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2.2.2平面与平面平行的判定

时间:2012-11-06


2.2.2平面与平面平行的判定

一、直线和平面平行的判定
(1)直线和平面平行的判定定理: 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么 这条直线和这个平面平行。
a ? ?? ? b ? ? ? ? a // ? a // b ? ?

(2)符号表示:

简述为: 线线平行,则线面平行

(3)注意:使用定理时,必须具备三个条件:
①直线a在平面α外, ②直线b在平面α内, ③两条直线a、b平行

三个条件缺一不可,缺少其中任何一条,则结论就不 一定成立了。

二、两个平面的位置关系

(1)平行

(2)相交

α∥β

? ?? ? a

怎样判定平面与平面平行呢?

生活中有很多平面与平面平行的例子。 教室的天花板与地面给人平行的感觉; 前后墙面也是平行的。 (1)三角板的一条边所在直线与桌面平 行,这个三角板所在平面与桌面平行 吗? (2)三角板的两条边所在直线分别与桌 面平行,情况又如何呢?

当三角板的两条边所在直线分 别与桌面平行时,这个三角板所 在平面与桌面平行。 (1)平面?内有一条直线与平 面?平行,?,?一定平行吗?
(2)平面?内有两条直线与平 面?平行,?,?平行吗?

两个平面平行的判定定理:
一个平面内的两条相交直线都平行 于另一个平面,则这两个平面平行。
图形表示:
?

b

P

a

?

符号表示: a??,b??,a?b=P,a???,b????????

例1. 判断下列判断是否正确,并说明理由. (1)若平面 ? 内的两条直线分别与平面? 平行,则? 与 ? 平行; × (2)若平面? 内有无数条直线分别与平面? 平行,则 ? 与 ? 平行;× (3)平行于同一直线的两个平面平行; × (4)过已知平面外一条直线,必能作出与已知平面平 行的平面. ×

例2 在正方体ABCD-A′B′C′D′中. 求证:平面AB′D′∥平面BC′D.
D′
A′ B′

C′

D
A B

C

例3 在三棱锥P-ABC中,点D、E、F分别是△PAB、 △PBC、△PAC的重心,求证:平面DEF//平面ABC.
P 证明:连结PD并延长交AB于点M 连结PE并延长交BC于点N, 连结PF并延长交AC于O, F E 连结MN,MO D A ∵D,E分别为△PAB、 O M △PBC的重心∴ DE∥MN N 又∵DE ?面ABC,MN ? 面ABC B ∴DE∥面ABC,同理:DF∥面ABC 又∵DE∩DF=D∴面DEF∥面ABC

C

小结:
1、面面平行的定义;

2、面面平行的判定定理;
3、面面平行判定定理的应用:要证面面平行, 只要证线面平行,而要证线面平行,只要证线线 平行。在立体几何中,往往通过线线、线面、面 面间的位置关系的转化使问题得到解决。


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