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DOMAN数学


前 言 略

代 序 略

第一章 最积极的学习伙伴——父母和小宝宝

母亲是陶艺家,而孩子则是黏土。 ——温妮弗列德·沙克菲尔·史东勒

我和许多人一样,每天都是一边吃着愉快的早餐;一边看着令人沮丧的新 闻——报纸上充斥着色情、暴力、失业、不景气,仿佛是到了世界末日。放下 报纸,有一个方法,可以让我

重新恢复希望和信心。 距离我家一百码处,是伊凡·汤玛斯协会;可敬的妈妈们、愉快的工作人 员及可爱的孩子们,在那里齐聚一堂。我悄悄地溜进最后面的教室,靠着墙坐 在地板上。这是一个美好的屋子,在铺着榻榻米的和室教室里,面对我的是三 名年轻的工作人员,他们跪坐在地上;二十位年龄在二十到四十岁之间的妈妈 们,面对着他们围成一个半圆形;两、三岁可爱的小宝宝们坐在妈妈的怀里。 没有人注意到旁观的我们,包括一位大学教授、一位学校教师、一位来自英国 的作家、一位澳洲的小儿科医生及一位初为人母的妈妈。 一位漂亮的两岁金发小女孩琳达正大声地念着书,读到有趣的情节,她会

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忍不住自己咯咯笑了起来,其他的孩子也跟着笑了起来。她读的是日文,我完 全听不懂。高桥老师是在场唯一的日本人,他打断琳达,问了一个问题;两个 人用日语交谈了一会儿。然后,协会的负责人珍娜·杜曼问其他的孩子, 「还有谁会用日文造句?」 许多人抢着举手,珍娜请麦克回答。麦克跑到协会的副主席苏西·艾森的 旁边。苏西把好几堆字卡放在麦克的面前,上面写着斗大的日文汉字,包括名 词、动词、副词等。麦克挑出几张卡片排在地板上,大声念出来,每个人都笑 了。珍娜替我翻译: 「野鹿坐在苹果派上面。 」一个两岁的小宝宝造了另外一个 句子: 「大象帮草莓刷牙。 」三十分钟在笑声中很快就过去了。工作人员站了起 来,孩子们和他们的妈妈都还意犹未尽,大家互相鞠躬致意,这幕情景令我感 动得掉下眼泪,我连忙低下头假装看表。接着我听到一阵哄堂大笑,一个一岁 三个月大的小男孩,在鞠躬时腰弯得太低,重心不稳而跌倒了,他爬起来后, 自己也笑了。 他们依依不舍地如鱼贯般离开日语教室,结束阅读及造句的练习;下一堂 课是高级数学。 妈妈们发现,两岁的小宝宝不仅可以学会阅读,也会数学。而学校的正规 教育,却要等到七岁才开始。 一九七五年,一群年轻、聪慧、有心的妈妈们,在伊凡·汤玛斯协会学习 如何教孩子阅读。除了母语英语之外,并学习二到三种外语。她们还教孩子数 学、游泳、拉小提琴。 简单地说,她们可以教孩子学会任何东西。除了启发孩子的智慧,最重要 的是,这种亲子共同学习的活动,在愉快的学习气氛中,使父母和孩子的关系

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更亲密。 伊凡·汤玛斯协会并不直接教孩子,而是指导妈妈们如何教自己的孩子。 这些妈妈在二十五岁或三十二岁才开始学日语、西班牙语、拉小提琴、听音乐 会、参观博物馆、体育馆,做许多妇女梦寐以求的事情。和自己的孩子一起学 习,乐趣更多。 一年前的一个早晨,我参观他们的数学课;那天苏西和珍娜让小朋友练习 解答数学题,其速度快得竟让我来不及看清楚题目。而小朋友们的答案却完全 正确。 苏西问: 「16 乘以 19,减 15,111,除以 4 再减 51;等于多少?」 珍娜问: 「费城到芝加哥有多远?」 「如果你的车子一加仑汽油走五公里,从 这里开车到芝加哥,要用掉多少汽油?」 「如果一加仑汽油可以走十二公里呢?」 那天我问三岁的吉罗·赛门,十九的平方是多少?「三百六十一」 ,他不假 思索地回答。 这种情况一再发生,每次都使我惊讶不已,使我对于明天更充满期待。 我们花了十年的时间研究,才有把握指导有心教小宝宝数学的妈妈们。小 宝宝太聪明了,学习的能力很强;他们学习的成绩,比教他们的父母还要好。 怎么会这样?我们从中得到什么启示?

