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定积分的概念导学案

时间:2012-05-05


启明中学 2011-2012 学年度高中数学选修 2-2 四单元导学案

编号:x2-2.1

编制人:刘继华

审核:高二年级备课组 【自主探究 合作交流】 自主探究 合作交流】

班级:





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4.1.2定积分的概念
【学习目标】 学习目标】 1.通 过 求 曲 边 梯 形 的 面 积 和 变 速 直 线 运 动 的 路 程 , 了 解 定 积 分 的 背 景 ; 2.能 用 定 积 分 的 定 义 求 简 单 的 定 积 分 ; 3.理解掌握定积分的几何意义. 【重难点预测】 重难点预测】 学习重点:定 积 分 的 概 念 、 定 积 分 法 求 简 单 的 定 积 分 、 定积分的几何意义; 难点:定 积 分 的 概 念 、 定积分的几何意义. 【知识链接】曲边图形面积,变速运动的路程,变力做功等问题的解决方法,解决步骤:分割→以直 知识链接】 代曲→求和→取极限(逼近

探究一 探究一:讨论定积分的几何意义是什么?
如果在区间 [ a , b] 上函数连续且恒有 f ( x ) ≥ 0 , 那么定积分


b

b

a

f ( x)dx 表示:

如果在区间 [ a , b] 上函数连续且恒有 f(x)≤0, 那么定积分



a

f ( x)dx 表示:

探究二:讨论根据定积分的几何意义,用定积分表示图中阴影部分的面积:
【自主学习】 自主学习】 1.一般地, 如果函数 y=f(x)在某个区间 I 上的图像是一条连续不断的曲线, 那么我们就把它称为区间 I 上的________________。 2 .以直代曲求曲边梯形的面积的方法与步骤: ①________ ,②________ ,③________ ,④________ . 3. 定积分的定义: 如果函数 f(x)在区间[a,b]上图像是连续曲线,用分点 【学法指导 学习笔记】

y

阅读教材 P78 至 P80 通过自主探究、合 作交流,培养我们的分 析、比较、概括等思维 能力,形成良好的思维 品质.

A y = f1 ( x )

B

探究三:定积分的性质
性质 1 性质 2 性质 3 性质 4

a = x0 < x1 < x2 < L < xi ?1 < xi < L < xn = b 将区间[a,b]等分成 n 个小区
间。在每个小区间 [ xi ?1 , xi ] 上任取一点 ξi (i = 1, 2,L , n) 作和式
_______________________

∫ 1dx = b ? a
a

b

D y = f ( x) C 2 a b x O

,当 n → ∞ 时,上述和式无限趋近某个常数,

这个常数叫做函数 f ( x ) 在区间[a,b]上的________。记作:________ 即

(k 是常数) ∫ kf ( x )dx = ? ? ∫ ? f ( x ) ± f ( x )?dx = ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx (其中 a < b < c )
b a b a 1 2 b c b a a c

∫ f (x )dx = lim ∑
b a

n

n →∞

i =1

b?a f (ξ i ) .记为: S = __ ___ ___ __ ___ ___ __ , n

思考:你能从定积分的几何意义解释性质 4 吗?

其中:① f ( x ) 称为______________, x 叫做_____________, [ a, b] 为

【典例分析】 典例分析】
_____________, b 为_________________, a 为________________. ②定积分 用图表示下列函数的定积分, 例 1 用图表示下列函数的定积分,并求出定积分
1 (1)∫0 2dx 1



b

a

f ( x)dx 是一个常数, 只与积分上、 下限的大小有关, 与

(2)∫ 2xdx (2)∫1 xdx

2

(3) ∫?2 16 + 6x ? x 2 dx

3

积分变量的字母无关,



b

a

f ( x)dx = ∫ f (t )dt = ∫ f ( y )dy
a a

b

b

1

















启明中学 2011-2012 学年度高中数学选修 2-2 四单元导学案 例 2.计算定积分

编号:x2-2.1

编制人:刘继华

审核:高二年级备课组 (A 层)

班级:





姓名:

评价:



2

1

( x + 1)dx
y

【当堂反馈 当堂反馈】 当堂反馈

分析: 分析:所求定积分即为如图阴影部分面积. 1、由 y=sinx, x=0,x=

π
,y=0 所围成图形的面积写成定积分的形式是

2
2、定积分



b

a

f ( x)dx 的大小





A、与 f (x ) 和积分区间 [a, b ] 有关,与 ξ i 的取法无关 B、与 f (x ) 有关,与区间 [a, b ] 及 ξ i 的取法无关 o 1 2 x C、与 f (x ) 和 ξ i 的取法有关,与积分区间 [a, b ] 无关 D、与 f (x ) 、区间 [a, b ] 和 ξ i 的取法都有关 3、下列等式成立的个数是( ① )
π π π

例 3 计算下列定积分.



5

0

(2 x ? 4)dx

∫ ∫

1

0

f (t )dt = ∫ f ( x)dx ② ∫ 2 sin xdx + ∫π sin xdx = ∫ sin xdx
0
0 2 0

1

a



?a

x dx = 2 ∫ x dx
0

a

④ C、3



2

0

4 ? x 2 dx < ∫ 2dx
0

2

例 4.求如图所示阴影部分图形的面积.

A、1 (B 层) 4.画出

B、2

D、4



3

1

( 2 x ? x 2 )dx 表示的图形

5.画出由曲线 y = x 3 ? 6 x 和 y = x 2 所围成的图形的面积.

选做题:(课后探究) 用定积分的几何意义说明下列不等式: ① ∫ 2π cos θ dθ = 2 ∫ 2 cos θ dθ
? 2 0

(C 层) 6、计下列定积分(1)(2)

π

π

② ∫ sin xdx = 0


π

(1) ∫

2 ? 2

4 ? x

2

dx

(2) ∫ (1 ? x ) dx +
0

1



2

1

( x ? 1 ) dx

7.计算 ∫ x 3 dx 的值
?1

1

﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌ 【学后思★教后思】 学后思★教后思】

2

















启明中学 2011-2012 学年度高中数学选修 2-2 四单元导学案

编号:x2-2.1

编制人:刘继华

审核:高二年级备课组

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3


















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