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2013高考(文科数学试卷一)含答案

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2013 高考百天仿真冲刺卷

数 学(文) 试 卷(一)
第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题列出的四个选项中,选出符 合题目要求的一项. 1.已知集合 A ? {0,1} , B ? {?1,0, a ? 3} ,且 A ? B ,则 a 等于 (A) 1 (B) 0

2

(C) ?2

(D) ?3 (D)第四象限

2.已知 i 是虚数单位,则复数 z ? 1 ? 2i+3i 所对应的点落在 (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 3.已知 a ? b ,则下列不等式正确的是 (A)

1 1 2 2 ? (B) a ? b (C) 2 ? a ? 2 ? b a b ??? ??? ? ? 4.在 ?ABC 中, AB ? BC ? 0 ”是“ ?ABC 为直角三角形”的 “
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件 5.一个几何体的三视图如图所示,则其体积等于

(D) 2 ? 2
a

b

1 2 (D) 6 3 6.函数 y ? sin ?x( x ? R) 的部分图象如图所示,设 O 为坐标原点, P 是图象的最高点, B 是 图象与 x 轴的交点,则 tan ?OPB ? 8 4 (A) 10 (B) 8 (C) (D) 7 7
(A) 2 (B) 1 (C)
2 2

y

P x

正(主)视图

2

侧(左)视图

1

O

B

1 2

俯视图

第 5 题图
3

第 6 题图

7.若 a ? 2 ,则函数 f ( x) ? x ? 3ax ? 3 在区间 ( 0, 2) 上零点的个数为 (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个 8.已知点 A(?1,0), B(1,0) 及抛物线 y ? 2 x ,若抛物线上点 P 满足 PA ? m PB ,则 m
2

的最大值为 (A) 3 (B) 2 (C) 3 (D) 2

第Ⅱ 卷(非选择题 共 110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 已知 {an } 为等差数列, a3 ? a4 ? 1 ,则其前 6 项之和为_____. 10.已知向量 a ? (1, 3) , a ? b ? (0, 3) ,设 a 与 b 的夹角为 ? ,则 ? ? _____. 11.在 ?ABC 中,若 B ? 2 A , a : b ? 1: 3 ,则 A ? _____.

? x ? 2, ? 12.平面上满足约束条件 ? x ? y ? 0, 的点 ( x, y ) 形成的区域为 D ,则区域 D ?x ? y ? 6 ? 0 ?
的面积为________; 设区域 D 关于直线 y ? 2 x ? 1 对称的区域为 E , 则区域 D 和 区域 E 中距离最近的两点的距离为________. 13.定义某种运算 ? , a ? b 的运算原理如右图所示.则 0 ? (?1) ? ______; 设 f ( x) ? (0 ? x) x ? (2 ? x) .则 f (1) ? ______. 14.数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an ?1 ? 列命题: ① ?? ? R ,对于任意 i ? N , ai ? 0 ;
*

开始 输入 a , b

a?b




n?? 2, an ,其中 ? ? R , n ? 1, ? .给出下 n ?1

S?b
输出 S 结束

S?a

② ?? ? R ,对于任意 i ? 2(i ? N ) , ai ai ?1 ? 0 ;
*
* * ③ ?? ? R , m ? N ,当 i ? m ( i ? N )时总有 ai ? 0 .

其中正确的命题是______.(写出所有正确命题的序号) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 13 分)

? 1 2 sin( x ? ) ? 4 3. 已知函数 f ( x) ? sin x ( Ⅰ ) 求 函 数 f ( x) 的 定 义 域 ; x ( Ⅱ ) 若 f ( x ) ? 2, 求 s i n 2 的 值 .

16.(本小题满分 13 分) 如图,菱形 ABCD 的边长为 6 , ?BAD ? 60 , AC ? BD ? O .将菱形 ABCD 沿对角线
?

