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高三数学模拟试题(理科)

时间:2012-05-10


新教材高考数学模拟题精编详解名师猜题卷第一套试题
选择题, 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中只有一个选项是 小题, 符合题目要求的. 符合题目要求的. 1.若集合 M={x<|x|<1},N={x| x ≤x},则 M I N=( ) A. {x | ?1 < x < 1} B. {x | 0 < x < 1} C. {x | ?1 < x < 0} D. {x | 0 ≤ x < 1}
2

2.若奇函数 f(x)的定义域为 R,则有( ) A.f(x)>f(-x) C.f(x)≤f(-x)C.f(x)·f(-x)≤0D.f(x)·f(-x)>0 3.若 a、b 是异面直线,且 a∥平面α ,那么 b 与平面α 的位置关系是( ) A.b∥a B.b 与α 相交 C.b ? α D.以上三种情况都有可能
2 2 4.(理)已知等比数列{ an }的前 n 项和 S n = 2 ? 1 ,则 a1 + a2 + … + an 等于( )
n 2

A. ( 2 n ? 1) 2

B. ( 2 ? 1)
n

1 3

C. 4 n ? 1

D. ( 4 ? 1)
n

1 3

5.若函数 f(x)满足 f ( x + 1) =

1 f ( x) ,则 f(x)的解析式在下列四式中只有可能是( ) 2
C. 2 ? x D. log 1 x
2

A.

x 2

B. x +

1 2

6.函数 y=sinx|cotx|(0<x<π )的图像的大致形状是( )

7.若△ABC 的内角满足 sinA+cosA>0,tanA-sinA<0,则角 A 的取值范围是( ) A.(0,

π ) 4

B.(

π π , ) 4 2
0 2x 1 3x C.

C.(

π 3π , ) 2 4
3 2x D. 4 3x

D.(

3π ,π ) 4

8.(理)若随机变量ξ 的分布列如下表,则 Eξ 的值为( )

ξ
P A.

2 7x

5 x

1 18

B.

1 9

20 9

9 20

9.(理)若直线 4x-3y-2=0 与圆 x 2 + y 2 ? 2ax + 4 y + a 2 ? 12 = 0 有两个不同的公共点, 则实数 a 的取值范围是( ) A.-3<a<7 B.-6<a<4

C.-7<a<3

D.-21<a<19

10.我国发射的“神舟 3 号”宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心 F2 为一个焦点的椭圆, 近地点 A 距地面为 m 千米,远地点 B 距地面为 n 千米,地球半径为 R 千米,则飞船运行轨 道的短轴长为( )
1

A. 2 ( m + R )( n + R )

B. ( m + R )(n + R )

C.mn

D.2mn

11.某校有 6 间不同的电脑室,每天晚上至少开放 2 间,欲求不同安排方案的种数,现有四 位同学分别给出下列四个结果:① C6 ;② C 6 + 2C 6 + C 6 + C 6 ;③ 2 ? 7 ;④ A6 .其中
2 3 4 5 6
6 2

正确的结论是( ) A.仅有① B.仅有②

C.②和③

D.仅有③

12.将函数 y=2x 的图像按向量 → 平移后得到函数 y=2x+6 的图像,给出以下四个命题: a ① → 的坐标可以是(-3.0);② → 的坐标可以是(0,6);③ → 的坐标可以是(-3,0) a a a 或(0,6);④ → 的坐标可以有无数种情况,其中真命题的个数是( ) a C.3 D.4 非选择题, 第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 填空题: 小题, 二、填空题:本题共 4 小题,共 16 分,把答案填在题中的横线上 13.已知函数 f ( x ) = A.1 B.2

1 1 ( x < ?1) ,则 f ?1 (? ) = ________. 2 1? x 3 14.已知正方体 ABCD- A'B'C'D' ,则该正方体的体积、四棱锥 C' -ABCD 的体积以及该
正方体的外接球的体积之比为________.

15.(理)已知函数 f ( x ) = ? x 3 + ax 在区间(-1,1)上是增函数,则实数 a 的取值范围是 ________. 16.(理)已知数列{ an }前 n 项和 S n = ?ban + 1 ? <b<1,若 limS n 存在,则 lim S n = ________.
n→ ∞ n→ ∞

1 其中 b 是与 n 无关的常数,且 0 (1 + b) n

小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 解答题: 17.(12 分)已知函数 f ( x ) = 2 cos 2 x + 3 sin 2 x + a ( a ∈ R ) .(1)若 x∈R,求 f(x) 的单调递增区间;(2)若 x∈[0, 的值.

π ]时,f(x)的最大值为 4,求 a 的值,并指出这时 x 2

2

18. 分) (12 设两个向量 e1 、 2 , e 满足| e1 |=2,e2 |=1, 1 、 2 的夹角为 60°, | e e 若向量 2te1 + 7e2 与向量 e1 + te2 的夹角为钝角,求实数 t 的取值范围.

