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2013全国高中数学联赛预赛山东参考答案


2013 年全国高中数学联赛山东赛区预赛 参考答案及评分标准
一、填空题(本大题共 10 个小题,每小题 8 分,共 80 分)

令 x ? ?1 时,有 ?1 ? a ? 1 即 0 ? a ? 2 ,故 0 ? a ?? ; 当 0 ? a ?? 时, x ? a ? max x , x ? 1 ,故 x ? a ? x ? x ? 1 总成立

, 因此实数 a 的取值范围是 ? 0,?? . 5.已知正数 a, b, c 满足 4a ? b ? abc ,则 a ? b ? c 的最小值是 【解析】由已知得: c ?

?

?

____________________ . 1.函数 y ? 4cos x ? cos 2 x ? x ? R ? 值域是
【解析】令 t ? cos x ? ? ?1,1? ,则 y ? 2 ? t ? 1? ? 3 ? ? ?3,5? .
2

____________________ .

2 ____________________ . 2.已知复数 z 满足 z ? 1 ,则 z ? z ? 1 的最大值是

1 4 1 4 ? ,故 a ? b ? c ? a ? b ? ? ? 6 , a b a b

【解析】令 z ? cos? ? i sin ? ,由 z ? 1 得: z z ? 1 , 故 z ? z ? 1 ? z ? z ? z z ? z z ? 1 ? z ? 2cos ? ? 1 ? 3 ,
2 2

当且仅当 a ? 1, b ? 2 时取等号,因此 a ? b ? c 的最小值是 6. 6.已知对 ?x ? R , log a ? sin x ? cos x ? ? ?2 恒成立,则实数 a 的取值范围是
2

____________________ .

当且仅当 cos ? ? ?1 即 z ? ?1时取等号,因此 z ? z ? 1 的最大值是 3.
2

【解析】当 a ? 1 时,有 a ?
2

1
? ?? 2sin 2 ? x ? ? ? 4?

,由于函数 2sin ? x ?
2

? ?

??

? 无上界,故不可能恒成立, 4?
2

1? 3 ? 1? 3 ? 2 ? 3, 【法二】 z ? z ? 1 ? ? z ? ? ? ? ? z ? ? ? 2? 4 ? 2? 4 ?
当且仅当 z ? ?1时取等号,故 z ? z ? 1 的最大值是 3.
2

2

2

当 0 ? a ? 1 时,有 a ?
2

1
? ?? 2sin 2 ? x ? ? ? 4?

,若 a ?
2

1
? ?? 2sin 2 ? x ? ? ? 4?

恒成立,则 a ?

1 2 ,∴ 0 ? a ? , 2 2

综上,实数 a 的取值范围是 ? ?0 ,

? ?

3.如图,在⊿ABC 中,点 O 是 BC 的中点,过点 O 的直线分别交直线 AB、AC 于不同的两点

2? ?. 2?

M , N , AB ? mAM , AC ? nAN

____________________. ,则 m ? n 的值是

A

7.已知 A

B C ? ?a, b, c, d , e? , A B ? ?a, b, c? ,

I1

I4 I5 I
7

I3 I6

1 m n AB ? AC ? AM ? AN , 【解析】 AO ? 2 2 2 m n 由 M、O、N 三点共线得: ? ? 1 ,∴ m ? n ? 2 . 2 2
【法二】直线 MON 是⊿ABC 的割线,由梅涅劳斯定理得:

?

?

c ? A B C ,则符合上述条件的 ? A, B, C? 共有 ____________________ 组.

N B O M C

I2

【解析】如右图,集合 A

B C 可分为 7 个互不相交的区域,

分别记为 I1 , I 2 , I3 , I 4 , I 5 , I 6 , I 7 . 已知 c ? I 7 ,元素 a, b 属于 I 4 、 I 7 中的某一个区域,共有 4 种可能, 元素 d , e 属于 I1 、 I 2 、 I 3 、 I 5 、 I 6 中的某一个区域,各有 5 种可能,共有 25 种可能, 因此符合条件的 ? A, B, C? 共有 100 组.

AM BO CN n ?1 ? 1,即 ? 1,∴ m ? n ? 2 . MB OC NA 1? m

____________________ 4.如果关于 x 的不等式 x ? a ? x ? x ? 1 的解集是 R,则实数 a 的取值范围是 .
【解析】令 x ? 0 时,有 a ? 1 即 ?1 ? a ? 1;

8.已知函数 f ? x ? ,对 ?x ? R ,有 f ? x ? 1006 ? ?

1 ? 2

f ? x ? ? f 2 ? x ? , f ? ?1005? ?

3 , 4

f ' ? x ? ? a ? cos ? x ? ? ? ,其中 sin ? ? c,cos ? ? b ,
若 f ? x ? ? ax ? b sin x ? c cos x 的图像上存在两条切线垂直,

____________________ . 则 f ? 2013? ?
【解析】由已知得: f ?1? ? f ? ?1005 ? 1006 ? ?

1 ? 2

f ? ?1005 ? ? f 2 ? ?1005 ? ?

