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全国高中数学联赛模拟试题05及答案

时间:2011-01-14


全国高中数学联赛模拟试题( 全国高中数学联赛模拟试题(五)
第一试 一、选择题(共 36 分) 1. 由 一 个 正 方 体 的 三 个 顶 点 所 能 构 成 的 正 三 角 形 的 个 数 为 ( ) A.4 B.8 C.12 D.24 2. 在等比数列{an}中,记 Sn=a1+a2+……+an,已知 a5=2S4+3,a6=2S5+3,则此数列 的 公 比 为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 3. 在正 n 棱锥中,相邻两侧面所成的二面角的取值范围是 ( ) n-2 n-1 π n-2 n-1 A.( π,π) B.( π,π) C.(0, ) D.( π, π) n n 2 n n 4. 设函数 f(x)对一切实数 x 都满足 f(3+x)=f(3-x)且方程 f(x)=0 恰有 6 个不同的实 数根,这 6 个实数根的和为( ) A.0 B.9 C.12 D.18 n n+1 5. 已知集合 An={x|2 <x<2 ,且 x=7m+1,m,n∈N},则 A6 中各元素之和为( ) A.792 B.890 C.891 D.990 6. 设(5 2+7) A.1
2n+1

(n∈N)的整数部分和小数部分分别是 I 和 F,则 F·(I+F)的值为( B.2 C.4 D.与 n 有关的数

)

二、填空题(共 54 分) 2 2 2 7. 若 a>0,a -2ab+c =0,bc>a ,则实数 a,b,c 的大小关系为________________. 8. 正四面体 ABCD 的棱长为 1,点 G 是底面△ABC 的重心,点 M 在 DG 上,且使得∠AMB= 90?,则 DM 的长为_________________. 2 9. 二次方程(1-i)x +(λ+i)x+1+iλ=0(i 为虚数单位,λ∈R)有两个虚根的充要条 件是 λ 的取值范围为_______________________. 10. 已知有向线段 PQ 的起点 P 和终点 Q 的坐标分别为(-1,1)和(2,2),若直线 l:x+my +m=0 与 PQ 的延长线相交,则 m 的取值范围是_______________________. 11. 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,如果只有 5 种 颜色可供使用,那么不同的染色方法种数为___________________. 12. 已知 95 个数 a1,a2,……,a95,每个数都是+1 或者-1 中的一个,那么它们的两两之 积的和 a1a2+a1a3+……+a94a95 的最小正值为________________.

三、解答题(共计 60 分) 13. (20 分)数列{an}和{bn}满足 a0=b0=1, n=an-1+2bn-1, n=an-1+bn-1, a b (n=1, ……), 2, 2 2 求 a 2002-2b 2002 的值.

1

a b c d a b c d 14. (20 分)设 a, c, 是四个不同的实数, b, d 使得 + + + =4, ac=bd, + + + 且 求 b c d a c d a b 的最大值.

15. (20 分)设 0<a<b,过两定点 A(a,0)和 B(b,0)分别引直线 l 和 m,使与抛物线 y =x 有四个不同的交点,当这四点共圆时,求这种直线 l 与 m 的交点的轨迹.

2

第二试 一、(50 分)△ABC 内接于⊙K,BD 是∠B 的平分线,现有⊙K1 与 BD 相切于点 I,且与 AC 及 ⊙K 也相切(如图),证明切点I是△ABC 的内心. A

D .K1 .K I 二、(50 分)记 F(x,y,z)是关于 x,y,z 的三次对称多项式, 且每一项都是三次的,证明: (1)当 x,y,z≥0 时,x(x-y)(x-z)+y(y-x)(y-z)+ z(z-x)(z-y)≥0 C B

?F(0,0,1) ≥ 0 ? (2)F(x,y,z)≥0 对任意 x,y,z≥0 成立的充要条件是: ?F(0,1,1) ≥ 0 . ?F(1,1,1) ≥ 0 ?

三、(50 分)将重量为 1 ,2 ,3 ,……,81 的 81 个砝码分为三组,每组 27 个,并且各组 重量相等.

