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平面向量数量积的概念和物理意义导学案


华山中学

高一数学◆必修 4◆导学案

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§ 2.4.1 平面向量的数量积的 物理背景及含义
学习目标
1. 在物理中功的概念的基础上, 理解向量数量积的 概念及几何意义; 2. 掌握数量积的运算式及变式; 3. 掌握模长公式.

? ? ?

? ?? ⑷ a ? b , ab ? a 即 ? a?

=

? ? ⑸因为 cos? ? 1 ,所以 a ? b

? ,a ? ? ? a b .



※ 典型例题 ? ? ? ? ? ? 例 1 已知 a ? 6 , b ? 8 ,且 a // b ,求 a ? b .

学习过程
一、课前准备 ⑴两个非零向量的夹角范围是 ⑵求下列特殊角的余弦值: 0,

? ? ? 2? 5?

, , , , ,? 6 3 2 3 6
? ? ? ? 变式:若 a ? b ,则 a ? b 是多少?

二、新课导学 ※ 学习探究 问题 1:如下图,如果一个物体在力 F 的作用下产 生位移 s ,那么力 F 所做的功 ,其 中 ? 是 F 与 s 的夹角.
? ? ? ? ? 小结: a ? b 的几何意义是数量积 a ? b 等于 a 的长度 ? ? ? ? a 与 b 在 a 的方向上的投影 b cos ? 的乘积.

思考:功是一个标量,它由力和位移两个向量来确 定,这给我们一种启示,能否把“功”看成是这两 个向量的一种运算的结果呢?

? ? 新知:已知两个非零向量 a 和 b ,我们把数量 ? ? ? ? a b cos ? 叫做 a 和 b 的数量积(inner product) (或 ? ? ? ? ? ? 内积) ,记作 a ? b ,即 a ? b ? a b cos ? . ? ? ? ? ? 其中 ? 是 a 和 b 的夹角, a cos ? 叫做向量 a 在 b 方 ? ? ? s 向上的投影 (projection) b o ? 叫做向量 b 在 a 方 ; c ? 向上的投影. 如图, OB1 ? b cos? .

例 2 在平行四边形 ABCD 中, AB ? 4 , BC ? 2 , ??? ???? ? ?BAD ? 120? ,求 AB ? AD .

规定:零向量与任一向量的数量积为 0 .

? ? 结论:⑴ ? ? 0? , a ? b = ; ? ? ? ? ? ⑵ ? ? 90 ,即 a ? b , a ? b = ? ? ⑶ ? ? 180? , a ? b = ;



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一个数量,而且这个数量的大小和两个向量的长度 及其夹角有关.

※ 动手试试 ? ? ? ?? ? 练 1. 已知 p ? 8 , q ? 6 , p 和 q 的夹角是 30? , ? ? ? 求 p ? q ;夹角是 45? 呢? 90? 呢?.

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: ? ? ? ? ? ? 1. 设 a ? 12 , b ? 9 , a ? b ? ?54 2 ,则 a 与 b 的
夹角 ? 为( ) ? A. 45 B. 135? C. 60? D. 120? ??? ? ???? ? ? ? ? 2. 已知 ? ABC , AB ? a , AC ? b ,当 a ? b ? 0 时, ) ? ABC 为( A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰三角形 3. 已知平面内三个点 A ? 0, ?3? , B ? 3,3? , C ?1, ?1? , 则 ? ??? ??? ? 向量 AB 与 BC 的夹角为( ) A. 0 B. 90? C. 60? D. 180? ? ? ? ? ? 4. 已知 a ? 3 , b ? 5 ,且 a ? b ? 12 ,则向量 a 在 ? 向量 b 的方向上的投影为 . ?2 ? ? 5. 已知向量 a 满足 a ? 8 ,则 a ? .

练 2. 判断下列命题的真假,并说明理由. ??? ??? ? ? ⑴在 ?ABC 中, AB ? BC ? 0 , ? ABC 是锐角三 若 则 角形; ??? ??? ? ? ⑵在 ?ABC 中, AB ? BC ? 0 , ? ABC 是钝角三 若 则 角形; ??? ??? ? ? ⑶ ?ABC 为直角三角形,则 AB ? BC ? 0 .

? ? ? 1. 若 a, b, c 为任意向量, m ? R ,则下列等式不一 定成立的是( ) ? ? ? ? ? ? A. a ? b ? c ? a ? b ? c ? ? ? ? ? ? ? B. a ? b ? c ? a ? c ? b ? c ? ? ? ? C. m a ? b ? ma ? mb ? ? ? ? ? ? D. a ? b ? c ? a b ? c ? ? ? 2. 已 知 a ? 6, a 与 b 的 夹 角 为 60? , 且 ? ? ? ? ? a ? 2 b ? a ? b ? 7,则 b 为( 3 ?2 )

课后作业

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三、总结提升 ※ 学习小结 1. 向量数量积的定义; 2. 由定义推出的相应结论. ※ 知识拓展 对比向量的线性运算,同学们能发现,向量线 性运算的结果是一个向量,而两个向量的数量积是
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B. 6 C. 5 D. 4 ? ? ? ? ? ? 3. 已知 a ? 1, b ? 2 , a ? b 与 a 垂直, a 与 且 则 ? b 的夹角为( ) ? A. 60 B. 30? C. 135? D. 45? ? ? ? ? 4. a ? 3, b ? 4 , 且 a 与 b 的 夹 角 为 150? , 则 ? ? 2 . a?b = ? ? ? ? ? ? 5. 已知 a ? 2, b ? 5, a ? b ? ?3 , a ? b = 则 , ? ? a?b = .

A. 16

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6 非零向量 a ,b 满足 | a |?| b |?| a ? b | , a ,b 的 则 夹角为 .

7、已知 a ? 3 , b ? 5 ,且 a ? b ? 12 ,则 a 在 b 方 向上的投影为 .

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8、已知 a ? 10 , b ? 12 ,a 与 b 的夹角为 120 ? . 求: (1) a ? b ; (2) (3b ? 2a) ? (4a ? b) .

? ? ? ? 9、已知 a ? 2 , b ? 3 , a 与 b 的夹角为 60? ,求: ? 2 ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ⑴ a ? b ; a ? b ; 2a ? b ? a ? 3b ; a ? b . ⑵ ⑶ ⑷

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? ? ? ? 10、 已知 a ? 3, b ? 4 ,且 a 与 b 不共线, k 为何 ? ? ? ? 值时,向量 a ? kb 与 a ? kb 互相垂直?

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