1 3 , ? 2 4

则存在实数 x1 , x2 使得: ? ?a ? cos ? x1 ? ? ?? ?? ?a ? cos ? x2 ? ? ?? ? ? ?1 ,(*) 即a ?a? ?cos ? x1 ? ? ? ? cos ? x2 ? ? ?? ? ? cos ? x1 ? ? ? cos ? x2 ? ? ? ? 1 ? 0 ,
2

f ?1007 ? ? f ?1 ? 1006 ? ?

1 ? 2

f ?1? ? f 2 ?1? ?
1 ? 2

3 , 4
1 3 . ? 2 4
A B C D E

从而 ? ? ? ?cos ? x1 ? ? ? ? cos ? x2 ? ? ?? ? ? 4 ? 0 ,∴ cos ? x1 ? ? ? ? cos ? x2 ? ? ? ? 2 ,
2

f ? 2013? ? f ?1007 ? 1006 ? ?

f ?1007 ? ? f 2 ?1007 ? ?

又 cos ? x1 ? ? ? ? 1, cos ? x2 ? ? ? ? 1 ,∴ cos ? x1 ? ? ? ? cos ? x2 ? ? ? ? 2 , 故 cos ? x1 ? ? ? ? ? cos ? x2 ? ? ? ,cos ? x1 ? ? ? cos ? x2 ? ? ? ? ?1 , 于是(*)式化为 a 2 ? 0 ,解得 a ? 0 ,因此实数 a 的取值范围是 ?0? . 二、解答题(本大题共 4 个小题,前两个小题各 15 分,后两个小题各 20 分,共 70 分) 11.(本小题满分 15 分)如图所示, 在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,
F

9.用五种不同颜色给三棱台 ABC ? DEF 六个顶点涂色, 要求每个点涂一种颜色,且每条棱的两个端点涂不同颜色, 则不同的涂色方法有

____________________ 种.
3

【解析】当六个顶点使用三种颜色涂满时, A、 B、C 三点的涂色方法共有 A5 ? 60 种, 这时,点 D、E、F 只有两种涂色方法, 故共有 A ? 2 ? 120 种涂色方法;
3 5 4

z
D1 C1 P B1 D C B

当六个顶点使用四种颜色涂满时,A、 B、C、D 三点的涂色方法共有 A5 ? 120 种, 这时,点 E、F 只有三种涂色方法,故共有 A ? 3 ? 360 种涂色方法;
4 5

已知 AD ? 1, AB ? 2, AA1 ? c , 若对角线 BD1 上存在一点 P 使得 PB1 ? PC1 , 求实数 c 的取值范围.
A1

y

当六个顶点使用五种颜色涂色涂完时,先用五种颜色涂不同的五点的涂色方法有 A6 ? 720 种,
5

【解析】以点 D 为原点,分别以 DA, DC , DD1 为 x, y, z 轴的正向,建立空间直角坐标系.

x

A

这时,余下的那一点只有两种涂色方法,共有 A6 ? 2 ? 1440 种涂色方法;
5

综上知,满足题意的所有不同的涂色方法共有 1920 种. 10.假设实数 b, c 满足 b2 ? c 2 ? 1 ,且 f ? x ? ? ax ? b sin x ? c cos x 的图像上存在两条切线垂 直,则实数 a 的取值范围是

则 B ?1, 2,0 ? , B1 ?1, 2, c ? , C1 ? 0, 2, c ? , D1 ? 0,0, c ? ,设 D1P ? ? D1B ? ? ? , 2? , ?c? ? , 则 PC1 ? ? ?? , 2 ? 2? , c? ? , PB1 ? ?1 ? ? , 2 ? 2? , c? ? , ∴ PC1 PB1 ? ?? ?1 ? ? ? ? ? 2 ? 2? ? ? ? c? ? ? c ? ?
2 2 2

____________________
2 2



【解析】由已知得: f ? x ? ? ax ? b ? c sin ? x ? ? ? ? ax ? sin ? x ? ? ? ,

?

??

2

? 9? ? 4 ? 0 ,

由 ? ? 81 ? 16 c ? ? ? 1 ? 16c ? 0 ,解得: 0 ? c ?
2 2

?

?

1 ? 1? ,因此实数 c 的取值范围是 ? 0, ? . 4 ? 4?

【法二】求出 AD ?

12 ? k 2 ? 1? 3 ? 4k 2

,再求出 AD 与 BC 间的距离 d ?

2k k 2 ?1

,亦可解出.

12.(本小题满分 15 分)已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1的 4 3

y
B A

13.(本小题满分 20 分)已知数列?an ? 的前 n 项和 S n 满足 Sn ? 1 ? an ? n ? N *? . ⑴ 试求数列?an ? 的通项公式;

内接平行四边形的一组对边分别过椭圆的焦点 F1 , F2 , 求该平行四边形面积的最大值. 【解析】由已知得: F1 F2 ? 2 ,如图所示, 由于四边形 ABCD 是椭圆的内接四边形, 所以原点 O 是其对称中心,且 S
ABCD

G F1 O F2

x

⑵ 设 cn ?

