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2006年全国高中数学联赛陕西赛区预赛


2006 年第 7 期

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2006 年全国高中数学联赛陕西赛区预赛
1 1 ( C) ( D) 4 3 3 3 ≥cos θ 6. 若 sin θ cos θ -sin θ ( 0 ≤θ < 2π ) ,则 θ 的取值范围是(    ) . ( A) 0 , π ( B) π , π 4 4 π 5π π 3π (

C) , ( D) , 4 4 2 2 7. 袋中装有 m 个红球和 n 个白球( m> n≥ 4) . 现从中任取两球 , 若取出的两个球是 同色的概 率等于取出的 两个球是 异色的概 率 , 则满足关系 m +n ≤40 的数组 ( m , n) 的 个数为(    ) . ( A) 3 ( B) 4 ( C) 5 ( D) 6 8. 已知实系数一元二次方程 2 x + ( 1 +a) x +a +b + 1= 0 的两个实根为 x 1 、x 2 , 且 0 <x 1 < 1 , x 2 >1 . 则 b 的取值范围是(    ) . a 1 1 ( A) 1, ( B) -1 , 2 2 1 1 ( C) 2, ( D) 2, 2 2 9. 如图 2, 在正方 体 ABCD - A1 B 1 C1 D 1 中 , P 为棱 AB 上一 点 , 过点 P 在 空间 作直 线 l , 使 l 与平面 ABCD 和 平 面 ABC1 D 1 均 成 30 ° 1 ( A) 5 2 ( B) 5

第一试 一、 选择题( 每小题 5 分 , 共 50 分) 1. a 、b 为实数 , 集合 M = b , 1 , P = a { a , 0} ,f: x ※x 表示把集合 M 中的元素 x 映 射到 集 合 P 中仍 为 x . 则 a +b 的 值等 于 (    ) . ( A) 1 ( B) 0 ( C) 1 ( D) ± 1 2 2. 已知 函 数 f ( x) 满足 f = x+ x log 2 x x , 则 f( x) 的解析式是(    ) . ( A) log 2 x ( B) log2 x   ( C) 2
x -x

( D) x

-2

3 2+ 3a = 有负 2 5 -a 数根 , 则实数 a 的取值范围是(    ) . 2 ( A) -∞, - 3 ∪( 5 , +∞ ) 3 ( B) -∞, ∪( 5 , +∞ ) 4 2 2 3 ( C) - , 5 ( D) - , 3 3 4 4. 已知数列{ an } 、 { bn } 的前 n 项和分别 3. 若关于 x 的 方程 为 An 、B n , 记 c n =anB n +bn An -a nbn ( n ≥1) . 则数列{ cn } 的前 10 项和为(    ) . ( A) A10 +B 10 ( C) A10 B 10 5. 如图 1, 设 P 为 ■ABC 内 一 点 , 且 AP 2 1 = AB + AC . 则 5 5 S ■ABP (    ) . S ■ABC = A10 +B 10 ( B) 2 ( D) A10 B 10

图2

图1

角. 则这样 的直线 l 的 条数为(    ) . ( A) 1 ( B) 2 ( C) 3 ( D) 4 2 2 x y 10 . 如图 3 , 从双曲线 2 - 2 = 1( a> 0, b a b 2 2 2 > 0) 的左焦点 F 引圆 x +y =a 的切线 , 切

