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高二期中考试数学试题


高二 2014—2015 学年度第一学期第一学段

数学试题
(时间 120 分钟,满分 150 分) 注:本试卷分为必做部分和选做部分. 必做部分 120 分,选做部分 30 分.

(必做部分 120 分)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题

目要求的. ) 1. 高二年级有 19 个班,每个班的同学从 1 到 50 编学号,为了交流学习经验,要求每班 学号为 19 的同学留下来进行交流,这里运用的是 A. 分层抽样 B. 抽签抽样 C. 随机抽样 D. 系统抽样 2.从 12 个同类产品(其中 10 个是正品, 2 个是次品)中任意抽取 3 个的不可能事件是 A. 3 个都是正品 B. 至少有 1 个是次品 3 C. 个都是次品 D. 至少有 1 个是正品 3.用系统抽样抽取了容量为 10 的样本,其平均数是 5.1 ,方差是 0.2 ,则总体的平均数 与方差分别估计为 A. 5.1 , 0.2 B. 0.2 , 0.2 C. 5.1 , 2 D.都不能估计 2 2 4.设 a,b 是实数,则“a>b”是“a >b ”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.从 1,2,3,4 这 4 个数中,不放回地任意取两个数,两个数都是奇数的概率是

1 1 1 1 B. C. D. 6 4 2 3 6.若命题“ ? P ”与命题“ p ? q ”都是真命题,那么 A.命题 p 与命题 q 的真值相同 B.命题 p 不一定是真命题 C.命题 q 一定是真命题 D.命题 q 不一定是真命题
A. 7.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 1 和图 2 所示,为了解该地区中小学生 的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取 2% 的学生进行调查,则样本容量和抽取的高 中生近视人数分别为 A.200,20 B. 100,20 C. 200,10 D. 100,10
近视率% 小学生 3500 初中生 4500 图1 图2 高中生 2000

1

8.如图是根据某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况画出的茎叶图.从这个茎叶 图可以看出甲、乙两名运动员得分的中位数分别是 A.31,26 B.36,23 C.36,26 D.31,23
开始
s ? 1, i ? 1

9.先后投掷 2 枚质地均匀的骰子,设出现的点数之和是 12,11,10 的 概率依次是 P 1, P 2, P 3 ,则 A. P 1 ?P 2 ?P 3 C. P 1 ?P 2 ?P 3 B. P 1 ?P 2 ?P 3 D. P 2 ?P 3 ?P 1

i ? i ?1
s ? 1? 2 ? s


否 输出 s 结束

10.如图是把二进制数 11111 ( 2) 化为十进制数的一个程序框图, 判断框内应填入的条件是 A. i ? 4 B. i ? 4 C. i ? 5 D. i ? 5

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 必做 25 分,选做 5 分.请将正确答案填写在答题纸的相应位置) 11.如图,在边长为 1 的正方形中随机撒 1000 粒豆子,有 180 粒落到阴影部分,据此估 计阴影部分的面积为 .

12. 某射箭运动员一次射箭击中 10 环、9 环、8 环的概率分别是 0.2,0.3,0.3 ,那么他射 箭一次击中环数不够 8 环的概率是________. 13.对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本,当选取简单随机 抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个 个体被抽中的概率分别为 p1 , p2 , p3 ,则 p1 , p2 , p3 的关系为 (用“相等”或“不相等”填空) . 14.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的 n 的值 为 .
2

15.命题 P : “若 ac ? 0, 则二次方程 ax ? bx ? c ? 0 没有实根” , 的否命题为



2

选做 1、下列命题正确的是

(填写所有正确命题的序号)
2

2 ①命题“若 x ? 3x ? 2 ? 0, 则x ? 1 ”的逆否命题为“若 x ? 1, 则x ? 3x ? 2 ? 0 ”
2 ②“ x ? 2 ”是“ x ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件

③若 p ? q 为假命题,则 p, q 均为假命题 ④已知命题 p:?x>0,总有(x+1)ex>1,则 ? p :?x0>0,使得 ( x0 ? 1)e 0 ? 1
x

三、解答题(本大题共 4 小题,共 45 分. 解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程) 16.(本题满分 10 分,(Ⅰ)4 分,(Ⅱ)6 分) 某校夏令营有 3 名男同学 A 、 B 、C 和 3 名女同学 X 、Y 、 Z ,其年级情况如下表: 一年级 男同学 女同学 二年级 三年级

A X

B Y

C Z

现从这 6 名同学中随机选出 2 人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同). (Ⅰ)用表中字母列举出所有可能的结果; (Ⅱ)设 M 为事件 “选出的 2 人来自不同年级且恰有 1 名男同学和 1 名女同学” , 求事件 M 发生的概率. 17.(本题满分 12 分, (Ⅰ)2 分; (Ⅱ)8 分; (Ⅲ)2 分) 为了让学生了解更多“APEC”知识,某中学举行了一次“APEC 知识竞赛”,共有 800 名学生参加了这次竞赛. 为了解本次竞赛成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(得分 均为整数,满分为 100 分)进行统计. 请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表, 解答下列问题:
频率 组距

