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09-10(2)概率统计期末试卷A

时间:2012-03-21


杭州商学院《概率论与数理统计》课程考试试卷 A,适用专业:文理科各专业

学年第二学期考试试卷(A) 杭州商学院 2009/2010 学年第二学期考试试卷
课程名称: 课程名称:概率论与数理统计 班级名称: 班级名称: 考试方式: 考试方式: 闭卷 学号: 学号: 完成时限: 完成时限: 120 分钟 姓名: 姓名: 。

题号 分值 得分
阅卷人

一 15

二 16

三 34

四 30

五 5

总分 100

要求将每小题的选项填在下表中。 一、单项选择题(每小题 3 分,共 15 分,要求将每小题的选项填在下表中。)

题号 答题

1

2

3

4

5

个事件, 表示( 1、设 A, B , C 表示 3 个事件,则 A B C 表示( (A) A, B , C 中有一个发生

。 )

(B) A, B , C 中不多于一个发生

(C) A, B , C 都不发生

(D) A, B , C 中恰有两个发生

相互独立, 则下列正确的是( 2、若事件 A, B 相互独立,且 P ( A) > 0, P ( B ) > 0 ,则下列正确的是( ( A) P ( B | A ) = P ( A | B ) ( C) P ( A | B ) = P ( B ) ( B) P ( B | A ) = P ( A ) ( D) P ( A | B ) = 1 ? P ( A )

。 )

相互独立且分布相同, 的关系是( 3、设随机变量 X , Y 相互独立且分布相同,则 X + Y 与 2 X 的关系是(

。 )

(A) 有相同的分布 (B) 数学期望相等 (C) 方差相等 (D) 以上均不成立

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( x + 1) 2 4

4 、 若随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) =
~ N (0,1) 。

1 2 π

e

?

( ?∞ < x < +∞ ) , 则 Y = (



X +1

( A)
2

( B)

X +1 2

X ?1

( C)
2

( D)

X ?1 2

5、简单样本 X 1 , X 2 , L , X n ( n ≥ 3) 取自总体 X,则下列估计量中,( 简单样本 ,则下列估计量中, 的无偏估计量。 望 ? 的无偏估计量。

)不是总体期

(A)

∑X
i =1

n

i

(B) X

(C) 0.1(6 X 1 + 4 X n )

(D) X 1 + X 2 ? X 3

要求将每小题的答题填在下表中。 二、填空题(每空 2 分,共 16 分,要求将每小题的答题填在下表中。 填空题( )

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答题 相互独立, 1、若事件 A, B 相互独立,且 P( A) = 0.4 , P( AU B) = 0.7 ,则 P(B) =



相互独立, 2 、 若随机变量 X 1 , X 2 , X 3 相互独立 , 且服从两点分布

Xi 0 1 p 0 .8 0 .2

,则 X = ∑ X i 服
i =1

3





设随机变量 X 和 Y 的数学期望分别为-2 和 2,方差分别为 1 和 4,而相关系数为-0.5, 的数学期望分别为- 而相关系数为- 3、 则 D( X + Y ) = 。

件不合格品, 件是不合格品, 4、设 10 件产品中有 4 件不合格品,从中任取 2 件,已知所取 2 件中有 1 件是不合格品, 件也是不合格品的概率为____ 则另外 1 件也是不合格品的概率为____ ____。 ____。 __

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? 1 ,0< x<1 ? 5、设随机变量 X 的概率密度函数 f ( x ) = ? 2 x ,则 EX 2 = ? 0 , 其它 ? 则根据切比雪夫不等式, 6、设随机变量 X 的数学期望为 ? ,方差为 σ 2 ,则根据切比雪夫不等式,有
P { | X ? ? | ≥ 3σ }





都存在, 7、设总体 X 的期望值 ? 和方差 σ 2 都存在,总体方差 σ 2 的无偏估计量是 则k = 。

k n ∑ ( X i ? X )2 , n i =1

? 8 、 设 总体 X ~ N ( ? , σ 2 ) , 且 σ 2 已 知 , 用 样 本 检验 假 设 H 0 : = ? 0 时 , 采 用 的 统计 量
是 。

三、计算题(一)(共 34 分) 计算题( 个白球, 个白球, 1、两个箱子中,第一箱装有 4 个黑球 1 个白球,第二箱装有 3 个黑球 3 个白球,现随机 两个箱子中, 地选取 个球。 ( (1 这个球是白球的概率; (2 地选取 1 箱再从该箱中任取 1 个球。求: 1)这个球是白球的概率; 2)取的白球它是 ( 属于第二箱的概率。 (本题 属于第二箱的概率。 本题 10 分) (

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2、已知二维随机变量 ( X , Y ) 的联合概率分布由下表确定 Y X 1 2 0 0.1 0.3 1 0.05 0.1
2 0.35 0.1