19 甲. (12 分)如图,平面 VAD⊥平面 ABCD,△VAD 是等边三角形,ABCD 是矩形,AB∶ AD= 2 ∶1,F 是 AB 的中点.

(1)求 VC 与平面 ABCD 所成的角;(2)求二面角 V-FC-B 的度数; (3)当 V 到平面 ABCD 的距离是 3 时,求 B 到平面 VFC 的距离.

20.(12 分)商学院为推进后勤社会化改革,与桃园新区商定:由该区向建设银行贷款 500 万元在桃园新区为学院建一栋可容纳一千人的学生公寓,工程于 2002 年初动工,年底竣工 并交付使用,公寓管理处采用收费还贷偿还建行贷款(年利率 5%,按复利计算),公寓所 收费用除去物业管理费和水电费 18 万元.其余部分全部在年底还建行贷款. (1)若公寓收费标准定为每生每年 800 元,问到哪一年可偿还建行全部贷款; (2) 若公寓管理处要在 2010 年底把贷款全部还清, 则每生每年的最低收费标准是多少元 (精 确到元).(参考数据:lg1.7343=0.2391,lgl.05=0.0212, 1.05 =1.4774)
8

3

21.(12 分)已知数列{ an }中 a1 =

3 1 + , an = 2 ? (n≥2, n ∈ N ),数列 {bn } ,满 5 an ?1

足 bn =

1 + ( n ∈ N )(1)求证数列{ bn }是等差数列; an ? 1

(2)求数列{ an }中的最大项与最小项,并说明理由; (3)记 S n = b1 + b2 + … + bn ,求 nlim →∞

(n ? 1)bn . S n +1

22.(14 分)(理)设双曲线 C:

x2 y2 ? = 1 (a>0,b>0)的离心率为 e,若准线 l 与 a2 b2

两条渐近线相交于 P、Q 两点,F 为右焦点,△FPQ 为等边三角形. (1)求双曲线 C 的离心率 e 的值; (2)若双曲线 C 被直线 y=ax+b 截得的弦长为 双曲线 c 的方程.

b 2e 2 求 a

4

参考答案 1.D 2.C 3.D 4.(理)D (文)A 5.C 6.B A 9.(理)B (文)D 10.A 11.C 12.D 13.-2 14.6∶2∶ 3 3π 17.解析:(1) f ( x ) = 15.(文)7 (理)a≥3

7.C 8.(理)C (文)

16.(文)a≥3(理)1

π 3 sin 2 x + cos 2 x + 1 + a = 2 sin(2 x + ) + 1 + a . 6 π π π π π 解不等式 2k π ? ≤ 2 x + ≤ 2k π + .得 k π ? ≤ x ≤ k π + ( k ∈ Z) 2 6 2 3 6 π π ∴ f(x)的单调增区间为 [ k π ? , k π + ](k ∈ Z) . 3 6 π π π 7π (2)∵ x ∈ [0 , ], ∴ ≤ 2x + ≤ . 2 6 6 6 π π π ∴ 当 2 x + = 即 x = 时, f ( x) max = 3 + a . 6 2 6 π ∵ 3+a=4,∴ a=1,此时 x = . 6
2 18.解析:由已知得 e12 = 4 , e2 = 1 , e1 ? e2 = 2 × 1 × cos 60 o = 1 . 2 (2te1 + 7e2 ) ? (e1 + te2 ) = 2te12 + (2t 2 + 7)e1e2 + 7te2 = 2t 2 + 15t + 7 .
2



欲使夹角为钝角,需 2t + 15t + 7 < 0 .得 设 2te1 + 7e2 = i (e1 + te2 )(λ < 0) .∴

1 ?7 <t < ? . 2 2t 2 = 7 .

?2t = λ , ∴ ? ?7 = tλ



t=?

14 14 ,此时 λ = ? 14 .即 t = ? 时,向量 2te1 + 7e2 与 e1 + te2 的夹角为π . 2 2 14 14 1 )U (? , ? ). 2 2 2

∴ 夹角为钝角时,t 的取值范围是(-7, ?

19.解析:(甲)取 AD 的中点 G,连结 VG,CG.

