nbhkdz.com冰点文库

高中数学选修2-3导学案


湖南宁远一中

高二数学◆选修 2-3◆导学案

编写:

校审:

§ 分类加法计数原理与 1.1 分步乘法计数原理(1)
学习目标
1.通过实例,总结出分类计数原理、分步计数原理; 2. 了解分类、分步的特征,合理分类、分步; 3. 体会计数的基本原则:不重复,不遗漏.

/>
伯数字,以 A1 , A2 ,? ? ?, B1 , B2 , ?的方式给教室的座 位编号,总共能编出多少种不同的号码? 分析:每一个编号都是由 个部分组成,第一部 分是 ,有____种编法,第二部分是 , 有 种编法;要完成一个编号,必须完成上面两 部分,每一部分就是一个步骤,所以,不同的号码 一共有 个. 新知:分步计数原理-乘法原理: 完成一件工作需要两个步骤, 完成第 1 步有 m 种 不同的方法, 完成第 2 步有 n 种不同的方法, 那么, 完成这件工作共有 m? n 种不同方法。 试试:从 A 村去 B 村的道路有 3 条,从 B 村去 C 村的道路有 2 条, A 村经 B 村去 C 村, 从 不同的路 线有 条. 反思:使用乘法原理的条件是什么?分步乘法原理 可以推广到两部以上的问题吗?

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P2~ P5,找出疑惑之处) 复习 1 从高二(1)班的 50 名学生中挑选 1 名同学 担任学校元旦晚会主持人,有多少种不同挑选结 果?

复习 2:一次会议共 3 人参加,结束时,大家两两 握手,互相道别,请你统计一下,大家握手次数共 有多少?

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:分类计数原理 问题 1:用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字 给教室的座位编号,总共能编出多少种不同的号 码?
分析:给座位编号的方法可分____类方法? 第一类方法用 ,有___ 种方法; 第二类方法用 ,有___ 种方法; ∴ 能编出不同的号码有__________ 种方法. 新知:分类计数原理-加法原理: 如果完成一件工作有两类不同的方案,由第 1 类 方案中有 m 种方法,在第 2 类方案中有 n 种不同的 方法,那么,完成这件工作共有 m? n 种不同的方 法. 试试:一件工作可以用 2 种方法完成,有 5 人只会 用第 1 种方法完成,另有 4 人只会用第 2 种方法完 成,从中选出 1 人来完成这项工作,不同选法的种 数是 . 反思:使用分类计数原理的条件是什么?分类加法 原理可以推广到两类以上的方法吗? 探究任务二:分步计数原理 问题 2: 用前六个大写的英文字母和 1~9 九个阿拉
1

※ 典型例题
例 1 在填报高考志愿时,一名高中毕业生了解到, A,B 两大学都有一些自己感兴趣的专业,具体 如下: A 大学 B 大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 信息技术学 物理学 法学 工程学 那么,这名同学可能的专业选择共有多少种?

变式: 在上题中, 如果数学也是 A 大学的强项专业, 则 A 大学共有 6 个专业可以选择,B 大学共有 4 个 专业可以选择,那么用分类加法原理,得到这名同 学可能的专业选择共有 6 ? 4 ? 10 种.这种算法对 吗?

小结:加法原理针对的是分类问题,其中的各种方 法相互独立,用其中任何一种方法都可以完成这件 事.

2008 年下学期◆高二





班级:

姓名:

第一章 计数原理

2 个.
例 2 书架的第 1 层放有 4 本不同的计算机书,第 2 层放有 3 本不同的文艺书,第 3 层放有 2 本不同的 体育书, (1) 从书架上任取 1 本书, 有多少种不同的取法? (2)从书架的第 1、2、3 层各取 1 本书,有多少 种不同的取法?

n

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
) .

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 一个商店销售某种型号的电视机, 其中本地产品 有 4 种,外地产品有 7 种,要买 1 台这种型号的 电视机,有 种不同的选法.
2. 某班有男生 30 人, 女生 20 人, 现要从中选出男, 女各 1 人代表班级参加比赛,共有 种不同选法. 3. 乘 积 ?a1 ? a2 ? ? ? ? ? an ??b1 ? b2 ? ? ? ? ? bn ? 展 开 后,共有 项.

变式:要从甲,乙,丙 3 副不同的画中选出 2 副, 分别挂在左,右两边墙上的指定位置,问共有多少 种不同的选法?

4. 要从甲、乙、丙 3 名工人中选出 2 名分别上日班 和晚班,有 种不同的选法. 5. 一种号码拨号锁有 4 个拨号盘, 每个拨号盘上有 从 0 到 9 共 10 个数字, 4 个拨号盘可以组成 个 这 四位数号码.

小结:在解决实际问题中,要分清题意,正确选择 加法原理和乘法原理,乘法原理针对的是分步问 题,其中的各步骤相互依存,只有各个步骤都完成 才算完成这件事.

课后作业
1. 如图,从甲地到乙地有 2 条路,从乙地到丁地 有 3 条路;从甲地到丙地有 4 条路,从丙地到丁地 有 2 条路.从甲地到丁地共有多少条不同的路线?

※ 动手试试 练 1. 现有高一年级的学生 3 名, 高二年级的学生 5 名,高三年级的学生 4 名. ⑴ 从中任选 1 人参加接待外宾的活动,有多少种 不同的选法? ⑵ 从 3 个年级的学生中各选 1 人参加接待外宾的 活动,有多少种不同的选法?
2. 如图,一条电路从 A 处到 B 处接通时,可有多 少条不同的线路?

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 什么是分类加法原理?加法原理使用的条件是 什么? 2. 什么是分步乘法原理?乘法原理使用的条件是 什么? ※ 知识拓展 集合 A 中有 n 个元素, 则集合 A 的子集的个数有
2

湖南宁远一中

高二数学◆选修 2-3◆导学案

编写:

校审:

§ 1.1. 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理(2)
学习目标
1. 能根据具体问题的特征,选择运用分类计数原 理、分步计数原理; 2. 能综合运用两个原理解决一些简单的实际问 题; 3. 会用列举法解一些简单问题,并体会两个原理 的作用.

反思:在实际问题中,一个问题可能同时使用两个 原理,有时还可能多次使用同一原理.

※ 典型例题 例 1 核糖核酸 (RNA) 分子是生物细胞中发现的化 学成分.一个 RNA 分子是一个有着数百个甚至数千 个位置的长链,长链中每一个位置上都由一种称为 碱基的化学成分所占据.总共有 4 中不同的碱基, 分 别是 A,C,G,U 表示.在一个 RNA 分子中,各种碱基 能够以任意次序出现,所以在任意位置上的碱基与 其他位置的碱基无关.假设有一类 RNA 分子有 100 个碱基组成,那么能有多少种不同的 RNA 分子?

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P5~ P10,找出疑惑之处) 复习 1:什么是分类计数原理?什么是分步计数原 理?它们在使用时的主要区别是什么?

复习 2:现有高二年级某班三个组学生 24 人,其中 第一、二、三组各 7 人、8 人、9 人,他们自愿组 成数学兴趣小组. ⑴ 选其中 1 人为负责人, 有多少种不同的选法? ⑵ 每组选 1 名组长,有多少种不同的选法?

变式:电子元件很容易实现电路的通与断,电位的 高与低等两种状态,而这也是最容易控制的两种状 态.因此计算机内部就采用了每一位只有 0 或 1 两种 数字的计数法, 即二进制.为了使计算机能够识别字 符,需要对字符进行编码,每个字符可以用一个或 两个字节来表示,其中字节是计算机中数据存储的 最小计量单位,每个字节由 8 个二进制位构成.问: ⑴ 一个字节(8 位)最多可以表示多少个不同的字 符? ⑵ 计算机汉字国标码包含了 6763 个汉字,一个汉 字为一个字符,要对这些汉字进行编码,每个汉字 至少要用多少个字节表示?

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:两个原理的应用 问题:给程序模块命名,需要用 3 个字符,其中首 字符要求用字母 A~G 或 U~Z, 后两个要求用数字 1~9.问最多可以给多少个程序命名?

小结:使用分步计数原理时,要注意各步中所有的 可能情况,做到不重不漏.

新知:用两个计数原理解决计数问题时,最重要的 是在开始计算之前进行仔细分析,正确选择是分类 还是分步.分类要做到“不重不漏” ,分类后再分别 对每一类进行计数,最后用加法原理求和;分步要 做到“步骤完整” ,完成所有步骤,恰好完成任务. 试试: 积 ?a1 ? a2 ? a3 ??b1 ? b2 ? b3 ??c1 ? c2 ? c3 ? c4 ? 展开后共有多少项?
3

例 2 计算机编 程人员在编好 程序以后需要 对程序进行测 试.程序员需要 知道到底有多 少条执行路径, 以便知道需要 提供多少个测 试数据.一般地, 一个程序模块

2008 年下学期◆高二





班级:

姓名:

第一章 计数原理

由许多子模块组成.如图, 它是一个具有许多执行路 径的程序模块.问:这个程序模块有多少条执行路 径?

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
) .

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 从 5 名同学中选出正, 副组长各一名, 共有 种 不同的选法.
2. 某电话局管辖范围内的电话号码由 8 位数字组 成,其中前 4 位的数字是不变的,后 4 位数字都 是 0 到 9 之间的一个数字,那么这个电话局最多 有 个. 3. 用 1,5,9,13 中的任意一个数作分子,4,8, 12,16 中任意一个数作分母,可以构成 个不 同的分数,可以构成 个不同的真分数. 4. 在平面直角坐标系内, 横坐标与纵坐标均在集合 {0,1,2,3,4,5}内取值的不同点共有 个. 5. 有 4 名同学分别报名参加学校的足球队,篮球 队,乒乓球队,每人限报其中的一个运动队,不同 的报名种数是 .

变式:随着人们生活水平的提高,某城市家庭汽车 拥有量迅速增长,汽车牌照号码需要扩容.交通管 理部门出台了一种汽车牌照组成办法,每一个汽车 牌照都必须有 3 个不重复的英文字母和 3 个不重复 的阿拉伯数字,并且 3 个字母必须合成一组出现, 3 个数字也必须合成一组出现.那么这种办法共能 给多少辆汽车上牌照?

※ 动手试试 练 1. 某商场有 6 个门,如果某人从其中的任意一 个门进入商场,并且要求从其他的门出去,共有多 少种不同的进出商场的方式?

课后作业
1. 设 x, y ? N? , x ? y ? 4 ,则在直角坐标系中满 足条件的点 M ? x, y ? 共有 个;

2.在在平面直角坐标系内,斜率在集合 B={1,3, 5,7}, y 轴上的截距在集合 C={2,4,6,8} 内取值的不同直线共有 条. 练 2. 由数字 0,1,2,3,4 可以组成多少个三位 数?(各位上的数允许重复) 3. 有 3 个班的同学分别从 5 个风景点中选择一处游 览,不同选法种数是 . 4. 在 1~20 共 20 个整数中取两个数相加,使其和为 偶数的不同取法共有 种. 5. 用 1,2,3 三个数字,可组成 数字的自然数. 个无重复

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 正确选择是分类还是分步的方法
2. 分类要做到“不重不漏” ,分步要做到“步骤完 整”.

6. 一个班级有 8 名教师,30 位男同学,20 名女同 学,从中任选教师代表和学生代表各一名,共有不 同的选择种数为 .

※ 知识拓展 乘法运算是特定条件下加法运算的简化,分步乘法 计数原理和分类加法计数原理也有类似关系.
4

湖南宁远一中

高二数学◆选修 2-3◆导学案

编写:

校审:

§ 1.2.1. 排列(1)
学习目标
1. 理解排列、排列数的概念; 2. 了解排列数公式的推导.

题? 探究任务二:排列数及其排列数公式 新知 2 排列数的定义 从 个 元素中取出 ( m ? n )个元素 的 的个数,叫做从 n 个不同元素取出 m 元素的排列数,用符合 表示. 试试: 从 4 个不同元素 a,b, c,d 中任取 2 个, 然后按照一定的顺序排成一列,共有多少种不同的 排列方法?

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P14~ P18,找出疑惑之处) 复习 1:交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办 法,每一个汽车牌照都必须有 2 个不重复的英文字 母和 4 个不重复的阿拉伯数字,并且 2 个字母必须 合成一组出现,4 个数字也必须合成一组出现.那么 这种办法共能给多少辆汽车上牌照?

问题: ⑴ 从 n 个不同元素中取出 2 个元素的排列数是多 少? ⑵ 从 n 个不同元素中取出 3 个元素的排列数是 少? ⑶ 从 n 个不同元素中取出 m( m ? n )个元素的 排列数是多少?

复习 2:从甲,乙,丙 3 名同学中选出 2 名参加一 项活动,其中 1 名同学参加上午的活动,另一名参 加下午的活动,有多少种不同的选法?

新知 3 排列数公式 从 n 个不同元素中取出 m( m ? n )个元素的排列
m 数 An ?

新知 4 全排列 从 n 个不同元素中

取出的一个排列,叫做 n

n 个元素的一个全排列,用公式表示为 An ?

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:排列 问题 1:上面复习 1,复习 2 中的问题,用分步计 数原理解决显得繁琐,能否对这一类计数问题给出 一种简捷的方法呢?

※ 典型例题
4 2 例 1 计算:⑴ A10 ; ⑵ A18 ; 10 4 ⑶ A10 ? A4 .

变式:计算下列各式: 新知 1:排列的定义 一般地,从 n 个 元素中取出 m( 素,按照一定的 排成一排,叫做从 元素中取出 个元素的一个排列.
2 ⑴ A15 ; 6 ⑵ A6

)个元 个不同

3 2 ⑶ A8 ? 2A8 ;



A88 . A66

试试: 写出从 4 个不同元素中任取 2 个元素的所 有排列.