第二章

知难行易



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第三章 宝宝想要学数学

——好奇是儿童和天才共同的特质。让孩子在童年时尽情发挥,他们都可 能成为天才。 ——爱德华·布鲁威尔

每一个孩子接触到数学,都会想要学习;因为他们迫不及待地学习周遭所 有的讯息,而数学就是其中之一。 以下几点说明小宝宝学习的意愿和能力: 1、学习的过程在出生之前就已经开始。 2、每一个孩子都有强烈的求知欲。 3、小宝宝对于学习的渴望甚于食物。 4、小宝宝对于学习的渴望甚于玩乐。 5、学习是小宝宝成长时必经的过程。 6、宝宝想要立刻长大。 7、学习是成长必备的技能。 8、小宝宝不断地想要学习所有的事物。 9、数学是值得学习的事物之一。 从来没有一位成年的科学家,像四个月到四岁大的宝宝那么奸奇。大人把 这种好奇心误解为孩子的注意力无法集中。 我们非常细心照顾自己的孩子,却无法完全了解孩子行为的意义。其中最

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常犯的错误是把学习和受教育混为一谈。 学习通常是指一个人取得知识的过程,而受教育则指在老师或学校的引导 之下的学习过程。虽然每个人都知道这个道理,这两种过程却经常混淆。由于 正规的学校教育从六岁才开始,我们也认为六岁以后才开始真正重要的学习过 程。其实不然。事实上,早在出生之前,就开始学习了。 我们都非常关心自己的孩子,却不一定真正了解他们。许多人把学习与接 受教育,这两件截然不同的事情混为一谈。因此,儿童到了六岁才开始正规的 学校教育,我们也以为六岁以后才开始一生的学习过程。事实上,从出生之后, 学习就不曾间断;在六岁的学龄以前,孩子已经吸收了大量、甚至此往后的一 生中更多的讯息。 六岁以前的幼儿,对于自己和家庭已经有基本的了解;他认识邻居,也知 道彼此的关系。更重要的是,他可以学会两种以上的语言。 (六岁以后,想要真 正学好一种语言都非常困难。 ) 这些都在他走进学校教室以前就发生了。 几年之 间,学习的过程快速地进行着,只要适当地鼓励,速度非常快,就能产生令人 难以置信的成果。 ? 幼儿的学习欲望是无止境的 这些部在他走进学校教室以前就发生了。几年之间,学习的过程快速地进 行着,只要适当地鼓励,就能产生令人难以置信的成果。相反地,如果我们刻 意阻止,则会彻底破坏孩子的求知欲;最简单的方法是,阻隔孩子接触资讯的 管道。 我们曾经听说过这样的故事。有一个白痴一直被关在阁楼里,用链条锁在 床边,到了十三岁才被人发现。或许他天生就是一个白痴,但也有另外一种可

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能,因为他被锁住,没有任何学习的机会,所以才会变成白痴。用链子锁住自 己的孩子,这种父母真是不可理喻。限制孩子的学习,会降低他们学习的兴趣 和成就;不幸的是,这种情形举目皆是。我们应该尽量给孩子各种吸收知识的 机会,激发他的学习能力,同时不断地给子鼓励。 有许多例子告诉我们,父母有计画地给孩子学习的机会,包括数学、外语、 阅读、体育,不断地激励,大多有很好的成果。这些孩子不但自信、快乐、身 心健全,智商也高于一般的孩子。 值得注意的是,这些孩子并非天资优异,也并未接受特殊的教育,而是父 母让他们从幼年开始,不断地接触大量的讯息。 父母了解到小宝宝旺盛的学习欲望及超人的学习能力。就能够让他赢在起 跑点。 我们可以仔细观察一岁半的孩子,看看他整天都在做些什么。没有人受得 了他,为什么?因为他太好奇了,什么都想尝试。他打碎电灯、倒掉咖啡、把手 指头伸进插头里、还撕烂报纸。这是他非常自然的学习方式,用眼睛看、耳朵 听、闻闻气味、尝一尝味道,所有的感官都派上用场。屋子里所有的东西都不 能幸免,接着他会想到外面去,探索更丰富的世界。 他一直努力在学习,我们则努力地阻止他学习,因为代价太昂贵了。 于是父母想出几种方法,应付小孩子惊人的好奇心,却在不觉中阻止孩子 的学习。 第一种方法是,给孩子摔不坏的安全玩具,颜色鲜艳,还会发出声音。孩 子一拿到玩具,立刻会好奇地看一看、摸一摸、咬一咬(颜料是无毒的) 、大概 用了九十秒的时间,他对这个玩具已经很了解了,就会丢在一旁,继续看装玩

