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2014年全国高中数学联赛山西赛区预赛

时间:2015-07-06


2 0 1 5年第 2期 

3 1  

2 0   1   4年全 国高 中数学联赛 山西赛 区预赛 
中 图分 类 号 : G 4 2 4 . 7 9   文 献 标 识 码 :A   文 章 编 号 :1 0 0 5— 6 4 1 6 ( 2 0 1 5 ) O 2— 0 0 3 1— 0 3  





填空题 ( 每小题 8 分, 共6 4 分)  

心. 证明:  F上 A D .  

1 . 将正整 数数 列 l , 2, …按 如下 方 式 自  

三、 ( 2 O分 )数列 { a   } 、 { b   } 满足条件 
口l=b l=1, a   + l=a  +2 b  , b  + 1:a  +b   .  

左至右分段 , 使 得第 一段 有 1 × 2个 数 , 第 二 
段有 2×3个 数 , …, 第 凡段 有 n   X( n+1 ) 个 

证明: 对每个正整数 n , 均有  ( 1 )   <   ,   >   ;  

数, …. 则2   0 1 4位于第 

段.  

2 . 在直 角 四面体 A B C D中, 若 六 条棱 长  的和为 6 , 则其体 积的最大值为  .   3 . 若△ O A B的垂 心恰 为抛 物 线 y 2 =4 x  
的焦 点 , 其 中, 0为 原 点 , 点  、 曰 在 抛 物 线 
上, 则△ O A B 的 面积 S=  
1  

( 2 )   I   a n + l 一   I <   I a 。   n _ , v /  ̄ I .  
四、 ( 2 0分 )如 图 3 , 已知  、   为椭 圆 
’   ’  

.  
口 

+   =1 (   >b> o )  
D 

4 . 设s i n   O t — c o s   O t = ÷ . 则  j 
s i n   3   +C O S   3   =
— —

的长轴端点 , P为椭 圆上异于 、 B的点 , 过点  A、 曰分别作 Z 。 上  , Z : 上胎 , 直线 Z 。 与Z  交 

.  

5 . 设对 一切实数 , 函数 . 厂 (  ) 满足  x f (   )= 2 / ( 1 一  ) + 1 .  
则. 厂 ( 5 )=   .   6 . 将 1 , 2 , …, 9分 别 填 

于点  当点 P在椭 圆上移 动 时 , 求点  的  
轨 迹 方 程.  
 r l  

人图 1 的 3× 3 方格 表 , 使得 
表 中每一行及每一列 的三数  之 和 均 为 素 数.则 填 法 为 
幽 1  
●●  
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 一 .

二 = =   二 = =  



 

A k  O   J B 一  
图 3  

7 . 设 对每个正整数 ≤m, 均有 
2n   +1   一1   n   +7  

<  

< 丽

‘  
.  
— —

则正整数 m=  

参 考 答 案 


8 . 若n 个连续正整数之 和等于 2   0 1 4 , 则  n的最大值为  .   二、 ( 1 6分 ) 如图  
2 , 已知△ A B C 的 内  切 圆与 边 B C 切 于 

1 . 1 8 .  

记S  =1× 2+ 2× 3+… + n ( n+1 )  


( 1   2 + 2 2 +… +凡 2 )+( 1+ 2+… + n )  
 
 


。 。

(  ±  ) (  ±  )  
3  

点 D, E、 F 分 别 为 
△A B D、 △A C D的 内  图2  

若2   0 1 4 位 于第 n+1 段, 由于该 数段之 
前有 . s   个数 , 则S   < 2   0 1 4 ≤S 川.  

3 2  

中 等 数 学 

因为 S I 7 =1   9 3 8 , S l 8 = 2   2 8 0 , 且 
Sl 7<2   01 4≤ Sl 8 ,  

一吉 = 吾 .  
则s i n   3  +C O S   3  


所以, 2   0 1 4位于第 1 8段.  
2 ?

( 3 s i n  一 4   s i n  ) +( 4   C O S  一 3 c o s  )   3 ( s i n   O / 一 C O S   )一 4 ( s i n 。   —C O S   O t )  
1— 4 ( s i n   O / 一C O S  )  

3   ( 1   + √ 2 )  ?  



设棱 D A、 D B、 DC相 互 垂 直 .  



记D A=a , D B=b , DC: C .  



1一  ( s i n z  +   i n  . c 0 s   +c 。 s  )  
j 

则   = 吉  
而A B=  
:  
. 

= 6 V .  
, B c=   ,  
5 1  
‘  。 

(   +   一  .  
将题 给式 中  换成 1一  得  ( 1一  ) _ 厂 ( 1一  )=2 f (  )+1 .   两式消去  1 一  ) 得 
=  
一  

故 6=  + b+c +  

+  

 ̄ / 6   + c   +  ̄ / c   + 0  
≥3   3  
' 一

+  
  l

+  
一  

+  

. 

≥3  ̄ / a b c + 3, / 2 , / 2   a b c  


+ q 

3   ( 1 +  )  


从而,   5 )=   1
.  

3  1 (  + √ 2 ) 一   ?  

1   3   9  

当 a= b=C 时, 上式等号成立.  
3.1 O   .  

