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数列的概念及表示方法--概念解析


2.1.1 数列的概念及表示方法

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2013-8-13 14:49:40

1.下列说法中正确的是( D ) A.数列1,2,3与数列3,2,1是相同数列

B.数列1,2,3与数列1,2,3,…是相同数列
C.1,5,7, 3 ,-2不是数列 D.数列{2n+1}与 3,5,7,9, …不一定

是同一数列

1 1 1 1 2.数列3,4,5,…,n,…中第 10 项是( D )

1 A.10

1 B.8

1 C.11

1 D.12
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3.数列 1,3,7,15,…的通项公式是( B )

A.2n
C.2n+1

B.2n-1 D.2n-1

4.已知an+1-an=-3,则数列{an}是( B ) A.递增数列 C.常数列 B.递减数列 D.摆动数列

3 n-1 4 5.已知数列{an}的通项公式是 an= ,则a4=_____. n

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重点

数列的基本概念

理解数列的定义注意以下几点: ①同一个数在数列中可以重复出现; ②数列中的数是按一定顺序排列的; ③数列与数集的区别:数列中的数具有有序性,不具备互

异性;而数集中的数具有无序性和互异性.

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重难点

数列的通项公式

(1)将数列{an}的第 n 项用一个具体式子(含有系数 n)表示出 来叫做该数的通项公式,正如函数的解析式一样,通过代入具

体的 n 值便所求知相应 an 项的值.
(2)不是每个数列都能写出它的通项公式,有的数列的通项 公式也不唯一,如数列:-1,1,-1,1,…,它可以写成an=

(-1)

n

?-1 ?n为奇数? ? ,也可以写成 an=? ,还可以写成 an= ?1 ?n为偶数? ?

(-1)n

+2

等,这些通项公式都表示同一个数列.

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由数列的通项公式求指定项 例 1:根据下面数列{an}的通项公式,写出它的前5项. (1)an= n ; n+1 (2)an=(-1)n·n.

思维突破:已知数列的通项公式,代入具体的 n 值便可求
出数列相应项.

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解:(1)在通项公式中依次取n=1,2,3,4,5,得到数列{an}的

1 2 3 4 5 前 5 项为2,3,4,5,6. (2)在通项公式中依次取 n=1,2,3,4,5,得到数列{an}的前 5 项为-1,2,-3,4,-5.

1-1.已知数列的通项公式为 an= 是它的项?如果是,则为第几项?

4 1 16 ,试问 和 是不 10 27 n2 +3n

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1 解:设10是数列{an}中的项, 4 1 ∴an= 2 =10,即 n2+3n-40=0,(n+8)(n-5)=0. n +3n 1 ∴n=-8(舍去),n=5.∴10是数列{an}中的第 5 项. 16 同理设27是数列{an}中的项,∴an= 4 16 =27, n2+3n

即 4n2+12n-27=0,(2n-3)(2n+9)=0. 3 9 ∴n=2(舍去)或 n=-2(舍去). 16 ∴27不是数列{an}中的项.
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由数列的前几项求通项公式 例 2:根据数列的前几项,写出下面数列的一个通项公式: (1)3,5,9,17,33,…;

1 3 7 15 31 (2)2,4,8,16,32,…; 2 10 17 26 37 (3) ,-1, ,- , ,- ,…. 3 7 9 11 13

思维突破:寻找项与序号、项与项之间的联系,然后用n
表示an.
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解:(1)3可看作21+1,5可看成22+1,9可看成23+1,17 可 看成24+1,…,所以an=2n+1. (2)通过观察发现,每一项的分子比分母少1, 而2=21,4=22,8=23,16=24,故分母可以写成2n,

2n-1 所以 an= 2n .

(3)偶数项为负而奇数项为正,故通项公式必含因式(-1)n 1,
观察各项绝对值组成的数,从第 3 项起,分母依次加 2,故可以 5 猜测第 2 项为-5,所以分母可以看成数列 2n+1;再观察分子
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2,5,10,17,26,37,…,可以发现,2=12+1,5=22+1,10=32+1,17
=42+1,…,所以分子可以看成数列 n2+1.所以 an=(-1)
n+1

n2+1 · 2n+1

根据数列的前几项求通项公式时可参考
如下思路:(1)先统一项的结构,如都化成分数、根式等;(2)分 析结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分的规律与对 应序号间的函数解析式;(3)对于符号交替出现的情况,可先观 察其绝对值,再用(-1)n 处理符号;(4)对于周期出现的数列,

可考虑拆成几个简单数列和的形式,或者利用周期函数,如三
角函数等.
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2-1.观察下面数列的特点,用适当的数填空:

16 (1)1,4,9,(___), 25,36;
1 1 3 7 , 9; ? 1 ? ?- ? 1 1 1 1 2×3? ? (3)- , ,_______, ,- ; 2×1 2×2 2×4 2×5 ? 1? ? 3? ?- ? 1 1 3 5 ?- ? ? 4? (4) 2,-2,8,______, 32,________; ? 32? ? 2? ? ? 2 1 1 ? 4 ? (5) 1, 2 ,2,______, 4; (2)
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?1? 1 ? ? 1, ,_____, ?5?

