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1.4 全称量词与存在量词


全称量词与存在量词

所有的 任意一个 在逻辑中通常叫做 1.(1)短语“________”“________”

? 全称量词,用符号“________” 来表示.含有全称量词
全称命题 的命题,叫做_____________ .
(2)全称命题“对 M 中任意一个 x,使 p(x)成立”

?x

? M , p( x ). 可用符号简记为____________
“所有的” 等.

注意 : 常见的全称量词还有 “一切 ”“ 一个”“任何

至少有一个 在逻辑中 存在一个 2.(1)短语“____________”“____________” ? 通常叫做存在量词,用符号“_____” 表示.含有存在

特称命题 量词的命题,叫做______________ . (2)特称命题“存在 M 中的一个 x0,使 p(x0)成立”
? x0 ? M , p( x0 ) . 可用符号简 记为______________

注意:常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某
“有的”等.

【要点】同一个全称命题和特称命题,可以有不同的表述 方法

【剖析】同一个全称命题和特称命题,由于自然语言的不
同,可以有不同的表述方法(见下表).
命题全称命题 x∈M,p(x) ①所有的 x∈M,使 p(x)成 立 ②对一切 x∈M,使 p(x)成 立 表述③对每一个 x∈M,使 p(x) 方法成立 ④任给一个 x∈M,使 p(x) 成立 特称命题?x0∈M,p(x0) ①存在x0∈M,使 p(x0)成立 ②至少有一个x0∈M,使p(x0) 成立 ③对有些x0∈M,使 p(x0)成 立 ④对某个x0∈M,使 p(x0)成 立 ⑤有一个x0∈M,使 p(x0)成 立

⑤若 x∈M,则 p(x)成立

例1.判断下列语句是全称命题还是特称命题. (1)有一个实数 a 不能取对数; (2)所有不等式的解集A,都有A ? R; (3)有的向量方向不定; (4)三角函数都是周期函数吗? (5)对数函数都是单调函数; (7)?x?{ x | x是无理数 } , x2 是无理数; (8)? x0?{ x | x?Z } , log2x0 > 0

(6)至少有一个整数,它既能被2整除,也能被5整除;

思维突破:首先看给出的语句是不是命题,其次看命题中 是否有全称量词或存在量词.要注意有些命题的量词是隐含在

句子中的,要能够准确补回其量词.

自主解答:(1)命题中含有特称量词“有一个”,因此是特 称命题. (2)命题中含有全称量词“所有”,所以是全称命题. (3)命题中含有特称量词“有的”,因此是特称命题. (4)不是命题.

(5)题中隐含了全称量词“任意的”,因此是全称命题. (6)命题中含有特称量词“至少有一个”,因此是特称命题 (7)命题中含有全称量词“ ? ”,是全称命题. (8)命题中含有特称量词“? ”,是特称命题.

变式训练: 1. 判断下列语句是全称命题还是特称命题,并用量

词符号表达出来.
(1)0不能作除数;

(2)任何一个实数除以1,仍等于这个实数;
(3)每一个向量都有方向;

(4)对任何实数a,b,c,方程 ax2 + bx + c = 0都有解.

略解:

(1)特称命题, ?0∈R,0不能作除数;

x (2)全称命题, ?x∈R, = x; ? ?1 (3)全称命题, ? a , a 有方向;
(5)全称命题,?实数a, b, c, 方程ax2 + bx + c = 0有解.

2. 判断下列语句是全称命题,还是特称命题: (1)凸多边形的外角和等于360°; (2)对任意角?,都有sin2α+cos2α=1; (3)有些素数的和仍是素数;

(4)若一个四边形是菱形,则这个四边形的对角
线互相垂直.

略解:(1)可以改写为所有的凸多边形的外角和都 等于360°,故为全称命题. (2)含有全称量词“任意”,故为全称命题. (3)含有存在量词“有些”,故为特称命题. (4)若一个四边形是菱形,也就是所有的菱形,故 为全称命题.

题型二、全称命题与特称命题的真假判断
(1)全称命题真假的判断 对于全称命题“?x∈M,p(x)”: ①要证明它是真命题,需对集合M中每一个元 素x,证明 p(x) 成立; ②要判断它是假命题,只要在集合M中找到一 个元素x0,使 p(x0) 不成立即可. (通常举反例)

(2)特称命题真假的判断
对于特称命题“ ? x0∈M,p(x0) ”:

①要证明它是真命题,只需在集合M中找到一个元
素 x0 ,使 p(x0) 成立即可.(通常举正例) ②要判断它是假命题,需对集合M中每一个元素 x,

证明 p(x) 不成立.