反思:排列问题有何特点?什么条件下是排列问
5

2008 年下学期◆高二





班级:

姓名:

第一章 计数原理

以 S(D)=9!/9.
m 例 2 若 An ? 17 ?16 ?15 ??? 5 ? 4 , n ? 则



学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
; ; ) .

m?



※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
变 式 : 乘 积 ( 5 5? n ) ( 5 6 n ? ? ) 排列数符号表示

( 6 8n ? . n ? N, ) (

3 2 ) (? n 用 ) 1. 计算: 5 A5 ? 4 A4 ? 69

. 1 2 3 4 2.. 计算: A4 ? A4 ? A4 ? A4 ?

m m 例 3 求证: An ? nAn??1 1

3. 某年全国足球甲级(A 组)联赛共有 14 队参加, 每队都要与其余各队在主客场分别比赛 1 次,共 进行 场比赛; 4. 5 人站成一排照相,共有 种不同的站法;

8 7 6 7 变式 求证: A8 ? 8 A7 ? 7 A6 ? A7

5. 从 1,2,3,4 这 4 个数字中,每次取出 3 个排 成一个 3 位数,共可得到 个不同的三位数.

课后作业
n?1 n n?1 1. 求证: An?1 ? An ? n 2 An?1

m m 小结:排列数 An 可以用阶乘表示为 An =

※ 动手试试 练 1. 填写下表: n 2 3 n!

4

5

6

7 2. 一个火车站有 8 股岔道,停放 4 列不同的火车, 有多少种不同的停放方法(假设每股道只能停放 1 列火车)?

练 2. 从 2,3,5, 7,11这五个数字中,任取 2 个数字 组成分数,不同值的分数共有多少个?

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 排列数的定义
2. 排列数公式及其全排列公式. 3.一部记录片在 4 个单位轮映, 每一单位放映 1 场, 有多少种轮映次序?

※ 知识拓展 有 9 个人坐成一圈,问不同坐法有多少种? 解:9 个人坐成一圈的不同之处在于,没有起点和 终点之分。设集合 D 为坐成一圈的坐法的集合。以 任何人为起点,把圈展开成直线,在集合 A 中都对 应不同元素,但在集合 D 中相当于同一种坐法,所 以集合 D 中每个元素对应集合 A 中 9 个元素,所
6

湖南宁远一中

高二数学◆选修 2-3◆导学案

编写:

校审:

§ 1.2.1. 排列(2)
学习目标
1 熟练掌握排列数公式; 2. 能运用排列数公式解决一些简单的应用问题.

新知:解排列问题时,当问题分成互斥各类时,根 据加法原理, 可用分类法; 当问题考虑先后次序时, 根据乘法原理,可用位置法;这两种方法又称作直 接法.当问题的反面简单明了时,可通过求差采用 间接法求解; 另外, 排列中 “相邻” 问题可以用 “捆 绑法”;“分离”问题可能用“插空法”等.

※ 典型例题
例 1 (1)6 男 2 女排成一排,2 女相邻,有多少种 不同的站法? (2)6 男 2 女排成一排,2 女不能相邻,有多少种 不同的站法? (3)4 男 4 女排成一排,同性者相邻,有多少种不 同的站法? (4)4 男 4 女排成一排,同性者不能相邻,有多少 种不同的站法?

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P5~ P10,找出疑惑之处) 复习 1: 什么叫排列?排列的定义包括两个方面分 . 别是 和 ;两个排列 相同的条件是 相同, 也 相同
王新敞
奎屯 新疆

复习 2:排列数公式:
m An =

( m, n ? N ? , m ? n ) = . 变式: :某小组 6 个人排队照相留念. (1) 若排成一排照相,甲、乙两人必须在一起,有 多少种不同的排法? (2) 若排成一排照相,其中甲必在乙的右边,有多 少种不同的排法? (3) 若排成一排照相,其中有 3 名男生 3 名女生, 且男生不能相邻有多少种排法? (4) 若排成一排照相,且甲不站排头乙不站排尾, 有多少种不同的排法? (5) 若分成两排照相,前排 2 人,后排 4 人,有多 少种不同的排法?

n 全排列数: An =

复习 3 从 5 个不同元素中任取 2 个元素的排列数 是 ,全部取出的排列数是 二、新课导学

※ 学习探究: 探究任务一:排列数公式应用的条件 问题 1: ⑴ 从 5 本不同的书中选 3 本送给 3 名同学,每人 各 1 本,共有多少种不同的送法? ⑵ 从 5 种不同的书中买 3 本送给 3 名同学,每人 各 1 本,共有多少种不同的送法?
新知:排列数公式只能用在从 n 个不同元素中取 出 m 个元素的的排列数, 对元素可能相同的情况 不能使用.

探究任务二:解决排列问题的基本方法 问题 2:用 0 到 9 这 10 个数字,可以组成多少个没 有重复数字的三位数?

小结:对比较复杂的排列问题,应该仔细分析,选 择正确的方法. 例 2 用 0,1,2,3,4,5 六个数字,能排成多少 个满足条件的四位数. (1)没有重复数字的四位偶数? (2)比 1325 大的没有重复数字四位数?

7

2008 年下学期◆高二





班级:

姓名:

第一章 计数原理

变式:用 0,1,2,3,4,5,6 七个数字, ⑴ 能组成多少个没有重复数字的四位奇数? ⑵ 能被 5 整除的没有重复数字四位数共有多少 个?

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
) .

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 某农场为了考察 3 个水稻品种和 5 个小麦品种的 质量,要在土质相同的土地上进行试验,应该安 排的试验区共有 块.
2. 某人要将 4 封不同的信投入 3 个信箱中, 不同的 投寄方法有 种.

※ 动手试试 练 1.从 4 种蔬菜品种中选出 3 种,分别种植在不同 土质的 3 块土地上进行实验,有多少种不同的种植 方法?

3. 用 1,2,3,4,5,6 可组成比 500000 大、且没 有重复数字的自然数的个数是 . 4. 现有 4 个男生和 2 个女生排成一排, 两端不能排 女生,共有 种不同的方法. 5. 在 5 天内安排 3 次不同的考试, 若每天至多安排 一次考试,则不同的排法有 种.

课后作业
练 2. 在 3000 至 8000 之间有多少个无重复数字的 奇数? 1..一个学生有 20 本不同的书.所有这些书能够以 多少种不同的方式排在一个单层的书架上?

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 正确选择是分类还是分步的方法,分类要做到 “不重不漏” ,分步要做到“步骤完整.
2..正确分清是否为排列问题满足两个条件:从不同 元素中取出元素,然后排顺序. 2.学校要安排一场文艺晚会的 11 个节目的演出顺 序.除第一个节目和最后一个节目已确定外,4 个 音乐节目要求排在第 2,5,7,10 的位置,3 个 舞蹈节目要求排在第 3,6,9 的位置,2 个曲艺 ※ 知识拓展 节目要求排在第 4,8 的位置,求共有多少种不 同的排法? 有 4 位男学生 3 位女学生排队拍照, 根据下列要求, 各有多少种不同的排列结果? (1)7 个人排成一排,4 个男学生必须连在一起; (2)7 个人排成一排,其中甲、乙两人之间必须间 隔 2 人.

8

湖南宁远一中

高二数学◆选修 2-3◆导学案

编写:

校审:

从n个

元素中取出 m ? m ? n? 个元素的



§ 1.2.2. 组合(1)
学习目标
1. 正确理解组合与组合数的概念; 2. 弄清组合与排列之间的关系; 3. 会做组合数的简单运算;.

合的个数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素 的组合数.用符号 表示. ... 探究任务三 组合数公式
m Cn = 0 我们规定: C n ?



学习过程
一、课前准备 (预习教材 P21~ P23,找出疑惑之处) 复习 1:什么叫排列?排列的定义包括两个方面, 分别是 和 . 复习 2:排列数的定义: 从 个不同元素中,任取 个元素的 排列 的个数叫做从 n 个元素中取出 m 元素的排列数, 用 符号 表示
王新敞
奎屯 新疆

※ 典型例题
例 1 甲、乙、丙、丁 4 个人, (1)从中选 3 个人组成一组,有多少种不同的方 法?列出所有可能情况; (2)从中选 3 个人排成一排,有多少种不同的方 法?

m 复习 3:排列数公式: An =

( m, n ? N ? , m ? n )

变式: 甲、乙、丙、丁 4 个足球队举行单循环赛: (1)列出所有各场比赛的双方; (2)列出所有冠亚军的可能情况.

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:组合的概念 问题:从甲,乙,丙 3 名同学中选出 2 名去参加一 项活动,有多少种不同的选法?

新知: 一般地, 从



元素中取出

? m ? n?

小结:排列不仅与元素有关,而且与元素的排列顺 序有关,组合只与元素有关,与顺序无关,要正确 区分排列与组合.

个元素 一组, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个 元素的一个组合. 试试:试写出集合 ?a,b,c,d,e? 的所有含有 2 个元 素的子集.

7 4 例 2 计算: (1) C 7 ; (2) C10

反思:组合与元素的顺序 需要 个条件,是 合有何关系?

关,两个相同的组合 ;排列与组

变式:求证: C n ?
m

m ? 1 m ?1 ?C n n?m

探究任务二.组合数的概念:
9

2008 年下学期◆高二





班级:

姓名:

第一章 计数原理

元素的组合数。至 1872 年,埃汀肖森引入了 以表 相同之意,这组合符号(Signs of Combinations)一 直 沿用至今.

※ 动手试试 练 1.计算: 2 ⑴ C6 ;
3 2 ⑶ C7 ? C6 ;

学习评价
3 ⑵ C8 ; 3 2 ⑷ 3C8 ? 2C5 .

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
1. 若 8 名学生每 2 人互通一次电话,共通 电话.

) .

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:


2. 设集合 A ? ?a,b,c,d,e? ,B ? A ,已知 a ? B , 且 B 中含有 3 个元素,则集合 B 有
3 3. 计算: C10 =

个.

.

练 2. 已知平面内 A,B,C,D 这 4 个点中任何 3 个点都不在一条直线上,写出由其中每 3 点为顶点 的所有三角形.

4. 从 2,3,5,7 四个数字中任取两个不同的数相 乘,有 m 个不同的积;任取两个不同的数相除,有 . n 个不同的商,则 m : n = 5. 写出从 a,b,c,d ,e 中每次取 3 个元素且包含字母

a ,不包含字母 b 的所有组合
练 3. 学校开设了 6 门任意选修课,要求每个学生 从中选学 3 门,共有多少种选法? 1.计算:
2 ⑴ C15 ; 3 2 ⑵ C6 ? C8 ;

课后作业

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 正确理解组合和组合数的概念
2.组合数公式:

Cnm ?

Anm n(n ? 1)(n ? 2)?(n ? m ? 1) ? m Am m!

或者:

C m? n

n! (n, m ? N ? , 且m ? n) m!(n ? m)!

2. 圆上有 10 个点: ⑴ 过每 2 个点画一条弦,一共可以画多少条弦? ⑵ 过每 3 点画一个圆内接三角形,一共有多少个 圆内接三角形?

※ 知识拓展 . 1772 年,旺德蒙德以[n]p 表示由 n 个不同的元素 中每次取 p 个的排列数。而欧拉则於 1771 年以 及 於 1778 年以表示由 n 个不同元素中每次取出 p 个
10

湖南宁远一中

高二数学◆选修 2-3◆导学案

编写:
18 试试:计算: C20

校审:

§ 1.2.2 组合(2)
学习目标
1. 掌握组合数的两个性质;
王新敞
奎屯 新疆

x 反思:⑴若 x ? y ,一定有 Cn ? Cny ?
x ⑵若 Cn ? Cny ,一定有 x ? y 吗?

问题 2

从 a1 , a2 ,? , an?1 这 n+1 个不同元素中取

2. 进一步熟练组合数的计算公式, 能够运用公式解 决一些简单的应用问题;

出 m 个元素的组合数是 ,这些组合可以分 为两类:一类含有元素 a1 ,一类是不含有 a1 .含 有 a1 的组合是从 a2 , a3 ,? , an?1 这 取出 个元素与 a1 组成的,共有 有 a1 的组合是从 a2 , a3 ,? , an?1 这 出 个元素组成的,共有 得到什么结论? 新知 2 组合数性质 2 个元素中 个;不含 个元素中取 个.从中你能

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P24~ P25,找出疑惑之处) 复习 1:从 素 个 元素中取出

? m ? n? 个元 ? m ? n? 个

一组, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素 元素中取出

m m m Cn?1 = C n + Cn ?1

的一个组合; 从 个

元素的 组合的个数,叫做从 n 个不同元素中 取出 m 个元素的组合数.用符号 表示. ... 复习 2: 组合数公式:
m Cn =

※ 典型例题
3 4 5 6 例 1(1)计算: C7 ? C7 ? C8 ? C9 ;



二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:组合数的性质 问题 1:高二(6)班有 42 个同学 ⑴ 从中选出 1 名同学参加学校篮球队有多少种选 法? ⑵ 从中选出 41 名同学不参加学校篮球队有多少种 选法? ⑶ 上面两个问题有何关系?
2 2 2 2 变式 1:计算 C3 ? C4 ? C5 ? ?? C100

n n n n 例 2 求证: Cm? 2 = C m + 2Cm?1 + Cm?2

新知 1:组合数的性质 1: Cn ? Cn
m

n ?m



一般地,从 n 个不同元素中取出 m 个元素后,剩下 n ? m 个元素.因为从 n 个不同元素中取出 m 个元 素的每一个组合,与剩下的 n ? m 个元素的每一个 组合一一对应, .... 所以从 n 个不同元素中取出 m 个元 素的组合数,等于从这 n 个元素中取出 n ? m 个元 素的组合数,即: Cn ? Cn
m n ?m

变式 2:证明: Cn ? Cn
m

m?1

m ? Cn??1 1

11

2008 年下学期◆高二





班级:

姓名:
0 3 1 4 2 5

第一章 计数原理

17 ⑵ 计算 C ? C ? C ? ?? C20

小结:组合数的两个性质对化简和计算组合数中用 用处广泛,但在使用时要看清公式的形式.
n? n例 3 解不等式 C10 3 ? C10 2 ? n ? N+ ? .

