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2015步步高高中数学理科文档第十二章 中档题目强化练(理)


中档题目强化练——概率与统计
A 组 专项基础训练 一、选择题 1.从 5 张 100 元,3 张 200 元,2 张 300 元的奥运会门票中任选 3 张,则选取的 3 张中至少 有 2 张价格相同的概率为 1 79 3 A. B. C. 4 120 4 答案 C
1 1 1 解析 基本事件的总数是 C3 10,在三种门票中各自选取一张的方法是 C5C3C2

,故随机事件 1 1 1 C5C3C2 5×3×2 1 “选取的 3 张中价格互不相同”的概率是 3 = = , 故其对立事件“选取的 3 C10 120 4 1 3 张中至少有 2 张价格相同”的概率是 1- = . 4 4

( 23 D. 24

)

2.已知 ξ 的分布列如下表,若 η=2ξ+2,则 D(η)的值为 ξ P 10 C. 9 -1 1 2 0 1 3 20 D. 9 1 1 6

(

)

1 A.- 3 答案 D

5 B. 9

1 1 1 1 解析 E(ξ)=-1× +0× +1× =- , 2 3 6 3 1 1 1 1 1 1 5 -1+ ?2× +?0+ ?2× +?1+ ?2× = , D(ξ)=? 3? 2 ? 3? 3 ? 3? 6 9 ? 20 ∴D(η)=D(2ξ+2)=4D(ξ)= ,故选 D. 9 3.甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛规则为“3 局 2 胜”,即以先赢 2 局者为胜.根据经验, 每局比赛中甲获胜的概率为 0.6,则本次比赛甲获胜的概率是 A.0.216 答案 D 解析 由题意知,甲获胜有两种情况, 一是甲以 2∶0 获胜,此时 P1=0.62=0.36; 二是甲以 2∶1 获胜, 此时 P2=C1 2×0.6×0.4×0.6=0.288, 故甲获胜的概率 P=P1+P2=0.648. 2x-y+2≥0, ? ? 4.已知 x∈[-1,1],y∈[0,2],则点 P(x,y)落在区域?x-2y+1≤0 ? ?x+y-2≤0 内的概率为( ) B.0.36 C.0.432 D.0.648 ( )

3 A. 16 答案 B

3 B. 8

3 C. 4

3 D. 2

1 不等式组表示的区域如图所示,阴影部分的面积为 ×3×2 2 1 3 3 - ×3×1= ,则所求概率为 . 2 2 8 解析 5.有 n 位同学参加某项选拔测试,每位同学能通过测试的概率都是 p(0<p<1),假设每位同学能否通过测试是相互独立的,则至少有一位同学能通过测试的概 率为 A.(1-p) C.p
n n

( B.1-p
n

)

D.1-(1-p)n

答案 D 解析 显然 n 位同学参加某项选拔测试可看做 n 次独立重复试验, 其中没有一位同学能通 过测试的概率为(1-p)n,故至少有一位同学能通过测试的概率为 1-(1-p)n. 二、填空题 V 6.在体积为 V 的三棱锥 S-ABC 的棱 AB 上任取一点 P,则三棱锥 S-APC 的体积大于 的 3 概率是________. 2 答案 3 VS-APC 1 解析 由题意可知 > ,如图所示, VS-ABC 3 三棱锥 S-ABC 与三棱锥 S-APC 的高相同, VS-APC S△APC PM 因此 = = VS-ABC S△ABC BN AP 1 2 = > (PM,BN 为其高线),故所求概率为 . AB 3 3 7.两封信随机投入 A,B,C 三个空邮箱,则 A 邮箱的信件数 ξ 的数学期望 E(ξ)=________. 2 答案 3 解析 两封信投入 A,B,C 三个空邮箱,投法种数是 32=9, 4 A 中没有信的投法种数是 2×2=4,概率为 , 9 4 A 中仅有一封信的投法种数是 C1 2×2=4,概率为 , 9 1 A 中有两封信的投法种数是 1,概率为 , 9 故 A 邮箱的信件数 ξ 的数学期望是 4 4 1 2 ×0+ ×1+ ×2= . 9 9 9 3 8.随机变量 ξ 服从正态分布 N(0,1),如果 P(ξ<1)=0.841 3,则 P(-1<ξ<0)=________. 答案 0.341 3

解析 ∵ξ~N(0,1), 1-2[1-P?ξ<1?] ∴P(-1<ξ<0)=P(0<ξ<1)= 2 =0.341 3. 三、解答题 9.已知集合 A={x|x2+3x-4<0},B=?x?
? ? ? ? ? ?x+2 <0? ?. ?x-4 ? ?

