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等比数列的性质练习题

时间:2014-10-20


等比数列性质 一、选择题

a2 ? a1 ? 1, b1 , b2 , b3 ? 4 成等比数列,则 b2 的值为( 1.已知数列 ? 1, a1 , a2 ,?4 成等差数列,
1 A、 2
2.等比数列

)

1 B、— 2

1 1 C、 2 或— 2

/>1 D、 4


{an } 中, an ? 0, a1 , a99 为方程 x2 ? 10 x ? 16 ? 0 的两根,则 a20 ? a50 ? a80 的值为(
B. 6 4 C.256 D. ? 6 4

A.32

5.等比数列 A.12

?an ? 的各项均为正数,且 a5a6 ? a4a7 =18,则 log3 a1 ? log3 a2 ?
B.10 C.8 D.2+

? log3 a10 =(

)

log3 5

a 2 ? a3 ?a ? S a1 等于 ( 6. n 是公差不为 0 的等差 n 的前 n 项和,且 S1 , S 2 , S 4 成等比数列,则
A. 4 B. 6 C.8 D.10



7.公差不为零的等差数列 A、28 8.等比数列

?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a4 是 a3 与 a7 的等比中项, S10 ? 60, 则 S8 等于
C、36 D、40 )

B、32

?an ?的前 n 项和为 S n ,若 S 4 ? 2S 2 ,则公比为(
B.1 或-1

A.1

1 1 ? C. 2 或 2

D.2 或-2

9.已知等比数列{an }的公比为 2,前 4 项的和是 1,则前 8 项的和为 A .15 B.17 C.19 D .21 二、填空题 13.设等比数列{ 15.等比数列{ 16.等比数列 三、解答题 20.在等比数列

an }的前 n 项和为 sn 。若 a1 ? 1, s6 ? 4s3 ,则 a4 =

an }的公比 q ? 0 , 已知 a2 =1, an?2 ? an?1 ? 6an ,则{ an }的前 4 项和 S4 =

?an ? 的前 n 项和 S n = a ? 2 n ? a ? 2 ,则 an =_______. ?an ?中, a1 ? 1, 公比 q ? 0 ,设 bn ? log2 an ,且 b1 ? b3 ? b5 ? 6, b1b3b5 ? 0. ?bn ?是等差数列;

(1)求证:数列 (2)求数列 (3)试比较 -1-

?bn ?的前 n 项和 S n 及数列 ?an ?的通项公式;
an 与 S n 的大小.

3.(2006 全国Ⅰ卷理)设数列

?an ? 的前 n 项的和,
Tn ?

Sn ?

4 1 2 a n ? ? 2n ?1 ? 3 3 3 , n ? 1,2,3,?

(Ⅰ)求首项

a1 与通项 an ; (Ⅱ)设

n 2n 3 Ti ? ? Sn , n ? 1,2,3,? ,证明: i ?1 2

4 1 2 4 1 2 3.解: (Ⅰ)由 Sn= an- ×2n+1+ , n=1,2,3,? , ① 得 a1=S1= a1- ×4+ 所以 a1=2. 3 3 3 3 3 3 4 1 2 再由①有 Sn-1= an-1- ×2n+ , n=2,3,4,? 3 3 3 4 1 将①和②相减得: an=Sn-Sn-1= (an-an-1)- ×(2n+1-2n),n=2,3, ? 3 3 整理得: an+2n=4(an-1+2n-1),n=2,3, ? , 因而数列{ an+2n}是首项为 a1+2=4,公比为 4 的等比数列,即 : an+2n=4×4n-1= 4n, n=1,2,3, ?, 因而 an=4n-2n, n=1,2,3, ?, 4 1 2 1 (Ⅱ)将 an=4n-2n 代入①得 Sn= ×(4n-2n)- ×2n+1 + = ×(2n+1-1)(2n+1-2) 3 3 3 3 2 = ×(2n+1-1)(2n-1) 3 Tn= 2n 3 2n 3 1 1 = × = ×( - ) Sn 2 2 2n-1 (2n+1-1)(2n-1) 2n+1-1