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
90 89 1. C100 - C99 = n 2 2. 若 C12 ? C12n-3 ,则 n ?

) .

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
n n 练 3 :解不等式: C4 ? C6

※ 动手试试
5 4 2 2 练 1.若 C6 - C4 ? C4 x ? C4 x?1 ,求 x 的值

3.有 3 张参观券,要在 5 人中确定 3 人去参观,不 同方法的种数是 ;
7 7 8 4. 若 Cn?1 ? Cn ? Cn ,则 n ? 9 9 8 5. 化简: Cm - Cm?1 ? Cm ?

; .

练 2. 解方程:
x 2 (1) C13?1 ? C13x ?3

课后作业
1. 计算:
197 ⑴ C200 ; n n ⑵ Cn?1 ? Cn ?2

(2) C x ? 2 ? C x ? 2 ?

x?2

x ?3

1 3 Ax ?3 10

2. 壹圆,贰圆,伍圆,拾圆的人民币各 1 张,一共 可以组成多少种币值?

三、总结提升 ※ 学习小结
1. 组合数的性质 1: Cn ? Cn
m
m

n ?m

m m 2. 组合数性质 2: Cn?1 = C n + Cn ?1

※ 知识拓展
⑴ 计算 C3n
38?n 3n ? C21?n

12 8 3. 若 Cn ? Cn ,求 C21 的值 n

12

湖南宁远一中

高二数学◆选修 2-3◆导学案

编写:

校审:

试试:⑴平面内有 10 个点,以其中每 2 个点为端 点的线段共有多少条? ⑵平面内有 10 个点,以其中每 2 个点为端点 的有向线段多少条?

§ 1.2.2 组合(3)
学习目标
1. 进一步理解组合的意义,区分排列与组合; 2. 进一步巩固组合、组合数的概念及其性质; 3. 熟练运用排列与组合,解较简单的应用问题.

反思:排列组合在一个问题中能同时使用吗?

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P27~ P28,找出疑惑之处) 复习 1:⑴ 从 个 元素中取出

※ 典型例题 例 1 在 100 件产品中,有 98 件合格品,2 件次品. 从这 100 件产品中任意抽出 3 件. ⑴ 有多少种不同的抽法? ⑵ 抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少 种? ⑶ 抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少 种?

? m ? n? 个

元素的 组合的个数,叫做从 n 个不同元素中 取出 m 个元素的组合数,用符号 表示;从 个 ...

元素中取出 (m ? n) 个元素的 的 个数,叫做从 n 个不同元素取出 m 元素的排列数, 用符合 表示.
m ⑵ An =
m Cn = m m An 与 C n 关系公式是



变式: 200 件产品中有 2 件次品, 在 从中任取 5 件: ⑴ 其中恰有 2 件次品的抽法有多少种? ⑵ 其中恰有 1 件次品的抽法有多少种? ⑶ 其中没有次品的抽法有多少种? ⑷ 其中至少有 1 件次品的抽法有多少种? . .

复习 2: 组合数的性质 1: 组合数的性质 2:

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:排列组合的应用 问题:一位教练的足球队共有 17 名初级学员,他 们中以前没有一人参加过比赛.按照足球比赛规则, 比赛时一个足球队的上场队员是 11 人.问: ⑴ 这位教练从 17 位学员中可以形成多少种学员上 场方案? ⑵ 如果在选出 11 名上场队员时,还要确定其中的 守门员,那么教练员有多少种方式做这件事?
小结:对综合应用两个计数原理以及组合知识问 题,思路是:先分类,后分步 . 例 2 现有 6 本不同书,分别求下列分法种数: ⑴ 分成三堆,一堆 3 本,一堆 2 本,一堆 1 本; ⑵ 分给 3 个人,一人 3 本,一人 2 本,一人 1 本; ⑶ 平均分成三堆.

新知:排列组合在实际运用中,可以同时使用,但 要分清他们的使用条件:排列与元素的顺序有关, 而组合只要选出元素即可,不要考虑元素的顺序.

变式:6 本不同的书全部送给 5 人,每人至少 1 本, 有多少种不同的送书方法?

13

2008 年下学期◆高二





班级:

姓名:

第一章 计数原理

例 3 现有五种不同颜色要对如图 中的四个部分进行着色,要求有 公共边的两块不能用一种颜色, 问共有几种不同的着色方法?

数字一样既得一等奖.问多少注彩票可有一个一等 奖?如果要将一等奖的机会提高到 且不超过

1 以上 6000000

1 ,可在 37 个数中取几个数字? 500000
) .

变式:某同学邀请 10 位同学中的 6 位参加一项活 动,其中两位同学要么都请,要么都不请,共有多 少种邀请方法?

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 凸五边形对角线有 条; ※ 动手试试 练 1. 甲、乙、丙三人值周,从周一至周六,每人 值两天,但甲不值周一,乙不值周六,问可以排出 多少种不同的值周表 ?
2. 以正方体的顶点为顶点作三棱锥, 可得不同的三 棱锥有 个; 3.要从 5 件不同的礼物中选出 3 件送给 3 个同学, 不同方法的种数是 ; 4.有 5 名工人要在 3 天中各自选择 1 天休息,不同 方法的种数是 ; 5. 从 1,3,5,7,9 中任取 3 个数字,从 2,4,6, 8 中任取 2 个数字,一共可以组成没有重复数字 的五位数?

练 2. 高二(1)班共有 35 名同学,其中男生 20 名, 女生 15 名,今从中取出 3 名同学参加活动, (1) 其中某一女生必须在内,不同的取法有多少种? (2)其中某一女生不能在内, 不同的取法有多少 种? (3)恰有 2 名女生在内,不同的取法有多少种? (4)至少有 2 名女生在内,不同的取法有多少种? (5)至多有 2 名女生在内,不同的取法有多少种?

课后作业
1. 在一次考试的选做题部分, 要求在第 1 题的 4 个 小题中选做 3 个小题,在第 2 题的 3 个小题中选做 2 个小题,在第 3 题的 2 个小题中选做 1 个小题.有 多少种不同的选法?

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 正确区分排列组合问题
2. 对综合问题,要“先分类,后分步” ,对特别元 素,应优先考虑.

※ 知识拓展 根据某个福利彩票方案, 1 至 37 这 37 个数字中, 在 选取 7 个数字,如果选出的 7 个数字与开出的 7 个

2. 从 5 名男生和 4 名女生中选出 4 人去参加辩论比 赛. ⑴ 如果 4 人中男生和女生各选 2 名,有多少种选 法? ⑵ 如果男生中的甲和女生中的乙必须在内,有多 少种选法? ⑶ 如果男生中的甲和女生中的乙至少有 1 人在内, 有多少种选法? ⑷ 如果 4 人中必须既有男生又有女生,有多少种 选法?

14

湖南宁远一中

高二数学◆选修 2-3◆导学案

编写:

校审:

新知:
0 1 r (a ? b) n ? Cn a n ? Cn a n?1b ? ? ? ? ? Cn a n?r b r ? n ? ? ? ?Cn b n ( n ? N ? )

上面公式叫做二项式定理,公式右边的多项式叫做

§ 1.3.1 二项式定理(1)
学习目标
1. 能从特殊到一般理解二项式定理; 2. 熟练运用通项公式求二项展开式中指定的项 (如 常数项、有理项) ; 3. 能正确区分“项”“项的系数”“项的二项式系 、 、 数”等概念

r (a ? b) n 的展开式,其中 Cn (r=0,1,2,?,n)

叫做 , 式的通项,用符号 式的第 项.

叫做二项展开 表示,即通项为展开

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P29~ P31,找出疑惑之处) 复习 1: 积 ?a1 ? a2 ? ? ? ? ? an ??b1 ? b2 ? ? ? ? ? bn ? 展开后,共有 项.
n

试试:写出 (1 ? x) 6 ? ⑴ 展开式共有 项, ⑵ 展开式的通项公式是 ; ⑶ 展开式中第 4 项的二项式系数是 项系数是 .



,第四

反思: (a ? b) n 的展开式中,二项式系数与项系数 相同吗?

复习 2:在 n=1,2,3 时,写出 (a ? b) 的展开式. , (a ? b)1 = 2 (a ? b) = (a ? b) 3 = 1 ① (a ? b) 展开式中项数为 2 ② (a ? b) 展开式中项数为 a 的次数规律是 是
3

※ 典型例题 例 1 用二项式定理展开下列各式:
⑴ (1 ? x) 4 ; ⑵ (2 x ?

1 x

)6

, , , 每项的次数为 , 每项的次数为 ; ,

, b 的次数规律 , 每项的次数为 , 变式:写出 (1 ?

. , b 的次数规律 .

③ (a ? b) 展开式中项数为

a 的次数规律是


1 4 ) 的展开式. x

复习 3:4 个容器中有相同的红、黑玻璃球各一个从 每个容器中取一个球,有 不同的结果,其中 取到 4 个红球有 种不同取法,取到 3 个红球 1 个黑球有 种不同取法,取到 2 个红球 2 个 黑球有 种不同取法, 取到 4 个黑球有 种 不同取法.

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一: 二项式定理 n 问题 1: 猜测 (a ? b) 展开式中共有多少项?分 别有哪些项?各项系数分别是什么?

例 2 ⑴ 求 (1 ? 2 x) 展开式的第 4 项,并求第 4 项 系数和它的二项式系数;
6

⑵ 求 (x ?

1 9 ) 展开式中 x 3 的系数. x

15

2008 年下学期◆高二





班级:

姓名:

第一章 计数原理

※ 知识拓展
问: (a ? 2b ? 3c) 7 的展开式中 a b c 项的系数是 多少?
2 3 2

变式:求 (

x 3 9 ? ) 展开式中的常数项和中间项. 3 x

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
1. ) .

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:

? a ? 2b ?
10

11

的展开式中第 3 项的二项式系数为 ; )
5 (C) C10 5 (D) ? C10

第 3 项系数为 小结:对有关二项式展开式中特殊项及其系数问 题,一般都采用通项公式解决.
6 (A) C10 6 (B) ? C10
6

2. ( x ? 1) 展开式的第 6 项系数是(

3 3. 在 ?1 ? 2x ? 的 展 开 式 中 , 含 x 项 的 系 数

※ 动手试试
练 1. ⑴ 求 ?2a ? 3b? 展开式中的第 3 项系数和二 项式系数.
6




5

1 ? ? 4. 在 ? 3 a ? ? 的展开式中,其常数项 a? ?
是 5. ;
12

? x ? a?

的展开式中倒数第 4 项是

.

练 2. ⑴ 求 ? x 2 ?

1 ? ? ? 的展开式中的常数项; 2x ? ? n ⑵ 若 ?1 ? 2 x ? 的展开式中第 6 项与第 7 项的系
数相等, n 及 ?1 ? 2 x ? 展开式中含 x 的项. 求
n

9

1. 求 2a 3 ? 3b 2

?

课后作业

?

10

展开式中第 8 项;

3

? 2 x? 2. 求 ? ? ? x 4 ? 的展开式中的常数项. ? ? ?

6

3.求 (1 ? 2x) 展开式的前 4 项;
15

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 注意二项式定理中二项展开式的特征.
2. 区别二项式系数,项的系数,掌握用通项公式求 二项式系数,项的系数及项的方法.
16

湖南宁远一中

高二数学◆选修 2-3◆导学案

编写:

校审:

4.(04 年全国卷) ? x ? ?

? ?

1 ? ? 展开式中 x 5 的系数 ? x?

8



.

?a ? b? ?a ? b?5 ?a ? b?6

4

新知 1:上述二项式系数表叫做“杨辉三角” ,表中 二项式系数关系是

§ 1.3.2 杨辉三角与 二项式系数的性质
学习目标
1. 了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关 系; 2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法 或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的 意义和作用; 3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合 元素的三个特征.

探究任务二

r 问题 2:设函数 f ?r ? ? Cn ,函数

二项式系数的性质

的定义域是 , 函数图象有何性质?(以 n=6 为 例) 新知 2:二项式系数的性质 ⑴ 对称性:与首末两端“等距 离”的两个二项式系数相等,图象 的对称轴是 r ? 试试: ① 在(a+b) 展开式中,与倒数第三项二项式系数 相等是( ) A 第2项 B 第3项 C 第4项 D 第5项
6

n . 2

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P32~ P35,找出疑惑之处) 复习 1:写出二项式定理的公式:



公式中 C 叫做

r n



② 若 a ? b 的展开式中, 第三项的二项式系数与 第五项的二项式系数相等,则 n= .
n

?

?

二项展开式的通项公式是 ,用符号 表示 ,通项为展开式的第 项. ⑵ 在 (a ? b) n 展开式中,共有 数都为 , a 的次数规律是 b 的次数规律是 分别是 项,各项次 , ,各项系数 .

