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二元一次不等式组与平面区域1(修改)

时间:2011-01-25


二元一次不等式(组) 一次不等式( 与平面区域
人教A版必修5 人教A版必修5 §3.3.1

一 问题 想 在平面直角坐标系中,直线x+y-1=0 在平面直角坐标系中,直线x+y x+y? 将平面分成几部分呢? 将平面分成几部分呢?
y
1



答:分成三部分: 分成三部分: (1)

点在直线上
1

x (2)点在直线的右上方 x+y-1=0 (3)点在直线的左下方

0

?不等式x+y-1>0对应平面内哪部分的点呢? 不等式x+y x+y对应平面内哪部分的点呢?

探索规律

表示直线x +y-1=0 (1,1) ) ( 右上方的平面区域0,0) 的平面区域; 右上方的平面区域; ) ) (2,0) ) 点集{(x,y)|x+y(-1,0) {(x,y)|x+y2、点集{(x,y)|x+y-1<0} 代入点的坐标 + 表示直线x ) y-1=0 ) (2,1) (-1,1) 左下方的平面区域 的平面区域。 左下方的平面区域。 ) (-1,-1) (2,2) ) 直线x+y 正 x+y-1=0叫做这两个 3、直线x+y-1=0叫做这两个 负 x+yx+y-1值的正负 区域的边界 边界。 区域的边界。

区域内的点

直线上的点的坐标满足x+y-1=0, 直线上的点的坐标满足x+y-1=0,那么直 x+y 线两侧的点的坐标代入x+y x+y线两侧的点的坐标代入x+y-1中,也等于 0吗?先完成下表,再观察有何规律呢? 先完成下表,再观察有何规律呢? y 点集{(x,y)|x+y {(x,y)|x+y1、点集{(x,y)|x+y-1>0}
右上方点 左下方点

1

0

1

x x+y-1=0

同侧同号, 同侧同号,异侧异号

画二元一次不等式表示的平面区域的步骤: 画二元一次不等式表示的平面区域的步骤: 1、一般地,在平面直角坐标系中,二元一次不等式 、一般地,在平面直角坐标系中, +C=0某一侧 某一侧所有点组成的 Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的 线定界(注意边界的虚实) 1、+C> 表示直线A 线定界(注意边界的虚实) 平面区域,我们把直线画成虚线 以表示区域不包含 虚线, 平面区域,我们把直线画成虚线,以表示区域不包含 边界; +C≥ 表示的平面区域包括边界, 包括边界 边界;不等式 Ax+By+C≥0表示的平面区域包括边界, 把边界画成实线 实线。 把边界画成实线。 由于直线同侧的点的坐标代入Ax+By+C Ax+By+C中 由于直线同侧的点的坐标代入Ax+By+C中,所得 2、 、 点定域(代入特殊点验证) 2、点定域(代入特殊点验证) 实数符号相同, 实数符号相同,所以只需在直线的某一侧取一个 特别地, C≠0时常把原点作为特殊点 时常把原点作为特殊点。 特别地,当C≠0时常把原点作为特殊点。 特殊点代入Ax+By+C中,从所得结果的正负即可 特殊点代入Ax+By+C中 从所得结果的正负即可 Ax+By+C 正负 判断Ax+By+C>0表示哪一侧的区域。 Ax+By+C>0表示哪一侧的区域 判断Ax+By+C>0表示哪一侧的区域。

方法总结: 方法总结:

典例精析 题型一: 题型一:画二元一次不等式表示的区域 例1、画出 x+4y<4 表示的平面区域

y
x+4y>4

(1)x +4y>4 变式: 变式: (2)x-y-4<0 (3)x-y-4>0

x+4y=4

o

x
x+4y<4

y
o
x-y-4>0 x-y-4=0

x

题型二: 题型二:画二元一次不等式组表示的区域 例2、画出不等式组表示的平面区域。 画出不等式组表示的平面区域。 y

x-y+5≥0 y+5 0 x+y≥0 x+y 0 x≤3 3 分析: 画二元一次不等式组表 由于所求平面区域的点的坐
示的平面区域的步骤: 示的平面区域的步骤: 标需同时满足两个不等式, 标需同时满足两个不等式, 因此二元一次不等式组表示 的区域是各个不等式表示的 区域的交集 交集, 公共部分。 区域的交集,即公共部分。
-5

x-y+5=0
5

o

x
4

x+y=0 x=3

跟踪练习

如图,表示满足不等式(x-y)(x+2y-2)> 如图,表示满足不等式(x-y)(x+2y-2)>0 (x 的点(x,y)所在区域应为: (x,y)所在区域应为 的点(x,y)所在区域应为:( )
y 1 O y 1 O 2 χ 2 χ

B y
O y 1 O

1

(A)

2

χ

(B)

2

χ

(C)

(D)

