- (2)± 5.x=logaN lgN lnN 6.(3)logaN 7.(1)logaM+logaN (2)logaM-logaN (3)nlogaM (5)log
1
a


(6) logab 8.R (0,+∞) (0,1) 增 减 9.(0,+∞) R (1,0) 非奇非偶 增 减 10.(2)y=x 11.(1)y=xα 二、典例分析,性质应用 【例 1】(1)-45;(2)1. 【例 2】2. 【例 3】(1)1;(2)500.

【 例 4 】解析 : 在同一坐标系中分别作 出 y=x,y=( 2 )x,y=2x 的图象 ( 如图 ), 显然 x<0 时,x<2x<(2)x,即 c<0 时,c<2c<(2)c,故选 C. 答案:C 【例 5】解析:原方程即 2x=x2+2x+1,在同一坐标系中画出 y=2x,y=x2+2x+1 的图象,由图 象可知有 3 个交点.
1 1

1

答案:3 【例 6】解析:如图,在同一坐标系中作出函数 y=2x,y=x2 及 y=log2x 的图象.观察图象知当 x=0.3 时,log20.3<0.32<20.3.选 C.

学案设计 答案:C 【例 7】 解析:直接解方程是无法实现的,而借助数形结合思想作出图象,则问题易于解决. 设 y1=log3x,y2=-x+3,在同一坐标系中画出它们的图象(如图),观察可排除 A,D.其交点 P 的 横坐标应在(1,3)内.又 x=2 时,y1=log32<1,而 y2=-x+3=1,且知 y1 是增函数,y2 是减函数,所以交 点 P 的横坐标应在(2,3)内,故选 C.

答案:C 【例 8】解析:f(x)的图象过点(1,1),g(x)的图象过点(0,2),只有 C 符合,故选 C. 答案:C 【例 9】(1)<;(2)>;(3)<;(4)<;(5)>;(6)<. 【例 10】(1)(-∞, )∪( ,+∞);(2)[0,+∞);(3)( ,+∞);(4)(5,6]. 【例 11】(1)[-15,-1];(2)[3,+∞). 【例 12】(1)(0,3);(2)(1,+∞). 变式:(-1,1) 【例 13】(- 2,-1)∪(1, 2) 【例 14】(1)减区间:(3,+∞),增区间:(-∞,3);(2)增区间:(3,+∞),减区间:(-∞,-1). 变式:(1)增区间:(1,+∞),减区间:(-∞,1);(2)减区间:(4,3),增区间:(-2 , 4). 【例 15】(1,+∞) 【例 16】最大值为 11,最小值为 6. 【例 17】解:令 log 1 x=u,∵4≤x≤4,∴-2≤u≤2,
2

1 2

1 2

2 3

5

1 5

1

函数变为 y=2u2-2u+1=2(u-2)2+2(-2≤u≤2). ∴当 u=2时,ymin=2;当 u=-2 时,ymax=13. 由 u= 得,x= ,由 u=-2 得,x=4. ∴x= 时,函数取最小值 ,x=4 时,函数取最大值 13,∴函数的值域为[ ,13]. 【例 18】(1)y=log2x,y=log0.3x;(2)y=3x,y=0.1x. 三、作业精选,巩固提高 1.(1)2;(2)1;(3)0. 2.(1)(-∞,0];(2)(-4,-2];(3)(1,4)∪(4,+∞);(4)(-∞,1)∪(1,+∞);(5)(-1,0)∪(0,2). 3.(1)[ 9 ,5];(2)R.
19 3 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1

1

1

学案设计 4.ymin=-4,ymax=2. 5.2 6.(1) 减 区 间 :(1,+∞), 增 区 间 :(-∞,1);(2) 增 区 间 :(-1,1), 减 区 间 :(1,3);(3)a>1 时 , 增 区 间:(-1,+∞),减区间:(-∞,-1);a<1 时,增区间:(-∞,-1),减区间:(-1,+∞). 7.(1)(- 2,-1)∪(1, 2);(2)(-4,4];(3)(1,2);(4)( , ). 8.a>1 时,x 的取值范围为(4,4);0<a<1 时,x 的取值范围为(4,+∞). 9.2 10.奇函数 11.(1)(-1,1);(2)奇函数;(3)a>1 时,(0,1);0<a<1 时,(-∞,0)∪(1,+∞).
1 1 1 1 7 3 1 1


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