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2-3函数的奇偶性与周期性


高考总复习数学(文科)

第二章 函数、导数及其应用
第三节 函数的奇偶性与周期性

考纲要求

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考纲要求

1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. 2.了解函数的周期性. 栏 目 链 接

3.会运用函数图象理解和研究函数的

奇偶性.

课前自修

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课前自修
基 础 回 顾

一、函数的奇偶性
1.函数奇偶性的定义及简单性质.
奇偶性 定义 如果对于函数f(x)的定义域 内任意一个x,都有 f(-x)=f(x) ________,那么函数f(x)是 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域 内任意一个x,都有 f(-x)=-f(x) ,那 ____________________ 么函数f(x)是奇函数 图象特点 关于 y轴 _____ 对称 关于 原点 ____对 称 性质 在对称区间 上单调性 相反 ______ 在对称区间 上单调性 相同 ______

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偶函数

定义域 关于原 点对称

奇函数

课前自修
2.若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)=f(|x|),反之,也成立. 3.若奇函数f(x)的定义域包含0,则f(0)=0. 4.判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式. 在定义域关于原点对称的情况下, f(x) (1)若f(x)-f(-x)=0或 =1[f(-x)≠0],则f(x)为偶函 f(-x) 数; f(x) (2)若f(x)+f(-x)=0或 =-1[f(-x)≠0],则f(x)为奇函 f(-x) 数. 5.设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公共定 义域上: 奇+奇=奇,偶+偶=偶,偶×偶=偶,奇×奇=偶,奇×偶 =奇.

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课前自修

二、函数的周期性
1.周期函数定义:若T为非零常数,对于定义域内的任一x, 使得f(x+T)=f(x)恒成立,则f(x)叫做周期函数 ________,T叫做这个函数的 一个周期 ________. 2.周期函数的性质: (1)若T是函数f(x)的一个周期,则kT(k∈Z,k≠0)也是它的一个 周期; ? T? ? T? (2)f(x+T)= f(x)常写作f?x+ 2 ?=f?x- 2 ?; ? ? ? ? (3)若f(x)的周期中,存在一个最小正数t满足f(x+t)=f(x),则称t 为f(x)的最小正周期; (4)若周期函数f(x)的周期为T,则f(ωx)(ω≠0)也是周期函数,且 T 周期为 . |ω |

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课前自修
基 础 自 测

1.(2014· 广东卷)下列函数为奇函数的是( A ) 1 A.2 - x 2
x

B.x3sin x C.2cos x+1 D.x2+2x

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解析:依题意,注意到函数 y=2x-2-x 的定义域是 R,且(2x-2
-x

)+(2-x-2x)=0, 因此函数 y=2x-2-x 是奇函数; 对于函数 y=x3sin

x, 注意到 13sin 1+(-1)3sin(-1)=2sin 1≠0, 因此函数 y=x3sin x 不 是奇函数;对于函数 y=2cos x+1,注意到 2cos (-1)+1+2cos 1+1 =4cos 1+2≠0,因此函数 y=2cos x+1 不是奇函数;对于函数 y= x2+2x,注意到其定义域是 R,且 02+20=1≠0,因此函数 y=x2+2x 不是奇函数.综上所述,故选 A.

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1 2.函数f(x)= +x的图象关于( C ) x A.y轴对称 B.直线y=-x对称 C.坐标原点对称 D.直线y=x对称
1 解析:可判断 f(x)= +x 为奇函数,所以图象关于原点 x 对称.故选 C.

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3.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=2x-3,则 f(- 2)=( B ) A.1 B.-1 C.- 11 4 11 D. 4

4.(2014· 四川卷)设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数,当 x∈[-1,
2 ? ?-4x +2,-1≤x<0, ?3? 1 1)时,f(x)=? 则 f?2?=________ . ? ? ?x,0≤x<1, ?

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?3? ? 1 ? ? 1? ? ? ? ? 解析: ∵函数 f(x)的周期为 2,∴ f 2 =f -2+2 = f?-2?=- ? ? ? ? ? ? ? 1?2 4×?-2? +2=1. ? ?

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考点探究

考点1 函数奇偶性的判定
【例 1】 判断下列各函数的奇偶性: 1+x ; 1-x

(1)f(x)=(x-1)

lg(1-x2) (2)f(x)= 2 ; |x -2|-2
2 ? ?x +x,x<0, (3)f(x)=? 2 ?-x +x,x>0. ?

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思路点拨:确定函数的奇偶性时,必须先判定函数定义域是否关于 原点对称,若对称,再验证 f(-x)=± f(x)或其等价形式 f(-x) f(x)=0 是 否成立.
±

考点探究
点评:判断函数的奇偶性,一般有以下几种方法:

(1)定义法:若函数的定义域不是关于原点对称的区间,则
立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数;若函数的定义 域是关于原点对称的区间,再判断f(-x)是否等于±f(x). (2)图象法:奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关 于y轴对称. 栏 目 链 接

(3) 性质法:在公共定义域内,偶函数的和、差、积、商
(分母不为零)仍为偶函数;奇函数的和、差仍为奇函数;奇(偶)

数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数与
一个偶函数的积为奇函数.