反思:为什么二项式系数有对称性? ⑵ 增减性与最大值 :从图象得知,中间项的二项 式系数最 ,左边二项式系数逐渐 ,右边二 项式系数逐渐 . 当 n 是偶数时,中间项共有 项,是第 项, 它的二项式系数是 ,取得最大值; 当 n 是奇数时, 中间项共有 项, 分别是第 项 和第 项,它的二项式系数分别是 和 , 二项式系数都取得最大值. 试试: (a ? b) 的各二项式系数的最大值是
n

? 2 ? ? 复习 2:求 ? x ? ? ? x? ?
式系数和第 4 项的系数.

10

展开式中的第 4 项二项

⑶ 各二项式系数的和:
n 在 (a ? b) 展开式中,若 a ? b ? 1 ,则可得到

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:杨辉三角 n 问题 1:在 (a ? b) 展开式中,当 n=1,2,3,? 时,各项的二项式系数有何规律?


0 1 r n Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? 1 2 r n Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? ? ? ? ? Cn ?

※ 典型例题
例 1 求 ?1 ? 2x ? 的展开式中系数最大的项.
10

?a ? b?1 ?a ? b?2 ?a ? b?3

17

2008 年下学期◆高二





班级:

姓名:

第一章 计数原理

变式:在二项式(x-1) 的展开式中, ⑴ 求二项 式系数最大的系数的项; ⑵ 求项系数最小的项和 最大的项. 小结: (a ? b) n 展开式中, 要正确区分二项式系 在 数和项系数的不同,可以利用通项公式,找到二项 式系数和项系数的关系来达到目的. 例 2 证明:在 (a ? b) n 展开式中,奇数项的二项式 系数的和等于偶数项的二项式系数的和.

11

出这个方法出于《释锁》算书,且我国北宋数学家 贾宪(约公元 11 世纪)已经用过它。这表明我国 发现这个表不晚于 11 世纪。在欧洲,这个表被认 为是法国数学家帕斯卡(1623-1662)首先发现的, 他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说,杨辉三 角的发现要比欧洲早五百年左右.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
) .

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:

1 ? ? 1. 在 ? x ? ? 的展开式中,系数最大的项是 x? ?
第 项;
99

12

2. 在 ?1 ? x ? 的展开式中,二项式系数最大的是
1 3 5 11 变式:⑴ 化简: C11 ? C11 ? C11 ? ? ? ? ? C11 ;



项,项系数最小的项是第

项;

0 1 2 n ⑵ 求和: Cn ? 2Cn ? 2 2 Cn ? ? ? ? ? 2 n Cn .

1 2 9 3. 计算 310 ? 39 C10 ? 38 C10 ? ?? 3C10 ? 1 =
2 9 4. 若 ?1 ? 2x ? ? a0 ? a1 x ? a2 x ? ? ? a9 x , 则 9

a1 ? a2 ? ? ? a9 =
小结:取特殊值法(又称赋值法)在解决有关二项 式系数和时经常使用的一种 ,除此之外还有倒序 相加法. 5. 化简:



0 1 n Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? 0 1 n ?1 Cn?1 ? Cn?1 ? ? ? ? ? Cn?1

※ 动手试试
练 1. ① 在(1+x) 的展开式中, 二项式系数最大的 是第 项为 ; (用符号表示即可) ② 在(1-x) 的展开式中,二项式系数最大的是 第 项为 . (用符号表示即可) 练 2. 若 ?1 ? 2x? ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? ? ? a7 x 7 ,
7
11 10

课后作业
? x 3 ? ? 展开式的中间一项; 1. ⑴ 求 ? ? ? 3 x? ? ?
⑵ 求 x y?y x
12

?

?

15

展开式的中间两项.

则 a1 ? a2 ? ? ? ? ? a7 ?

, a1 ? a3 ? a5 ? a7 ? .

a0 ? a 2 ? a 4 ? a6 ?
三、总结提升

?对称性 ※ 学习小结 ? 1. 二项式系数的三个性质 ?增减性与最大值 ?各二项式系数的和 ?
2. 数学方法 : 赋值法和递推法

2. 已知 ?1 ? x ? 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项 式系数相等,求这两项的二项式系数.
n

※ 知识拓展 早在我 国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详 解九章算法》一书里这个表称为杨辉三角。杨辉指
18

湖南宁远一中

高二数学◆选修 2-3◆导学案

编写:

校审:

这是解此类问题的最常用技巧,余数要为正整数.

试试: 8

2009

除以 7 的余数是

§ 1.3.3 二项式定理(练习)
学习目标
1. 进一步熟悉二项式定理及其二项式系数的性质; 2. 熟练掌握二项式系数各项和的推导方法; 3.会把二项式定理推广到两个以上二项式展开式的 情况.

反思: 6 除以 7 的余数是多少?

99

※ 典型例题
例 1 用二项式定理证明: ?n ? 1? ? 1能被 n 整除.
n
2

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P36~ P37,找出疑惑之处) 复习 1:⑴ (a ? b) n =
r 展开式中 C n 叫做第
100

变式:证明 99 项的 系数,通项 项. , 展开式中共有

能被 1000 整除.

公式是 ⑵ 二项式系数的三个性质: 对称性是指 增减性: r 满足 当

r 时,C n 是增函数;

最值:当 n 是偶数时,展开式中间项是第 项, 它的二项式系数有最 值为 ;当 n 是奇数 时,展开式中间项是第 项,它的二项式系数有 最 值为 ;
3 复习 2:求 ( x ? ) 的展开式中 x 的系数及它的二
9

例2 求

?

x ? 1 ?2 x ? 1? 展开式中 x 6 系数.
6 5

?

1 x

项式系数,并求展开式中二项式系数最大的项和 系数最大的项. 变式:求 ?1 ? 2x? ?1 ? 3x? 展开式中按 x 的升幂排 列的第 3 项.
5 4

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:整除性问题,余数问题
问题: 101
2008

除以 100 的余数是多少?

小结:对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两 个通项之积比较方便运算.

新知:整除性问题,余数问题,主要根据二项式定 理的特点,进行添项或减项,凑成能整除的结构, 展开后观察前几项或后几项,再分析整除性或余数。
19

3 x ? 3 2 展开式是关于 x 的多项式,问 例3 展开式中共有多少个有理项?

?

?

100

2008 年下学期◆高二





班级:

姓名:
1 n 2 n 3 n

第一章 计数原理

n S n ? C ? 2C ? 3C ? ? ? ? ? nCn
0 1 2 n ? S n ? nCn ? ?n ? 1?Cn ? ?n ? 2?Cn ? ? ? ? ? 0Cn 0 1 2 n = 0Cn ? 1Cn ? 2Cn ? ? ? ? ? nCn

0 1 n 两式相加得 2S n ? n Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? n ? 2 n

?

?

Sn ? n ? 2
变式:已知 ( x ?

n?1

1 2 x
4

)n 的展开式中,前三项系数

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
1. ?1? 2 x ? 展开式中各项系数的和是
n

) .

的绝对值依次成等差数列, (1)证明展开式中没有 常数项; (2)求展开式中所有的有理项
王新敞
奎屯 新疆

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
; .

2. 今天是星期三,再过 8
10

2009

是星期

1 ? ? 5 3. ?1 ? ? 展开式的 x 系数是 2x ? ?
6 2
3



4. 已知 ?x ? 1? ?ax ? 1? 展开式中 x 系数是 56,则 实数 a 的值为 ;

※ 动手试试
练 1. ?1 ? x? ? ?1 ? x? ? ?1 ? x? ? ? ? ? ? ?1 ? x? 展
2 3 6

开式中 x 的系数(05 湖南).

2

5. 求 ( x 2 ? 3x ? 4) 4 的展开式中 x 的系数.

1 2 n 练 2. 如果 1 ? 2Cn ? 2 2 Cn ? ? ? ? ? 2 n Cn ? 81,则 1 2 n Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn =

.

课后作业 10 4 1. 求 1 ? x ? x 2 ?1 ? x? 展开式中的 x 的系数.

?

?

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 利用二项式定理解决有关余数以及整除问题;
2. 掌握二项式定理在两项以上项展开式中的应用, 并会求有理项问题.

※ 知识拓展
1 2 3 n 求证: Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ? ? ? ? nCn ? n ? 2 n?1 .

2. 用二项式定理证明 55 ? 9 能被 8 整除.
55

证明:? Cn ? Cn , Cn ? Cn ,? ? ?Cn ? Cn
0 n 1 n

n?1

0

20

湖南宁远一中

高二数学◆选修 2-3◆导学案

编写:

校审:

是第

项.

6. 有 4 名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军,则 可能的结果数是( )
3 A. A4 3 B. C4

C. 34


D. 43

《计数原理》复习
学习目标
1. 进一步巩固本章的四个知识点, 正确使用加法原 理和乘法原理,正确区分排列和组合问题,熟练掌 握二项式定理的形式和二项式系数的性质; 2. 能把所学知识使用到实际问题中,并能熟练运 用. .

n ?1 7. 已知 Cn?1 =21,那么 n=

8.(07 北京文科第 5 题)某城市的汽车牌照号码由 2 个英文字母后接 4 个数字组成,其中 4 个数字互 不相同的牌照号码共有( )
1 4 A. ( A26 ) 2 A10

2 4 2 1 B. A26 A10 C. (A26 ) 2104 D. A26104

9. 26 ? 2 被 9 除的余数为( A.0 B.1 C.2
23

) D.3

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P38~ P41,找出疑惑之处) 复习 1:加法原理的使用条件是 和 ;乘法原理的使用 条件是 和 . 复习 2:排列中的元素满足的两个条件是 和 ;组合中元素只需要满足条 件 ,与元素的顺序 关. 复习 3: (a ? b) =
n

10. 07 重庆文科第 15 题) ( 要排出某班一天中语文、 数学、政治、英语、体育、艺术 6 门课各一节的课 程表,要求数学课排在前 3 节,英语课不排在第 6 节,则不同的排法种数为 . (以数字作 答)

※ 典型例题 例 1 有 10 个不同的小球,其中 4 红球,6 个白球. 若取到 1 个红球记 2 分,取到 1 个白球记 1 分,现 从 10 个球中任取 4 个,使总分不低于 5 分的取法 有多少种?

展开式中第 r ? 1 项的二项式系数是 , 通项公 式是 ,二项式系数的性质有三 个是 , 和 .

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:基础知识 1. 学生可从本年级开设的 7 门选修课中任意选择 3 门,从 6 种课外活动小组中选择 2 种,不同的选法 种数是
2.安排 6 名歌手演出顺序,要求某歌手不是第一个 出场,也不是最后一个出场,不同排法的种数是 3. 有 5 人分 4 张无座足球票,每人至多分 1 张,而 且票必须分完,不同分法的种数是 4. 正十二边形的对角线的条数是 5. ?1? x?
2n

变式:三张卡片的正反面上分别写有数字 0 与 2,3 与 4,5 与 6,把这三张卡片拼在一起表示一个三位 数,则三位数的个数为多少?

?n ? N ? 的展开式中,系数最大的项
?

例 2 已知 ( 3 x2 ? 3x2 )n 的展开式中各项的系数和 比各项的二项式系数和大 992,求展开式中二项 式系数最大的项

21

2008 年下学期◆高二





班级:

姓名:

第一章 计数原理

1. 正确区分排列组合问题:与顺序有关的是排列, 与顺序无关的是组合;正确使用加法与乘法原理; 2. 熟练掌握二项式定理,二项式系数的性质,二项 式展开式的通项公式,区分二项式系数与项系数的 关系. 变式:⑴ 在(1-x) -(1-x) 的展开式中,含 x 的 项的系数是 ( ) A、-5 B、 5 C、10 D、-10
5 6 3

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
) .

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1.一个集合有 8 个元素,这个集合含有 3 个元素的 子集有 个;
2. 平面内有 n 条直线,其中没有两条平行,也没有 三条交于一点,共有 个交点; 3. 书架上有 4 本不同的数学书, 本不同的物理书, 5 3 本不同的化学书,全部排在同一层,如果不使同 类的书分开,一共有 种排法; 4. 由 0,1,2,3,4 组成没有重复数字的五位数, 这样的五位数共有 个;

⑵ 求(1-2x) 展开式中二项式系数最大的项;

8

※ 动手试试

练 1. 有 4 名男生 3 名女生排成一排,若 3 名女生中 5. 已知集合 A= ?a1 , a2 , a3 , a4 ?,B= ?b1 , b2 , b3 ?, 可以建立从集合 A 到集合 B 的不同映射的个数 有 2 名站在一起, 3 名女生不能全排在一起, 但 则不 是 ,可以建立从集合 B 到集合 A 的映射又 有 . 同的排法种数有 ( ) B.3080 C.3200 D.3600

A .2880

课后作业
1. 已知 1 ? x 的展开式中第 9 项,第 10 项, 第 11 项的二项式系数成等差数列,求 n 的值. 练 2. 一种汽车牌照号码由 2 个英文字母后接 4 个 数字组成,且 2 个英文字母不能相同,不同的牌 照号码的个数是 .

?

?

n

练 3. (1 ? x )(1 ? x) 的展开式中, x
3 10

5

的系数是 2. 用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复的数 ⑴ 能够组成多少个六位奇数? ⑵ 能够组成多少个大于 201345 的正整数?

三、总结提升 ※ 学习小结
22

湖南宁远一中

高二数学◆选修 2-3◆导学案

编写:

校审:

§ 2.1.1 离散型随机变量
学习目标
1.理解随机变量的定义; 2.掌握离散型随机变量的定义.

思考: ① 电灯泡的寿命 X 是离散型随机变量吗?

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P50~ P52,找出疑惑之处) 复习 1:掷一枚骰子,出现的点数可能是 出现偶数点的可能性是 .

②随机变量 Y ? ? 型随机变量吗? ,

?0, 寿命 ? 1000 小时 ?1, 寿命 ? 1000 小时

是一个离散

复习 2:掷硬币这一最简单的随机试验,其可能的 结果是 , 两个事件.