30

中 等 数 学

点为 T , 延长 FT 交双 曲线右支于点 P . 若M 为线 段 FP 的 中 点 , O 为坐 标原 点 , 则 MO - MT 与 b -a 的大 小关系为(    ) . ( A) MO - MT 图3 >b -a ( B) MO - MT =b -a ( C) MO - MT <b -a ( D) 不确定 二、 填空题( 每小题 6 分 , 共 30 分) cos 3 θ 1 11 . 已 知 θ为 锐 角 , 且 = . 则 cos θ 3 sin 3 θ = . sin θ 12 . 用 6 根等长的细铁棒焊接成一个正 四面体形框架 , 铁棒的粗细和焊接误差不计 . 设此框架能容纳得下的最大球的半径为 R 1 , R1 能包容此框架的最 小球的半径为 R 2 . 则 R2 等于 . 13 . 设 f( x) 是以 2 为周期 的奇函数 , 且 2 5 =3 . 若 sin α = , 则 f( 4cos 2 α ) 的 5 5 值是 . 14 . 若 a 、b 、c 成等差数列 , 则直线 ax + 2 2 x y by +c =0 被椭圆 2 + 8 =1 截得线段的中 点的轨迹方程为 . 15 . 设 x> 1, y > 1, S = min{ log x 2 , log2 y , 2 log y ( 8x ) } . 则 S 的最大值为 . f 第二试 一、 ( 20 分) 设 P( x +a , y 1 ) 、Q ( x , y 2) 、 R( 2 +a , y 3 ) 是函数 f ( x) =2 +a 的反函数 图像上三个不同点 , 且满足 y 1 +y 3 =2 y 2 的 实数 x 有且只 有一个 . 求实数 a 的 取值范 围. 二、 ( 20 分) 已知 x 、 y 、z 均为正数 . x y z 1 1 1 ( 1) 求证 : + + ≥ + + ; yz zx xy x y z
x

x y z ( 2) 若 x +y +z ≥xyz , 求 u = + + yz zx xy 的最小值 . 三、 ( 20 分) 已知 sin( 2α +β) =3sin β . 设 tan α =x , tan β =y , 记 y =f( x) . ( 1) 求 f( x) 的表达式 ; 1 2 ( 2) 定义正数数列{ an } : a 1 = , a n +1 = 2 2an f ( an ) ( n ∈ N+ ) . 求数列 { an } 的 通项公 式. 四、 ( 30 分) 如图 4 , ■ABC 的内心为 I , 过 点 A 作直线 BI 的垂线 , 垂 足为 H . 设 D 、E 分别为内 切圆 ⊙I 与 边 BC 、CA 的切点 . 求 证: D 、H 、E 三点共线 .

图4

图5
2

五、 ( 30 分) 如图 5 , 已知抛物线 C : y = 4 px ( p> 0) , F 为 C 的焦点 , l 为准线 , 且 l 与 x 轴的交点为 E . 过点 F 任意作一条直线交 抛物线 C 于 A 、B 两点 . ( 1) 若 AF =λ FB ( λ >0) , 求证 : EF ⊥ ( EA -λ EB) ; ( 2) 设 M 为 线段 AB 的中 点 , p 为奇质 数 , 且点 M 到 x 轴的距离和点 M 到准线 l 的 距离均为非零整数 . 求证 : 点 M 到坐标原点 O 的距离不可能是整数 .

参考答案
第一试
  一 、1 . C. 由题设得 M = P , 从而 , b =0 . 故 a +b =1 . 2. B. 由 x x >0 , 得 x >0 . 于是 , f 1 x =log2 x . b =0 , a =1 , 即 a =1 , a

2006 年第 7 期 从而 , f(x) = log2 3. D. 因为 x < 0 , 所 以 , 0 < 3 2
x

31 1 =-log2 x . x
2 所以 , m + n =( m - n) .

从而 , m + n 为完全平方数 . 又由 m >n ≥4 及 m +n ≤40 , 得 9 ≤m + n ≤40 . 所以 , 或 m + n =9 , m + n =16 , 或 m - n =3 m - n =4

<1 . 从而, 0 <

2 +3 a 2 3 <1 . 解得 - < a < . 5 -a 3 4 4. C. 当 n ≥2 时 , cn =( An - An -1 ) Bn + ( B n - B n -1)An ( An - An -1 ) ( B n -B n -1 ) =An B n - An -1 B n -1 . 故 c1 + c2 +… +c10 =A1 B 1 + ( A2 B 2 -A1 B 1) +( A3 B3 -A2 B 2) +… + (A10 B 10 -A 9 B 9 ) = A10 B 10 . 5. A. 如图 6 , 设 AM = 2 AB , 5

m +n =25 , m + n =36 , 或 m -n =5 m - n =6 .