AC 折起,得到三棱锥 B ? ACD ,点 M 是棱 BC 的中点, DM ? 3 2 . (Ⅰ)求 证 : OM // 平 面 ABD ; (Ⅱ)求 证 : 平 面 ABC ? 平 面 M D O; (Ⅲ)求 三 棱 锥 M ? A B D 体 积 . 的
B

B M

A

A O D C O D C

17.(本小题满分 13 分) 由世界自然基金会发起的“地球 1 小时”活动,已发展成为最有影响力的环保活动之一, 今年的参与人数再创新高.然而也有部分公众对该活动的实际效果与负面影响提出了疑问.对 此,某新闻媒体进行了网上调查,所有参与调查的人中,持“支持”“保留”和“不支持” 、 态度的人数如下表所示: 支持 保留 不支持 20 岁以下 800 450 200 20 岁以上(含 20 岁) 100 150 300 (Ⅰ)在所有参与调查的人中,用分层抽样的方法抽取 n 个人,已知从“支持”态度的人 中抽取了 45 人,求 n 的值; (Ⅱ)在持“不支持”态度的人中,用分层抽样的方法抽取 5 人看成一个总体,从这 5 人中任意选取 2 人,求至少有 1 人 20 岁以下的概率; (Ⅲ)在接受调查的人中,有 8 人给这项活动打出的分数如下:9.4,8.6,9.2,9.6,8.7, 9.3,9.0,8.2.把这 8 个人打出的分数看作一个总体,从中任取 1 个数,求该数与总体平均数 之差的绝对值超过 0.6 的概率.

18.(本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? e x ,其中 e 为自然对数的底数. (Ⅰ)求函数 g ( x) ? f ( x) ? ex 的单调区间; (Ⅱ)记曲线 y ? f ( x) 在点 P( x0 , f ( x0 )) (其中 x0 ? 0 )处的切线为 l , l 与 x 轴、 y 轴 所围成的三角形面积为 S ,求 S 的最大值.

19.(本小题满分 14 分) 已知椭圆

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的焦距为 2 3 ,离心率为 . 2 a b 2

(Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)设过椭圆顶点 B(0, b) ,斜率为 k 的直线交椭圆于另一点 D ,交 x 轴于点 E ,且

BD , BE , DE 成等比数列,求 k 2 的值.

20.(本小题满分 13 分) 若函数 f (x) 对任意的 x ? R ,均有 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ? 2 f ( x) ,则称函数 f (x) 具有性 质P . (Ⅰ)判断下面两个函数是否具有性质 P ,并说明理由. ① y ? a x (a ? 1) ; ② y ? x3 .
*

(Ⅱ)若函数 f (x) 具有性质 P ,且 f (0) ? f (n) ? 0 ( n ? 2, n ? N ) , 求证:对任意 i ?{1, 2,3,?, n ? 1} 有 f ( i ) ? 0 ; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,是否对任意 x ? [0, n] 均有 f ( x) ? 0 .若成立给出证明,若不 成立给出反例.

2013 高考百天仿真冲刺卷

数学(文)试卷(一)参考答案

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 C 2 B 3 C 4 A 5 D 6 B 7 B 8 C

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.

3 12. 1 ; 2 5

10. 120

?

11. 30

?

13. 1 ; ?1 14. ①③ 注:12、13 题第一问 2 分,第二问 3 分. 14 题只选出一个正确的命题给 2 分,选出错误的命题即得 0 分.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.若考生的解法与本解答不同,正确者可参照评分标 准给分. 15.(本小题满分 13 分) 解 : 解 : Ⅰ ) 由 题 意 , sin x ? 0 , ( ?????2 分 所 以 , x ? k ? (k ?Z) . ?????3 分 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 为 {x x ? k?, k? } Z . ( Ⅱ ) 因 为 f ( x ) ? 2,所以 2 sin( x ? ?????4 分 ?????5 分 ?????7 分 ?????9 分 ?????12 分 ?????13 分

? 1 ) ? ? 2sin x , 4 3

2 2 1 sin x ? cos x) ? ? 2sin x , 2 2 3 1 cos x ? sin x ? , 3 1 将上式平方,得 1 ? sin 2 x ? , 9 8 所以 sin 2 x ? . 9 2(