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具的盒子。盒子和玩具一样有趣,甚至此玩具更有趣,因为他可以随意弄坏盒 子。 遗憾的是,所有的玩具和游戏都是大人设计来阻止孩子的学习。小宝宝从 来不发明玩具或游戏,他们发明工具。例如找一块木头,用来当榔头,打坏爸 爸的茶几;甚至给他一个贝壳,马上就变成碎片。 如果你仔细观察小宝宝,会发现很多这类的例子;你觉得他太小了,根本 就不懂事。事实上,如果一个两岁的小宝宝不哭也不闹,安静地玩着玩具,持 续五个小时,这种情形才更令人担心。 孩子的注意力非常短暂,他们的本性是好动的,于是第二种方法是,把孩 子关在婴儿车内。我们应该承认,婴儿车其实是为大人买的。 使用婴儿车要付出很大的代价,却很少有父母警觉到这一点。婴儿车剥夺 孩子探索世界的能力,限制他们的肢体活动,使他无法爬行(正常发育的重要 过程) ,间接阻碍了视觉的发育与手、眼协调的功能。 父母理直气壮地认为婴儿车可以保护孩子,不让他们咬坏电线,或是从楼 梯上摔下来。其实是让父母偷懒,不必时时注意孩子是否安全。 婴儿车阻碍孩子的学习,比安全玩具更甚。妈妈丢进去给他的玩具,每一 项都只有九十秒钟的兴趣,然后他就会把东西丢出来。 限制孩子的活动,不让他破坏东西(一种学习的方式) ,使孩子在肢体、情 绪及教育等各方面的学习都处于真空,并因而发展迟钝。 这样总比让孩子打破电灯好,是吗?正好相反。那只表示我们毫不尊重孩子 的求知欲,他多么想学会所有的东西,愈快愈好。 我们在孩子求知欲最旺盛的时候,阻挠他的学习。

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从出生四岁之间, 吸收资讯的能力最强。 这一段学习的黄金时光一去不返, 我们却让孩子整天干干净净、安全无虞,学习则一片空白。 讽刺的是,等到孩子年龄渐长,对天文学、物理、生物都没有兴趣时,父 母才不断地强调学习是一生中最重要的事情,并且指责孩子不求上进。 我们都忽略了学习是生活中最有趣的游戏。大人却要勉强孩子相信学习苦 不堪言。 有些孩子自始至终都相信学习是好玩的事情, 这些人我们称之为天才。 大多数的孩子都不喜欢上学,但是我们不能把上学和学习混为一谈。上学 的孩子不定都在学习,学习不一定都在学校里。 小学一年级对我而言,好像过了几个世纪。老师在上课时,都会要求我们 坐好、安静、看着老师、注意听讲。她说,这样才能学到东西。一直到高中毕 业,我都觉得度日如年。我想不只我这样。 以我自己的经验,老师可以要我坐好、安静、看着老师,却不能让我注意 听讲。上课时我根本就心不在焉:心绪到处神游,偶尔会被老师尖锐的点名声 打断。我不仅不知道答案,我连题目都听不懂。 尤其是算术。一年级我们就要背算式,例如 2 乘以 2 等于 4。那时候我觉 得实在无聊透了,但是还满简单的。 到了二年级,开始学乘法。老师说: 「我们看 23 乘以 17」 , 「算式是这样」 , 她在黑板上写着: 23X17 我觉得很有趣。 「我们先看看 3 乘以 7 等于多少,芭比?」 「21。 」芭比会背九九乘法。

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「很好。 」老师说。 「为什么会这样?」我极感兴趣地问。 「什么怎么样?」老师有一点不高兴。 「为什么要把 1 写下来,然后进 2?」 「反正这样就没有错。 」老师说: 「大家好像都懂了,我们再继续看。 」 「现在看看 2 乘以 7 等于多少,艾莲娜?」老师问。 「14。 」艾莲娜回答。 老师微笑表示称许。班上的同学并不是都像我这么笨。 「现在我们加上刚刚进位的 2,总共是 16。写在这里。 」 「为什么会这样?」我问。 她转过来看着我, 「哪里不懂,格连?」 「为什么要加上刚才的 2 变成 16?」 「因为」 ,她断然地说: 「这样就对了。 」 我的好奇心被激起, 「为什么?」我开始追根究底, 「为什么不是减掉进位的 2,为什么不写在 1 的旁边?」 「因为」 ,老师说: 「我比你大!」 这是我整个求学生涯中印象最深刻的一句话。 当然,上面这一段对话只是虚构,并未真正发生,因为我一直很明白她比 我大,因此从未如此追根究底。我的数学不是很奸,但还不至于笨到连老师比 我大都搞不清楚。 她只是理所当然的写下 l 然后进 2, 我们也照做, 这样的理由已经非常充份。 我想半个世纪以前,她的老师也用同样的方式教她,我的老师也知道老师

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比她大,照着老师的方法就对了。 这种理所当然的教学方式,我并不服气,也觉得不合理。到现在还是如此。 我想,这就是我对于数学敬而远之的原因。我不相信比我大的人,说的话一定 都对。 学习是快乐的事。不论老师怎么说,孩子们还是觉得很快乐。简单地说, 小宝宝什么都想学,数学也是其中之一。大人老是学不会,但是一岁的宝宝学 来却轻而易举。