考点探究
特别提醒: (1)对函数奇偶性的判断,不能用特殊值法,如 存在 x0使 f(- x0)=- f(x0) ,不能判断函数 f(x) 是奇函 数. (2)分段函数的奇偶性判断,要以整体的观点进 行,最好结合图象分析,避免盲目套用定义出现的 错误. 栏 目 链 接

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1+x 解析:(1)由 ≥0,且 1-x≠0,得定义域为[-1,1),它关于原点不对 1-x 称,故 f(x)为非奇非偶函数. 2 ? ?1-x >0, (2)由? 2 得函数定义域为(-1,0)∪(0,1),它关于原点对称, ?|x -2|-2≠0, ? 栏 lg(1-x2) lg(1-x2) 经化简得 f(x)= =- . 目 x2 -(x2-2)-2 链 lg[1-(-x)2] lg(1-x2) ∵f(-x)=- =- =f(x), 接 x2 (-x)2 ∴f(x)为偶函数. (3)所给函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),它关于原点对称. 当 x<0 时,-x>0,则 f(-x)=-(-x)2-x=-(x2+x)=-f(x). 当 x>0 时,-x<0,则 f(-x)=(-x)2-x=-(-x2+x)=-f(x). 综上所述,对任意的 x∈(-∞,0)∪(0,+∞),都有 f(-x)=-f(x),故 f(x)为 奇函数.

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?变式探究
1.(2014· 重庆卷)下列函数为偶函数的是( D ) A.f(x)=x-1 B.f(x)=x2+x C.f(x)=2x-2
-x

D.f(x)=2x+2

-x

解析:依题意,注意到函数f(x)=x-1,f(x)=x2+x, f(x)=2x-2-x均不是偶函数;对于函数f(x)=2x+2-x, 其定义域是R,且f(-x)=2-x+2x=f(x),因此函数

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f(x)=2x+2-x是偶函数,故选D.

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考点2 奇(偶)函数性质的应用
【例2】 (1)已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的 栏 目 链 接 偶函数,那么a+b的值为__________.

(2)奇函数f(x)=sin x· +(其中常数a∈R)的定义域为
____________.

点评:利用函数的奇偶性可求函数解析式中参数的范围或
最值,主要方法是根据函数奇偶性的定义或奇偶函数图象

的对称关系寻找解题的突破口.

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? ?a-1=-2a, 解析:(1) 依题意得? ? ?b=0,

?a=1, 1 1 3 ∴? ∴a+b= +0= . 3 3 ?b=0.
a∈R, ? ? ? ?-1≤x≤1, 2 (2)?1-x ≥0,∴? 又奇函数的定义域关于原点对称, ?x≠a. ? ? ?x-a≠0, ∴a=0.∴函数的定义域为{x|-1≤x≤1 且 x≠0}. 1 答案:(1) 3 (2){x|-1≤x≤1 且 x≠0}

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?变式探究
2.(2014· 湖南卷)若 f(x)=ln(e3x+1)+ax 是偶 函数,则
3 - a=________ . 2

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考点探究
解析:由偶函数的代数特征式 f(-x)=f(x),列关于 a 的方程解
-3x ? e +1? -3x 3x ?, 之即可.因为 ln(e +1)-ax=ln(e +1)+ax,即 2ax=ln? 3x e + 1 ? ?

e-3x+1 ∴ 3x = e2ax , ∴ e - 3x + 1 = e2ax + e(2a + 3)x 对 x∈R 恒 成 立 , ∴ e +1
? ?2a+3=0, ? ?2a=0, 3 ? 或? (舍去)所以 a=- . 2 ? ? ?2a=-3 ?2a+3=-3.

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考点3 函数奇偶性、单调性的综合应用
【例 3】 设 a 为实数,函数 f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R. (1)讨论 f(x)的奇偶性; (2)求 f(x)的最小值.