(1)在区间(-4,5)上任取一个实数 x,求“x∈A∩B”的概率; (2)设(a, b)为有序实数对, 其中 a, b 分别是集合 A, B 中任取的一个整数, 求“a-b∈A∪B” 的概率. 解 (1)由已知得 A={x|x2+3x-4<0}

={x|-4<x<1}, ? ? ? ?x+2 ? B=?x? <0?={x|-2<x<4}, x - 4 ? ? ? ? ? 显然 A∩B={x|-2<x<1}. 设事件“x∈A∩B”的概率为 P1, 3 1 由几何概型的概率公式得 P1= = . 9 3 (2)依题意,(a,b)的所有可能的结果一共有以下 20 种: (-3,-1),(-3,0),(-3,1),(-3,2),(-3,3),(-2,-1),(-2,0),(-2,1),(-2,2), (-2,3),(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,2),(-1,3),(0,-1),(0,0),(0,1),(0,2), (0,3), 又 A∪B={x|-4<x<4}, 因此“a-b∈A∪B”的所有可能的结果一共有以下 14 种: (-3,-1),(-3,0),(-2,-1),(-2,0),(-2,1),(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,2), (0,-1),(0,0),(0,1),(0,2),(0,3). 14 7 所以“a-b∈A∪B”的概率 P2= = . 20 10 10.随着人们对环境关注度的提高,绿色低碳出行越来越受到市民重视,为此某市建立了公 共自行车服务系统,市民凭本人二代身份证到公共自行车服务中心办理诚信借车卡借车, 初次办卡时卡内预先赠送 20 分,当诚信积分为 0 时,借车卡将自动锁定,限制借车,用 户应持卡到公共自行车服务中心以 1 元购 1 个积分的形式再次激活该卡, 为了鼓励市民租 用公共自行车出行,同时督促市民尽快还车,方便更多的市民使用,公共自行车按每车每 次的租用时间进行扣分收费,具体扣分标准如下: ①租用时间不超过 1 小时,免费; ②租用时间为 1 小时以上且不超过 2 小时,扣 1 分; ③租用时间为 2 小时以上且不超过 3 小时,扣 2 分;

④租用时间超过 3 小时,按每小时扣 2 分收费(不足 1 小时的部分按 1 小时计算). 甲、乙两人独立出行,各租用公共自行车一次,两人租车时间都不会超过 3 小时,设甲、 乙租用时间不超过一小时的概率分别是 0.5 和 0.6;租用时间为 1 小时以上且不超过 2 小 时的概率分别是 0.4 和 0.2. (1)求甲、乙两人所扣积分相同的概率; (2)设甲、乙两人所扣积分之和为随机变量 ξ,求 ξ 的分布列和数学期望. 解 (1)设甲、乙所扣积分分别为 x1,x2,由题意可知,

P(x1=0)=0.5,P(x1=1)=0.4,P(x1=2)=1-0.5-0.4=0.1, P(x2=0)=0.6,P(x2=1)=0.2,P(x2=2)=1-0.6-0.2=0.2, 所 以 P(x1 = x2) = P(x1 = x2 = 0) + P(x1 = x2 = 1) + P(x1 = x2 = 2) = 0.5×0.6 + 0.4×0.2 + 0.1×0.2=0.4. (2)由题意得,变量 ξ 的所有取值为 0,1,2,3,4. P(ξ=0)=0.5×0.6=0.3, P(ξ=1)=0.5×0.2+0.6×0.4=0.34, P(ξ=2)=0.5×0.2+0.6×0.1+0.4×0.2=0.24, P(ξ=3)=0.4×0.2+0.2×0.1=0.1, P(ξ=4)=0.1×0.2=0.02, 所以 ξ 的分布列为 ξ P 0 0.3 1 0.34 2 0.24 3 0.1 4 0.02