所以,

? Ti
i ?1

n

3 = 2

?(
i ?1

n

1 1 3 1 1 3 - ) = ×( - )< 2 21-1 2 2i-1 2i+1-1 2i+1-1

a1 ? , Sn ? n an ? n ? n ? 1? , n ? 1, 2, ??? S ?a ? 2 8.(2006 安徽理)数列 n 的前 n 项和为 n ,已知
2

1

(Ⅰ)写出

Sn 与 Sn?1 的递推关系式 ? n ? 2 ? ,并求 Sn 关于 n 的表达式;
S n n ?1 x , bn ? f n/ ? p ?? p ? R ? T ?b ? n ,求数列 n 的前 n 项和 n 。 n n ?1 Sn ?1 ? Sn?2 ? 1 n?2 ,即, n ? 1 ,?,

(Ⅱ)设

fn ? x ? ?

8.解:由

Sn ? n2an ? n ? n ?1? ? n ? 2 ?

得:

Sn ? n2 (Sn ? Sn?1 ) ? n ? n ?1?

3 2 n ?1 1 n2 S 2 ? S1 ? 1 Sn ? 2S1 ? n ? 1 S1 ? a1 ? Sn ? 2 1 2 ,所以 n ? 1 ,当 n ? 1 时,也成立。 相加得: n ,又 fn ? x ? ? S n n ?1 n n ?1 x ? x b ? fn/ ? p ? ? npn n n ?1 ,得 n 。

(Ⅱ)由

-2-



(n2 ?1)Sn ? n2 Sn?1 ? n ? n ?1?

n ?1 n Sn ? Sn ?1 ? 1 n ?1 ,所以 n ,对 n ? 2 成立。

n ?1 n Sn ? Sn ?1 ? 1 Tn ? p ? 2 p2 ? 3 p3 ? n ?1 由 n

? (n ?1) pn?1 ? npn ,

pTn ? p2 ? 2 p3 ? 3 p4 ?
(1 ? P)Tn ? p ? p 2 ? p3 ?

? (n ?1) pn ? npn?1 ,
? p n?1 ? p n ? np n?1 ? p(1 ? p n ) ? np n?1 1? p

10.(2005 山东文)已知数列 (I)证明数列 (II)令

?an? 的首项 a1 ? 5, 前 n 项和为 Sn ,且 Sn?1 ? 2Sn ? n ? 5(n ? N * )

?an ?1? 是等比数列;
? an xn ,求函数 f ( x) 在点 x ? 1 处的导数 f ?(1)
王新敞
奎屯 新疆

f ( x) ? a1x ? a2 x2 ?

10.解:由已知 可得

Sn?1 ? 2Sn ? n ? 5(n ? N * )

n ? 2, Sn ? 2Sn?1 ? n ? 4 两式相减得
,即

Sn?1 ? Sn ? 2? Sn ? Sn?1 ? ?1
从而

an?1 ? 2an ? 1

王新敞
奎屯

新疆

an?1 ?1 ? 2? an ?1?
S2 ? 2S1 ? 1 ? 5 ,所以 a2 ? a1 ? 2a1 ? 6
王新敞
奎屯 新疆

当 n ? 1 时, 又

王新敞
奎屯

新疆

a1 ? 5 所以 a2 ? 11 ,从而 a2 ?1 ? 2? a1 ?1? an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) , n ? N *

故总有

an?1 ? 1 ?2 a ? 5, a ? 1 ? 0 a ? 1 1 1 n 又 ,从而 ,
即数列

?an ?1? 是以 ? a1 ?1? ? 6 为首项,2 为公比的等比数列;
an ? 3? 2n ?1 ? an xn 所以 f ?( x) ? a1 ? 2a2 x ?
2 ? nan = ? 3 ? 2 ? 1? ? 2 ? 3 ? 2 ? 1? ?