2

2

2

2

2

全国高中数学联赛模拟试题( 全国高中数学联赛模拟试题(五)
参考答案 第一试 一、选择题 1. B 从正方体某一顶点出发的三条棱的另外三个端点恰好组成一个正三角形,因此正方体 的每一个顶点“对应”一个正三角形,共计 8 个 2. B a6-a5=2(S5-S4)=2a5,∴ a6=3a5 ∴ 公比 q=3 3. A π 当 n=3 时,θ> ,当 n→∞时,θ→π 3 4. D f(x)关于 x=3 对称,每一对根之和为 6,所以 6 个根之和为 6×6÷2=18 5. C 6 7 2 <7m+1<2 ,∴ 10≤m≤18 各元素和为(10+11+……+18)×7+9=891 6. A 注意到(5 2+7) ∴ F=(5 2-7)
2n+1

-(5 2-7) ,
2n+1

2n+1

∈N,且(5 2-7)

2n+1

<1

2n+1

于是 F·(I+F)=(5 2-7)

(5 2+7)

2n+1

=1

二、填空题 7.b>c>a; 2 2 a +c ≥2ac ? b≥c 2 2 2 2 若 c≤a,则 2ab=a +c ≤2a , ? b<a ? bc<a ,矛盾 ∴ b≥c≥a,而等号显然不成立 8. 6 ; 6 1 1 6 设 AB 边的中点为 E,则 ME= AB= ,∴ MG= 2 2 6 而正四面体 ABCD 的高为 6 6 6 6 ,∴ DM= - = 3 3 6 6

9.λ∈R 且 λ≠2; 2 2 整理方程得:(x +λx+1)+i(-x +x+λ)=0
3

若方程有实数根 x,则 x +λx+1=-x +x+λ=0 解得 λ=2,∴ λ≠2 时方程两个根都是虚数. 1 2 10.(- ,- ); 3 3 3 3 1 l 恒过定点 R(0,-1),则可求得 l 得斜率取值范围是( ,3),即 <- <3 2 2 m 1 2 ∴ m∈(- ,- ) 3 3 11.420; 5 1 1 3 分情况讨论.染 5 种颜色有 P5 =120 种,染 4 种颜色有:C5 ×C2 ×P4 =240 种,染 3 种 2 2 1 颜色有 C5 ×P2 ×C3 =60 种,共计 420 种. 12.13; 设有 m 个+1,则有 95-m 个-1,
2 两两之积的和为 S=Cm +C 95? m -m(95-m)=2(m -95m)+47×95
2 2

2

2

最小正值为 13,此时,m=53 或 42 三、 13.直接计算得: 2 2 a 0-2b 0=-1 2 2 a 1-2b 1=1 2 2 a 2-2b 2=-1 2 2 a 3-2b 3=1 2 2 n+1 猜测:a n-2b n=(-1) 下面用数学归纳法证明: n=0,1,2,3 时,上面已经验证,猜测正确. 2 2 k+1 假设命题对 n=k 成立,即 a k-2b k=(-1) 则当 n=k+1 时, 2 2 2 2 a k+1-2b k+1=(ak+2bk) -2(ak+bk) 2 2 k+2 =-(ak -2bk )=(-1) 猜测正确 因此,根据数学归纳法,对任意的 n∈Z,n≥0,猜测正确. 2 2 ∴ a 2002-2b 2002=-1 b 1 c 14.设 a=kb,d=kc,则 k+ + + =4 c k b a b c d b b c kc 1 b c 令 f= + + + ,则 f=k + + + =(k+ )( + ) c d a b c kc kb b k c b 1 b c 2 2 令 x=k+ ,y= + ,则 x ≥4,y ≥4 k c b 2 2 2 2 2 x y =f ,x+y=4 ? x +y =16-2f 2 2 2 (x -4)(y -4)≥0 ? f -4(16-2f)+16≥0 ? y≥4 或 y≤-12 a b c d 又∵ 如果 与 , , 同为正数, b c d a
4

a b c d + + + ≥4 ? a=b=c=d,矛盾! b c d a ∴ a 与 c 异号,b 与 d 异号,于是 f<0 则 ∴ fmax≤-12,等号在 a=1,b=-1,c=3+2 2,d=-3-2 2时可取到 ∴ fmax=-12 15.设 P 点(方程)坐标为 P(x0,y0),且设 l 与 m 的参数方程分别为 l: ?
?x = x 0 + t cos α ? y = y 0 + t sin α ?x = x 0 + t cos β m:? ? y = y 0 + t sin β