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考点探究
解析:(1)当a=0时,f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x),此 时f(x)为偶函数; 当a≠0时,f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1, ∴f(-a)≠f(a),且f(-a)≠-f(a). ∴函数f(x)为非奇非偶函数.
? 1?2 3 ? ? x - (2)①当x<a时,函数f(x)=x -x+a+1= 2? +a+4. ?
2

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1 若a≤ ,则函数f(x)在(-∞,a]上单调递减. 2 ∴函数f(x)在(-∞,a]上的最小值为f(a)=a2+1. ?1? 3 1 若a> ,函数f(x)在(-∞,a]上的最小值为f?2?= +a. 2 ? ? 4

考点探究
? 1? 2 3 ②当x≥a时,函数f(x)=x +x-a+1= ?x+2? -a+ ,若a≤- 4 ? ?
2

? 1? 3 1 ,则函数f(x)在[a,+∞)上的最小值为f?-2?= -a. 2 ? ? 4

1 若a>- ,则函数f(x)在[a,+∞)上单调递增. 2 ∴函数f(x)在[a,+∞)上的最小值f(a)=a2+1. 1 3 1 1 综上所述,当a≤- 时,函数f(x)的最小值是 -a;当- <a≤ 2 4 2 2 1 3 时,函数f(x)的最小值是a2+1;当a> 时,函数f(x)的最小值是a+ . 2 4

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点评:(1)若函数f(x)为偶函数,则函数在y轴两侧单调

性相反;若函数f(x)为奇函数,则函数在原点两侧的单调性
相同. (2)利用函数的奇偶性把研究整个函数具有的性质问题 转化到只研究部分(一半)区间上的问题,是简化问题的一种 途径. 栏 目 链 接

考点探究
?变式探究
3.下列函数中既是奇函数,又在(-1,1)上是增 函数的为( B ) A.y=|x+1| B.y=sin x C.y=2x+2-x D.y=ln x

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解析:根据函数性质逐一判断.函数y=|x+1|和y=ln x
都是非奇非偶函数,排除A和D;函数y=2x+2-x是偶函 数,排除C;函数y=sin x既是奇函数,又在区间(-1,1) 上是增函数,故选B.

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考点4 周期函数的定义及性质的应用
【例 4】 设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间[-1, ax+1,-1≤x<0, ? ? ?1? ?3? 1]上,f(x)=?bx+2 其中 a,b∈R.若 f?2?=f?2?,则 a+ ? ? ? ? ,0≤x≤1, ? ? x+1 3b 的值为__________.

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考点探究
解析:∵f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数, b+2 ∴f(-1)=f(1),即-a+1= .① 2
?3? ? 1? ?1? ?3? 1 又∵f?2?=f?-2?=- a+1,f?2?=f?2?, 2 ? ? ? ? ? ? ? ?

b+4 1 ∴- a+1= .② 2 3 联立①②,解得 a=2,b=-4,∴a+3b=-10. 答案:-10

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考点探究
点评:函数周期性问题应牢牢把握周期函数的定义,并掌握一些 常见的确定函数周期的条件. (1)若 T 为函数的一个周期, 则 nT(n∈Z 且 n≠0)也是函数的周期; (2)若对任何 x∈D 都有 f(x+a)=-f(x),则 f(x)是以 2a 为周期的 函数; 1 (3)若对任何 x∈D 都有 f(x+a)=± (f(x)≠0), 则 f(x)是以 2a f(x) 为周期的函数; (4)若函数 f(x)有两条对称轴 x=a,x=b,则 f(x)是以 2|a-b|为周 期的函数.

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4.(2013· 温州第一次适应性文改编 ) 设函数 f(x) =
3 ? x ? ,0≤x<4, ? 则 f(2 015)=( ?f(x-4),x≥4, ?

)
B

A.64 B.27 C.9 D.8
解析:x≥4 时,f(x)=f(x-4),所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数,所以 f(2 015)=f(503×4+3)= f(3)=33=27.故选 B.

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考点 5 函数的周期性、奇偶性、单调性的 综合应用
【例5】 已知函数 y=f (x) 是定义在 R 上的周期函数, 栏 目 链 接 周期 T=5,函数 y=f (x)(-1≤x≤1) 是奇函数.又知 y=f (x) 在[0,1]上是一次函数,在[1,4]上是二次函数,且在x= 2时函数取得最小值-5.

(1)证明:f (1)+f (4)=0;
(2)求y=f (x),x∈[1,4]的解析式;

(3)求y=f (x)在[4,9]上的解析式.

考点探究
(1)证明:∵f(x)是以5为周期的函数, ∴f(4)=f(4-5)=f(-1). 又∵y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数,

∴f(1)=-f(-1)=-f(4).
∴f(1)+f(4)=0. (2)解析:当x∈[1,4]时,由题意可设 f(x)=a(x-2)2-5(a>0), 由f(1)+f(4)=0得a(1-2)2-5+a(4-2)2-5=0, ∴a=2. ∴f(x)=2(x-2)2-5(1≤x≤4).

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(3)解析:∵y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数, ∴f(0)=0. 又知y=f(x)在[0,1]上是一次函数,∴可设f(x)=kx(0≤x≤1), 而f(1)=2(1-2)2-5=-3, ∴k=-3.∴当0≤x≤1时,f(x)=-3x, 从而当-1≤x<0时,f(x)=-f(-x)=-3x, 故-1≤x≤1时,f(x)=-3x. 又∵当4≤x≤6时,有-1≤x-5≤1, ∴f(x)=f(x-5)=-3(x-5)=-3x+15. 当6<x≤9时,1<x-5≤4, ∴f(x)=f(x-5)=2[(x-5)-2]2-5=2(x-7)2-5.
? ?-3x+15,4≤x≤6, ∴f(x)=? 2 ? ?2(x-7) -5,6<x≤9.