解得(m , n)= ( 6 , 3) ( 舍去) 或( 10 , 6)或( 15 , 10) 或( 21 , 15) . 故符合题意的数组( m , n) 有 3个. 8. D. 设 f( x)= x2 +( 1 +a)x + a + b +1 . 由 0 < x1 < 1 , x2 >1 , 得 f( 0)= a +b +1 >0 , f( 1)=2 a +b +3 <0 . 在 直 角 坐 标 平 面 aOb 上作 出 上 述不 等 式 所 表示 平面 区域 如 图 7 中 阴 影部 分所示( 不 含边界), 两直线 a + b + 1 =0 与 2 a + b + 3 =0 的交点为 P(-2 , 1). b 表 示 经过 坐 标 原点 a

AN = 1 AC . 5 则 AP = AM +AN . 由平 行 四边 形 法 则 知 NP ∥AB , 所以 , S ■ABP AN 1 = = . S ■ABC AC 5 6. C.
3 3

图6

图7

≥cos θ 解法 1 : 由 sin θ -cos θ -sin θ ,得 ( sin θ -cos θ ) 2+ 1 sin 2 θ ≥0 . 2

O 和可行 域内的点(a , b) 的直 线 l 的斜 率 . 显然 , 当 1 l 过点 P(-2 , 1) 时 , 斜率为 - ; 当 l 与直 线 2 a + b 2 +3 =0 平行时 , 斜率为 -2 . 所以 , -2 < 9. B. 由于二面角 C1 - AB -D 的平面角为 45 ° , 所以 , 在这个二面角及它的“ 对 顶” 二面 角内 , 不 存在过 点 P 且 与平 面 ABCD 和 平面 ABC1 D 1 均成 30 ° 的 直线 . 转而 考虑它的补二面角 , 易 知过点 P 有 且仅有 两条 直线 与平 面 ABCD 和 平面 ABC1 D 1 均成 30 ° . 故满 足 条件的直线 l 有 2 条 . 10 . B. 如图 8 , 设 双曲 线的 右焦点为 F′ , 联结 PF′ 、 OT , 在 Rt ■OTF 中 , 由 FO = c , OT = a (c 为双曲 线 的 半焦 距), 得 TF = b . 于是, 根据三 角形 中位 线 定理 及双 曲 线定义 , 得
图8

1 因为 2 + sin 2θ >0 , 所以 , 2 ≥0 . sin θ - cos θ π ≤ 5π . 解得 ≤θ 4 4 解法 2 : 原不 等式可变形为 ≥cos3 θ sin3 θ +sin θ + cos θ . 构造函数 f( x) = x3 + x , 则原不等式为 f( sin θ ) ≥f( cos θ ) . 易知 f(x) 在 R 上是 增 函数 , 因此 , sin θ ≥cos θ ≤2π, 解得 π ≤θ ≤ 5π . . 注意到 0 ≤θ 4 4 7. A. 记“ 取出两 个红 球” 为事 件 A , “ 取出 两个 白球” 为事件 B ,“ 取出一红一白两球” 为事件 C , 则 C2 C2 C1 · C1 P( A)= 2 m , P( B)= 2 n , P( C)= m2 n . Cm +n Cm +n C m +n 依题意得 P( A)+ P(B) = P( C), 即
2 1 1 C2 m +C n =Cm C n .

b 1 <- . a 2

32 MO - MT = 1 1 PF′ PF - b 2 2 因为点 Q(x1 , y1 ) 在椭圆

中 等 数 学 x2 y 2 + =1 上 , 所以 , 2 8

1 =b - ( PF - PF′)= b -a . 2 7 二 、11 . . 3 解法 1 : 由题 设及三倍角的余弦公式 , 得 1 10 2 4cos θ -3 = , 即 4cos2 θ = . 3 3 sin 3 θ 7 故 =3 -4sin2 θ =4cos2 θ -1 = . sin θ 3 解法 2 : 设 sin 3 θ =x , 则 sin θ 1 sin 3 θ cos 3 θ x- = 3 sin θ cos θ sin( 3θ -θ ) sin 2 θ = = =2 . sin θ ·cos θ 1 sin 2θ 2 1 7 = . 3 3

2 2 ( 2 x0 -1) ( 2 y0 +2) + =1 . 2 8

故中点 M 轨迹方程为 2 x 15 . 2.