题型三:根据平面区域写出二元一次不等式( 题型三:根据平面区域写出二元一次不等式(组) 例3、写出表示下面区域 、 的二元一次不等式组
y

(0,1)

x
(-4,-1) (2,-1)

典例精析 题型三:根据平面区域写出二元一次不等式( 题型三:根据平面区域写出二元一次不等式(组)

例3、写出表示下面区域的二元一次不等式 y 解析: 解析:边界直线方程为 x+yx+y-1≤0 紫色区域 x+yx+y-1=0 代入原点( 代入原点(0,0) 绿色区域 -1x-0 2y+2> 0+0得0+0 < 2y+2>0 即所求不等式为 蓝色区域 -1≤0 -1 y≥x+y- y≥ x+y 黄色区域

1 -2

o
-1

1

x

x+y-1≤0 x+y2y+2> x-2y+2>0 y≥y≥-1

方法总结

根据平面区域写出二元一次 不等式( 不等式(组)的步骤: 步骤:
求边界直线的方程 代入区域内的点定号 写出不等式( 写出不等式(组)

题型五: 题型五:综合应用

试确定m的范围,使点(1,2)和 例 4、 试确定m的范围,使点( 3x-y+m=0的异侧。 (1,1)在3x-y+m=0的异侧。 变式:若在同侧 同侧, 的范围又是什么呢? 变式:若在同侧,m的范围又是什么呢?
解析: 解析: 由于在异侧,则(1,2)和(1,1) 由于在异侧,则(1,2)和(1,1) 解析: 由于在同侧, 由于在同侧, 代入3x-y+m 所得数值异号, 代入3x 所得数值异号 代入3x3x同号, 代入3x-y+m 所得数值同号, 3x 所得数值异号, 同号 则有(3-2+m)(3-1+m)> 则有(3-2+m)(3-1+m)<0 0 则有( 2+m)( 1+m) )(3 则有( 2+m)(3 1+m) )( 所以(m+1)(m+2)> 所以(m+1)(m+2)> 0 所以(m+1)(m+2) <0 所以(m+1) 即:-2<m<-1m>-1 <即:m2<m<或 <-2 -

题型四: 题型四:综合应用 x-y+5≥0

例 5、 求二元一次不等式组 y≥2
0≤x≤2

y
5

C x-y+5=0 D

所表示的平面区域的面积
解析: 解析: 如图,平面区域为直角梯形, 如图,平面区域为直角梯形,易得 A(0,2),B(2,2),C(2,7),D(0,5) 所以AD=3,AB=2,BC=5 所以AD=3,AB=2,BC=5 故所求区域的面积为 1 S= (3 + 5)× 2 = 8 2 -5

2A

B
2 x=2

y=2

o

x

题型四: 题型四:综合应用 x-y+5≥0

变式: 若二元一次不等式组 y≥a 变式:
0≤x≤2

所表示的平面区域是一个三角形, 所表示的平面区域是一个三角形, 求a的取值范围

变式训练 题型四: 题型四:综合应用 x-y+5≥0

y
7 5D

x-y+5=0

变式: 若二元一次不等式组 y≥a 变式:
0≤x≤2

C

y=a y= y=7 y=5 y=a y=

所表示的平面区域是一个三角形, 所表示的平面区域是一个三角形, 求a的取值范围

答案:5≤a 答案 5≤a<7

-5

o

2 x=2

x
y=a y=

某工厂用A 某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品,每生产一件 两种配件生产甲、乙两种产品, 甲产品使用4 配件耗时1h, 每生产一件乙产品使用4 甲产品使用4个A配件耗时1h, 每生产一件乙产品使用4个B配 件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得16 2h,该厂每天最多可从配件厂获得16个 配件和12 12个 件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配 按每天工作8小时计算,该厂所有可能的日生产安排是什么? 件,按每天工作8小时计算,该厂所有可能的日生产安排是什么?
把有关数据列表表示如下: 把有关数据列表表示如下:
甲产品 (1件) 件 4 0 1 乙产品 (1件) 件 0 4 2 资源限额

资源

A种配件 种配件 B种配件 种配件

≤16 ≤12 ≤8

所需时间

设甲、乙两种产品分别生产x 设甲、乙两种产品分别生产x、y件.

