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2012年长春市高中毕业班第一次调研测试数学试题卷(理科)

时间:2011-12-26


2012 年长春市高中毕业班第一次调研测试

数学试题卷(理科)
考生须知: 1.本试卷分试题卷和答题纸,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 2.答题前,在答题纸密封区内填写学校、班级、姓名和准考证号. 3.所有答案必须写在答题纸上,写在试卷上无效. 4.考试结束,只需上交答题纸. 参考公式: 柱体体积公式: V = Sh ,其中 S 为底面

面积, h 为高 . 锥体体积公式: V =

1 Sh ,其中 S 为底面面积, h 为高 . 3

第Ⅰ卷

(选择题,共 60 分)

一、 选择题 (本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的,请将正确选项填写在答题纸上) 1. 设集合 A = x x ≤ 2, x ∈R , B = A. R C. ( ?∞, ?1) ∪ (2, +∞) 2.
2

{

}

{ y | y =?x , ?1≤x ≤2 } ,则?
2

R

( A ∩ B ) 等于

B. ( ?∞, ?2) ∪ (0, +∞) D. ? C. 2 D. ? 2

若复数 (a + i ) 在复平面内对应的点在 y 轴负半轴上,则实数 a 的值是 A. 1 B. ? 1 “ a < ?2 ”是“函数 f ( x ) = ax + 3 在区间 [ ?1, 2] 上存在零点”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
开始

3.

s=0,n=1 n≤2011? 否
输出s 结束

4.

阅读右侧程序框图,输出的结果 s 的值为 A. 0 C. 3 B.

3 2 3 2

是 nπ s = s + sin 3 n = n +1

D. ?

5.

在 △ABC 中, ∠A = A.

π

π
4



3π 4

3 3π B. 4

, BC = 3 , AB = C.

6 ,则 ∠C =

π
4

D.

π
6

6.

设 a、b 是两条不同的直线, α、β 是两个不同的平面,则下列四个命题: ①若 a⊥b,a⊥α,b ? α,则 b∥α; ②若 a∥α,a⊥β,则 α⊥β; ③若 a⊥β,α⊥β,则 a∥α 或 a ? α; ④若 a⊥b,a⊥α,b⊥β,则 α⊥β. 其中正确命题的个数为

7.

A.1 B.2 C.3 D.4 一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形, 俯视图是一个直径为 1 的圆, 那么这个几何体的全面积为 A.

8.

9.

3 π B. 2π C. 3π D. 4π 2 函数 y = cos(ω x + ? )(ω > 0, 0 < ? < π ) 为奇函数, 该函数的 y A 部分图像如图所示, A 、 B 分别为最高点与最低点,且 | AB |= 2 2 ,则该函数图象的一条对称轴为 x O 2 π A. x = B. x = B π 2 C. x = 2 D. x = 1 在 △ ABC 中 , P 是 BC 边 中 点 , 角 A、B、C 的 对 边 分 别 是 a、b、c , 若

c AC + aPA + bPB = 0 ,则△ ABC 的形状为
A.直角三角形 C.等边三角形 B.钝角三角形 D.等腰三角形但不是等边三角形.

10. 类比“两角和与差的正弦公式”的形式,对于给定的两个函数: S ( x) = a x ? a ? x ,

C ( x) = a x + a ? x ,其中 a > 0 ,且 a ≠ 1 ,下面正确的运算公式是
① S ( x + y ) = S ( x)C ( y ) + C ( x) S ( y ) ; ③2 S ( x + y ) = S ( x)C ( y ) + C ( x) S ( y ) ;
A.①② B.③④

② S ( x ? y ) = S ( x)C ( y ) ? C ( x) S ( y ) ; ④2 S ( x ? y ) = S ( x)C ( y ) ? C ( x) S ( y ) .
C.①④ D.②③

11. 设 e1 、 e2 分别为具有公共焦点 F1 、 F2 的椭圆和双曲线的离心率, P 是两曲线的一个公

共点,且满足 PF1 + PF2 = F1 F2 ,则

e1e2
2 e12 + e2

的值为

2 B.2 C. 2 D.1 2 12. 设 f ( x ) 是定义在 R 上的增函数,且对于任意的 x 都有 f (1 ? x ) + f (1 + x ) = 0 恒成立.
A.

? f (m 2 ? 6m + 23) + f (n 2 ? 8n) < 0 2 2 如果实数 m、n 满足不等式组 ? ,那么 m + n 的取 ?m > 3
值范围是
A.(3, 7) B.(9, 25) C.(13, 49) D. (9, 49)

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 非选择题,
本卷包括必考题和选考题两部分, 13 题-21 题为必考题, 第 每个试题考生都必须作答, 第 22 题-24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题纸中的横线上). 13. 若等差数列{an}的前 5 项和 S5 =25,且 a2 = 3 ,则 a4 = .
14. 已知直线 l1 与圆 x + y + 2 y = 0 相切,且与直线 l2 : 3 x + 4 y ? 6 = 0 平行,则直线 l1 的
2 2

方程是
2

.