分组 60.5?70.5 70.5?80.5 80.5?90.5 90.?100.5 合计

频数

频率 0.16

0.040 · 0.035 ·

10 18 0.36

· 0.030 · 0.025 · 0.020 · 0.015
0.010 ·

50

· 0.005
(Ⅰ)若用系统抽样的方法抽取 50 个样本,

60.5 70.5 80.5 90.5 100.5

· · · · · ·

分数

现将所有学生随机地编号为 000,001,002,?,799,试写出第二组第一位学生的编号; (Ⅱ)填充频率分布表的空格(直接填在表格内) ,并作出频率分布直方图;
3

(Ⅲ)若成绩在 85. 5?95. 5 分的学生为二等奖,问参赛学生中获得二等奖的学生约为 多少人? 18.(本题满分 10 分, (Ⅰ)6 分; (Ⅱ) 、 (Ⅲ)各 2 分) 从某居民区随机抽取 10 个家庭,获得第 i 个家庭的月收入 xi (单位:千元)与月储蓄 千元) 的数据资料, 算得 ? xi ? 80 , y(单位: ? yi ? 20 ,? xi yi ? 184 ,? xi2 ? 720 . i
i ?1 i ?1 i ?1 i ?1 10 10 10 10

? ?a ? ? bx ?; (Ⅰ)求家庭的月储蓄 y 对月收入 x 的线性回归方程 y (Ⅱ)判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关?
(Ⅲ)若该居民区某家庭月收入为 7 千元,预测该家庭的月储蓄.

?? ? ?a ? ? bx ? 中, b 附:线性回归方程 y

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

2 i

? nx

2

? ? ? y ? bx ,a ,

其中 x , y 为样本平均值.Zha 19.(本小题满分 13 分,(Ⅰ)6 分; (Ⅱ)7 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? b 2 (a, b ? R) . (Ⅰ)若从集合 {0,1,2,3} 中任取一个元素 a ,从集合 {0,1,2} 中任取一个元素 b ,求方程

f ( x) ? 0 有两个不等实数根的概率; (Ⅱ)若从区间 [0,3] 中任取一个数记作 a ,从区间 [0,2] 中任取一个数记作 b ,求方程 f ( x) ? 0 没有实数根的概率. (选做部分 30 分)
2.(本题满分 12 分, (Ⅰ)6 分; (Ⅱ)6 分) 某企业有甲、乙两个研发小组,为了比较他们的研发水平,现随机抽取这两个小组 往年研发新产品的结果如下:

b ?,? a, b ?,? a, b ?,? a, b ?,? a, b ?,? a , b ?,? a , b ?,? a, b ?, ? a, b ?, b ? ,? a, b ?,? a, b ?,? a, b ?,? a, b ?, b? ? a, ? a, ? a,
?

a 分别表示甲组研发成功和失败; b, 其中 a, b 分别表示乙组研发成功和失败.
(I)若某组成功研发一种新产品,则给该组记 1 分,否则记 0 分,试计算甲、乙两组研 发新产品的成绩的平均数和方差,并比较甲、乙两组的研发水平; (II)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品,试估算恰有一组研发成功的概率. 3. (本题满分 13 分) 已知 p : f ( x) ? x ? 1 ,且 ?6 ? f (a) ? 6 ;

?

q :集合 A ? {x | x2 ? (a ? 2) x ? 1 ? 0, x ? R}, B ? {x | x ? 0} ,且 A ? B ? ? .
若 p ∨ q 为真命题, p ∧ q 为假命题,求实数 a 的取值范围.
4

数学试题参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. )

DCADA CACBB
二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. ) 11. 0.18 12. 0.2 13.相等 14. 2
2

15. 否命题为“若 ac ? 0, 则二次方程 ax ? bx ? c ? 0 有实根” . 选做 1.①②④ 三、解答题(本大题共 4 小题,共 45 分) 16. (本题满分 10 分)(Ⅰ)4 分;(Ⅱ)6 分 解: (Ⅰ )用表中字母列举出所有可能的结果有: (A,B) 、 (A,C) 、 (A,X) 、 (A,Y) 、 (A,Z) 、 (B,C) 、 (B,X) 、 (B,Y) 、 (B,Z) 、 (C,X) 、 (C,Y) 、 (C,Z) 、 (X,Y) 、 (X,Z ) 、 (Y,Z) ,共计 15 个结果. (Ⅱ )设 M 为事件“选出的 2 人来自不同年级且恰有 1 名男同学和 1 名女同学”, 则事件 M 包含的结果有: (A,Y) 、 (A,Z) 、 (B,X) 、 (B,Z) 、 (C,X) 、 (C,Y) , 共计 6 个结果, 故事件 M 发生的概率为 = .

