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江苏省青阳高级中学2013届高三数学综合练习(五)


江苏省青阳高级中学 2013 届高三数学综合练习(五) 一.填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,合计 70 分. )
1.已知复数 z1 ? 1 ? i, z2 ? 2 ? i ,那么 z1 ? z2 的值是 ▲ .

x 2. 已知全集 U ? R ,集合 M ? {x | lg x ? 0}, N ? {x | ( ) ?
<

br />1 2

2 } ,则 (CU M ) ? N ? 2

3.一个算法的流程图如图所示,则输出的 S 值为
开始 i←1 , S←0



.

i <10

N

Y
S←S+ i i←i +1 输出 S 结束

第3题 4. 某鲜花店 4 枝玫瑰花与 5 枝牡丹花的价格之和不低于 27 元, 6 枝玫瑰花与 3 枝牡丹花 而 的价格之和不超过 27 元,则购买这个鲜花店 3 枝玫瑰花与 4 枝牡丹花的价格之和的最 大值是__▲________元. 5.由命题“存在 x ? R ,使 x ? 2 x ? m ? 0 ”是假命题,求得 m 的取值范围是 (a , ? ?) ,
2

则实数 a 的值是



.

6、已知函数 f ? x ? ? f ? ? 0? cos x ? sin x ,则函数 f (x ) 在 x 0 ? 是 ▲ .

? 处的切线方程 2

7、 半径为 2 的圆 O 与长度为 6 的线段 PQ 相切,切点恰好为线段 PQ 的三等分点,则 OP ? OQ = ▲ 8、平面内有 n 条直线 ?n ? 3? ,其中有且仅有两条直线平行,任意三条直线不过同一点,则 这 n 条直线交点个数 f ?n ? = ▲

9、圆环形手镯上等距地镶嵌着 4 颗小珍珠,每颗珍珠镀金、银两色中的一种,镀 2 金 2 银 的概率是 ▲ 10.若 m、n、l 是互不重合的直线, ? , ? , ? 是互不重合的平面,给出下列命题: ①若 ? ? ? , ? ? ? ? m, m ? n, 则n ? ?或n ? ? ②若 ? // ? , ? ? ? ? m, ? ? ? ? n, 则m // n ? ③若 m 不垂直于 ? , 则m不可能垂直于 内的无数条直线 ④若 ? ? ? ? m, m // n, 且n ? ? , n ? ? , 则n // ?且n // ? ⑤若 ? ? ? ? m, ? ? ? ? n,? ? ? ? l , 且? ? ? ,? ? ? , ? ? ? , 则m ? n, m ? l , n ? l 其中正确命题的序号是 ▲ .

11、 在平面直角坐标系中, 为坐标原点, O 设向 OA ? a, OB ? b, 其中 ? (3,1),b ? (1,3). 若 a

OC ? ? a ? ?b,0 ? ? ? ? ? 1且 ? , ? ? 0 ,C 点所有可能的位置区域的面积为__
12、设 P 为双曲线 x ? y ? 1(a ? 0, b ? 0) 上除顶点外的的任意一点, F1 , F2 分别为左右点, 2 2
a b
2 2

?F1 PF2 内切圆交实轴于点 M,则 F1M MF2 值为▲
x 13.设 f ?x? ? log3 ? 4 ? x ,则满足 f ?x ? ? 0 的 x 的取值范围是▲

.

14.设 a 是整数, 0 ? b ? 1 ,若 a 2 ? 2b?a ? b? ,则 b 值为



二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分,请在指定区域内作答,解答应写出文字说明,证 .... 明步骤或演算步骤. 15 (本小题 14 分)已知 ?an ? 是各项均为正数的等比数列,且
a1 ? a2 ? 2( 1 1 1 1 1 , ? ), a3 ? a4 ? a5 ? 64( ? ? ) (1)求 ?an ? 的通项公式 a1 a2 a3 a 4 a 5

?log 2 a n (2)若 b ? ? 1 , (n为奇数) Tn 为 ?bn ? 的前 n 项和,求 Tn . , ? n ? a n (n为偶数) ?

16 (本小题 14 分) 如图, 正方形 ABCD 中边长为 1, Q 分别为 BC、 上的点,?CPQ P、 CD 周长为 2.(1)求 PQ 的最小值;(2)试探究求 ?PAQ 是否为定值,若是给出证明;不是说 Q D C 明理由. P

A

B A

17 如图, 所有棱长都为 2 的正三棱柱 BCD ? B C D , 四边形 ABCD 是菱形, 其中 E 为 BD
' ' '

的中点.(1) 求证: C E // 面AB D ; (2)求证:面 ACD ' ? 面 BDD ' ;
' ' '

(3)求四棱锥 B '? ABCD 与 D'? ABCD 的公共部分体积.