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考点探究
点评: (1) 关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题,

关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知
区间上的问题. (2)掌握以下两个结论,会给解题带来方便:①f(x)为偶 函数 f(x)=f(|x|);②若奇函数在x=0处有意义,则f(0)=0. 栏 目 链 接

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?变式探究
5.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的是( D ) A.y= x B.y=-x2+1 C.y=cos x D.y=|x|+1
解析:逐个判断.对于 A,函数 y= x不是偶函数;对于 B,函 数 y=-x2+1 在(0,+∞)上是减函数;对于 C,函数 y=cos x 在(0, +∞)上不是增函数;对于 D,函数 y=|x|+1 既是偶函数又在(0,+ ∞)上单调递增,故选 D.

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6.(2013· 山东省实验中学模拟)已知定义在R上的函数y=

f(x)满足以下三个条件:①对于任意的x∈R,都有f(x+4)=f(x);
②对于任意的a,b∈[0,2],且a<b,都有f(a)<f(b);③函数y =f(x+2)的图象关于y轴对称.则下列结论正确的是( A ) A.f(4.5)<f(7)<f(6.5) B.f(7)<f(4.5)<f(6.5) C.f(7)<f(6.5)<f(4.5) D.f(4.5)<f(6.5)<f(7) 栏 目 链 接

考点探究
解析: 由 f(x+ 4) = f(x) 知 T= 4 , x∈[0 , 2] , f(x) 为增函

数,且y=f(x) 关于x=2对称,
∴f(x)=f(4-x),∴x∈[2,4]为减函数. ∴f(4.5)=f(0.5),f(7)=f(3)=f(1), f(6.5)=f(2.5)=f(1.5). ∴f(0.5)<f(1)<f(1.5), ∴f(4.5)<f(7)<f(6.5). 栏 目 链 接

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考情播报 1.函数的奇偶性、周期性的应用是高考的重要考点. 2.常与函数的图象、单调性、对称性、零点等知识综合命题. 3.多以选择题、填空题的形式出现. 栏 目 链 接

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品 味 高 考
1.(2014· 新课标全国卷Ⅰ)设函数 f(x),g(x)的定义域都为 R, 且 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是( C ) A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数

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解析:因为函数 f(x)是奇函数,所以 f(-x)=-f(x);因为函数 g(x)是偶函数,所以 g(-x)=g(x);因为 f(-x)· g(-x)=-f(x)g(x),所 以函数 f(x)g(x)为奇函数,故排除 A;因为|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x) =|f(x)|g(x),所以函数|f(x)|g(x)为偶函数,故排除 B;因为|f(-x)g(- x)|=|f(x)g(x)|, 所以函数|f(x)g(x)|为偶函数, 故排除 D; 因为 f(-x)|g(- x)|=-f(x)|g(x)|,所以函数 f(x)· |g(x)|为奇函数.故选 C.

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2. (2014· 安徽卷)若函数 f(x)(x∈R)是周期为 4 的奇函数, 且在[0,
? ?x(1-x),0≤x≤1, ?29? ?41? ? ? ? 2] 上 的 解 析 式 为 f(x) = 则 f 4 +f? 6 ?= ? ? ? ? ?sin πx,1<x≤2, ?

5 ________ . 16

?3? 3 1 解析:利用函数性质和解析式求解.由解析式可得 f?4?= × ? ? 4 4

3 = ,f 16

?7? ?29? ?41? ? 3? ? 7? 7π 1 ? ?=sin ? ? ? ? ? ? - =- ,所以 f 4 +f 6 =f +f ?-6? 6 4 6 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?7? 3 1 5 ? ?=- + = . 16 2 16 ?6?

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?3? =-f ?4?-f ? ?

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高 考 测 验
1.下列函数中,既是偶函数又在区间 (0,+∞)上单调递增的函 数为( C ) A.y=x
-1

B.y=log2x C.y=|x| D.y=-x

2

解析:y=x-1为奇函数;y=log2x为非奇非偶函数; y=-x2为偶函数但在(0,+∞)上单调递减,故选C.

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2.设 f(x)为奇函数,当 x>0 时,f(x)=x2+x, ,则 f(-1)=( A ) A.-2 B.0 C.2 D.-1

解析:依题意得f(-1)=-f(1)=-(12+1)=-2,故选A.

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2-3 函数的奇偶性和周期性练习

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2-3函数的奇偶性与周期性

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2.3函数的奇偶性与周期性

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