2-2.写出下列数列的一个通项公式:

1 2 3 4 (1)2,3,4,5,…; 22+1 32+1 42+1 52+1 (2) 2 , 4 , 8 , 16 ,…; 2 1 (3)-2,1,-3,2,….

1 2 3 4 解:(1)观察数列2,3,4,5,…,发现,分子可以看成数 n 列 n, 分母比分子大 1, 故分母可以看成数列 n+1, an= 故 . n+1

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(2)观察发现分子都为 m2+1 的形式,故只要求出表示 m 的 通项即可.又 2,3,4,5,…,可以看成数列 n+1,故 m=n+1. 所以分子为数列(n+1)2+1.又分母可以看成数列 2n,所以 an= ?n+1?2+1 . 2n (3)观察数列,正负相间,且第一项为负,故用(-1)n 表示 符号,再观察,将数列统一成相同的形式,发现分子都是 2,分 2 母可以看成 n,所以 an=(-1) ·. n
n

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数列的单调性

9n · ?n+1? 例 3:已知数列{an}的通项公式为 an= (n∈N*),则 n 10
数列{an}中有没有最大项?如果有,求出最大项;如果没有,请

说明理由. 思维突破:若能判断出an 的单调性,则能找到an 的最大项,
通常用作差法证明an 的单调性.
? 9 ?n+1 ? 9 ?n ? ? · 解:an+1-an= 10 (n+2)-?10? · (n+1) ? ? ? ? ? 9 ?n+1? ? 10 =?10? ??n+2?- 9 ?n+1?? ? ? ? ? ? 9 ?n+1 8-n =?10? · 9 . ? ?
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当n≤7时,上式>0;当n=8时,上式=0; 当n≥9时,上式<0.

故 an 在 n≤7 时是递增数列,在 n≥9 时是递减数列,即

a1<a2<a3<…<a7<a8 = a9>a10>a11>…. 故 数 列 {an} 存 在 最 大 项,且最大项为
? 9 ?8 99 a8=a9=?10? ×9=108. ? ?

数列的最大(小)值问题常有两种方法:①用
函数求最值的方法,但要注意使 an 取最大 (小)值的 n 必须是正
?an≥an-1 ?an≤an-1 ? ? ? 整数;②利用作差或作商法,通过不等式 或? , ?an≥an+1 ?an≤an+1 ? ?

找最大 (小)项.
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n2 3-1.已知数列{an}中,an= 2 . n +1
(1)判断 0.98 是不是数列{an}中的项?

1 (2)证明数列{an}为递增数列且2≤an<1.
解:(1)设 0.98 是数列 an 中的第 n 项, n2 49 =0.98=50,解得 n=7. n2+1 n2 1 (2)an= 2 =1- 2 , n +1 n +1
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? ? ? 1 1 ? 1 1 ?1-? ? - ?1- 2 ?= 2 an + 1 -an = ? ?n+1?2+1 ? ? n +1? n +1 - ?n+1?2+1 ? ? ? ? ? ? ?

2n+1 =? 2 ?>0, ?2 ??? ?n +1???n+1? +1? ? ? ??? ? 所以数列{an}为递增数列, 1 1 n2 1 an≥a1= = ,an= 2 =1- 2 <1, 1+1 2 n +1 n +1 1 故2≤an<1.

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例 4:求 an=-2n2+29n+3 的最大项.

错因剖析: 得到

? 29?2 1 an=-2?n- 4 ? +1088后代入 ? ?

29 n= 4 求最大

项,忽略了数列定义域是正整数这个条件.
正解:an=-2n
* 2

? 29?2 1 ?n- ? +108 . +29n+3=-2 4? 8 ?

29 由于 n∈N , 故当 n 取距离 4 最近的正整数 7 时, n 取得最 a 大值 108,∴数列{an}的最大项为 108.

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4-1.数列通项公式为an=n2-5n+4,问:

(1)数列中有多少项是负数?
(2)n为何值时,an有最小值?并求出最小值.

解:(1)由an 为负数,得n2-5n+4<0,解得1<n<4.
∵n∈N*,故n=2或3,即数列有两项为负数,分别是第2 项和第3 项.

52 9 5 (2)∵an=n -5n+4=(n-2) -4,∴对称轴为 n=2,
2

又∵n∈N*,故当n=2或n=3 时,an 有最小值, 最小值为22-5×2+4=-2.
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