※ 典型例题 例 1.某林场树木最高可达 36 m ,林场树木的高度 ? 是一个随机变量吗?若是随机变量,? 的取值范 围是什么?

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一: 在掷硬币的随机试验中,其结果可以用数来 表示吗?
我们确定一种 关系,使得每一个试验结果 都用一个 表示,在这种 关系下, 数字随着试验结果的变化而变化 新知 1:随机变量的定义: 像这种随着试验结果变化而变化的变量称为 常用字母 、 、 、 ?表示. 思考:随机变量与函数有类似的地方吗? 例 2 写出下列随机变量可能取的值, 并说明随机变 量所取的值表示的随机试验的结果 (1)一袋中装有 5 只同样大小的白球,编号为 1, 2,3,4,5,现从该袋内随机取出 3 只球,被取出 的球的最大号码数 ? ; (2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫 次数? .

新知 2:随机变量与函数的关系: 随机变量与函数都是一种 试验结果的范围相当于函数的 随机变量的范围相当于函数的

, , .

试试: 在含有 10 件次品的 100 件产品中, 任意抽取 4 件, X 将随着抽取结果的变化而 可能含有的次品件数 变化, 是一个 , 其值域是 . 随机变量 ?X ? 0? 表示 ;

?X ? 4?表示 ?X ? 3?表示

; ; 表示.

“抽出 3 件以上次品”可用随机变量 新知 3:所有取值可以 为离散型随机变量.
23

的随机变量,称

2008 年下学期◆高二





班级:

姓名:

第一章 计数原理

※ 动手试试 练 1.下列随机试验的结果能否用离散型号随机变 量表示:若能,请写出各随机变量可能的取值并说 明这些值所表示的随机试验的结果 (1)抛掷两枚骰子,所得点数之和; (2)某足球队在 5 次点球中射进的球数; (3)任意抽取一瓶某种标有 2500 ml 的饮料,其实 际量与规定量之差.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
) .

练 2.盒中 9 个正品和 3 个次品零件,每次取一个 零件,如果取出的次品不再放回,且取得正品前已 取出的次品数为 ? . (1)写出 ? 可能取的值; (2)写出 ? ? 1 所表示的事件

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1.下列先项中不能作为随机变量的是( ) . A . 投 掷 一 枚 硬 币 80 次 , 正 面 向 上 的 次 数 B.某家庭每月的电话费 C.在 n 次独立重复试验中,事件发生的次数 D.一个口袋中装有 3 个号码都为 1 的小球,从中 取出 2 个球的号码的和 2.抛掷两枚骰子,所得点数之和记为 ? ,那么, ? ? 4 表示随机实验结果是 ( ) . A.一颗是 3 点,一颗是 1 点 B.两颗都是 2 点 C.两颗都是 4 点 D.一颗是 3 点,一颗是 1 点或两颗都是 2 点 3.某人射击命中率为 0.6,他向一目标射击,当第 一次射击队中目标则停止射击,则射击次数的取值 是( ) . A.1,2,3,? , 0.6n B.1,2,3,?, n ,? C.0,1,2,? , 0.6n D.0,1,2,?, n ,? 4.已知 y ? 2? 为离散型随机变量, y 的取值为 1, 2,?,10,则 ? 的取值为 . 5.一袋中装有 6 个同样大小的黑球,编号为 1,2, 3,4,5,6,现从中随机取出 3 个球,以 ? 表示取 出的球的最大号码,则 ? ? 4 表示的试验结果 是 .

课后作业
三、总结提升 ※ 学习小结 1.随机变量;
2.离散型随机变量. 1 在某项体能测试中,跑 1km 成绩在 4min 之内为 优秀,某同学跑 1km 所花费的时间 X 是离散型随 机变量吗?如果我们只关心该同学是否能够取得优 秀成绩,应该如何定义随机变量?

※ 知识拓展 概率论起源故事:
法国有两个大数学家,一个叫做巴斯卡尔,一 个叫做费马。 巴斯卡尔认识两个赌徒,这两个赌 徒向他提出了一个问题。 他们说, 他俩下赌金之后, 约定谁先赢满 5 局, 谁就获得全部赌金。 赌了半天, A 赢了 4 局, B 赢了 3 局,时间很晚了,他们都不 想再赌下去了。那么,这个钱应该怎么分? 是不是把钱分成 7 份,赢了 4 局的就拿 4 份,赢了 3 局的就拿 3 份呢?或者, 因为最早说的是满 5 局, 而谁也没达到,所以就一人分一半呢? 这两种分法都不对。正确的答案是:赢了 4 局的 拿这个钱的 3/4,赢了 3 局的拿这个钱的 1/4. 2 下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表 示:若能,请写出各随机变量可能的取值并说明这 些值所表示的随机试验的结果. (1)从学校回家要经过 5 个红绿灯口,可能遇到 红灯的次数; (2)在优、良、中、及格、不及格 5 个等级的测 试中,某同学可能取得的成绩.

24

湖南宁远一中

高二数学◆选修 2-3◆导学案

编写:

校审:

§ 2.1.2 离散型随机变量的分布列
学习目标
1.理解离散型随机变量的分布列的两种形式; 2.理解并运用两点分布和超几何分布.

※ 典型例题 例 1 在掷一枚图钉的随机试验中,令

?1, 针尖向上 ; X ?? 如果针尖向上的概率为 p , ?0, 针尖向下 . 试写出随机变量 X 的分布列.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P52~ P56,找出疑惑之处) 复习 1:设某项试验的成功率是失败率的 2 倍,用 随机变量 ? 描述 1 次试验的成功次数,则 ? 的值可 以是( ) . A.2 B.2 或 1 C.1 或 0 D.2 或 1 或 0 复习 2:将一颗骰子掷两次,第一次掷出的点数减 去第二次掷出的点数的差是 2 的概率是 .

变式:篮球比赛中每次罚球命中得 1 分,不中得 0 分,已知某运动员罚球命中的概率为 0.7,求他一 次罚球得分的分布列

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一: 抛掷一枚骰子,向上一面的点数是一个随机 变量 X .其可能取的值是 ; 它取各个不同值的概率都等于
问题:能否用表格的形式来表示呢?

新知 3:两点分布列:

X P
称 X 服从 称 p ? P( X ? 1) 为

0

1

1? p


p

X P

1

2

3

4

5

6

新知 1:离散型随机变量的分布列: 若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1 , x2 ,?, xi ,?, xn , X 取 每 一 个 值

例 2 在含有 5 件次品的 100 件产品中,任取 3 件, 试求: (1)取到的次品数 X 的分布列; (2)至少取到 1 件次品的概率.

xi (i ? 1,2,?, n) 的概率 P( X ? xi ) ? pi .则
①分布列表示:

X
P

x1

x2
p2

… …

xi pi

… …

xn pn

p1

②等式表示: ③图象表示: 新知 2:离散型随机变量的分布列具有的性质: (1) ; (2) 试试: 某同学求得一离散型随机变量的分布列如下: 0 1 2 3 X 0.2 0.3 0.15 0.45 P 试说明该同学的计算结果是否正确.
25

变式:抛掷一枚质地均匀的硬币 2 次,写出正面向 上次数 X 的分布列?

2008 年下学期◆高二





班级:

姓名:

第一章 计数原理

新知 4:超几何分布列: 0 1 X

… …

P

0 n C M C N?0M ? n CN

1 n C M C N?1M ? n CN

m m n C M C N?m ?M n CN

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
) .

※ 动手试试 练 1.在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏, 在一个口袋中装有 10 个红球和 20 个白球,这些球 除颜色外完全相同.一次从中摸出 5 个球,至少摸 到 3 个红球就中奖.求中奖的概率.

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1.若随机变量 ? 的概率分布如下表所示,则表中 a 的值为( ) . ? 1 2 3 4 a P 1/2 1/6 1/6 A.1 B.1/2 C.1/3 D.1/6 2.某 12 人的兴趣小组中,有 5 名“三好生” ,现 从中任意选 6 人参加竞赛,用 ? 表示这 6 人中“三
3 3 C5 C 7 的是( ) . 6 C12 A. P(? ? 2) B. P(? ? 3) C. P(? ? 2) D. P(? ? 3) 3.若 P(? ? n) ? 1 ? a , P(? ? m) ? 1 ? b ,其中 . m ? n ,则 P(m ? ? ? n) 等于( ) A. (1 ? a)(1 ? b) B. 1 ? a(1 ? b) C. 1 ? (a ? b) D. 1 ? b(1 ? a) 4.已知随机变量 ? 的分布列为 1 2 3 4 5 ? 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 P 则 ? 为奇数的概率为 . 5.在第 4 题的条件下,若? ? 2? ? 3 ,则? 的分

好生”的人数,则概率等于

练 2. 从一副不含大小王的 52 张扑克牌中任意抽出 5 张,求至少有 3 张 A 的概率.

布列为



课后作业
1.学校要从 30 名候选人中选 10 名同学组成学生 会,其中某班有 4 名候选人,假设每名候选人都有 相同的机会被选到,求该班恰有 2 名同学被选到的 概率.

三、总结提升 ※ 学习小结 1.离散型随机变量的分布列; 2.离散型随机变量的分布的性质; 3.两点分布和超几何分布. ※ 知识拓展 中国体育彩票设计的中奖办法是: 从 1 到 36 中任选 7 个不重复的数码组成一注彩票, 开奖时从 36 个号码中随机抽取 8 个号码, 前 7 个为正选号码,第 8 个为特选号码, 其中一等奖:选中 6 个正选号码和特选号码.
则 P(一等奖) ?
6 1 C7 C1 1 ? 7 1192525 C36

2.老师要从 10 篇课文中随机抽 3 篇让学生背诵, 规定至少要背出其中 2 篇才能及格.某同学只能背 诵其中的 6 篇,试求: (1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列; (2)他能及格的概率.

26

湖南宁远一中

高二数学◆选修 2-3◆导学案

编写:

校审:

§ 2.2.1 条件概率
学习目标
1.在具体情境中,了解条件概率的意义; 2.学会应用条件概率解决实际问题.

新知 1:在事件 A 发生的情况下事件 B 发生的条件 概率为: P(B A) =

n( AB) = n( A)

新知 2:条件概率具有概率的性质:

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P58~ P61,找出疑惑之处) 复习 1:下面列出的表达式是否是离散型随机变量 X 的分布列( ) . A. P( X ? i) ? 0.2 , i ? 0,1,2,3,4 B. P( X ? i) ? 0.2 , i ? 1,2,3,4,5

? P(B A) ?
如果 B 和 C 是两个互斥事件,则

P( B ? C A) =
※ 典型例题 例 1 在 5 道题中有 3 道理科题和 2 道文科题.如果 不放回地依次抽取 2 道题,求: (1)第 1 次抽到理科题的概率; (2)第 1 次和第 2 次都抽到理科题的概率; (3)在第 1 次抽到理科题的条件下,第 2 次抽到 理科题的概率.

i2 ? 5 C. P( X ? i ) ? , i ? 1,2,3,4,5 50 i D. P ( X ? i ) ? , i ? 1,2,3,4 10
复习 2:设随机变量的分布如下: ? 1 2 3 … P K K. 求常数

n
2
n ?1

2K

4K



K

二、新课导学 ※ 学习探究 探究:3 张奖券中只有 1 张能中奖,现分别由 3 名 同学无放回地抽取,问最后一名同学抽到中奖奖券 的概率是否比其他同学小?
若抽到中奖奖券用 Y ” “ 表示, 没有抽到用 Y ” “ 表示, 则所有可能的抽取情况为 ? ? ? ?, 用 B 表示最后一名同学抽到中奖奖券的事件, 则B ?? ? 故最后一名同学抽到中奖奖券的概率为:

变式:在第 1 次抽到理科题的条件下,第 2 次抽到 文科题的概率?

P( B) ?

n( B ) ? n (?)

思考:如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖 券,那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率又是? 因为已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券, ? 故所有可能的抽取情况变为 A ? ? 最后一名同学抽到中奖奖券的概率为 记作: P(B A)

例 2 一张储蓄卡的密码共有 6 位数字,每位数字都 可从 0 ~ 9 中任选一个.某人在银行自动提款机上 取钱时,忘记了密码的最后一位数字.求: (1)任意按最后一位数字,不超过 2 次就按对的 概率; (2)如果他记得密码的最后一位是偶数,不超过 2 次就按对的概率.

n( B ) ? n( A)

27

2008 年下学期◆高二





班级:

姓名:

第一章 计数原理

变式: 任意按最后一位数字, 3 次就按对的概率? 第

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 动手试试 练 1. 从一副不含大小王的 52 张扑克牌中不放回地 抽取 2 次,每次抽 1 张.已知第 1 次抽到 A ,求第 2 次也抽到 A 的概率.
) .

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1.下列正确的是( ) .
A. P(B A) = P( A B) C. 0 ? P(B A) ? 1 B. P( A B) =

n( AB) n( B ) D. P( A A) = 0

2.盒中有 25 个球,其中 10 个白的,5 个黄的,10 个黑的,从盒子中任意取出一个球,已知它不是黑 球,则它是黄球的概率为( ) . A. 1/3 B.1/4 C. 1/5 D.1/6 3.某种动物由出生算起活到 20 岁的概率为 0.8, 活到 25 岁的概率为 0.4,现有一个 20 岁的动物, 问它能活到 25 岁的概率是( ) . A.0.4 B.0.8 C.0.32 D.0.5 4. P( A) ? 0.5 , P( B) ? 0.3 , P( AB) ? 0.2 ,则

P( A B) =
4 练 2. 某地区气象台统计, 该地区下雨的概率是 , 15 2 刮三级以上风的概率为 , 既刮风又下雨的概率为 5 1 ,设 A 为下雨, B 为刮风,求: 10 (1) P( A B) ; (2) P(B A) .