设甲、乙两种产品分别生产x 设甲、乙两种产品分别生产x、y件,由己知 条件可得二元一次不等式组: 条件可得二元一次不等式组:
? x + 2 y ≤ 8, ? 4 x ≤ 16, ? ? ? 4 y ≤ 12, ? x ≥ 0, ? ? y ≥ 0. ?

y
4

y=3
2

o

2

4

6

8

x
x + 2y ?8 = 0

x=4

设甲、乙两种产品分别生产x 设甲、乙两种产品分别生产x、y件,由己知 条件可得二元一次不等式组: 条件可得二元一次不等式组:
? x + 2 y ≤ 8, ? 4 x ≤ 16, ? ? ? 4 y ≤ 12, ? x ≥ 0, ? ? y ≥ 0. ?

y
4

y=3
2

o

2

4

6

8

x
x + 2y ?8 = 0

x=4

若生产一件甲产品获利2万元, 若生产一件甲产品获利2万元,生产一件乙产品 获利3万元,采用哪种生产安排利润最大? 获利3万元,采用哪种生产安排利润最大? 件时, 设生产甲产品 x 件,乙产品 y 件时,工厂获得 的利润为 z ,则 z = 2 x + 3 y.
y
2x + 3 y = 0
4 B 2 N M

y=3

o

2

4A

6

8

x
x + 2y ?8 = 0

x=4

? x + 2 y ≤ 8, ? 4 x ≤ 16, ? ? ? 4 y ≤ 12, ? x ≥ 0, ? ? y ≥ 0. ?

z = 2x + 3 y

不等组( 不等组(1)是一组对变量 x、y的约束条件,这组约束条 的约束条件, 的一次不等式, 件都是关于 x、y 的一次不等式, 所以又称为线性约束条件 线性约束条件. 所以又称为线性约束条件.

函数 z = 2x + 3 y 称为目标函 数,又因这里的 z = 2x + 3 y 是 的一次解析式, 关于变量 x、y 的一次解析式, 所以又称为线性目标函数 线性目标函数. 所以又称为线性目标函数.

在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题, 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题, 统称为线性规划问题. 线性规划问题 统称为线性规划问题.

满足线性约束条 件的解 ( x , y ) 叫做 可行解. 可行解.

y
4

由所有可行解组 成的集合叫做可行域 可行域. 成的集合叫做可行域. 使目标函数取得 最大值或最小值的可 行解叫做线性规划问 题的最优解 最优解. 题的最优解.

2x + 3 y = 0

2

M

y=3

o

2

4

6

8

x
x + 2y ?8 = 0

x=4

? ? ? ? 在线性约束条件 ? ? ? ? ?

x + 2 y ≤ 8, 4 x ≤ 16, 4 y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0.

下,

的最大值; 求(1)目标函数 z = x + 2 y 的最大值; (2)目标函数 z = x ? y 的最大值和最小值. 的最大值和最小值.

y
4

x? y=0

B
x + 2y = 0
2

N
M

y=3

o

2

4A

6

8

x
x + 2y ?8 = 0

x=4

举一反三

x-y≥0 满足约束条件: 设x,y满足约束条件: x+y-1 ≤ 0 满足约束条件 y ≥ -1
求z=2x-y最大值与最小值 。 z=2x-

y y=2x x+y=1 1 0
C

①作可行域(如图) 解: ②由z=2x-y得y=2x-z,因此平行移动 直线y=2x,若直线截距-z取得最大值, 则z取得最小值;截距-z取得最小值, y=-1 则z取得最大值. B (-1,-1) ③因此z在A(2,-1)处取得最大值, 即Zmax=2×2+1=5; 在B(-1,-1)处取得最小值, 即Zmin=2×(-1)-(-1)=-1。 ④综上,z最大值为5;z最小值为-1.

x-y=0 x 1
(2,-1) , ) A

变式演练

x-y≥0 满足约束条件: 设x,y满足约束条件: x+y-1 ≤ 0 满足约束条件 y ≥ -1
求z=-x-y最大值与最小值 。 z=-

y x+y=1 1 0 1
(2,-1) , ) A
C

①作可行域(如图) 解:

y=-x

x-y=0 x

②由z=-x-y得y=-x-z,因此平行移动 直线y=-x,若直线截距-z取得最大值, 则z取得最小值;截距-z取得最小值, 则z取得最大值. y=-1 ③因此z在B(-1,-1)处截距-z取 得最小值,z取得最大值即Zmax=2; 在边界AC处取得截距-z最大值, z取得最小值即Zmin=-2-(-1)=-1。
B (-1,-1)

学案P69典型例题 例1 已知x,y满足现行约束条件 ? x-2y + 7 ≥ 0 ? ?4 x ? 3 y ? 12 ≤ 0 ?x + 2 y ? 3 ≥ 0 ? 求(1)u= 4x-3y的最大值与最小值。 (2)z=(x+3) +(y+1)的最大值和最小值。 y +1 (3)t = 的最值。 x+3
2 2

4x-3y-12=0

X-2y+7=0

x+2y-3=0
P(-3,-1)

X-2y+7=0

4x-3y-12=0

P(-3,-1)

x+2y-3=0

t max = k PA
X-2y+7=0 Q(x,y)

t =

y + 1 x + 3

4x-3y-12=0

tmin = k PB

P(-3,-1)

x+2y-3=0


高中数学必修5第三章二元一次不等式(组)与平面区域-1[1]

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