1 1 1 ? ,求证:列 ?cn ? 的前 n 项和 Pn ? 2n ? . 1 ? an 1 ? an ?1 5
1 an ? n ? N *? , 2

C

D

【解析】⑴ ∵ Sn ? 1 ? an ? n ? N *? ,∴ Sn?1 ? 1 ? an ?1 ,作差得: an ?1 ?

? 2S四边形ABF1F2

? 2 S?AF1F2 ? S?AF1B ? 2 S?AF1F2 ? S?BF1F2 ? F1F2 ? y A ? yB ? ? 2 y A ? yD ,
当直线 AD 的斜率存在时,设其方程为 y ? k ? x ? 1? , 代入椭圆方程,整理得: 3 ? 4k

?

? ?

?

1 1 ,故 an ? n ? n ? N *? . 2 2 1 ⑵ 由已知得:当 n ? 1 时, P ,结论成立, 1 ? 2 ? 2? 5
又当 n ? 1 时, a1 ? 当 n ? 2 时, Pn ? ?

?

2

?x

2

? k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 ,

? 1 1 ? ? 1 1 ? ? ? ?? ??? 1 ? a 1 ? a 1 ? a 1 ? a ? 1 2 ? ? 2 3 ?

? 1 1 ? ?? ? ? ? 1 ? an 1 ? an ?1 ?

由韦达定理得: xA ? xD ? ∴ ? y A ? yD ? ? k
2

8k 2 4k 2 ? 12 , , x A xD ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
2 2 ? k 2 ? ? x A ? x D ? ? 4 x A xD ? ? ? ?

?

? 1 1 1 ? ?? ? ?? 1 ? a1 ? 1 ? a2 1 ? a2 ?

n ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 2 1 ?? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? 1 2 ? i ? 2 ? 1 ? ai ? 1 ? n ?1 ? 1 ? an 1 ? an ? 1 ? an ?1 3 2

2

? x A ? xD ?

144k

2

? 3 ? 4k ?
2

?k

2

? 1?

?


2 2

n n ? 4i ? 2 2n?1 2 1 ? ? 1 ? ? ? 2? ? i ? ? n?1 ? ? 2? ?1 ? i ? ? ??? n ?1 ? 3 2 ?1 3 4 ?1 ? ? 2 ?1 ? i ?2 ? 4 ? 1 ? i ?2 ?

∴S

ABCD

? 2 y A ? yD ? 2

144k

2

? 3 ? 4k 2 ?

?k

2

? 1?
2

?

? 6 1?

? 3 ? 4k 2 ?

8k 2 ? 9

? 6,

2 2 1 ? 2 2 1 ? ? 2 ? n ? 1? ? 2 ? ??? n?1 ? ? ? 2 ? n ? 1? ? 2 ? 1 ? 2n ? ,结论也成立, 3 4 ?1 ? 2 ?1 ? 3 4 ?1 5

综上知,对 ?n ? N * , Pn ? 2n ?

1 都成立. 5

当直线 AD 的斜率不存在时,易得: A ?1,

3? ? 3? ? ? , D ?1, ? ? ,∴ S 2? ? 2? ?

ABCD

? 2 y A ? yD ? 6 ,

综上知,符合条件的椭圆内接四边形面积的最大值是 6.

14.(本小题满分 20 分)已知 n, a, b 均为正整数,且 n ? a ? b , p 是一素数, n, a, b 的 p 进 制表示分别为 n ?

? ni pi ? a ? ? ai pi ? b ? ? bi pi ,其中 0 ? ni , ai , bi ? p ?1, i ? 0,1, 2,
i ?0 i ?0 i ?0

s

s

s

,s ,

用 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数,用 A 表示集合 A 中元素的个数,证明:
i ⑴ 若 n ? ? di p ? di ? 0, i ? 0,1, 2, i ?0 s

, s ,且对整数 j ? 0 ? j ? s ? 有 ? di pi ? ? ? p ? 1? p i ,
i? j i? j

则?

? n ? s ? ? di pi ? j ? ? ? p ? 1? pi ; j ? p i? j ? ? i? j
n! , p ? ?1 a !b !
j

⑵ p?

n! ? ? ? ?i ai ? bi ? ni , i ? 0,1, 2, a !b !
j ?1

, s? .

【证明】⑴

∵ p ? ? p ? 1? p

? ? p ? 1? p j ?2 ?
i

? ? p ? 1? p ? p ,∴ p j ? 1 ? ? ? p ? 1? p i ,
i? j
i j

∴ n

p
∴?

j

?

? d p ? ? d p ? ? p ? 1? p ? ? d p ? p
i i i? j i i? j i

p

j

?

i? j

i? j

i

p

j

?

? 1? ? ? di p i
i? j

p

j

?p ?

j

? 1?
j

p

? ? di p i ? j
i? j



? n ? ? ? di p i ? j . j ? p ? ? i? j

⑵ 不会做.


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