例2.(1).下列命题正确的是( B ) (A)对所有的正实数 t , 有 t < t
2 x (B)存在实数x0,使 0-3 x0-4=0
2 x (C)不存在实数x0,使x0 < 4且 0+5 x0-24=0
2 (D)存在实数x0,使得|x0+1|≤1且 x0 ?4

(2)指出下列命题中,哪些是全称命题,哪些是 特称命题,并判断真假:

(1)若 a > 0,且a≠1,则对任意实数x,ax > 0;
(2)对任意实数x1,x2,若x1 < x2,则 tanx1<tanx2; (3)存在常数T0,使sin(x+T0)=sinx;
2 x (4)有x0∈R,使 0+ .1 ? 0

略解:(1), (2)是全称命题,(3),(4)是特称命题 (1)真;(2)假;(3)真;(4)假

变式训练: (1).有下列四个命题,其中真命题是( B )

(A)?n∈R,n2≥n (B)?n0∈R,?m∈R,m· n0=m
(C)?n∈R,?m∈R,m2<n (D)?n∈R,n2<n

【解析】选B.对于选项A,令n= ,即可验证不正确;
1 对于选项C、选项D,可令n=-1加以验证其不正确, 2

故选B.

(2).下列命题:①存在x0<0,使|x0|>x0;
②对于一切 x < 0,都有 |x| > x;

③已知an=2n,bn=3n,对于任意n∈N+,都有an≠bn;
④已知A={a|a=2n},B={b|b=3n},对于任意n∈N+, 都有A∩B=

? .

其中,所有正确命题的序号为 ①②③ .

(3)下列命题中,真命题是( D ) (A)?x0∈R, (B)?x∈R,2x>x2 a (C)a+b=0的充要条件是 = -1 (D)a>1,b>1是ab>1的充分条件 b

e ≤0

x0

(4)下列命题为假命题的是( D )
(A)?x∈R, x2+x+1>0

(B)?x0∈R,

e + x0 = 1

x0

(C)?a0∈R, f (x)=x3+a0x在(- ∞, +∞ )上单调递增 (D)?a∈R, f (x)= x2+ax+a 存在零点

3.含有一个量词的命题的否定.

? x0 ? M , ?p( x0 ), (1)全称命题 p: ?x∈M, p(x), 它的否定 ?p : ______________

特称命题 . 即全称命题的否定是____________

? x ? M , ?p( x0 ) (2)特称命题 p: ?x0∈M, p(x0), 它的否定 ?p : _____________ ,

全称命题 . 即特称命题的否定是____________

3.常用全称量词的否定形式
词语
每一个

所有的
有的

一个也没有 至少有一个

任意 存在

词语的否定 存在一个

4.一些常见判断词的否定
词语 词语的 否定



一定是 不一定 是

都是

大于 小于或

小于 大于或

不是

不都是

等于(不 等于(不 大于) 小于)

题型三、全称命题和特称命题的否定及其真假判断 例3:写出下列命题的否定,并判断它们的真假:

(1)所有的矩形都是平行四边形;
(2)每一个素数都是奇数; (3)有些实数的绝对值是正数;

(4)某些平行四边形是菱形. 思维突破:全称命题的否定是特称命题,

特称命题的否定 是全称命题.“存在”对应“任意”.

自主解答:(1)存在一个矩形不是平行四边形,假命题.
(2)存在一个素数不是奇数,真命题.

(3)所有实数的绝对值都不是正数,假命题.
(4)每一个平行四边形都不是菱形,假命题.

【变式与拓展】 1.下列四个命题的否定中真命题的个数是( C ) ①所有实数的平方都是正数; ②任何实数 x 都是方程 5x-12=0 的根; ③被 8 整除的整数能被 4 整除; ④若一个四边形是正方形,则它的四条边相等. A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个

解析:①的否定为:存在一个实数 x,它的平方不是正数, 是真命题,如 02=0 不是正数;②的否定为:存在一个实数 x0, ③④为真命题,所以真命题的否定为假命题.

x0 不是方程 5x-12=10 的根,是真命题.如 x0=0,5×0-12≠0;

例3.(1)已知命题p:?x1,x2∈R, (f(x2)-f(x1))(x2-x1)≥0, 则﹁p为( )

(A)?x1, x2∈R , (f (x2) - f (x1))(x2 - x1)≤0

C

(B)?x1, x2∈R , (f (x2) - f (x1))(x2 - x1)≤0
(C)?x1, x2∈R , (f (x2) - f (x1))(x2 - x1) < 0 (D)?x1, x2∈R , (f (x2) - f (x1))(x2 - x1) < 0

2 x - a0 (2)“?a0∈R,函数 f (x) = x 是R上的奇函数”的否定是 2 + a0 x 2 -a ?a∈R,函数 f (x) = x 不是R上的奇函数 ________________________________________ 2 +a

【变式训练】(1)已知命题p:?n0∈N,
为( A ) (A)?n∈N, 2n≤1000
0 (C)?n0∈N, 2 n≤1000

2 >1000, 则﹁p

n0

(B)?n∈N, 2n>1000
0 (D)?n0∈N, 2 n<1000

0 【解析】选A.命题p:?n0∈N, 2 n>1000, 是特称命题, 其

否定为 ?n∈N, 2n≤1000.