1 2

2

2 ( y +1) + =1 . 2

≥S , 则 由题设得 logx 2 ≥S , log2 y ≥S , log y( 8 x2 ) 2 2 3+ 3+ 3 + 2log log 2x x2 S . ≤ S ≤log y( 8x ) = = log2 y log2 y S
2 2 ≤0 , 得 于是 , S 3 -3 S -2 ≤0 , 即( S -2) ( S +1)

S ≤2 . 当 x = 2 , y =4 时取等号 .

第二试
一 、f(x)=2 x + a 的反函数为 f -1(x)=log2 (x - a) . 则 y1 =log2 x , y2 =log2(x - a), y3 =1 . 由 y1 + y3 =2 y2 , 得 1 +log2 x =2log2 ( x -a). 此方程等价于 x >a ,
2 2x = (x -a) .

故 x =2 +

3 12 . . 3 依题意 , R 1 为这 个 正 四面 体 框 架的 棱 切 球 半 径 , R 2 为外接球半径 . 不妨设 正四面 体边 长为 1 , 易 知 , 棱切 球的 直 径 即 为 正 四 面体 对 棱 之 间 的 距 离 2 2 6 , 所以 , R 1 = . 又 外 接球 的 半径 为 R 2 = , 所 2 4 4 以, R1 3 = . R2 3 13 . -3 . 因为 sin α = 5 , 所以 , 5 3 . 5 2 5 =

1 1 时 , 方程有唯一实根 x = . 2 2 1 ( 2) Δ >0 , 即 a >- 时 , 方 程有两 个实根 x = 2 ( 1) Δ=0 , 即 a =a +1 ± 2 a +1 . 显然 , x =a +1 + 2 a +1 > a 满足条件 . 从而 , 应有 x = a +1 - 2 a +1 ≤ a . 解得 a ≥0 . 而 a =0 时 , 点 P 、Q 重合 , 矛盾 . 所以 , a >0 . 1 综上 , 实数 a 的取值范围为 ∪( 0 , +∞) . 2 二、 ( 1) 因为 x 、y 、z 均为正数 , 所以 , x y 1 x y ≥2 + = . yz zx z y +x z y z 2 z x 2 + ≥ , + ≥ . zx xy x xy yz y 当且仅当 x = y =z 时 , 以上三式等号成立 . 同理 将上述三个不等式两边分别相加 , 并除以 2 , 得 x y z 1 1 1 + + ≥ + + . yz zx xy x y z ( 2) 因为 x 、y 、z 均 为正数 , 且 x +y +z ≥ xyz , 则 1 1 1 + + ≥1 . xy yz zx 由( 1) 的结论得 u= x y z 1 1 1 + + ≥ + + yz zx xy x y z

cos 2 α =1 -2sin2 α =

又 f( x) 是以 2 为周期的奇函数 , 且 f 3 , 所以 ,
f( 4cos 2α ) =f 12 5
2

=f

2 5
2

=- f

-

2 5

=3.

14 . 2 x-

1 (y +1) + =1 . 2 2 由 a -2 b + c =0 , 知直线 ax +by +c =0 过定 点

2 2 P( 1 , -2). 又点 P 在椭圆 x + y =1 上 , 所以 , P 为 2 8 所截线段的 一个端点 . 设另 一端 点为 Q(x1 , y1 ), 线

段 PQ 的中点为 M(x0 , y0 ) ,则 x +1 x0 = 1 , 2 y0 = y1 -2 , 2 即 x1 =2 x0 -1 , y1 =2 y0 +2 .

2006 年第 7 期 = ≥ 1 1 1 1 1 1 + + +2 + + xy yz zx x2 y2 z 2 1 1 1 3 + + xy yz zx ≥ 3. 1 1 1 + + =1 , 即 x = xy yz zx 故 D 、H 、E 三点共线 .