16.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)证明:因为点 O 是菱形 ABCD 的对角线的交点, 所以 O 是 AC 的中点.又点 M 是棱 BC 的中点, 所以 OM 是 ?ABC 的中位线, OM // AB . ?????2 分 因为 OM ? 平面 ABD , AB ? 平面 ABD , 所以 OM // 平面 ABD . ?????4 分 (Ⅱ)证明:由题意, OM ? OD ? 3 , 因为 DM ? 3 2 ,所以 ?DOM ? 90? , OD ? OM . ?????6 分 又因为菱形 ABCD ,所以 OD ? AC . ????7 分 因为 OM ? AC ? O , A ABC , 所以 OD ? 平面 ?????8 分 因为 OD ? 平面 MDO , 所以平面 ABC ? 平面 MDO . ?????9 分 (Ⅲ)解:三棱锥 M ? ABD 的体积等于三棱锥 D ? ABM 的体积. ?????10 分 由(Ⅱ)知, OD ? 平面 ABC , 所以 OD ? 3 为三棱锥 D ? ABM 的高. ?????11 分

B M O D C

1 1 3 9 3 , ?ABM 的面积为 BA ? BM ? sin120? ? ? 6 ? 3 ? ? 2 2 2 2

?????12 分

所求体积等于 ? S?ABM ? OD ?

1 3

9 3 . 2

?????13 分

17.(本小题满分 13 分)360 题库网 360tiku.com 第一网 解: (Ⅰ)由题意得 所以 n ? 100 .

800 ? 100 800 ? 450 ? 200 ? 100 ? 150 ? 300 ? , 45 n

?????2 分 ?????3 分

(Ⅱ)设所选取的人中,有 m 人 20 岁以下,则

200 m ? ,解得 m ? 2 .???5 分 200 ? 300 5

也就是 20 岁以下抽取了 2 人,另一部分抽取了 3 人,分别记作 A1,A2;B1,B2,B3, 则从中任取 2 人的所有基本事件为 (A1,B1), 1, B2), 1, B3), 2 ,B1), 2 ,B2), 2 ,B3), (A (A (A (A (A (A1, A2),(B1 ,B2),(B2 ,B3),(B1 ,B3)共 10 个. ???7 分 其中至少有 1 人 20 岁以下的基本事件有 7 个:(A1, B1),(A1, B2),(A1, B3),(A2 ,B1), (A2 ,B2),(A2 ,B3),(A1, A2), ????8 分 所以从中任意抽取 2 人,至少有 1 人 20 岁以下的概率为 (Ⅲ)总体的平均数为 x ?

7 . 10

?????9 分

1 (9.4 ? 8.6 ? 9.2 ? 9.6 ? 8.7 ? 9.3 ? 9.0 ? 8.2) ? 9 ,???10 分 8
?????12 分 ?????13 分

那么与总体平均数之差的绝对值超过 0.6 的数只有 8.2, 所以该数与总体平均数之差的绝对值超过 0.6 的概率为 18.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由已知 g ( x) ? e x ? ex , 所以 g ?( x) ? e x ? e , 由 g ?( x) ? e ? e ? 0 ,得 x ? 1 ,
x

1 . 8

?????2 分 ?????3 分 ?????4 分 ?????5 分

所以,在区间 (??,1) 上, g ?( x) ? 0 , 函数 g ( x) 在区间 (??,1) 上单调递减; 在区间 (1, ??) 上, g ?( x) ? 0 , 函数 g ( x) 在区间 (1, ??) 上单调递增; 即函数 g ( x) 的单调递减区间为 (??,1) ,单调递增区间为 (1, ??) .
x (Ⅱ)因为 f ?( x) ? e ,

所以曲线 y ? f ( x) 在点 P 处切线为 l : y ? e 0 ? e 0 ( x ? x0 ) .
x x

?????7 分
x0

切线 l 与 x 轴的交点为 ( x0 ?1,0) ,与 y 轴的交点为 (0,e ? x0e ) ,
x0

?????9 分 ?????10 分

因为 x0 ? 0 ,所以 S ?

1 1 2 (1 ? x0 )(1 ? x0 )e x0 ? (1 ? 2 x0 ? x0 )e x0 , 2 2

1 x0 2 e ( x0 ? 1) , ?????12 分 2 在区间 (??, ?1) 上,函数 S ( x0 ) 单调递增,在区间 (?1, 0) 上,函数 S ( x0 ) 单调递减. S? ?
?????13 分 所以,当 x0 ? ?1 时, S 有最大值,此时 S ? 所以, S 的最大值为

2 , e
?????14 分

2 . e

19、 (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由已知 2c ? 2 3 , 解得 a ? 2, c ? 3 , 所以 b ? a ? c ? 1 ,
2 2 2

c 3 . ? a 2
?????4 分

?????2 分 y B E D O ?????6 分 x

x2 ? y 2 ? 1. ?????5 分 4 (Ⅱ)由(Ⅰ)得过 B 点的直线为 y ? kx ? 1 ,
椭圆的方程为

? x2 2 ? ? y ? 1, 由? 4 ? y ? kx ? 1, ?
所以 xD ? ?