E(ξ)=0×0.3+1×0.34+2×0.24+3×0.1+4×0.02=1.2. B 组 专项能力提升 1 1 1 1.三人独立破译同一个密码.已知三人各自破译出密码的概率分别为 、 、 ,且他们是否 5 4 3 破译出密码互不影响,设“密码被破译”的概率为 P1,“密码未被破译”的概率为 P2, 则 P1,P2 的大小关系为 A.P1>P2 C.P1<P2 答案 A 解析 记“第 i 个人破译出密码”为事件 Ai(i=1,2,3), 1 1 1 依题意有 P(A1)= ,P(A2)= ,P(A3)= , 5 4 3 且 A1,A2,A3 相互独立. 设“密码未被破译”为事件 B, B.P1=P2 D.无法判断 ( )

A 3,且 A 1, A 2, A 3 互相独立, 4 3 2 2 故 P2=P(B)=P( A 1)P( A 2)P( A 3)= × × = , 5 4 3 5 3 而 P1=1-P(B)= ,故 P1>P2. 5 1 2.一名学生通过某种外语听力测试的概率为 ,他连续测试 3 次,那么,其中恰有一次通过 3
1 2

则 B= A

A

的概率是 4 4 A. B. 9 27 答案 A

( 2 C. 9 2 D. 3

)

解析 该名学生测试一次有两种结果:要么通过,要么不通过,他连续测试三次,相当于 做了 3 次独立重复试验,那么,根据 n 次独立重复试验事件 A 发生 k 次的概率公式知, 1?2 4 1?1?1 ? 连续测试 3 次恰有一次获得通过的概率为 P=C3 ?3? · ?1-3? =9. 3.某人随机地将编号为 1,2,3,4 的四个小球放入编号为 1,2,3,4 的四个盒子中,每个盒子中放 一个小球,球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了,否则就叫放错了.设放对的个数为 ξ,则 ξ 的期望 E(ξ)=________. 答案 1 3×3 9 解析 因为 P(ξ=0)= = , 24 24 1 C4×2 8 P(ξ=1)= = , 24 24 C2 6 4×1 P(ξ=2)= = , 24 24 1 P(ξ=4)= , 24 8 6 1 所以 E(ξ)=1× +2× +4× =1. 24 24 24 4.某班有 50 名学生,一次考试的数学成绩 ξ 服从正态分布 N(100,102),已知 P(90≤ξ≤100) =0.3,估计该班学生数学成绩在 110 分以上的人数为________. 答案 10 解析 由题意知,P(ξ>110)= 1-2P?90≤ξ≤100? =0.2, 2

∴该班学生数学成绩在 110 分以上的人数为 0.2×50=10. 5.在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是每场投 6 个球,至少投进 4 个球,且最后 2 个球 2 都投进者获奖,否则不获奖.已知教师甲投进每个球的概率都是 . 3 (1)记教师甲在每场的 6 次投球中投进球的个数为 X,求 X 的分布列及数学期望; (2)求教师甲在一场比赛中获奖的概率; (3)已知教师乙在一场比赛中, 6 个球中恰好投进了 4 个球, 求教师乙在一场比赛中获奖的 概率;教师乙在一场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗? 2? 解 (1)由题意,知 X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4,5,6.依条件可知 X~B? ?6,3?.

?2?k ?1?6-k(k=0,1,2,3,4,5,6). P(X=k)=Ck 6 3 ·3 ? ? ? ?
所以 X 的分布列为 1 2 3 4 5 6 12 60 160 240 192 64 P 729 729 729 729 729 729 1 所以 X 的数学期望 E(X)= ×(0×1+1×12+2×60+3×160+4×240+5×192+6×64) 729 2 916 = =4. 729 (2)设教师甲在一场比赛中获奖为事件 A, ?1?2 ?2?4 1 1 ?2?5 ?2?6 32 则 P(A)=C2 4× 3 × 3 +C4× × 3 + 3 = . ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 81 32 故教师甲在一场比赛中获奖的概率为 . 81 X 0 1 729

C2 2 4 (3)设教师乙在一场比赛中获奖为事件 B,则 P(B)= 4= ,即教师乙在一场比赛中获奖的 C6 5 2 2 32 概率为 .显然 ≠ ,所以教师乙在一场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的 5 5 81 概率不相等.


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