, P(B A) =



5.一个家庭中有两个小孩,已知这个家庭中有一 个是女孩,问这时另一个小孩是男孩的概率 是 .

课后作业
1.设某种灯管使用了 500h 能继续使用的概率为 0.94,使用到 700h 后还能继续使用的概率为 0.87, 问已经使用了 500h 的灯管还能继续使用到 700h 的 概率是多少?

三、总结提升 ※ 学习小结 1.理解条件概率的存在; 2.求条件概率; 3.条件概率中的“条件”就是“前提”的意思. ※ 知识拓展 条件概率是概率的一种,因此,事实上仍可 以按照古典概型的一般定义求解.

2.100 件产品中有 5 件次品,不入回地抽取 2 次, 每次抽 1 件.已知第 1 次抽出的是次品,求第 2 次抽 出正品的概率.

28

湖南宁远一中

高二数学◆选修 2-3◆导学案

编写:

校审:

§ 2.2.2 事件的相互独立性
学习目标

1.了解相互独立事件的意义,求一些事件的概率; 2.理解独立事件概念以及其与互斥,对立事件的 ※ 典型例题 区别与联系. 例 1 某商场推出二次开奖活动,凡购买一定价值的 学习过程 商品可以获得一张奖券.奖券上有一个兑奖号码, 可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动.如果 一、课前准备 (预习教材 P61~ P63,找出疑惑之处) 两次兑奖活动的中奖概率都是 0.05 , 求两次抽奖中 复习 1:把一枚硬币任意掷两次,事件 A ? “第一 以下事件的概率: 次出现正面” ,事件 B=“第二次出现正面” ,则 (1)都抽到某一指定号码; (2)恰有一次抽到某一指定号码; P(B A) 等于? (3)至少有一次抽到某一指定号码. 复习 2: 已知 P( B) ? 0 ,A1 A2 ? ? , 则 A. P( A1 B) ? 0 B. P( A1 ? A2 B) ? P( A1 B) + P( A2 B) C. P( A1 A2 B) ? 0 D. P( A1 A2 B) ? 1 成立.

小结:判定相互独立事件的方法: ①由定义, P( AB) ? P( A) P( B) , A, B 独立; 若 则 ②根据实际情况直接判定其独立性.

二、新课导学 ※ 学习探究 探究: 3 张奖券中只有 1 张能中奖, 现分别由 3 名同学 有放回地抽取,事件 A 为“第一名同学没有抽到奖 券” ,事件 B 为“最后一名同学抽到奖券” ,事件 A 的发生会影响事件 B 发生的概率吗?
变式:两次都没有抽到指定号码的概率是多少? 新知 1:事件 A 与事件 B 的相互独立: 设 A, B 为两个事件, 如果 则称事件 A 与事件 B 的相互独立. 注意: ①在事件 A 与 B 相互独立的定义中, A 与 B 的地 位是对称的; ②不能用 P( B A) ? P( B) 作为事件 A 与事件 B 相 互独立的定义,因为这个等式的适用范围是 P( A) ? 0 ; ③如果事件 A 与 B 相互独立,那么 A 与 B , A 与

, 思考:二次开奖至少中一次奖的概率是一次开奖中 奖概率的两倍吗?

B , A 与 B 也都相互独立.
试试: 分别抛掷 2 枚质地均匀的硬币, A 是事件 设 “第 1 B 是事件“第 2 枚为正面” C 是事件 枚为正面” , , “2 枚结果相同” 问:A, B, C 中哪两个相互独立? ,
29

例 2.下列事件中,哪些是互斥事件,哪些是相互 独立事件? (1) “掷一枚硬币,得到正面向上”与“掷一枚骰 子,向上的点是 2 点” ; (2) “在一次考试中,张三的成绩及格”与“在这 次考试中李四的成绩不及格” ; (3)在一个口袋内有 3 白球、 2 黑球,则“从中任 意取 1 个球得到白球” “从中任意取 1 个得到黑球” 与

2008 年下学期◆高二





班级:

姓名:
n

第一章 计数原理

※ 动手试试 练 1.天气预报,在元旦假期甲地的降雨概率是 0 .2 ,乙地的降雨概率是 0.3 ,假定在这段时间内 两地是否降雨相互之间没有影响,计算在这段时间 内: (1)甲、乙两地都降雨的概率; (2)甲、乙两地都不降雨的概率; (3)其中至少一个地方降雨的概率.

随着 n ? ? , (1 ? p) ? 0 ,故 1- (1 ? p) n ? 1 .

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
) .

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 甲打靶的命中率为 0 .7 ,乙的命中率为 0.8 ,若 两人同时射击一个目标,则都未中的概率为( ) . A . 0.06 B . 0.44 C . 0.56 0.94 D. 2.有一道题, A、B、C 三人独自解决的概率分
别为 、 、 ,三人同时独自解这题,则只有一人 解出的概率为 ( ) . C.

1 1 1 2 3 4

1 A. 24 3 A. 4

11 B. 24

17 24

D. ) .

1 3

3.同上题,这道题被解出的概率是(

练 2.某同学参加科普知识竞赛,需回答 3 个问 题.竞赛规则规定:答对第一、二、三问题分别得 100 分、 100 分、 200 分,答错得零分.假设这名 同学答对第一、二、三个问题的概率分别为 0.8,0.7,0.6 ,且各题答对与否相互之间没有影响. (1)求这名同学得 300 分的概率; (2)求这名同学至少得 300 分的概率.

2 4 7 B. C. D. 3 5 10 4.已知 A 与 B 是相互独立事件,且 P( A) ? 0.3 ,

P( B) ? 0.6 ,则 P( A ? B) ? . 5. 100 件产品, 有 其中 5 件次品, 从中选项取两次:
(1)取后不放回, (2)取后放回,则两次都取得 合格品的概率分别为 、 .

课后作业
1. 一个口袋内装有 2 个白球和 2 个黑球, 那么先摸 1 个白球放回,再摸出 1 个白球的概率是多少? 出

2.甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零 件,已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工

三、总结提升 ※ 学习小结 1.相互独立事件的定义;
2.相互独立事件与互斥事件、对立事件的区别.

的零件不是一等品的概率为

1 , 乙机床加工的零件 4

是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率

※ 知识拓展 “水滴石穿”的启示: 设在一次实验中,事件发生的概率为 p ,独立 重复该实验 n 次,事件至少发生一次的概率为 n 1- (1 ? p) , 因为 0 ? p ? 1,故 1 ? p ? (0,1) ,

1 ,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的 12 2 概率为 9
为 (1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件 是一等品的概率; (2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验, 求至少有一个一等品的概率.

30

湖南宁远一中

高二数学◆选修 2-3◆导学案

编写:

校审:

§ 2.2.3 独立重复试验与二项分布
学习目标
1.了解独立重复试验; 2.理解二项分布的含义.

※ 典型例题 例 1 某射手每次射击击中目标的概率是 0.8 ,求这 名射击手在 10 次射击中 (1)恰有 8 次击中目标的概率; (2)至少有 8 次击中目标的概率.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P61~ P63,找出疑惑之处) 复习 1:生产一种产品共需 5 道工序,其中 1~5 道 工序的生产合格率分别为 96%,99%,98%,97%, 96%,现从成品中任意抽取 1 件,抽到合格品的概 率是多少?

复习 2:掷一枚硬币 3 次,则只有一次正面向上的 概率为 .

二、新课导学 ※ 学习探究 探究 1:在 n 次重复掷硬币的过程中,各次掷硬币 试验的结果是否会受其他掷硬币试验的影响?
变式:击中次数少于 8 次的概率是多少? 新知 1:独立重复试验: 在 的条件下 n 次独立重复试验. 做的 n 次试验称为

探究 2:投掷一枚图钉,设针尖向上的概率为 p , 则针尖向下的概率为 q ? 1 ? p , 连续掷一枚图钉 3 次,仅出现 1 次针尖向上的概率是多少? 例 2.将一枚硬币连续抛掷 5 次,求正面向上的次 数 X 的分布列?

新知 2:二项分布: 一般地,在 n 次独立重复试验中,设事件 A 发生的 次数为 X ,在每次试验中事件 A 发生的概率为 p , 那么在 n 次独立重复试验中,事件 A 恰好发生 k 次 的概率为: P( X ? k ) = , k ? 0,1,2,?, n

则称随机变量 X 服从 记作: X ~ B (
) ,并称 p 为

. .

变式:抛掷一颗骰子 5 次,向上的点数是 2 的次数 有 3 次的概率是多少?

试试:某同学投篮命中率为 0 .6 ,他在 6 次投篮 中命中的次数 X 是一个随机变量,X ~ B ( ) 故他投中 2 次的概率是
31



2008 年下学期◆高二





班级:

姓名:

第一章 计数原理

※ 动手试试 学习评价 练 1.若某射击手每次射击击中目标的概率是 0 .9 , ( ) . 每次射击的结果相互独立,那么在他连续 4 次的射 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 击中,第 1 次未击中目标,但后 3 次都击中目标的 概率是多少? ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1.某学生通过计算初级水平测试的概率为

1 ,他连 2 3 4

续测试两次,则恰有 1 次获得通过的概率为( ) . A.

1 3

B.

1 2

C.

1 4

D.

2.某气象站天气预报的准确率为 80%,则 5 次预 报中至少有 4 次准确的概率为( ) . A . 0 .2 B . 0.41 C . 0.74 D. 0.67 3. 每次试验的成功率为 p(0 ? p ? 1) , 则在 3 次重 复试验中至少失败1 次的概率为 ( A. (1 ? p) C. 3(1 ? p)
3 3 2

) .
3

B. 1 ? p
2

练 2.如果生男孩和生女孩的概率相等,求有 3 个 小孩的家庭中至少有 2 个女孩的概率.

D. (1 ? p) ? p(1 ? p) ? p (1 ? p) 4.在 3 次独立重复试验中,随机事件恰好发生 1 次的概率不大于其恰好发生两次的概率, 则事件 A 在一次试验中发生的概率的范围是 . 5.某种植物种子发芽的概率为 0 .7 ,则 4 颗种子中 恰好有 3 颗发芽的概率为 .

课后作业
1. 某盏吊灯上并联着 3 个灯泡, 如果在某段时间内 每个灯泡能正常照明的概率都是 0 .7 ,那么在这段 时间内吊灯能照明的概率是多少?

三、总结提升 ※ 学习小结 1.独立重复事件的定义;
2.二项分布与二项式定理的公式. 2.甲、乙两选手比赛,假设每局比赛甲胜的概率 为 0 .6 ,乙胜的概率为 0 .4 ,那么采用 3 局 2 胜制 还是采用 5 局 3 胜制对甲更有利?

※ 知识拓展 “抛掷一枚硬币,正面向上的概率为 1/2,那么抛 掷一枚硬币 100 次,正好出现 50 次正面向上的概 率也为 1/2”这种说法是错误的. 因为 X ~ B (100,0.5),
50 1 P( X ? 50) ? C100 ( )100 ? 0.08 2

32

湖南宁远一中

高二数学◆选修 2-3◆导学案

编写:

校审:

§ 2.3.1 离散型随机变量的均值(1)
学习目标
1.理解并应用数学期望来解决实际问题; 2.各种分布的期望.

※ 典型例题 例 1 在篮球比赛中,罚球命中 1 次得1 分,不中得 0 分.如果某运动员罚球命中的概率为 0 .7 ,那么他 罚球 1 次的得分 X 的均值是多少?

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P69~ P72,找出疑惑之处) 复习 1:甲箱子里装 3 个白球, 2 个黑球,乙箱子 里装 2 个白球, 2 个黑球,从这两个箱子里分别摸 出 1 个球,则它们都是白球的概率?

复习 2:某企业正常用水的概率为 少有 4 天用水正常的概率为

3 ,则 5 天内至 4
. 变式: .如果罚球命中的概率为 0.8 ,那么罚球 1 次 的得分均值是多少?

二、新课导学 ※ 学习探究 探究:某商场要将单价分别为 18 元/kg,24 元/kg, 36 元/kg 的 3 种糖果按 3 : 2 : 1 的比例混合销售,如 何对混合糖果定价才合理?

新知 3: ①若 X 服从两点分布,则 EX ? ②若 X ~ B(n, p) ,则 EX ?

; .

新知 1:均值或数学期望: 若离散型随机变量 X 的分布列为: … X x x x
1 2

i

… …

xn pn


P

p1

p2



pi

则称 EX ? 为随机变量 X 的均值或数学期望. 它反映离散型随机变量取值的
新知 2:离散型随机变量期望的性质: 若 Y ? aX ? b ,其中 a, b 为常数, 则 Y 也是随机变量,且 E (aX ? b) ? aEX ? b .

例 2.一次单元测验由 20 个选择题构成,每个选择 题有 4 个选项,其中仅有一个选项正确.每题选对 得 5 分,不选或选错不得分,满分 100 分.学生甲 选对任意一题的概率为 0 .9 ,学生乙则在测验中对 每题都从各选项中随机地选择一个.分别求甲学生 和乙学生在这次测验中的成绩的均值 .



注意:随机变量的均值与样本的平均值的: 区别:随机变量的均值是 ,而样本的平 均值是 ; 联系: 对于简单随机样本, 随着样本容量的增加, 思考:学生甲在这次单元测试中的成绩一定会是 90 分吗?他的均值为 90 分的含义是什么? 样本平均值越来越接近于总体均值.
33

2008 年下学期◆高二





班级:

姓名:

第一章 计数原理

※ 动手试试 练 1.已知随机变量 X 的分布列为: 0 1 2 3 4 X 0.1 0.2 0.3 0.2 0.1 P 求 EX .