(1)∵ △ADV 为正三角形,∴ VG⊥AD.又平面 VAD⊥平面 ABCD.AD 为交线, ∴ VG⊥平面 ABCD,则∠VCG 为 CV 与平面 ABCD 所成的角. 设 AD=a,则 VG =

3 a , DC = 2a .在 Rt△GDC 中, 2

5

VG 3 a2 3 = GC = DC + GD = 2a + = a .在 Rt△VGC 中,tan ∠VCG = . GC 3 4 2
2 2 2



∠VCG = 30o .即 VC 与平面 ABCD 成 30°. AG 2 + AF 2 = 3 a. 2

(2)连结 GF,则 GF =



FC = FB 2 + BC 2 =

6 a. 在△GFC 中, GC 2 = GF 2 + FC 2 . ∴ GF⊥FC. 2

连结 VF,由 VG⊥平面 ABCD 知 VF⊥FC,则∠VFG 即为二面角 V-FC-D 的平面角. 在 Rt△VFG 中, VG = GF =

3 a .∴ ∠VFG=45°.二面角 V-FC-B 的度数为 135°. 2

(3)设 B 到平面 VFC 的距离为 h,当 V 到平面 ABCD 的距离是 3 时,即 VG=3. 此时 AD = BC = 2 3 , FB = ∴

6 , FC = 3 2 , VF = 3 2 .



1 S ?VFC = VF ? FC = 9 , S ?BFC = 2 1 ?VG ? S ?FBC = 1 ? h ? S ?VFC .∴ 3 3

1 FB ? BC = 3 2 .∵ VV ? FCB = VB ?VCF , 2 1 1 × 3× 3 2 = ? h ? 9 . 3 3



h= 2

即 B 到面 VCF 的距离为 2 .

(乙)以 D 为原点,DA、DC、 DD1 所在的直线分别为 x、y、z 轴,建立空间直角坐标 系,设正方体 AC1 棱长为 a,则 D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0), D1 (0, 0,a),E(a,a,

a a a ),F(a, ,0),G( ,a,0). 2 2 2

a a a ,-a), EG = ( ? ,0, ? ) , 2 2 2 a a a ∵ D1 F ? EG = a ( ? ) + × 0 + ( ? a )(? ) = 0 ,∴ D1 F ⊥ EG . 2 2 2 a a a (2) AE = (0 ,a, ),∴ D1 F ? AE = a × 0 + × a ? a × = 0 . 2 2 2
(1) D1 F = ( a , ∴

D1 F ⊥ AE .∵

EG I AE = E ,∴

D1 F ⊥ 平面 AEG.
6

(3)由 AE = (0 ,a,

a ), D1 B =(a,a, ? a ), 2

1 a2 ? a2 5 2 ∴ cos < AE , D1 B >= = = . 15 a2 | AE | ? | D1B | ? a 2 + a 2 + (?a) 2 0 + a2 + 4

AE ? D1B

20.解析:依题意,公寓 2002 年底建成,2003 年开始使用. (1)设公寓投入使用后 n 年可偿还全部贷款,则公寓每年收费总额为 1000×80(元) =800000(元)=80 万元,扣除 18 万元,可偿还贷款 62 万元. 依题意有

62[1 + (1 + 5%) + (1 + 5%) 2 + … + (1 + 5%) n ?1 ] ≥ 500(1 + 5%) n +1 .
1.05 n ≥ 1.7343 .

n n +1 化简得 62(1.05 ? 1) ≥ 25 × 1.05 .∴

两边取对数整理得 n ≥

lg 1.7343 0.2391 = = 11.28 .∴ 取 n=12(年). lg 1.05 0.0212

∴ 到 2014 年底可全部还清贷款. (2)设每生和每年的最低收费标准为 x 元,因到 2010 年底公寓共使用了 8 年, 依题意有 (

1000 x ? 18)[1 + (1 + 5%) + (1 + 5%) 2 + … + (1 + 5%) 7 ] ≥ 500(1 + 5%)9 . 10000 10.58 ? 1 ≥ 500 × 1.05 9 . 1.05 ? 1

化简得 (0.1x ? 18)



x ≥ 10(18 +

25 × 1.05 9 25 × 1.05 × 1.4774 ) = 10(18 + ) = 10 × (18 + 81.2) = 992 (元) 8 1.4774 ? 1 1.05 ? 1

故每生每年的最低收费标准为 992 元. 21.解析:(1) bn =

1 1 a 1 = = n ?1 ,而 bn?1 = , an ? 1 2 ? 1 an?1 ? 1 an ?1 ? 1 an ?1 ? 1



bn ? bn ?1 =

1 an ?1 = = 1 . (n ∈ N + ) an ?1 ? 1 an ?1 ? 1 1 5 = ? ,公差为 1 的等差数列. a1 ? 1 2 1 5 ,而 bn = ? + ( n ? 1) ?1 = n ? 3.5 ,∴ bn 2 an ? 1 = 1 . n ? 3 .5

∴ { bn }是首项为 b1 =

(2)依题意有 an ? 1 = 对于函数 y =

1 ,在 x>3.5 时,y>0, y' < 0 ,在(3.5, + ∞ )上为减函数. x ? 3 .5

7

故当 n=4 时, an = 1 +

1 1 取最大值 3,而函数 y = 在 x<3.5 时,y<0, n ? 3 .5 x ? 3 .5

y' = ?