33

证法 2 : 如图 9 , 联结 DE 、EH 、AI 、EI . 因为 ∠AEI =∠AHI =90 ° , 所以 , A 、 E 、H 、I 四点 共圆 . 于是 , 有 ∠AEH =∠ AIB . 又因为 I 为 ■ABC 的内心 , 所以 , 1 ∠AIB =90 ° + ∠C . 2 从而 , ∠ AEH =90 ° + 因为 C D = CE , 所以 , 180° -∠C 1 ∠DEC = =90 ° - ∠C . 2 2 于是 , ∠ AEH +∠DEC =180° . 故 D 、H 、E 三点共线 . 五、 ( 1) 解 法 1: 点 F 的 坐标为 ( p , 0), 设 过点 F 的直线方程为 x =my + p . 代入 y 2 =4 px , 得 2 2 y -4 pmy -4p =0 . 两个根 , 有 y 1 +y 2 =4 pm , y 1 y 2 =-4 p 2 . 由 AF =λ FB , 得 λ =y1 . y2 ① 1 ∠C . 2

当且仅当 x = y =z , 且

y =z = 3 时 , 以上等号成立 . 故 umin = 3 . 三、 ( 1) 由 sin( 2α +β)=3sin β , 得 sin[ ( α+β)+α ] =3sin[ (α +β)-α ] , 即  sin( α +β) ·cos α =2cos( α+β) ·sin α . 所以 , tan( α +β)=2tan α . tan α+tan β x +y =2tan α, 即 =2 x . 1 -tan α ·tan β 1 - xy x 解得 y = . 1 +2 x2 于是 , x 故 f( x) = . 1 +2 x2 2a ( 2) 因为 a2n +1 =2 an f(an )= ,则 1 +2 a 2n 1 1 = 2 +1 , a2 2a n n+ 1 即  1 1 -2 = 2 a2 n+ 1 1 -2 . a 2n
2 n

设 A( x 1 , y 1) 、B(x2 , y2 ), 则 y 1 、 y 2 是方 程 ① 的

因为 EA -λ EB =(x1 +p , y 1)-λ (x2 +p , y 2 ) =( x1 -λ x2 +p( 1 -λ ), y1 -λ y2 ) , y2 y2 又 EF = ( 2 p , 0), x1 = 1 , x2 = 2 , 所以 , 4p 4p EF·( EA -λ EB)=2 p[ x1 -λ x2 +p( 1 -λ ) ] =2 p = y2 y1 y2 y1 1 2 + · +p 1 + 4p y 2 4p y2

1 1 故 2 -2 是首项为 2 、公比为 的等比数列 . an 2 所以 , 1 -2 =2 a 2n 1 2
n1

.

2 n -2 因此 , an = . n2 1 +1 四 、证法 1 : 如图 9 , 设直线 BI 与边 CA 相交于 点 K , 联 结 AI 、 DI 、 EI 、 DH 、 EH . 因为 ∠BDI =∠ AHB , ∠IBD =∠ABH , 所以 , ■IBD ∽■ABH .
图9 故 BD = IB , 即 BH AB BD HB = . BI AB 又 ∠HBD =∠ ABI , 所以 , ■ HBD ∽ ■ ABI . 故 ∠BHD =∠ BAI . ① 因为 ∠ AEI = ∠AHI =90 ° , 所以 , A 、E 、H 、I 四 点 共圆 . 于是 , 有

2p 2 ( y 1 + y2 ) 1 2 1 y1 + y 1 y 2 + 2 2 y2 y 1 y2 +4 p2 =0 . 2y 2

=( y1 + y2 ) ·

故 EF ⊥ (EA -λ EB). 解 法 2: 如 图 10 , 设 点 A 、B 在准线 l 上 的射 影分别为 A′ 、B′ ,则 AF = A′ A , BF = B′ B . 由 AF =λ FB , 得 A′ A =λ B′ B. 因为 EA =EA ′ +A ′ A, EB = EB ′ +B ′ B,则 EA -λ EB = EA′ -λ EB ′ . 又 EF ⊥ (EA′ -λ EB ′ ), 所以 , EF·( EA′ -λ EB ′ )=0 .
图 10

∠EHK =∠ EAI . 由式 ①、②及 ∠ BAI =∠ EAI , 得 ∠BHD =∠ EHK .



