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2012年全国高中数学联赛模拟试题二


2012 年全国高中数学联赛模拟试题二
一、选择题:每题 6 分,满分 36 分 1 、数列 x1 , x 2 ,L , x100 满足 如下条件:对于 k = 1 ,2 ,L100 , x k 比 其余 99 个数 的和 小 k, 已知

x50 =

m ,m,n 是互质的正整数,则 m+n 等于( ) n
173<

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A 50 B 100 C 165 D 2、若 sin x + sin y =

2 6 ,则 sin( x + y ) 等于( ) , cos x + cos y = 2 2 2 3 6 A B C D 1 2 2 2 x2 y2 3、P 为椭圆 + = 1 在第一象限上的动点,过点 P 引圆 x 2 + y 2 = 9 的两条切线 PA、PB,切点分 16 9 别为 A、B,直线 AB 与 x 轴、y 轴分别交于点 M、N,则 S ?MON 的最小值为( ) 9 9 27 27 B D A 3 C 3 2 2 4 4 2 4.函数 f ( x) = log 0.3 ( x + x ? 2) 的单调递增区间是( ) . (A) ( ?∞, ?2) (B) ( ?∞,1) (C) (-2,1) (D) (1, + ∞ ) x y 5.已知 x, y 均为正实数,则 的最大值为( ) . + 2x + y x + 2 y 4 2 (A) 2 (B) (C) 4 (D) 3 3 ? 4π ? ω 6.直线 y=5 与 y = ?1 在区间 ? 0, ? 上截曲线 y = m sin 2 x + n (m > 0, n > 0) 所得的弦长相等且 ? ω ?
不为零,则下列描述正确的是( ) . (C) m >

3 5 (A) m ≤ , n= 2 2

(B) m ≤ 3, n = 2

3 5 , n= 2 2

(D) m > 3, n = 2

二、填空题:每小题 9 分,满分 54 分 7、函数 f (x) 满足:对任意实数 x,y,都有

f ( x) f ( y ) ? f ( xy ) . = x + y + 2 ,则 f (36) = 3 8、正四面体 ABCD 的体积为 1,O 为为其中心. 正四面体 A′B ′C ′D ′ 与正四面体 ABCD 关于点 O 对
.

称,则这两个正四面体的公共部分的体积为

n n +1 9、在双曲线 xy=1 上,横坐标为 的点为 An ,横坐标为 的点为 Bn (n ∈ N + ) .记坐标为 n +1 n (1,1)的点为 M, Pn ( x n , y n ) 是三角形 An Bn M 的外心,则 x1 + x 2 + L + x100 = .
10.已知 sin( x + sin x ) = cos( x ? cos x) , x ∈ [ 0, π ], 则x= .

uuu uuu 2 uuu 2 v v v 11 . 设 A, B 为 抛 物 线 y 2 = 2 px( p > 0) 上 相 异 两 点 , 则 OA + OB ? AB 的 最 小 值 为
___________________. 12 . 已 知 ?ABC 中 , G 是 重 心 , 三 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 且

uuu r uuu v uuuv 56aGA + 40bGB + 35cGC = 0 ,则 ∠B =__________.

三、解答题:每小题 20 分,满分 60 分 13、设集合 A 和 B 都是由正整数组成的集合,|A|=10,|B|=9,并且集合 A 满足如下条件:若 x, y, u , v ∈ A, x + y = u + v ,则 {x, y} = {u , v} .令 A + B = {a + b | a ∈ A, b ∈ B} 求证:|A+B|≥50. (|X|表示集合 X 的元素个数)

14 已 知 在 正 方 体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中 , O, E , F , G 分 别 为

D1 F A1

G

C1 B1

BD, BB1 , A1 D1 , D1C1 的中点,且 AB = 1 . 求四面体 OEFG 的体积.

E D O A B C

15 在平面直角坐标系中, 已知圆 C1 与圆 C2 相交于点 P , Q , 点 P 的坐标为 ( 3, 2 ) , 两圆半径的乘积 为

13 .若圆 C1 和 C2 均与直线 l : y = kx 及 x 轴相切,求直线 l 的方程. 2


2012年全国高中数学联赛试题及答案

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