(II)由(I)知 因为 从而

f ( x) ? a1x ? a2 x2 ?
f ?(1) ? a1 ? 2a2 ?

? nan xn?1
? n(3 ? 2 n ? 1)

-3-

=

3 ? 2 ? 2 ? 22 ?

? n ? 2n ? ?1 ? 2 ?
-

n ?1 ? n ? 3 ? n ? 1? ? 2 ?

=

n(n ? 1) ?6 2 .

例题 2. (2007 年二次月考)设数列 正数且公比为 q 的等比数列. (1)求数列 (2)试比较 解析: (Ⅰ)∵

?an ?的前 n 项和为 Sn,若 ?S n ? 是首项为 1,各项均为

?an ?的通项公式 an ;
an ? an?2与2an?1 (n ? N? ) 的大小,并证明你的结论.

?S n ? 是各项均为正数的等比数列.
n ?2 当 n=1 时,a1=1, 当 n ? 2时, an ? Sn ? Sn?1 ? (q ?1)q .

n?1 ∴ Sn ? q (q ? 0) .



( n ? 1) ?1 an ? ? n?2 ?(q ? 1)q (n ? 2)



(Ⅱ)当 n=1 时,
3 1 a1 ? a3 ? 2a2 ? S1 ? S1 (q ? 1)q ? 2S1 (q ? 1) ? [(q ? ) 2 ? ] ? 0. 2 4

∴ a1 ? a3 ? 2a2

n?2 n n?1 3 n ?2 ∴当 n ? 2时, an ? an?2 ? 2an?1 ? S1 (q ? 1)q ? S1 (q ? 1)q ? 2S1 (q ? 1)q ? (q ?1) q

∵ q ? 0, q

n?2

? 0.

3 ①当 q=1 时, (q ? 1) ? 0,? an ? an?2 ? 2an?1.

时, (q ? 1) 3 ? 0,? an ? an?2 ? 2an?1. ②当 0 ? q ? 1 时, (q ? 1) 3 ? 0,? an ? an?2 ? 2an?1. ③当 q ? 1
综上可知: 当 n=1 时, a1 ? a3 ? 2a2

当 n ? 2时, 若q ? 1, 则an ? an?2 ? 2an?1 ; 若 0 ? q ? 1, 则an ? an?2 ? 2an?1 ; 若 q ? 1, 则a n ? a n? 2 ? 2a n?1 . 点评:本题考查了等比数列的基本知识,还要注意分类讨论。 考点二:求数列的通项与求和 例题 3. (2007 年 5 月湖北省十一校).已知数列 12、1122、111222、??、
n个 n个

{an } 中各项为:
??

11??????1 22 ??????2

-4-

(1)证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积. (2)求这个数列前 n 项之和 Sn . 解析:先要通过观察,找出所给的一列数的特征,求出数列的通项,进一步再求和。

1 2 an ? (10n ? 1) ?10n ? ? (10n ? 1) 9 9 答案: (1)

10n ? 1 10n ? 1 1 ? (10n ? 1) ? (10n ? 2) ? ( )?( ? 1) 9 3 3 10 n ? 1 记:A = 3 ,

33 ??????3
则 A= 得证
n

个 为整数

?
(2)

an = A (A+1) ,
an ?

1 2n 1 n 2 10 ? 10 ? 9 9 9

1 1 2 Sn ? (102 ? 104 ? ?????? ?102 n ) ? (10 ? 102 ? ??????10n ) ? n 9 9 9 1 ? (102 n ? 2 ? 11?10n ?1 ? 198n ? 210) 891
点评:本题难点在于求出数列的通项,再将这个通项“分成” 两个相邻正数的积,解决此题需要 例题 4. (云南省 2007 年第一次高中毕业生复习统一检测) 已知 正整数 n,

S n 是数列{ an }的前 n 项和,并且 a1 =1,对任意

S n?1 ? 4an ? 2 ;设 bn ? an?1 ? 2an (n ? 1,2,3,?). {bn } 是等比数列,并求 {bn } 的通项公式;

(I)证明数列

Cn ?
(II)设 解析: (I)

bn 1 , Tn为数列 { } 3 log2 Cn?1 ? log2 Cn? 2 的前 n 项和,求 Tn .