D'

C'
B'

D
D

C
C

E B

A

E

B 18、经济学中有一个用来权衡企业生产能力(简称“产能” )的模型,称为“产能边界” .它 表示一个企业在产能最大化的条件下,在一定时期内所能生产的几种产品产量的各种可能 的组合.例如,某企业在产能最大化条件下,一定时期内能生产 A 产品 x 和 B 产品 y 台, 则它们之间形成的函数 y ? f (x) 就是该企业的 “产能边界函数” 现假设该企业此时的 . “产 能边界函数”为 y ? 15 1600? 2x (1)试分析该企业的产能边界,分别选用①、②、③中的一个序号填写下表: 点 Pi ?x, y ? 对应的产量组合 实际意义 ①、这是一种产能未能充分利用的产量组合; ②、这是一种生产目标脱离产能实际的产量组合; ③、这是一种使产能最大化的产量组合. (2)假设 A 产品每台利润为 a?a ? 0? 元,B 产品每台利润为 A 产品每台利润的 k 倍

P ?350,450? 1

P2 ?200,300?

P3 ?500,420?

k ? 1, k ? N ? .在该企业的产能边界条件下,试为该企业决策,应生产 A 产品和 B 产品各多
少台才能使企业获得最大利润?

19 已知动圆 P 与圆 M : ( x ?

2 6 2 2 6 ) ? y 2 ? 16 相切,且经过点 N ( ,0) 3 3

(1)试求动圆的圆心 P 的轨迹 C 的方程; (2)设 O 为坐标原点,圆 D : ( x ? t ) 2 ? y 2 ? t 2 (t ? 0) ,若圆 D 与曲线 C 交于关于 x 轴 ??? ??? ? ? 对称的两点 A、B(点 A 的纵坐标大于 0) ,且 OA ? OB ? 0 ,请求出实数 t 的值; (3)(2) 在 的条件下, D 是圆 D 的圆心, F 是圆 D 上的两动点, 点 E、 满足 2OD ? OE ? OF , 点 T 是曲线 C 上的动点,试求 TE ? TF 的最小值.

????

??? ??? ? ?

??? ??? ?

20 已知函数 f ? x ? ?

(1)求 f ?x ? 的单调区间;

ln x x

(2)若关于 x 的不等式 ln x ? mx 对一切 x ? ?a,2a??a ? 0? 都成立,求 m 范围;
b a

(3)某同学发现:总存在正实数 a, b?a ? b?, 使 a ? b ,试问:他的判断是否正确;若正确, 请写出 a 的范围;不正确说明理由.

参考答案:
一.填空题: 1、 3 ? i 7、 ? 4 2、 x x ? 0

?

?

3、 45

4、 36

5、 1

6、 y ? ? x ? 1 ?

?
2

8、

n2 ? n ? 2 2

9、

3 8

10、 、 、 (2)(4)(5)

11、 4

12、 b

2

13、 [3,4]

14、 0,

3 ?1 , 3 ?1 2

15、 (1)由题 ?

? a12 q ? 2 ?a ? 1 ? ,得 ? 1 , an ? 2n ?1 2 6 ? a1 q ? 64 ?q ? 2 ?

? n ?1 ? (2) bn ? ?? 1 ? n ?1 ?? ? ?? 2 ?

n为偶数 n为奇数

n ? n 2? 1 ? n为偶数 ? ? n ? 2 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? 3? ?2? ? ? 4 ? ? ? bn ? ? n ?1 2? ?1? ? ? 4 ? n+1?? n ? 1? ? 3 ?1 ? 2 ? 2 ? ? n为奇数 ? ? ? ? ? ? ? ?

16、设 ?CPQ ? ? ,则 CP ? PQ cos? , CQ ? PQ sin ? (1) PQ ?
2 ? ( 0 ?? ? ) 1 ? sin ? ? cos? 2

∴ PQ ?

2

?? ? 1 ? 2 sin ? ? ? ? 4? ?

∴ PQmin ?

2 ?2 2 ?2 2 ?1

(2)设 ? ? x, 1? , P ?1, y ? ,设 ?DAQ ? ? , ?PAB ? ? ∴ 1 ? x ? 1 ? y ? ?1 ? x? ? ?1 ? y ? ? 2 ,即 xy ? ? x ? y ? ? 1
2 2

D'

C'
B'

又 tan? ? x , tan ? ? y ∴ ?PAQ ?
?
2 ? ?? ? ? ? ?