17. (本题满分 12 分) (Ⅰ)2 分; (Ⅱ)8 分; (Ⅲ)2 分 解: (Ⅰ)编号为 016; (Ⅱ) 分组 60.5?70.5 70.5?80.5 80.5?90.5 90.5?100.5 合计 频数 8 10 18 14 50 频率 0.16 0.20 0.36 0.28 1.00
60.5 70.5 80.5 90.5 100.5

频率 组距
0.036 0.028 0.020 0.016

分数

5

(Ⅲ)在被抽到的学生中获二奖的人数是 9+7=16 人,占样本的比例是 所以获二等奖的人数估计为 800×32%=256 人. 答:获二等奖的大约有 256 人. 18. (本题满分 10 分) (Ⅰ)6 分, (Ⅱ) 、 (Ⅲ)各 2 分

16 ? 0.32 , 50

解:(1)由题意得,n ? 10, x ?

1 10 1 10 x ? 8, y ? ?i ? yi ? 2, 10 i ?1 10 i ?1

?? ?b

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

2 i

? nx

2

? ? ?0.4 ? ? y ? bx ? 0.3, a

故所求回归直线方程为 y ? 0.3x ? 0.4

(2)由于变量y随x增加而增加,故变量x,y之间是正相关. (3)将x =7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为

y ? 0.3 ? 7 ? 0.4=1.7 (千元)
19. (本题满分 13 分) (Ⅰ)6 分; (Ⅱ)7 分 解: (Ⅰ)由题意本题属古典概型,所有基本事件为

0 ?,? 0, 1?,? 0, 2 ?,?1, 0 ?,?1, 1?,?1, 2 ?,? 2, 0 ?,? 2, 1?, ? 0, 共计 12 个结果. 2 ?, 0 ? ,? 3, 1?,? 3, 2? ? 2, ? 3,
其中第一个表示 a 的取值,第二个表示 b 的取值 因为方程 f ( x) ? 0 有两个不等实数根,则 4a2 ? 4b2 ? 0, ?(a ? b)(a ? b) ? 0 符合条件的基本事件有

0?,? 2, 0?, 1?, 0? , 1?,?3, 2? ?1, ? 2, ?3, ?3,
1 2



共计 6 个结果.故所求概率为

(Ⅱ)由题意本题属几何概型,所有基本事件构成的区域为

? ? {(a, b) | 0 ? a ? 3,且0 ? b ? 2}
2 2 因为方程 f ( x) ? 0 没有实数根,则 4a ? 4b ? 0, ?(a ? b)(a ? b) ? 0 ,符合条件的基本

6

事件构成的区域为 S ? ?(a, b) | 0 ? a ? 3, 且0 ? b ? 2,且a ? b} 阴影部分所示

1 ? 2? 2 1 故所求概率为 2 = 2?3 3

b

a
(选做部分 30 分,填空 5 分,解答题 25 分)
选做 2. (本题满分 12 分) (Ⅰ)6 分; (Ⅱ)6 分 解:(Ⅰ)甲组研发新产品的成绩为 1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1,

10 2 = . 15 3 1 2 2 2 2 2 2 方差为 S甲 = [(1 ? ) ? 10 ? (0 ? ) ? 5] ? . 15 3 3 9
其平均数为 x甲 = 乙组研发新产品的成绩为 1,0,1,1,0,1,0,1,1,0,0,1,0,1,1,其平均数为 x乙 = 方差为 S乙 =
2

9 3 = . 15 5

1 3 3 6 [(1 ? )2 ? 9 ? (0 ? ) 2 ? 6] ? . 15 5 5 25

2 2 ,∴甲组的研发水平优于乙组的研发水平. x甲> x乙,S甲 <S乙

(Ⅱ)记 E={恰有一组研发成功},在所抽得的 15 个结果中,恰有一组研发成功的结果是

(a, b), (a, b), (a, b), (a, b), (a, b), (a, b), (a, b), 共有 7 个,
故事件 E 发生的频率为

7 7 . 视频率为概率,则所求的概率为 P ( E ) ? . 15 15

选做 3. (本题满分 13 分) 解: p 为真时,由题意得, ?6 ? a ? 1 ? 6 ??5 ? a ? 7

q 为真,即 x2 ? (a ? 2) x ? 1 ? 0 没有实数根或有非正实根

7

2 所以,① ? ? 0 , ? ? (a ? 2)2 ? 4 ? a2 ? 4a ,即 a ? 4a ? 0 ,??4 ? a ? 0

?? ? 0 ?a ? ?2 ? ?a ? 0 ?? ②? a?2 ? ? 0 ?a ? ?4或a ? 0 ? ? 2
综合①②得 a ? ?4 ?????????????????6 分 因为 p ∨ q 为真命题, p ∧ q 为假命题 所以 p, q 一真一假 (1) p 真 q 假

??5 ? a ? 7 ,??5 ? a ? ?4 ????????????9 分 ? ?a ? ?4
(2) p 假 q 真

?a ? ?5或a ? 7 ? a ? 7 ?????????????12 分 ? ?a ? ?4
所以 a 的取值范围为 {a | ?5 ? a ? ?4 或 a ? 7} ?????13 分

8


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