5   2   6  
7   8   4  

注意到 , 抛 物 线 的焦 点 为 F ( 1 , 0 ) .   因 为 F为 △ O A B的垂 心 , 所以,  
O F上 A B .  

【 注】 答案不唯一.  
7. 2 7 .  

由原不等式得 
7n + 1   0  

故 可设 A ( a   , 2 a ) , B( a   , 一 2 0 ) ( a>O ) .  
于是 , l D A : a y= 2 x   k 0 A= 兰 , ’   .  
0 




< √ 5< 丽

r  

4   +1   5  

 

4 9 n  +1 4 0n+1 0 0  
—_ = —  — —— —— —— 一 < 

9 n 。- I - 4 8 n   4 - 6 4  

又   B F = ÷  , 由k B F   。   =一 l , 得  a — —1  
a = 

l 6 n  + 1 2 0 n- 4 - 2 2 5  
< ——— —l _ _ -— ————— —一  

4n  +4n + 1  
=  n 2


2 5n一5 5 <0  

因此 , A B= 4   , h=a   =5 .   从而, S=1 0   .  
4 .一   .  

/ b ' ( n一 2 5 )< 5 5  
=  n( n一2 5) ≤5 4=  n≤2 7 .  
8. 5 3 .  

设这 n个连续正整数 为 
注意到 ,  
2s i n   0 c ? C O S  

k ,  +1 , …, k- 4 - n一1 ( k ≥1 ) .   则n  +   : 2   0 1 4  

=s i n   +C O S   一( s i n   一C O S  )  

2 0 1 5年第 2期 

3 3  

n ( 2 k+n一1 )= 4   0 2 8 .  

注意到 , a   、 b  均为正整数.  
因此 ,   a 2 n - 1 <  
02   1   n — 
a2 n
,  

故 凡与 2  +n一1 均为 4   0 2 8的正因数.  
而 n< 2 k+/ 1 , 一1 , 则 

> 

.  

D2 n  

n ≤l   0 2 8   l = 6 3 .  
注意到 , 4   0 2 8=2  ×1 9×5 3 , 其 不 大 于 

( 2 ) 由式①得 
2 +。 一

2b Z   a  一2 b  I .   n +。 l= I

② 

6 3的最大 因数为 5 3 .  
于是 , n=5 3 ,   =1 2 , 此时, 5 3个 连 续 正  整数 1 2 , l 3 , …, 6 4之 和恰 为 2   0 1 4 .   二、 如图 4 , 设△ A B D、 △ C A D 的内切 圆  oE、 o  F分 别 与 B D、 C D 切 于 点  、 Ⅳ, 而  △A B C的内切 圆与边 A B  C分别切于点 P、 Q .  


又由 a   + l >a  > 0 , b   + l >b  > 0, 则 

— — — — — _ = = 一 <   — — — —   ,  
  一

a   + l +√ 2b   + l   a  4 - , / 2b  

③ 


— b  





<  ’  
. 

n +l

②× ③× ④ 得 

I   a n + l 一   1 <   l a 6   n  c .  
四、 由题 意 , 知 4、 P、 B、 M 四点 共 圆于  oⅣ, 其中, 圆心 N在弦 A B的中垂线 Y轴上 ,   其坐标设 为 N( 0, t ) .   设 P (  , Y o ) , M(  , Y ) .   又 Ⅳ为直径  的 中点 , 则 
0= 一  , Y o= 2 t—Y .  

B 

M  D  N 
图 4  

C 

则A P= A Q, 且B D=B P, C D=C Q .   由点 P在椭 圆上 知  +Y o:1  
. 

由D M:  
:  

±   二   堡: D — A- — A P  
2   2   ’  

于是 ,   2

+  

:1 .  

① 

DⅣ :  

又N A= N M, 得  t  +a  =( t — Y )  +  
2 .   2   2  



 

±  
2  

二  

一  

二  
2   ’  

j   = 

.  

② 



D M =D N .  

由式① 、 ②得 


设E T a 上A D于点  , F  上 A D于点  .   则 DT 1 =D M =D N= D  .  



( 3 (   , 2   a 2  
a   z  + +   (   _   _ b = y 墨    ) 2  : =0.  
③ 

于是 , 点 。 与  重 合 , 记此 点 为  , 即  
oE、 OF均与 A D切 于点 
因此 , E F上 A D .  

由于 I  I =I   x 0   I <a , 故  一 a   ≠O .  

因此 , 由式③得 

三、 ( 1 ) 由题意知 
0 2  

+ 1—2b =


n + 1 =( 口  + 2 b   )  一 2 ( 口  +6   )  

a   +   o 专   V   = 0  a   +   b 2 =   a D  
+  
。 



( a   一 2 b   ) .  

① 

=1 ( I   x   l <口 ) ,  

故a : 一 2 b   =一 ( n 2   一 。 一 2 b o = 一   )  


( 一1 )  ( 口 2   一 : 一 2 6  : )=… 


( 一1 ) 一  ( a   一 2 b   )=( 一1 )   .   l<0,  2 2  一2   >0 从而, 口 2   一 2  



其轨迹为一个 椭 圆 ( 去掉 其 与  轴 的两 个交  点( ±a , 0 ) ) .  
( 王  光 提供 )  

. 


2014年全国高中数学联赛试题及答案

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