∴ tan ?? ? ? ? ?
?
4

? x? y ? 1 ,∴ ? ? ? ? 4 1 ? xy

D
D

C
C

E B
B

A

E

17.证明(1) 如图取 B ' D ' 的中点为 F ,连 AF,C’F, 易得 AFC’F 为平行四边形.
‘ ? AF // C ' E ,又 AF ? 面AB D’

? C ' E // 面AB' D '

(2)连接 AC,CD' ,因 ABCD 是菱形故有

AC ? BD

' ' ' 又 BCD ? B C D 为正三棱柱故有 AC ? DD '

所以 AC ? 面BDD' ,而 AC ? 面ACD' 所以面 ACD ' ? 面 BDD ' (3)设 B’D 与 BD’的交点为 O ,由图得 四棱锥 B '? ABCD 与 D'? ABCD 的公共部分为四棱锥 O-ABCD 且易得 O 到下底面的距离为 1,

1 S ABCD ? 2 ? ? 2 ? 2 sin 60 0 ? 2 3 2
所以公共部分的体积为 ? 2 3 ? 1 ? 18、 (1) 点 Pi ? x, y ? 对 应 的产量组合 实际意义
3 ○ 2 ○ 1 ○

1 3

2 3 . 3
P3 ? 500,420 ?

P ? 350,450 ? P2 ? 200,300 ? 1

(2)设生产 A 产品 x 台, B 产品为 y 台
f ? x ? ? ax ? kay ? ax ? ka 15 1600 ? 2 x

?

?

令 1600 ? 2x ? t ( 0 ? t ? 40 )
1 ? ? ? 1 ? f ? t ? ? a ? 800 ? t 2 ? ? 15kat ? a ? ? t 2 ? 15kt ? 800 ? 2 ? ? ? 2 ?
?? a 2 ?t ? 30kt ? ? 800a 2

??

a 225 2 ?t ? 15k ? ? ? k 2 ? 800 ? a ? ? 2 ? 2 ?
8 ,得 k ? 2 时, t ? 30 利润最大 3

1? 15k ? 40 即 1 ? k ? 2 ? 15k ? 40 即 k ?

8 , k ? 3, 4,? , t ? 40 利润最大 3

19.解(1)易知点 N 在圆 M 内,由题意两圆内切,故 PM ? PN ? 4 , 又 MN ?

2 6 ? 4, 3

所以动圆的圆心 P 的轨迹是以 M、N 为焦点,长轴长为 4 的椭圆.

x2 y2 ? ?1 其方程为 4 4 3

(2)? OA ? OB ? 0,?OA ? OB 由对称性知 ?AOD ? ?BOD ? 45 ,所以直线 OA 的斜率 K OA ? 1 ,
?

直线 OA 的方程为

y?x

? y?x ? x2 y2 ? 由? ? ? 1 得 A(1,1) 4 ?4 ? 3 ?
因为 A(1,1) 在圆 D : ( x ? t ) 2 ? y 2 ? t 2 (t ? 0) 上, 所以 (1 ? t ) 2 ? 1 ? t 2 ,解得 t ? 1 (3)由 2OD ? OE ? OF ,知 D 是线段 EF 的中点, 设 E ( x1 , y1 ) ,由(2)知 D(1,0) ,所以 F (2 ? x1 ,? y1 ) ,设 T ( x? , y? ) 则 TE ? TF ? ( x1 ? x? , y1 ? y? )(2 ? x1 ? x? ,? y1 ? y? )

????

??? ??? ? ?

? 2( x1 ? x? ) ? ( x1 ? x? ) ? y? ? y1
2 2 2
2 2 2

2

? ?[(x1 ? 1) 2 ? y1 ] ? ? x? ? y? ? 2 x? x 4 2 3 1 2 ? x? ? 2 x? ? (1 ? ? ) ? ( x? ? ) 2 ? 3 4 3 2 6 3 1 由 ? 2 ? x? ? 2 ,知当 x ? ? 时, TE ? TF 的最小值为 ? 2 6
20、 (1)定义域 ? 0,?? ?
f ?? x ? ? 1 ? ln x ?0 x2 ln x x
a?e ? ? 2 ? ○ ln a ? f ? x ?max ? a ?
2

∴ ln x ? 1 ∴ f ? x ? 在 ? 0,e? 递增, ?e, ??? 递减

(2)由题 m ?

e ? a? ? ? 2 1 ○? ? f ? x ? ? ln 2a max ? 2a ?

? e ? ?a?e ? 3 ○? 2 ? f ? x? ? 1 max ? e ?

∴ a ? 时, m ?

e 2

ln 2e 2a

a ? e 时, m ?

ln a e

e 1 ? a ? e 时, m ? 2 e


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