是否独立; 的值; 问:(1) X , Y 是否独立;(2) 计算 P ( X = Y ) 的值; 的条件分布律; (本题 (3) 在 Y = 2 的条件下 X 的条件分布律; (4) E ( X + Y ) 。 本题 12 分) (

3、假设二维随机变量 ( X , Y ) 的联合密度函数为

? ke ? ( x + 2 y ), x > 0, y > 0, f ( x, y) = ? 其他, 其他, ? 0,
的边缘密度函数; 求:(1) 常数 k ;(2) 随机变量 X , Y 的边缘密度函数;(3) P (Y + X ≤ 1) 。 (本题 12 分)

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四、计算题(二)(共 30 分) 计算题( 计算机有 120 个终端,每个终端在一小时内平均有 3 分钟使用打印机.假定各终端使用 个终端, 分钟使用打印机. 1、 形式表示) 打印机与否相互独立, 个终端同时使用打印机的概率( 。 打印机与否相互独立,求至少有 10 个终端同时使用打印机的概率(用 Φ( x ) 形式表示) (本题 6 分)

2、设总体 X 的概率密度函数为 ? 1 ?( x ? ? ) / θ ,x ≥ ? ? e f ( x ) = ?θ ? 0 , 其它 ?
是未知参数,( 的样本, 的矩估计量。 其中 θ > 0 , θ , ? 是未知参数,( X 1 , L , X n )是总体 X 的样本,求 θ , ? 的矩估计量。 (本题 10 分)

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2 3、设有两批电子器件的电阻值分别服从分布 X ~ N ( ? 1 , σ 12 ), Y ~ N ( ? 2 , σ 2 ) ,且两样本独 立 , 已 知 两 样 本 容 量 n1 = n2 = 6 , 测 得 这 两 批 电 子 器 件 电 阻 的 样 本 均 值 分 别 为 2 2 x = 0.141, y = 0.1385, 样本方差分别为 s1 = 8 × 10 ?6 , s 2 = 7.1 × 10 ?6 。

(1)检验假设( α = 0.05 ) 检验假设(
2 2 H 0 : σ 12 = σ 2 ? H 1 : σ 12 ≠ σ 2

(2)在(1)的基础上检验假设( α = 0.05 ) 的基础上检验假设(
H 0 : ?1 = ? 2 ? H 1 : ?1 ≠ ? 2 。 t ) ( ( F0.025 (5,5) = 7.15, F0.025 (6,6) = 5.82, t 0.025 (10) = 2.2281 , 0.025 (12) = 2.1788 。 本题 14 分)

五、证明题(共 5 分) 证明题( 设 X 1 , X 2 , L , X 9 是取自正态总体 X 的简单随机样本,
1 1 ( X 1 + L + X 6 ), Y 2 = ( X 7 + X 8+ X 9 ), 6 3 9 2 (Y1 ? Y2 ) 1 Z= S 2 = ∑ ( X i ? Y2 ) 2 , 2 i =7 S 分布。 证明统计量 Z 服从自由度为 2 的 t 分布。 Y1 =

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杭州商学院第二学期《概率论与数理统计》试卷(A)标准答案 杭州商学院第二学期《概率论与数理统计》试卷( ) 商学院第二学期
一、单项选择题(每小题 3 分,共 15 分) 单项选择题( 1. C 2. D 3. B 4.A 填空题( 二、填空题(每格 2 分,共 16 分) 1. 0.5 2. X ~ B( 3,0.2) X ? ?0 3. 3 5.A

4.

1 5

5.

1 5

6. ≤

1 9

7. k =

n n?1

8. U =

σ/ n

记任取一球是属于第一箱和第二箱的; (1 三、1、解: 1)分别用 A1 , A2 记任取一球是属于第一箱和第二箱的;用 B 记任取一球是 ( 白球,由全概率公式, 白球,由全概率公式,
P ( B ) = P ( A1 ) P ( B A1 ) + P ( A2 ) P ( B A2 ) = 1 1 1 1 × + × = 0.35 2 5 2 2 =
5 7

— 5分

(2)由贝叶斯公式, P ( A2 B ) = 由贝叶斯公式,

P ( A2 ) P ( B A2 ) P( B)

— 10 分

(1 2、解: 1)因为 P ( X = 1, Y = 0) = 0.1 ≠ 0.2 = 0.5 ? 0.4 = P ( X = 1) P (Y = 0) , (
Y 不独立;——3 所以 X , 不独立;——3 分
(2) P ( X = Y ) = P ( X = 1, Y = 1) + P ( X = 2, Y = 2) = 0.05 + 0.1 = 0.15 ;— 6 分 ( 3) P ( X = 1 | Y = 2 ) =

P ( X = 1, Y = 2) 0.35 7 = = , P (Y = 2) 0.45 9 7 2 = 。—— 9 分 9 9

P ( X = 2 | Y = 2) = 1 ?