? S n?1 ? 4an ? 2,? S n ? 4an?1 ? 2(n ? 2), an?1 ? 4an ? 4an?1 (n ? 2),

两式相减:

? a n ? 1 ? 4(a n ? a n ? 1 )(n ? 2),? b n ? a n ? 1 ? 2a n , ? b n ? 1 ? a n ? 2 ? 2a n ? 1 ? 4(a n ? 1 ? a n ) ? 2a n ? 1 , b n ? 1 ? 2(a n ? 1 ? 2a n ) ? 2b n (n ? N *),

?

bn?1 ? 2, bn

?{bn } 是以 2 为公比的等比数列,

? b1 ? a2 ? 2a1 , 而a1 ? a2 ? 4a1 ? 2,? a2 ? 3a1 ? 2 ? 5, b1 ? 5 ? 2 ? 3,
?bn ? 3 ? 2 n?1 (n ? N*)

-5-

(II)

Cn ?

1 1 1 bn ? ? , ? 2 n ?1 , ? n n ?1 log2 C n?1 ? log2 C n? 2 log2 2 ? log2 2 n(n ? 1) 3

1 1 1 ? ? , ? Tn ? (1 ? 1 ) ? ( 1 ? 1 ) ? ( 1 ? 1 ) ? ? ? ( 1 ? 1 ) ? 1 ? 1 . n ( n ? 1 ) n n ? 1 2 2 3 3 4 n n ?1 n ?1 而
点评:本题利用转化思想将递推关系式转化成我们熟悉的结构求得数列 的办法求和。 考点三:数列与不等式的联系 例题 5.(2007 年 5 月莆田四中)已知 ? 为锐角,且 tan? ?

?an ? 的通项 an ,第二问求和用到裂项

2 ?1 ,
1 , a n ?1 ? f (a n ) 2 .

f ( x) ? x 2 tan 2? ? x ? sin( 2? ?
函数

?

4 ,数列{an}的首项

)

a1 ?

a ? an ; ⑴ 求函数 f ( x) 的表达式; ⑵ 求证: n ?1

1?

⑶ 求证: 解析:本题是借助函数给出递推关系,第(2)问的不等式利用了函数的性质,第(3)问是转化成可以裂项的 形式,这是证明数列中的不等式的另一种出路。

1 1 1 ? ??? ? 2 (n ? 2 , n ? N * ) 1 ? a1 1 ? a2 1 ? an

tan2? ?
答案:解:⑴

2 tan? 2( 2 ? 1) ? ?1 2 1 ? tan ? 1 ? ( 2 ? 1) 2
sin( 2? ?


又∵ ? 为锐角

2? ?


?
4

?
4 1 2

) ?1

f ( x) ? x 2 ? x

2 a ? an ? an ⑵ n?1 2 an ?0

∵ ∴

a1 ?



a2 , a3 ,?an 都大于 0



an?1 ? an

1


a n?1

?

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? a ? a n a n (1 ? a n ) a n 1 ? a n ∴ 1 ? an a n a n?1
2 n

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? ? ? ??? ? 1 ? a1 1 ? a2 1 ? an a1 a2 a2 a3 an an?1 ∴ ? 1 1 1 ? ? 2? a1 a n?1 a n?1

1 1 3 3 3 a2 ? ( ) 2 ? ? a3 ? ( ) 2 ? ? 1 n ? 2 an?1 ? an 2 2 4, 4 4 ∵ , 又∵
-6-

a ? a3 ? 1 ∴ n?1
1?