学习评价
5 0.1

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

) .

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 随机变量 X 的分布列为 3 5 X 1 则其期望等于( ) . P 0.5 0.3 0.2
A. 1 B.

1 3

C. 4 .5

D. 2 .4

练 2.同时抛掷 5 枚质地均匀的硬币,求出现正面 向上的硬币数 X 的均值.

3 , E? ? ( ) . 则 5 3 6 21 12 A. B. C. D. 5 5 5 5 3.若随机变量 X 满足 P( X ? c) ? 1 ,其中 c 为常 数,则 EX ? ( ) . A. 0 B.1 C. c D.不确定 4. 一大批进口表的次品率 P ? 0.15 , 任取 1000 只, 其中次品数 ? 的期望 E? ? . 5.抛掷两枚骰子,当至少有一枚出现 6 点时,就 说这次试验成功,则在 30 次试验中成功次数的期
2. 已知? ? 2? ? 3 , E? ? 且 望 .

课后作业
1.抛掷 1 枚硬币 ,规定正面向上得 1 分,反面向 上得 ? 1 分,求得分 X 的均值.

三、总结提升 ※ 学习小结 1.随机变量的均值; 2.各种分布的期望. ※ 知识拓展 二项分布均值 EX ? np 推导的另一方法: 设在一次试验中某事件发生的概率 p ,? 是 k 次试 验中此事件发生的次数,令 q ? 1 ? p ,则 k ? 1 时, P(? ? 0) ? q , P(? ? 1) ? p , E? ? 0 ? q ? 1? p ? p ;

2.产量相同的 2 台机床生产同一种零件,它们在 一小时内生产出的次品数 X 1 , X 2 的分布列分别如 下: 0 1 2 3 X1 0.4 0.3 0.2 0.1 P 0 1 2 0.3 0.5 0.2 问哪台机床更好?请解释所得出结论的实际含义.

X2 P

k ? 2 时, P(? ? 0) ? q 2 , P(? ? 1) ? 2 pq .

P(? ? 2) ? p 2 E? ? 0 ? q 2 ? 1? 2 pq ? 2 p 2 ? 2 p( p ? q) ? 2 p 由此猜想:若 X ~ B(n, p) ,则 EX ? np .
34

湖南宁远一中

高二数学◆选修 2-3◆导学案

编写:

校审:

§ 2.3.1 离散型随机变量的均值(2)
学习目标
1.进一步理解数学期望; 2.应用数学期望来解决实际问题.

※ 典型例题 例 1 已知随机变量 X 取所有可能的值 1,2,?, n 是 等到可能的,且 X 的均值为 50 .5 ,求 n 的值

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P72~ P74,找出疑惑之处) 复习 1:设一位足球运动员,在有人防守的情况下, 射门命中的概率为 p ? 0.3 ,求他一次射门时命中 次数 ? 的期望

复习 2:一名射手击中靶心的概率是 0 .9 ,如果他 在同样的条件下连续射击 10 次, 求他击中靶心的次 数的均值?

二、新课导学 探究: 某公司有 5 万元资金用于投资开发项目, 如果成功, 一年后可获利 12%;一旦失败,一年后将丧失全部 资金的 50%,下表是过去 200 例类拟项目开发的实 施结果: 投资成功 投资失败 192 次 8次 则该公司一年后估计可获收益的期望是 元.

例 2.根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率 为 0.25 ,有大洪水的概率为 0.01 .该地区某工地 上有一台大型设备,遇到大洪水时要损失 60000 元,遇到小洪水时要损失 10000 元.为保护设备, 有以下 3 种方案: 方案 1:运走设备,搬运费为 3800 元 方案 2:建保护围墙,建设费为 2000 元,但围墙只 能防小洪水 . 方案 3:不采取措施,希望不发生洪水. 试比较哪一种方案好.

思考:根据上述结论,人们一定采取方案 2 吗?
35

2008 年下学期◆高二





班级:

姓名:

第一章 计数原理

※ 动手试试 练 1. 现要发行 10000 张彩票, 其中中奖金额为 2 元 的彩票 1000 张, 10 元的彩票 300 张, 50 元的彩 票 100 张, 100 元的彩票 50 张, 1000 元的彩票 5 张,问一张彩票可能中奖金额的均值是多少元?

学习评价

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

) .

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 若 ? 是一个随机变量,则 E (? ? E? ) 的值为 ( ) . A.无法求 B.0 C. E? D.2 E?
2 设 随 机 变 量 ? 的 分 布 列 为 P (? ? k ) ?

k ? 1,2,3,4 ,则 E? 的值为 ( ) . 5 A. B.3.5 C. 0.25 D. 2 2 3 . 若 随机变量 ? ~ B(n,0.6) , 且 E? ? 3 , 则 . P(? ? 1) 的值是( )
A. 2 ? 0.4
4

1 , 4

B. 2 ? 0.4

5

C. 3? 0.4 D. 3? 0.6 4.已知随机变量 ? 的分布列为:

4

4

练 2.抛掷两枚骰子,当至少有一枚 5 点或 6 点出 现时,就说这次试验成功,求在 20 次试验中成功 次数 X 的期望.

3 0 1 2 4 x 0 .1 0 .2 0. 0 .1 则x= ;P(1 ? ? ? 3) ? ;E? = . 5.一盒内装有 5 个球,其中 2 个旧的,3 个新的,
P
从中任意取 2 个,则取到新球个数的期望值 为 .

?

课后作业 1.已知随机变量 X 的分布列: ?2 X 1 0.16 0.44 P
求 EX , E (2 X ? 5)

3 0.40

三、总结提升 ※ 学习小结 1.随机变量的均值;
2.各种分布的期望. 2.一台机器在一天内发生故障的概率为 0.1 ,若这 台机器一周 5 个工作日不发生故障, 可获利 5 万元; 发生 1 次故障仍可获利 2 .5 万元; 发生 2 次故障的利 润为 0 元;发生 3 次或 3 次以上故障要亏损1 万元, 问这台机器一周内可能获利的均值是多少?

※ 知识拓展 某寻呼台共有客户 3000 人, 若寻呼台准备了 100 份小礼品,邀请客户在指定时间来领取,假设任一 客户去领奖的概率为 4%,问寻呼台能否向每一们 客户都发出领奖邀请?若能使每一位领奖人都得 到礼品,寻呼台至少应准备多少礼品? , ? ~ B(30000.04) , E? ? 3000? 0.04 ? 120 人.

36

湖南宁远一中

高二数学◆选修 2-3◆导学案

§ 2.3.2 离散型随机变量的方差(1)
学习目标
1.理解随机变量方差的概念; 2.各种分布的方差.

③当 b ? 0 时,D?a? ? ? 之积的方差,等于常数的 方差的积

编写:

校审:

, 即随机变量与常 与这个随机变量

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P74~ P77,找出疑惑之处) 复习 1: 若随机变量 Y ~ B(5,0.8) , EY ? 则 又若 X 2 ? Y ? 4 ,则 EX 2 ? 复习 2:已知随机变量 ? 的分布列为 :

新知 2:常见的一些离散型随机变量的方差: (1)单点分布: D? ? ; (2)两点分布: D? ? (3)二项分布: D? ? ; ※ 典型例题 例 1 已知随机变量 X 的分布列为: 0 1 2 3 X 0.1 0.2 0.3 0.2 P 求 DX 和 ? X . ; .

4 0.1

5 0.1

?
P

0

1

1 5

p
;x ?

x 3 10

且 E? ? 1.1,则 p ?

二、新课导学 ※ 学习探究 探究: 要从两名同学中挑出一名,代表班级参加射 击比赛,根据以往的成绩纪录,第一名同学击中目 标靶的环数 X 1 ~ B(10,0.8) , 第二名同学击中目标 靶的环数 X 2 ? Y ? 4 ,其中 Y ~ B(5,0.8) ,请问 应该派哪名同学参赛?

变式:已知随机变量 X 的分布列:

X
P

?2 0.16

1 0.44

3 0.40

求 DX , D(2 X ? 1) 新知 1:离散型随机变量的方差: 当已知随机变量 ? 的分布列为

P?? ? xk ? ? pk (k ? 1,2,?) 时,则称 D? ? 为 ? 的方差, ?? ? 为 ? 的标准差

随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取 值的 .D? 越小, 稳定性越 , 例 2.随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面 波动越 . 的点数 X 的均值、方差和标准差. 新知 2:方差的性质: 当 a, b 均为常数时,随机变量 ? ? a? ? b 的方差

小结:求随机变量的方差的两种方法: 一是列出分布列, 求出期望, 再利用方差定义求解; 另一种方法是借助方差的性质求解

D(? ) ? D(a? ? b) ?
①当 a ? 0 时, D?b ? ?

.特别是: ,即常数的方差等于 ;

②当 a ? 1 时, D(? ? b) ? ,即随机变量与 常数之和的方差就等于这个随机变量的方差 ;
37

2008 年下学期◆高二





班级:

姓名:

第一章 计数原理

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
) .

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1.已知离散型随机变量的分布列为 -2 -1 0 1 X ※ 动手试试 练 1.已知 X 是一个随机变量,随机变量 X ? 5 的 分布列如下: X ?5 -2 -1 0 1 2 0.2 0.1 0.1 0.4 0.2 P 试求 DX .
P

1 6
B.

1 3

1 3

1 6

则 DX 等于( ) .

10 11 C. D.1 12 12 1 2.已知? ? 3? ? ,且 D? ? 13 ,那么 D? 的值 8
A. 为 ( ) . B . 117 C. A . 39 D. 117

5 12

39

1 8

1 8
1 3

3.已知随机变量 ? 服从二项分布 B(4, ) ,则 D? 的值为( ) . B.

练 2.设 ? ~ B(n, p) ,且 EX ? 12 , DX ? 4 , 则 n 与 p 的值分别为多少?

4 A. 3

8 3

C.

8 9

D.

1 9

4.已知随机变量 ? , D (? ) ?

1 ,则 ? 的标准差 9

为 . 5.设随机变量 ? 可能取值为 0,1,且满足

P(? ? 1) ? p ,P(? ? 0) ? 1 ? p , D? = 则



课后作业
1. 已知 100 件产品中有 10 件次品, 从中任取 3 件, 求任意取出的 3 件产品中次品数的数学期望、方差 和标准差?

三、总结提升 ※ 学习小结 1.离散型随机变量的方差、标准差;
2.方差的性质,几个常见的随机变量的方差. 2.已知随机变量 X 的分布列为: 0 1 2 3 X 0.2 0.2 0.3 0.2 P 求 DX 和 D(2 X ? 1) . 4 0.1

※ 知识拓展 随机变量 ? 期望与方差的关系:

D? ? E(? 2 ) ? ( E? ) 2 .
38

湖南宁远一中

高二数学◆选修 2-3◆导学案

编写:

校审:

§ 2.3.2 离散型随机变量的方差(2)
学习目标
1.进一步理解随机变量方差的概念; 2.离散型随机变量方差的应用.

※ 典型例题 例 1 有甲、乙两个单位都愿意用你,而你能获得如 下信息: 甲 单 位 不 同 职 位 月 工 资 1200 1400 1600 1800

X 1 /元
获得相应职位的概率 P 1 乙单位不同职位月工资

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P78~ P79,找出疑惑之处) 复习 1: 若随机变量 Y ~ B(5,0.8) , DY ? 则 又若 X 2 ? Y ? 4 ,则 DX 2 ? .

0.4 1000 0.4

0.3 1400 0.3

0.2 1800 0.2

0.1 2000 0.1



X 2 /元
获得相应职位的概率 P2

根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家单位? 复习 2:已知随机变量 ? 的分布列为 :

?
P

0

1

1 5

p


x 3 10

且 E? ? 1.1,则 D? ?

二、新课导学 ※ 学习探究 探究: 甲、乙两工人在同样的条件下生产,日产量 相等,每天出废品的情况如下表所列: 工人 甲 乙 0 1 2 3 0 1 2 3 废品数 0.4 0.3 0.2 0.1 0.3 0.5 0.2 0 概率 则有结论( ) A.甲的产品质量比乙的产品质量好一些 B.乙的产品质量比甲的产品质量好一些 C.两人的产品质量一样好 D.无法判断谁的质量好一些

思考:如果认为自已的能力很强,应选择 如果认为自已的能力不强,应该选择

单位; 单位.

例 2.设是一个离散型随机变量,其分布列如下表, 试求 E? , D? .

?
P

-1

0

1

0 .5

1? 2 p

q2

39

2008 年下学期◆高二





班级:

姓名:

第一章 计数原理

※ 动手试试 练 1.甲、乙两名射手在同一条件下射击,所得环 数的分布列分别是

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
) .

X1
P

6 0.16

7 0.14

8 0.42

9 0.1

10 0.18

X2
P

6 0.19

7 0.24

8 0.12

9 0.28

10 0.17

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1.随机变量 X 满足 P( X ? c) ? 1 ,其中 c 为常数, 则 DX 等于( ) . A. 0 B. c(1 ? c) C. c D.1 2. D(? ? D? ) 的值为 ( ) . A.无法求 B. 0 C . D? D. 2 D?
3 . 已 知 随 机 变 量 ? 的 分 布 为 P (? ? k ) ?

根据环数的期望和方差比较这两名射击队手的射 击水平.

) . A.6 B.9 C. 3 D.4 4.设一次试验成功的概率为 p ,进行了 100 次独 立重复试验,当 p ? 时,成功次数的标准 差最大,且最大值是 . 5. 若事件在一次试验中发生次数的方差等于 0.25 , 则该事件在一次试验中发生的概率为 .

k ? 1,2,3 ,则 D(3? ? 5) 的值为(

1 , 3

课后作业
1.运动员投篮时命中率 P ? 0.6 (1)求一次投篮时命中次数 ? 的期望与方差; (2) 求重复 5 次投篮时, 命中次数? 的期望与方差.