得 (4k 2 ? 1) x2 ? 8kx ? 0 ,

8k 1 ? 4k 2 ,所以 yD ? , 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 依题意 k ? 0 , k ? ? . 2 2 因为 BD , BE , DE 成等比数列,所以 BE ? BD DE ,
所以 b2 ? (1 ? yD ) yD ,即 (1 ? yD ) yD ? 1 ,
2 当 yD ? 0 时, yD ? yD ? 1 ? 0 ,无解,
2 当 yD ? 0 时, yD ? yD ?1 ? 0 ,解得 yD ?

?????8 分

?????9 分 ?????10 分 ?????11 分

1? 5 , 2

?????12 分

所以

1 ? 4k 2 1 ? 5 2? 5 2 ,解得 k ? , ? 2 1 ? 4k 2 4
2

所以,当 BD , BE , DE 成等比数列时, k ? 20.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)证明:①函数 f ( x) ? a (a ? 1) 具有性质 P .
x

2? 5 . 4

?????14 分

?????1 分

1 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ? 2 f ( x) ? a x ?1 ? a x ?1 ? 2a x ? a x ( ? a ? 2) , a 1 x 因为 a ? 1 , a ( ? a ? 2) ? 0 , a 即 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ? 2 f ( x) , 此函数为具有性质 P . 3 ②函数 f ( x) ? x 不具有性质 P . 例如,当 x ? ?1 时, f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ? f (?2) ? f (0) ? ?8 , 2 f ( x) ? ?2 , 所以, f (?2) ? f (0) ? f (?1) , 此函数不具有性质 P . (Ⅱ)假设 f (i) 为 f (1), f (2),?, f (n ? 1) 中第一个大于 0 的值, 则 f (i) ? f (i ? 1) ? 0 , 因为函数 f ( x ) 具有性质 P ,

?????3 分

?????4 分 ?????5 分

?????6 分

所以,对于任意 n ? N ,均有 f (n ? 1) ? f (n) ? f (n) ? f (n ?1) ,
*

所以 f (n) ? f (n ? 1) ? f (n ? 1) ? f (n ? 2) ? ? ? f (i) ? f (i ? 1) ? 0 , 所以 f (n) ? [ f (n) ? f (n ? 1)] ? ? ? [ f (i ? 1) ? f (i)] ? f (i) ? 0 , 与 f (n) ? 0 矛盾, 所以,对任意的 i ?{1, 2,3,?, n ? 1} 有 f (i) ? 0 . (Ⅲ)不成立. 例如 f ( x) ? ? ?????9 分

? x( x ? n) x为有理数, ?x
2

?????10 分

x为无理数. 证明:当 x 为有理数时, x ? 1, x ? 1 均为有理数,
f ( x ?1) ? f ( x ? 1) ? 2 f ( x) ? ( x ?1)2 ? ( x ? 1)2 ? 2x2 ? n( x ?1 ? x ? 1 ? 2x) ? 2 , 当 x 为无理数时, x ? 1, x ? 1 均为无理数, f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ? 2 f ( x) ? ( x ? 1) 2 ? ( x ? 1) 2 ? 2x 2 ? 2 所以,函数 f (x) 对任意的 x ? R ,均有 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ? 2 f ( x) , 即函数 f (x) 具有性质 P . ?????12 分 而当 x ? [0, n] ( n ? 2 )且当 x 为无理数时, f ( x) ? 0 . 所以,在(Ⅱ)的条件下, “对任意 x ? [0, n] 均有 f ( x) ? 0 ”不成立.?????13 分
(其他反例仿此给分. 如 f ( x) ? ?

?0 ?1

( x为有理数) ( x为无理数)

, f ( x) ? ?

?0 ?1

( x为整数) ( x为非整数)

, f ( x) ? ?

?0 ?x
2

( x为整数) ( x为非整数)

,等.)

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