1? 2?


1 a n ?1

?2

1 1 1 ? ??? ?2 1 ? a1 1 ? a 2 1 ? an

点评:把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想,本题中的第(3)问不等式所给的式子更具有一般 性。 例题 7.(2007 年 5 月 2007 浙江省五校) 已知函数

f ( x) ? x ? ln ?1 ? x ?

,数列

?an ? 满足 0 ? a1 ? 1,

an?1 ? f ? an ?
(Ⅰ)

;

?b ? b1 ? 2 , bn?1 ? 2 (n ? 1)bn , 数列 n 满足

1

1

n ? N * .求证:

0 ? an?1 ? an ? 1;
an ?1 ? an 2 ; 2
a1 ? 2 , 2 则当 n≥2 时, bn ? an ? n! .

(Ⅱ)

(Ⅲ)若

解析:第(1)问是和自然数有关的命题,可考虑用数学归纳法证明;第(2)问可利用函数的单调性;第(3) 问进行放缩。 答案:解: (Ⅰ)先用数学归纳法证明

0 ? an ? 1 , n ? N * . 0 ? ak ? 1 .则当 n=k+1 时,

(1)当 n=1 时,由已知得结论成立; (2)假设当 n=k 时,结论成立,即

f ?( x) ? 1 ?
因为 0<x<1 时, 又 f(x)在

1 x ? ?0 x ?1 x ?1 ,所以 f(x)在(0,1)上是增函数.

?0,1? 上连续,所以 f(0)<f( ak )<f(1),即 0< ak ?1 ? 1? ln 2 ? 1.
0 ? an ? 1 对于一切正整数都成立.

故当 n=k+1 时,结论也成立. 即 又由

0 ? an ? 1 , 得 an?1 ? an ? an ? ln ?1 ? an ? ? an ? ? ln(1 ? an ) ? 0 ,从而 an?1 ? an . 0 ? an?1 ? an ? 1.

综上可知

x2 x2 ? ln(1 ? x) ? x (Ⅱ)构造函数 g(x)= 2 -f(x)= 2 , 0<x<1,
g ?( x) ?
由 -7-

x2 ?0 1? x ,知 g(x)在(0,1)上增函数.

又 g(x)在

?0,1? 上连续,所以 g(x)>g(0)=0.

an 2 an 2 ? f ? an ? an ?1 ? . 0 ? an ? 1 ,所以 g ? an ? ? 0 ,即 2 2 因为 >0,从而
bn?1 n ? 1 1 1 b1 ? , bn ?1 ? (n ? 1)bn ? b ? 0 , bn 2 2 2 , (Ⅲ) 因为 ,所以 n bn ?
所以

bn bn?1 ? bn?1 bn?2

b2 1 ? b1 ? n ? n ! b1 2

————① ,

an?1 an an a2 a3 an 2 ? ? an ?1 ? , a a2 a 2 a 2 1 n 1 由(Ⅱ) 知: , 所以 =

an a a ? 1 2 an?1 2 2

an ?1 2 ,

因为

a1 ?

2 2 , n≥2, 0 ? an?1 ? an ? 1.
an ?1 a n 2 ? a12 1 ? a1 n1?1 n n 2 < 2 < 2 = 2 ————② .

所以

an

?

a1 a2 2 2

由①② 两式可知:

bn ? an ? n! .

点评:本题是数列、超越函数、导数的学归纳法的知识交汇题,属于难题,复习时应引起注意。 考点四:数列与函数、向量、概率等的联系 例题 8. (四川省南充高级中学 2008 届十月份月考) 无穷数列 (1)求 p 的值; (2)求

{an } 的前 n 项和 Sn ? npan (n ? N * ) , 并且 a1 ≠ a2 .