练 2.有一批零件共 10 个合格品,2 个不合格品, 安装机器时从这批零件中任选一个,取到合格品才 能安装;若取出的是不合格品,则不再放回 (1)求最多取 2 次零件就能安装的概率; (2)求在取得合格品前已经取出的次品数 ? 的分布 列,并求出 ? 的期望 E? 和方差 D? .

2.掷一枚均匀的骰子,以 ? 表示其出现的点数. (1)求 ? 的分布列; (2)求 P(1 ? ? ? 3) ;

三、总结提升 ※ 学习小结 1.离散型随机变量的方差、标准差; 2.求随机变量的方差,首先要求随机变量的分布 列;再求出均值;最后计算方差(能利用公式的直 接用公式,不必列分布列) . ※ 知识拓展 事件发生的概率为 p .则事件在一次试验中发生 次数的方差不超过 1/4.

(3)求 E? 、 D? 的值.

40

湖南宁远一中

高二数学◆选修 2-3◆导学案

编写:

校审:

§ 正态分布 2.4
学习目标
1.了解正态曲线的形状; 2.会求服从正态分布的随机变量 X 的概率分布.

新知 2:正态分布: 如果对于任何实数 a ? b ,随机变量 X 满足,

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P80~ P86,找出疑惑之处) 复习 1:函数 f ( x) ? 它是 当x?

P(a ? X ? b) = 则称 X 的分布为正态分布. 记作: X ~ N ( ) .
新知 3:正态曲线的特点: (1)曲线位于 x 轴 ,与 x 轴 (2)曲线是单峰的,它关于直线 (3)曲线在 处达到峰值 (4)曲线与 x 轴之间的面积为 .



1 2?

e

?

x2 2

的定义域是



(奇或偶)函数; 时,函数有最

; 对称; ;

值,是



复习 2:已知抛物线 y ? ? x 2 ? 2 x ? 3 ,则其对称 轴为 ;该曲线与直线 x ? 1 , x ? 2 , x 轴 所围的成的图形的面积是? 新知 4:正态曲线随着 ? 和 ? 的变化情况: ①当 ? 一定时, 曲线随着 ? 的变化而沿 x 轴 ②当 ? 一定时,曲线的 由 ? 确定. 曲线越 “ ” 表示总体的分布越 , ? 越小, 曲线越 “ ” 表示总体的分布越 , ? 越大,

; ; .

二、新课导学 ※ 学习探究 探究: 1.一所学校同年级的同学的身高,特别高的 同学比较少,特别矮的同学也不多,大都集中在某 个高度左右; 2.某种电子产品的使用寿命也都接近某一个 数,使用期过长,或过短的产品相对较少. 生活中这样的现象很多,是否可以用数学模型 来刻划呢?
新知 1:正态曲线: 函 数 ? ? ,? ( x) ?

1 2? ?

?

( x?? )2 2? 2

e

试试:把一个正态曲线 a 沿着横轴方向向右移动 2 个单位,得到新的一条曲线 b ,下列说法中不正确 的是( ) . A.曲线 b 仍然是正态曲线 B.曲线 a 和曲线 b 的最高点的纵坐标相等 C.以曲线 b 为概率密度曲线的总体的期望比以曲 线 a 为概率密度曲线的总体的期望大 2 D.以曲线 b 为概率密度曲线的总体的方差比以曲 , x ? (??,??) , 线 a 为概率密度曲线的总体的方差大 2 新知 5:正态分布中的三个概率:

(其中实数 ? 和 ? (? ? 0) 为参数)的图象为正态 分布密度曲线,简称正态曲线. 试试:下列函数是正态密度函数的是( A. f ( x ) ? )

P( ? ? ? ? X ? ? ? ? ) ? P(? ? 2? ? X ? ? ? 2? ) ? P(? ? 3? ? X ? ? ? 3? ) ?

; ; .

1 2??

( x?? )2

e
x2

2? 2

, ? , ? (? ? 0) 是实数

2? ? 2 B. f ( x) ? e 2? ( x ?1) 2 ? 1 C. f ( x) ? e 4 2 2?
D. f ( x) ?
41

1 2?

e

x2 2

新知 6:小概率事件与 3? 原则: 在一次试验中几乎不可能发生,则随机变量 X 的取值范围是 .

2008 年下学期◆高二





班级:

姓名:

第一章 计数原理

※ 典型例题 例 1 若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函
数, 且该函数的最大值等于 的概率密度函数的解析式.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
) .

1 4 2?

, 求该正态分布

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1.若 f ( x) ?

1 2?

e

?

( x ?1) 2 2

,则下列正确的是( ) .

A.有最大值、最小值 B.有最大值,无最小值 C. 无最大值, 有最小值 D. 无最大值、 最小值 2.设随机变量 ? ~ N (2,4) ,则 D( ? ) = ( 例 2.在某次数学考试中,考生的成绩 ? 服从一个 正态分布,即 ? ~ N (90,100) . (1)试求考试成绩 ? 位于区间(70,110)上的概 率是多少? (2)若这次考试共有 2000 名考生,试估计考试成 绩在(80,100)间的考生大约有多少人? A.1 B.2 C.

1 2

) .

1 2

D. 4

3.若随机变量满足正态分布 N (?, ? 2 ) ,则关于正 态曲线性质的叙述正确的是( ) .
A. ? 越大,曲线越“矮胖” ? 越小,曲线越“高瘦” ,

B. ? 越小,曲线越“矮胖” ? 越大,曲线越“高瘦” , C. ? 的大小,和曲线的“高瘦”“矮胖”没有关系 、 D.曲线的“高瘦”“矮胖”受到 ? 的影响 、

4.期望是 2,标准差为 2? 的正态分布密度函数 的解析式是 . 5.若随机变量 X ~ N (5,2 ) ,则 P(3 ? X ? 7) ? .
2

课后作业
1.标准正态总体的函数为

f ( x) ?

1 2?

e

?

x2 2

, x ? (??,??)

(1)证明 f (x) 是偶函数;

※ 动手试试 练 1.某地区数学考试的成绩 X 服从正态分布,其
密度函数曲线图形最高点坐标( 60,

(2)求 f (x) 的最大值; (3)利用指数函数的性质说明 f (x) 的增减性.

1 8 2?

) ,成绩

X 位于区间 ?52,68?的概率是多少?

三、总结提升 ※ 学习小结 1.正态密度曲线及其特点; 2.服从正态分布的随机变量的概率. ※ 知识拓展 利用小概率事件的原理制定著名的质量控制图. 在质量检查中, ? ? 3? , ? ? 3? )之外的事情一 ( 旦发生,说明生产过程出现了异常,需停机检查.

2.商场经营的某种包装的大米质量服从正态分布

N (10,0.12 ) (单位:kg)任选一袋这种大米,质量
在 9.8~10.2kg 的概率是多少?

42

湖南宁远一中

高二数学◆选修 2-3◆导学案

编写:

校审:

第二章 随机变量及其分布(复习)
学习目标
1.掌握离散型随机变量及其分布列; 2.会求离散型随机变量的期望和方差; 3.掌握正态分布的随机变量 X 的概率分布.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P87~ P89,找出疑惑之处) 复习 1:知识结构: 1.离散型随机变量及其分布列 ①离散型随机变量; ②分布列; ③两点分布; ④二项分布. 2.离散型随机变量的期望和方差 ①离散型随机变量的期望及性质; ②离散型随机变量的方差及性质; ③二项分布的期望和方差. 3.正态分布 ①正态密度曲线; ②正态分布中的三个概率.

例 3:某商场要根据天气预报来决定国庆节是在商 场内还是在商场外展开促销活动.统计资料表明, 每年国庆商场内的促销活动可获得经济效益 2 万 元;商场外的促销活动如果不遇到有雨天气可获得 经济效益 10 万元,如果遇到有雨天气则带来经济 损失 4 万元, 月 30 日气象台预报国庆节当地的降 9 水概率是 40%,商场应该选择哪种促销方式?

二、新课导学 ※ 典型例题 例 1 袋中有 5 个大小相同的小球,其中 1 个白球和 4 个黑球,每次从中任取一球,每次取出的黑球不 再放回去,直到取出白球为止.求取球次数 ? 的期 望和方差.
例 4:一批电池用于手电筒的寿命是均值为 35.6 小 时、标准差为 4.4 小时的正态分布.随机从这批电 池中任意取一节电池装在电筒中,问这节电池可持 续使用不小于 40.0 小时的概率是多少?

例 2.已知每门大炮射击一次击中目标的概率是 0.3 ,那么要多少门这样的大炮同时对某一目标射 击一次,才能使目标被击中的概率超过 95 % ?

43

2008 年下学期◆高二





班级:

姓名:

第一章 计数原理

※ 动手试试 练 1.园林公司种植的树的成活率为 90%,该公司 种植的 10 棵树中有 8 棵或 8 棵以上将成活的概率 是多少?从平均的角度来看,该公司种植的 10 棵 树中将有多少棵成活?

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
) .

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1.离散型随机变量 ? 的概率分布列如下:
1 2 3 0.2 0.3 0.4 则 c 等于( ) . A.0.1 B.0.2

?

4

P

c
C.0.5 D.0.67

2.设服从二项分布 B(n, p) 的随机变量 ? 的期望 和方差分别是 15 和

1 4 3 练 2: NBA 总决赛采取七局四胜制. 预计本次比赛, D. 60 , 4
A . 50 , 两队的实力相当,有每场比赛组织者可获利 200 万 美元 (1)求组织者在本次比赛区中获利不低于 1200 万 美元的概率; (2)组织者在本次比赛中期望获利多少?

45 ,则 n, p 的值分别是( ) . 4 1 3 B . 60 , C . 50 , 4 4

3.设随机变量的概率分布为 ? 0

1

2

P

则 ? 的数学期望的最小值是(
A.

p 3

p 3
) .

1?

2 p 3

1 2

B. 0

C. 2

D. 随 p 的变化而变

化 4.连续抛掷两枚骰子,所得点数之差是一个随机 变量 ? ,则 P(?4 ? ? ? 4) ? . 5.正态总体 N (0, ) ,则数据落在 (?? , ) 内的概 率是 .

4 9

2 3

课后作业
1. 某种兔子的繁殖后代中有

1 具有长毛, 在一窝 6 4

只兔崽中恰有 3 只有长毛的概率是多少?

三、总结提升 ※ 学习小结 1.离散型随机变量的分布列,期望与方差; 2.正态分布及其应用. ※ 知识拓展 一位同学每天上学路上所花时间 X 的样本均 值为 22 分钟,其样本标准差为 2 分钟,如果 X 服 从正态分布,学校 8 点钟开始上课,为使该同学至 少能够以 0.99 的概率保证上课不迟到, 该名同学至 少要提前二十八分钟出发.
2.在某次大型考试中,某班同学的成绩服从正态 分布 N (80,5 ) ,现已知该班同学成绩在 80~85 分 的同学有 17 人,试计算该班同学中成绩在 90 分以 上的同学有多少个?
2

44

湖南宁远一中

高二数学◆选修 2-3◆导学案

编写:

校审:

45


人教A版高中数学选修2-3导学案

此时在排列数公式中, m = n 人教 A 版高中数学选修 2-3 导学案 n 全排列数:An ? n(n ?1)(n ? 2) (叫 2 ?1 ? n! 5 3 2.若 Am ,则 m ...

高中数学选修2-3导学案

湖南宁远一中 高二数学选修 2-3导学案 编写: 校审: § 分类加法计数原理与 1.1 分步乘法计数原理(1)学习目标 1.通过实例,总结出分类计数原理、分步计数...

高中数学选修2-3导学案

高中数学选修2-3导学案_数学_高中教育_教育专区。第一章和第二章一部分第一章 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理导学案课前预习学案一、预习目标 准确理解...

高二 数学选修2-3全套学案

四、课堂练习:见课本 五、自主小结 课后作业: 2 1.2.1 排列(第一课时) ...人教A版高中数学选修2-3... 60页 7下载券 选修2-3数学 导学案 61页 免费...

高中数学选修2-3导学案

高中数学选修2-3导学案_数学_高中教育_教育专区。§2.1.1 离散型随机变量学习目标 1.理解随机变量的定义; 2.掌握离散型随机变量的定义. 课前预习导学案 一、...

高中数学选修2-3导学案

高中数学选修2-3导学案_数学_高中教育_教育专区。高中数学选修2-3导学案 湟中一中 高二数学◆选修 2-3◆导学案 编写:高二数学备课组 § 1.1 分类加法计数原理...

高中数学选修2-3导学案,正规模版2.4

高中数学选修2-3导学案,正规模版2.4_高二数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学选修2-3导学案,正规模版 张家口东方中学导学案 年级:高二 科目:数学 选修 2-3 ...

高中数学选修2-2导数导学案

高中数学选修2-2导数导学案_高二数学_数学_高中教育_教育专区。人教 A 版高中...问题 3 导函数和函数在一点处的导数有什么关系? 例 2 利用导数的定义求函数...

高中数学选修2-3导学案Microsoft Word 文档

高中数学选修2-3导学案 45页 4下载券高​中​数​学​选​修​2​-​3​导​学​案​M​i​c​r​o​s​o​f​t​...

人教A版高中数学选修2-3导学案

人教A版高中数学选修2-3导学案_韩语学习_外语学习_教育专区。人教A版高中数学选修2-3导学案 、 1.1. 两个原理 课前预习学案 一、预习目标 准确理解两个原理...