34

中 等 数 学

2006 年全国高中数学联赛浙江省预赛
  一 、 选择题( 每小题 6 分 , 共 36 分) 1. 下列三数 3 , log16 82 , log27 124 的大小 2 则 f2 006 ( 2 006) = (    ) . ( A) 20   ( B) 4  ( C) 42   ( D) 145
2 4. 设在 xOy 平面上 , 0 <y ≤x , 0 ≤x ≤1

关系 , 正确的是(    ) . 3 <log 82 <log 124 ( A) 16 27 2 3 ( B) < log27 124 <log 16 82 2 ( C) log27 124 < 3 <log 16 82 2

1 所围成图形的面积为 3 . 则集合 M= { ( x , y) y - x ≤ 1} ,
2 N= { ( x , y ) y ≥x + 1}

3 2 2. 已知两点 A( 1 , 2) 、B ( 3 , 1) 到直线 l 的 ( D) log 27 124 < log 16 82 < 距离分别是 2 、 5 - 2 . 则满足条件的直线 l 共有(    ) 条. ( A) 1 ( B) 2 ( C) 3 ( D) 4 3. 设 f( n) 为正整数 n ( 十进制 ) 的各位 上的数字的平方之和 , 例如 , f ( 123) =1 +2 + 3 = 14 . 记 f1( n) =f( n) , f k +1( n) =f ( fk ( n) ) ( k =1 , 2 , …) .
  故 EF·( EA -λ EB)=0 , 即 EF ⊥ (EA -λ EB). ( 2) 设 M( x , y). 依题意 x 、y 均为非 零整 数 . 由 对称性 , 不妨设 x 、y ∈ N + , 则 y= y 1 +y 2 =2 pm . 2 ②
2 2 2

的交集 M ∩ N 所表示的图形面积为(    ) . 1 2 4 ( A) ( B) ( C) 1 ( D) 3 3 3 5. 在正 2 006 边形中 , 与 所有边均不平 行的对角线的条数为(    ) . 2 ( A) 2 006 ( B) 1 003 ( C) 1 003 1 003
2

( D) 1 003 -1 002 sin x + cos x + sin x +tan x

2

6 .函 数 f (x ) =

tan x + cot x sin x +cos x tan x + cot x cos x +tan x +cos x +cot x +sin x +cot x 在 x ∈ 0, π 时的最小值为(    ) . 2 ( B) 4 ( C) 6 ( D) 8

( A) 2

令 x = px1 , y =py 1 , r =pr1 (x1 、y1 、r 1 ∈ N +) ,则
2 2 y2 2( x1 -1), x2 1 = 1 + y1 = r1 .

消去 y1 , 得 x2 2 x1 -r 2 2,即 1 + 1 = (x1 +1 + r1 ) (x1 +1 - r1 )=3 =3 ×1 . 又 x1 +1 +r 1 与 x1 +1 - r1 有相同的奇偶性 , 且 ③ ④ ⑤ x1 +1 +r 1 > x1 +1 -r 1 , 所以 , x1 +1 +r 1 =3 , x1 +1 -r 1 =1 . 解得 x1 =1 , r 1 =1 . 从而 , y1 =0 . 于是 , y =0 , 这与 y 为正整数矛盾 . 故点 M 到坐标原点 O 的距离不可能是整数 . ( 刘康宁  提供)

因为点 M 在直线 AB 上 , 所以 , x = my + p . 由式 ②、③消去 m , 得 y 2 =2 p(x - p). 假设 OM = r 为正整数 , 则 x2 +y 2 =r 2 . 因为 p 为奇质数 , 由式 ④知 , p y , 从而 , p x . 于是 , 由式 ⑤知 p r .


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