(4) E ( X + Y ) = 2.55。 —— 12 分 2.55。 (1 3、解: 1)由 ∫∫ f ( x , y ) dx dy =k ∫ (
R2 +∞
0

e ? x dx ∫

+∞
0

e ? 2 y dy = 1 ,从而得 k = 2 。——4 分 ——4

?e ? x, x > 0, ( 2) f X ( x ) = ? ? 0, x ≤ 0,
(3) P (Y + X ≤ 1) =

? 2e ?2 y, y > 0, fY ( y) = ? ? 0, y ≤ 0.

—— 8 分



1 0

dx ∫

1? x 0

2e ? ( x + 2 y ) dy = (1 ? e ?1 ) 2 —— 12 分

个终端同时使用打印机的终端个数, p 四、1、解:设 X 表示 120 个终端同时使用打印机的终端个数,则 X ~ B( n, ) ,其中

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n = 120 , p =

3 57 ——3 ,则 EX = np = 6,DX = np(1 ? p ) = ,——3 分 60 10

Movire中心极限定理得, 由 De Movire-Laplace 中心极限定理得,

P ( X ≥ 10) = P (

X ?6 57 10



10 ? 6 57 10

) = 1 ? P(

X ?6 57 10

<4

10 ) 57

= 1 ? Φ(4 10 57 ) = 1 ? Φ(1.68) —— 6 分
E( X ) = ∫
+∞

2 、解 : 因

?

x?

1

θ

e ? ( x ? ? ) / θ dx = ? + θ —— 3 分

E( X 2 ) = ∫ 令

+∞

?

x2 ?

1

θ

e ? ( x ? ? ) / θ dx = ? 2 + 2θ? + 2θ 2 ——6 分 ——6

?? + θ = X ? ——8 ——8 分 1 n ? 2 ? + 2θ? + 2θ 2 = ∑ X i2 ? n i =1 ?
解之得 θ =

1 n 2 1 n 2 Xi ? X 2 , ? = X ? ∑ ∑ X i ? X 2 ,即 θ , ? 的估计量分别为 n i =1 n i =1 1 n 2 1 n 2 ? Xi ? X 2 ,? = X ? ∑ ∑ Xi ? X 2 n i =1 n i =1
—— 10 分

? θ=

3、解 (1)由题意,须在显著性水平 α = 0.05 下检验假设: 题意, 下检验假设:
2 2 H 0 : σ 12 = σ 2 ? H 1 : σ 12 ≠ σ 2 这是一个双边检验问题, 这是一个双边检验问题,取检验统计量为 s2 F ( n1 ? 1, n2 ? 1) = 1 2 —— 2 分 s2

? ? 则拒绝域为 C = ? F ≤ F α ( n1 ? 1, n2 ? 1)或F ≥ Fα ( n1 ? 1, n2 ? 1)? 1? 2 2 ? ? 2 2 ?6 ?6 已知 n1 = n2 = 6, α = 0.05 , s1 = 8 × 10 , s 2 = 7.1 × 10 ,经计算得 F = 1.13 , 1 已知得 F0.025 (5,5) = 7.15, F0.975 (5,5) = = 0.14 。 —— 5 分 7.15 没有落在拒绝域内, 由于 F0.975 (5,5) ≤ F ≤ F0.025 (5,5) ,即 F 没有落在拒绝域内,故接受 H 0 ,即在显著性水
2 ——7 平 α = 0.05 下,可以认为 σ 12 = σ 2 。 ——7 分

(2)此时,须在显著性水平 α = 0.05 下,检验假设 此时, H 0 : ?1 = ? 2 ? H 1 : ?1 ≠ ? 2
2 由上面的讨论知, 由上面的讨论知,可以认为 σ 12 = σ 2 ,故可取检验统计量为

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t ( n1 + n2 ? 2) = sw

x? y ——9 ——9 分 1 1 + n1 n2

拒绝域为
? ? C = ?| t |≥ t α ( n1 + n2 ? 2)? 2 ? ?
2 2 ( n1 ? 1) s2 + ( n2 ? 1) s2 x = 0.141, y = 0.1385, 计算得 s = ——12 = 7.55 × 10 ? 6 ——12 分 n1 + n2 ? 2 2 w

得 t 0.025 (10) = 2.2281 ,由于 | t |= 1.58 < 2.2281 可以认为均值无显著差异。 故接受 H 0 ,可以认为均值无显著差异。 —— 14 分 五、证明题 证明: 证明: 因 Y 2 = 而 S 2=
1 ( X 7 + X 8+ X 9 ), 则 Y2 是简单随机样本 X 7 , X 8, X 9 的均值, 的均值, 3

2S 2 1 9 根据正态总体样本方差的性质, ∑ ( X i ? Y2 ) 2 , 根据正态总体样本方差的性质, σ 2 ~ χ 2 (2) —— 2 分 2 i =7

Y1 ? Y2

σ

~ N (0,1) , Y1 ? Y2 与 S 2 独立,—— 4 分 独立,
2 (Y1 ? Y2 ) 分布。 服从自由度为 2 的 t 分布。 S

2
——5 ——5 分

所以 Z =

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