{an } 的通项公式;
1 1 f( )? 3 4.

f ( x) ? a2 x ? a3 x2 ? ?? an?1xn ,如果 S10 ? 45 ,证明: (3)作函数
解析: (1)∵

a1 ? S1 ? pa1



a1 ? 0 ,且 p=1,或 a1 ? 0 .

若是 a1 ? 0 ,且 p=1,则由 a1 ? a2 ? S2 ? 2 pa2 . ∴

a1 ? a2 ,矛盾.故不可能是: a1 ? 0 ,且 p=1.由 a1 ? 0 ,得 a2 ? 0 .
p? 1 2. a n ?1 ? 1 1 (n ? 1)a n ?1 ? na n 2 2 .

又 a1 ? a2 ? S2 ? 2 pa2 ,∴

(2)∵

S n ?1 ?

1 1 (n ? 1)an ?1 S n ? na n 2 2 , , ∴

(n ? 1)an?1 ? nan .
-8-

ak ?1 k ? a k ?1 . 当 k≥2 时, k an ?
∴ n≥3 时有

an an?1 ? ??? a3 ? a2 ? n ? 1 ? n ? 2 ??? 2 ? a2 ? (n ? 1)a2 an?1 an?2 a2 n?2 n?3 1 .
*

∴ 对一切 n ? N 有:

an ? (n ?1)a2 .

(3)∵

1 45 ? S10 ? 10 ? ? a10 ? 45 a2 2 ,
2 n



a2 ? 1 .

an ? n ? 1(n ? N* ) .

故 f ( x) ? x ? 2 x ? ? ? nx .



1 1 2 n f ( ) ? ? 2 ??? n 3 3 3 3 .

1 2 3 n 3 ? f ( ) ? ? 2 ? ? ? n ?1 3 3 3 3 . 又



1 1 ?? 3 ? 1 1 1 1 n 1 1 1 1 2 2 ? f ( ) ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? n ? ? 2 ? 3 ? 1? 3 3 3 3 3 3 3 3 3 .故

1 1 f( )? 3 4.

点评:本题是函数、不等式的综合题,是高考的难点热点。

5 ? 2x a ? f ? an ? a ?a ? 例题 8.(2007 年 5 月徐州市)已知函数 f(x)= 16 ? 8 x ,设正项数列 n 满足 1 =l, n?1 . 5 a a a (1)写出 2 、 3 的值; (2)试比较 n 与 4 的大小,并说明理由;

5 1 bi ? b a ? ? b (3)设数列 n 满足 n = 4 - n ,记 Sn= i ?1 .证明:当 n≥2 时,Sn< 4 (2n-1).
分析:比较大小常用的办法是作差法,而求和式的不等式常用的办法是放缩法。

n

an ?1 ?
解:(1)

5 ? 2an 16 ? 8an

,因为 a1 ? 1, 所以

7 3 a2 ? , a3 ? . 8 4

a (2)因为 n

? 0, an ?1 ? 0, 所以 16 ? 8an ? 0,0 ? an ? 2.

5 5 48(an ? ) an ? 5 5 ? 2an 5 3 4 ? ? 4 an ?1 ? ? ? ? 4 16 ? 8an 4 32(2 ? an ) 2 2 ? an ,
因为 2 ? an ? 0, 所以

an?1 ?

5 5 an ? 4与 4 同号,

-9-

因为

a1 ?

5 1 5 5 5 5 ? ? ? 0 a2 ? ? 0, a3 ? ? 0, an ? ? 0, an ? . 4 4 4 4 4 4 , ?, 即
bn ? 5 3 1 5 3 1 ? an ? ? ? ( ? an ?1 ) ? ? ? bn ?1 4 2 2 ? an ?1 4 2 2 ? an ?1

(3)当 n ? 2 时,

?