(2)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定D (

)

(A)所有不能被2整除的整数都是偶数
(B)所有能被2整除的整数都不是偶数 (C)存在一个不能被2整除的整数是偶数 (D)存在一个能被2整除的整数不是偶数 【解析】选D.全称命题的否定为特称命题,即将“所有” 变为“存在”,并且将结论进行否定.该命题的否定为“存 在一个能被2整除的整数不是偶数”.

例4.写出下列命题的否定.

(1)所有自然数的平方是正数.
(2)任何实数x都是方程5x - 12 = 0的根. 略解:方法一:(1)有些自然数的平方不是正数. (2)存在实数 x 不是方程 5x - 12 = 0 的根. 方法二:(1) ?x0∈N,使得 x0 ≤0. (2) ?x0∈R,使得 5x0 - 12 ≠ 0.

练习:写出下列全称命题的否定:

(1) p:?x > 1,log2x > 0;
(2) p:?T = 2k? ,k∈Z,sin(x+T) = sinx; (3) p:直线l⊥平面α,则对任意l′?α,l ⊥ l′. 【解析】(1) p:?x0>1,log2x0≤0. (2) p:?T0=2kπ,k∈Z,sin(x+T0)≠sinx. (3) p:直线l⊥平面α,则?l′?α,l与l′不垂直.

注意命题的否定与否命题的区别!

例5.写出下列命题的否定,并判断其真假.
(1)p:有的正方形是矩形;
2 - x0 + 2 >0; (2)r:?x0∈R,x0

3 (3)s:至少有一个实数x0,使 x0 += 1 0;

(4)q:?x0,y0∈N,如果

x0 + y0 = 0, 则x0=0且y0=0.

(5)m:存在实数x,使x>1

解:(1) ?p:任意一个正方形都是矩形,真命题. (2) ? r:?x∈R,x2-x+2≤0,假命题. (3) ?s:?x∈R,x3+1≠0,假命题.

(4)?q:?x,y∈N,如果 x + y = 0 ,则x=0或y=0,假命题.

(5)?m:?x∈R,x≤1 ,假命题

练习:写出下列特称命题的否定:
2 (1)p:?x0>1,使 x0 -2 x0-3 =0;

(2)p:若an=-2n+10,则?n0∈N,使 Sn ? 0 ;
0

(3)p:a,b是异面直线,?A0∈a,B0∈b,使 A0B0⊥a且A0B0⊥b.

解:(1) ?p:?x>1,使x2-2x-3≠0; (2) ?p:若an=-2n+10,则对?n∈N,有Sn≥0;

(3) ? p:a,b是异面直线,则?A∈a,B∈b,有AB
? a垂直或不与b垂直. 不与

例6. (1).函数f(x)对一切实数x, y均有

-2 f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立,且f (1)=0,则f(0)=______.
(2).关于x的函数y = x2-(a+1)x+2a对于任意a∈[-1,1] 的值都有y > 0,求实数 x 的取值范围.

(2).设f(a)=x2-(a+1)x+2a,则有f(a)=(2-x)a+x2-x,a∈[-1, 1], ∵a∈[-1,1]时,y=f(a)>0恒成立,则

①当x=2时,f(a)=2>0显然成立;
②当x≠2时,由f(a)>0在a∈[-1,1]上恒成立,得
2 ? f 1 ? 0, ? ? ? ? ? x - 2 ? 0, 即? 2 ? ? ? ? x - 2x + 2 ? 0, ?f ?1? ? 0,

解之得x > 2 或x< - 2 .综上可得:x >

2 或x< - 2.

15 练习:已知命题“?x∈R,x - 5x + a >0”的否定为假 2
2

命题,求实数a的取值范围.
2

15 略解:由“?x∈R, x - 5x + a >0”的否定为假命题, 2 15 2 x - 5x + >0” a 必为真命题,即 可知命题“?x∈R, 2 15 2 不等式 > 0 对任意 x∈R恒成立, x - 5x + a 2 15 故Δ=25-4× a<0,

2 5 5 解得a> ,即实数a的取值范围为( ,+∞).
6

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