分别代入抛物线方程中,得: 2 2 2 t sin α+(2y0sinα-cosα)t+y0 -x0=0 2 2 2 t sin β+(2y0sinβ-cosβ)t+y0 -x0=0 2 2 y0 -x0 y0 -x0 2 2 由四个交点共圆知: = ? sin α=sin β 2 2 sin α sin β a+b 显然,α≠β,则 α+β=180°,∴ l,m 关于 x= 对称, 2 a+b a+b 所以,交点 P 在 x= ,但需除去点( ,0) 2 2 a+b 即 P 点轨迹方程为 x= (y≠0) 2 第二试 一、证明:设⊙K1 切⊙K2 于 M,切 AC 于 N,连结 K,K1,M A 则 K,K1,M 三点共线, 连结 DK,DN,MN,AI N ∵ K1N⊥AC,KD⊥AC,∴ NK1∥DK D 又∵ △K1MN,△DKM 均为等腰三角形 K1 ∴ D,N,M 三点共线 K 2 2 则 DI =DM·DN=DA I ∴ DI=DA 又∵ BD 平分∠ABC C ∴ I 为△ABC 的内心. 二、证明:⑴不妨设 x≥y≥z≥0,令原式=f(x,y,z) 则 f(x,y,z)≥x(x-y)(y-z)+y(y-x)(y-z)+z(y-z)(x-z) 2 2 =(y-z)(x -xy+y -xy)+z(y-z)(x-z) 2 =(y-z)(x-y) +z(y-z)(x-z) ≥0 3 3 3 2 2 2 2 2 2 ⑵设 F(x,y,z)=A(x +y +z )+B(x y+y z+z x+xy +yz +zx )+Cxyz 必要性是显然的

M

B

5

?F(0,0,1) ≥ 0 ? 充分性: ?F(0,1,1) ≥ 0 ? ?F(1,1,1) ≥ 0 ?
3 3 3 2 2

?A ≥ 0 ? ?2A + 2B ≥ 0 ?3A + 6B + C ≥ 0 ?
2 2 2 2

由⑴x +y +z ≥x y+y z+z x+xy +yz +zx -3xyz 代入得 2 2 2 2 2 2 F(x,y,z)≥(A+B)(x y+y z+z x+xy +yz +zx )-3Axyz+Cxyz ≥6(A+B)xyz+(C-3A)xyz =(3A+6B+C)xyz ≥0 充分性成立. 2 2 2 2 三、解:首先将重量为 1 ,2 ,3 ,……,81 的 81 个砝码分成 9 组, 2 2 2 每组 9 个,即 Mn={(9n+1) ,(9n+2) ,……,(9n+9) |n=0,1,2,……,8} 再将每个 Mn 里面的 9 个砝码分成三组 2 2 2 (9n+8) (9n+1) (9n+6) 2 2 2 (9n+5) (9n+7) (9n+3) 2 2 2 (9n+4) (9n+9) (9n+2) 每一行为一组,和分别为 Nn+a,Nn+b,Nn+c,其中,a,b,c 与 n 无关, 然后,再将 27 个小组并为 3 组,每 9 组并为一大组: N1+a,N2+a,N3+a,N4+b,N5+b,N6+b,N7+c,N8+c,N9+c, N1+b,N2+b,N3+b,N4+c,N5+c,N6+c,N7+a,N8+a,N9+a, N1+c,N2+c,N3+c,N4+a,N5+a,N6+a,N7+b,N8+b,N9+b. 显然各组的总重量均为 ∑ N i +3(a+b+c),并且每组 27 个砝码.
i =1 9

6


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