3 1 ? ? bn ?1 ? 2bn ?1 2 2? 5 2 4 ,所以 bn ? 2 ? bn?1 ? 2 ? bn?2 ?
1 1 ?1? ? bn ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 2 ?2?
3? n

? 2n?1 b1 ? 2n?3 ,

Sn ? b1 ? b2 ? 所以 点评:本题是函数、不等式的综合题,是高考的难点热点。
例题 12. (2007 年 5 月宁波市三中) 已知数列 (1)求

1 (1 ? 2n ) 1 ? 4 ? (2n ? 1) 1? 2 4

?an ? 中, a1 ? 1 , nan?1 ? 2(a1 ? a2 ? ... ? an ) ? n ? N * ? .

a2 , a3 , a4 ; a ?a ? (2)求数列 n 的通项 n ;

1 1 2 b1 ? , bn?1 ? bn ? bn { b } b ? 1(n ? k ) 2 a n k (3)设数列 满足 ,求证: n
分析:条件中有类似于前 n 项和的形式出现,提示我们应该考虑 an=Sn-Sn-1(n≥2) 解: (1) ( 2)

a2 ? 2, a3 ? 3, a4 ? 4
① ②

nan?1 ? 2(a1 ? a2 ? ... ? an )

(n ?1)an ? 2(a1 ? a2 ? ... ? an?1 )

an?1 n ? 1 ? na ? ( n ? 1) a ? 2 a na ? ( n ? 1) a a n n ? 1 n n n ? 1 n n ①—②得 即: , an ? a1
所以

a2 a3 an 23 n ... ?1 ... ? n(n ? 2) a ? n(n ? N * ) a1 a2 an?1 1 2 n ?1 所以 n

1 1 2 b1 ? , bn ?1 ? bn ? bn ? bn ? bn ?1 ? ... ? b1 ? 0 2 k (3)由(2)得: ,
所以

{bn } 是单调递增数列,故要证: bn ? 1(n ? k ) 只需证 bk ? 1
b1 ? 1 1 2 1 ?1 bn ?1 ? bn ? bn ? bnbn ?1 ? bn 2 k k 显然成立若 k ? 2 ,则

若 k ? 1 ,则

1 1 1 1 1 1 1 1 1 k ?1 k ?1 ? ?? ?( ? ) ? ... ? ( ? ) ? ? ? ?2? b bn k 因此: bk bk bk ?1 b2 b1 b1 k k 所以 n ?1
- 10 -

所以

bk ?

k ?1 b ? 1(n ? k ) k ?1 所以 n

点评:与数列相关的不等式证明通常需要“放缩” ,而放缩的“度”尤为关键,本题中

1 1 1 1 1 1 ?( ? ) ? ... ? ( ? ) ? bk bk bk ?1 b2 b1 b1
这种拆分方法是数学中较高要求的变形. 答案 一、选择题

1.A2.B3.B4.B5.B6.C7.B8.B9.A10.B11.C12.D 三、解答题

15 n ?1 13.314.-115. 2 16. 2

bn?1 ? bn ? log2
20.解析: (1)由已知 且公差为 d ? log2 q.

an?1 ? log q ?b ? an 为常数.故数列 n 为等差数列,
4分

(先求 也可)

q

b ? b3 ? b5 ? 6 ? b3 ? 2 ,所以 b5 ? 0. (2)因 a1 ? 1, ? b1 ? log2 a1 ? 0 ,又 1
?b3 ? b1 ? 2d ? 2, 9n ? n 2 ? b ? 4 , d ? ? 1 ? S ? . ? 1 n 2 ? b5 ? b1 ? 4d ? 0 ? d ? log 2 q ? ?1 1 ? a1 ? 16, q ? ? a n ? 2 5? n , n ? N * ? 2 ?b1 ? log 2 a1 ? 4





.

8分

(3)因

a n ? 0, 当 n ? 9 时, S n ? 0 ,所以 n ? 9 时, an ? S n ; an ? S n ; n ? 3,4,5,6,7,8 时, an ? S n .
12 分

又可验证 n ? 1,2 是时,

- 11 -


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