1 < 0 ,在( ? ∞ ,3.5)上也为减函数.故当 n=3 时,取最小值, a3 =-1. ( x ? 3.5) 2

5 2n ? 5 (n + 1)(? + ) (n + 1)(n ? 5) 2 2 = (3) S n +1 = , bn = n ? 3.5 , 2 2


(n ? 1)bn 2(n ? 1)(n ? 3.5) = lim∞ =2 . n→ n→∞ S n +1 (n + 1)(n ? 5) lim
a2 b , 两条渐近线方程为:y = ± x . c a

22. 解析: (1) 双曲线 C 的右准线 l 的方程为: x=

∴ 两交点坐标为

P(

a 2 ab a2 ab , ) 、 Q( , ? ) . c c c c
3 | PQ | (如图). 2 e= c = 2. a

∵ △PFQ 为等边三角形,则有 | MF |=

∴c?

2 2 a2 3 ab ab = ? ( + ) , c ? a = 3ab . 即 解得 b = 3a , c=2a. ∴ c 2 c c c c

(2)由(1)得双曲线 C 的方程为把

x2 y2 ? =1. a 2 3a 2

把 y = ax + 3a 代入得 (a 2 ? 3) x 2 + 2 3a 2 x + 6a 2 = 0 .

依题意

?a 2 ? 3 ≠ 0, ? ? ?? = 12a 4 ? 24(a 2 ? 3)a 2 > 0 ?



a 2 < 6 ,且 a 2 ≠ 3 .

∴ 双曲线 C 被直线 y=ax+b 截得的弦长为

l = ( x1 ? x 2 ) 2 + ( y1 ? y 2 ) 2 = (1 + a 2 )( x1 ? x 2 ) 2 = (1 + a 2 )[( x1 + x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ]

= (1 + a 2 )

12a 4 ? 24(a 2 ? 1)a 2 (a 2 ? 3) 2

8



l=

b 2c 2 72a 2 ? 12a 4 = 12a .∴ 144a 2 = (1 + a 2 ) ? . a (a 2 ? 3) 2
13a 4 ? 77 a 2 + 102 = 0 .∴ a2 = 2 或 a2 =

整理得

51 . 13

∴ 双曲线 C 的方程为:

13 x 2 13 y 2 x2 y2 ? =1或 ? = 1. 2 6 51 153

(文)(1)设 B 点的坐标为(0, y0 ),则 C 点坐标为(0, y0 +2)(-3≤ y0 ≤1), 则 BC 边的垂直平分线为 y= y0 +1 由①②消去 y0 ,得 y 2 = 6 x ? 8 .∵ ①y+

y0 3 3 = (x ? ) 2 y0 2



? 3 ≤ y 0 ≤ 1 ,∴

? 2 ≤ y = y0 + 1 ≤ 2 .

故所求的△ABC 外心的轨迹方程为: y 2 = 6 x ? 8( ?2 ≤ y ≤ 2) . (2)将 y = 3 x + b 代入 y 2 = 6 x ? 8 得 9 x 2 + 6(b ? 1) x + b 2 + 8 = 0 .

4 4 ≤ x ≤ 2 .所以方程①在区间 [ ,2 ] 有两个实根. 3 3 4 设 f ( x ) = 9 x 2 + 6(b ? 1) x + b 2 + 8 ,则方程③在 [ ,2 ] 上有两个不等实根的充要条件是: 3
由 y = 6 x ? 8 及 ? 2 ≤ y ≤ 2 ,得
2

?? = [6(b ? 1)] 2 ? 4 ? 9(b 2 + 8) > 0, ? ? f ( 4 ) = 9 ? ( 4 ) 2 + 6(b ? 1) ? 4 + b 2 + 8 ≥ 0, ? 3 3 3 ? 2 2 ? f (2) = 9 ? 2 + 6(b ? 1) ? 2 + b + 8 ≥ 0, ? 4 ? 6(b ? 1) ≤ 2. ? ≤ 2?9 ?3
2

之得 ? 4 ≤ b ≤ ?3 .

2 b2 + 8 2 2 ∵ | x1 ? x2 |= ( x1 + x2 ) ? 4 x1 x2 = [ (b ? 1)] ? 4 ? = ? 2b ? 7 3 9 3
∴ 由弦长公式,得 | EF |= 1 + k | x1 ? x2 |=
2

2 10 ? ? 2b ? 7 3

又原点到直线 l 的距离为 d =

|b| , 10



| EF | 20 ? 2b ? 7 20 7 2 20 1 1 1 = = ? 2? = ? 7( + ) 2 + 2 d 3 b 3 b b 3 b 7 7
? 4 ≤ b ≤ ?3 , ∴ 1 1 1 1 1 EF 5 ? ≤ ≤? . ∴ 当 = ? , b = ?4 时,| 即 |max = . 3 b 4 b 4 d 3



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