15. 设 f ( x ) = ? 1

? x , x ∈ [0,1] e ? f ( x)dx 的值为 ( e 为自然对数的底数),则 0 , x ∈ (1, e] ?x ?



.

16. 已知函数 f ( x) = ?

? ex , x ≥ 0 ,则关于 x 的方程 f [ f ( x )] + k = 0 给出下列四个命题: ? ?2 x , x < 0

①存在实数 k ,使得方程恰有 1 个实根; ②存在实数 k ,使得方程恰有 2 个不相等的实根; ③存在实数 k ,使得方程恰有 3 个不相等的实根; ④存在实数 k ,使得方程恰有 4 个不相等的实根. 其中正确命题的序号是 (把所有满足要求的命题序号都填上). 三、解答题(本大题包括 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤). 17. (本小题满分 12 分) 如图,在平面直角坐标系中,锐角 α 和钝角 β 的终边分别与单位圆交于 A , B 两点. ⑴如果 A 、 B 两点的纵坐标分别为

⑵在⑴的条件下,求 cos( β ? α ) 的值;

4 12 、 ,求 cos α 和 sin β ; B 5 13

y

A
x

⑶已知点 C (?1 , 3) ,求函数 f (α ) = OA ? OC 的值域. 18. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 满足 a1 = 1 , an +1 = 2an + 1( n ∈ N*) . ⑴求数列 {an } 的通项公式;
b ?1

O

⑵若数列 {bn } 满足 4 1 ? 4

2 b2 ?1

? 43b3 ?1 ?? ? 4 nbn ?1 = ( an + 1) ,求数列 {bn } 的通项公式.
n

19. (本小题满分 12 分) 如图,在底面为直角梯形的四棱锥 P ? ABCD 中 AD ∥ BC,∠ABC = 90° PD ⊥ 平面 ABCD , ,

P E A B D C

AD = 1 , AB = 3 , BC = 4 . ⑴求证: BD ⊥ PC ; ⑵求直线 AB 与平面 PDC 所成的角; ⑶设点 E 在棱 PC 上, PE = λ PC , 若 DE ∥平面 PAB ,求 λ 的值.
20. (本小题满分 12 分)

已 知 点 A( ?1, 0) , B (1, 0) , 动 点 M 的 轨 迹 曲 线 C 满 足 ∠AMB = 2θ ,

AM ? BM cos 2 θ = 3 ,过点 B 的直线交曲线 C 于 P 、 Q 两点.
(1)求 AM + BM 的值,并写出曲线 C 的方程; (2)求△ APQ 面积的最大值.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = e x ? ax ? 1( a > 0, e为自然对数的底数) . ⑴求函数 f ( x ) 的最小值; ⑵若 f ( x ) ≥0 对任意的 x ∈ R 恒成立,求实数 a 的值;

⑶在⑵的条件下,证明: ( ) + ( ) + ??? + (
n n

1 n

2 n

n ?1 n n n e ) +( ) < (其中n ∈ N*) . n n e ?1

请考生在 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲. A 如图,⊙O 内切△ABC 的边于 D、E、F,AB=AC,连接 AD 交⊙O 于点 H,直线 HF 交 BC 的延长线于点 G. H ⑴证明:圆心 O 在直线 AD 上; E F O ⑵证明:点 C 是线段 GD 的中点. 23. (本小题满分 10 分) 选修 4-4: 坐标系与参数方程选讲.
G C D B

在极坐标系中, O 为极点, 半径为 2 的圆 C 的圆心的极坐标为 (2, ⑴求圆 C 的极坐标方程;

π
3

).

⑵ P 是圆 C 上一动点,点 Q 满足 3OP = OQ ,以极点 O 为原点,以极轴为 x 轴正半轴 建立直角坐标系,求点 Q 的轨迹的直角坐标方程.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲. 已知函数 f ( x ) =| x ? 1| + | 2 x + 2 | . ⑴解不等式 f ( x ) > 5 ; ⑵若不等式 f ( x ) < a ( a ∈ R ) 的解集为空集,求 a 的取值范围.


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