第四章

宝宝可以学数学

——(年龄愈小,学习的效果愈好)你应该尊重孩子,你并不比孩子强。 ——罗勃特·汉尼

每一个人都爱孩子,但是很少有大人真正尊重孩子。因为我们自认为优于 孩子。比孩子高、壮、见多识广。 没有错,大人是比孩子长得高大,却不见得比较聪明。 ? 宝宝都是语言天才 语言能力是人类的大脑与生俱来的功能。孩子学习语言的能力,是一种难 以解释的奇迹。了解及使用一种语言是很复杂的功能,也是人之所以为万物之 灵的一项因素。 英文里面有四十五万个字,第一级的字汇就有十万个字,这些字汇有数不 清的组合。在一般的对话中,对方说话的同时,我们就可以听得懂,并了解对

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方想要传达的讯息。说话时,我们则把讯息转变为字句,传达给对方。有时候 不免误会彼此的意思,但大多数都能够互相了解。只有人类的大脑具有这种不 可思议的功能。电脑或任何扩充设备都无法进行人类的对话。 如果论起中文标准国字有四千六百余字,而康熙字典的汉字就有四万七千 余字,而英文字母只有二十六个字,当然中文与汉语的字汇加起来远远超出英 语之字汇数量,可是幼儿却轻易的可以学习。 ? 宝宝在两岁以前,可以学会一种语言 大人和小宝宝比赛学习语言,一定是稳输不赢的。所有的婴儿在两岁以前 可以学会一种语言,到了四岁就可以说得相当流利。 值得注意的是,即使是母语,对于新生的宝宝,也是一种完全陌生的语言。 通常我们只教过他妈妈、爸爸、吃饭、睡觉等少数几个字汇,其它都是他从别 人的谈话中自己学会的。 每个人都知道,一个生长在双语家庭的孩子,自然就学会两种语言; 如果家里使用三种语言,他就会说三种语言。 我们就婴儿、青少年与成年人学习外语的情形,作一番比较。我自己的经 验就非常具有代表性。小时候我非常想学法语,那时候大家都认为等我长大一 点,学起来比较容易。于是我到了高中才开始学法语,花了四年 的时间还是

学不好;很多学生不及格,甚至放弃法语。四十年过去了,其间我到过法国不 下十次,仍然无法开口说法语,是不能,非不为也。 十几岁才学法语真是太迟了。每一个六岁的法国儿童都可以说得一口流利 的法语,他只要跟着家人学,就可以无师自通。 语言是如此,那么,幼儿学数学下也是一样吗?学习任何事物都是如此。

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? 教一岁的孩子外语,比教七岁的孩子容易 语言能力是人类大脑与生俱来的功能。 许多父母教二到三岁的宝宝阅读,成效非常好;而在一般的学校里,有百 分之三十的孩子,到了高年级还不会阅读,毕了业还看不懂罐头上的标识呢! ? 教一岁的孩子数学,比教七岁的孩子容易 数学也是一种语言。数学能力是人类大脑与生俱来的功能。数学的基本符 号称为数字,包括 1、2、3、4、5、6、7、8、9、0。 小宝宝学数学比大人更快并无足为奇,有些小宝宝甚至还不会说话,数学 就可以算得又快又正确。 以平实的方式教孩子,他什么都学得会。 文字、音符及数字代表特定的事物,不论说或写的意义都一样。写成文字 的「鼻子」和用说的「鼻子」意思完全一样。乐谱上的 C 大调就是 C 大调。写 在纸上的数丰「6」和说出来的数字「6」也相同。 这些是事实,愈小的孩子,学得愈快。 有些大人喜欢教孩子抽象的事物,勉强孩子接受自己主观的看法,这实在 是非常严重的错误。因为具体的事物容易了解,而抽象的事物则不易了解。 幼儿在三岁之前可以学会阅读,已经由许多人证实。数学是一种更简化的 语言,幼儿更易学习。 ? 幼儿擅长学习原始的事实 年龄愈大,智慧愈丰富;但年龄愈小,学习与记忆事物的能力愈强。协会里的 孩子,学习能力各有不同,父母的教导能力也各有优劣,唯一的共同点是,教 一岁的孩于比教七岁的孩子容易。

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一岁的孩子学得比七岁的孩子快 (七岁的孩子学得比十三岁的孩子快) , 在 协会里已经看过许多这样的例子。妈妈教过的东西,小宝宝学得很快,又不会 忘记,而妈妈自己却不容易学会,而已很快就忘记了。协会的工作人员也是如 此,有时候连自己都啼笑皆非。 教数学的情形更是明显。 ? 教宝宝事实,他们会自己找出规则 最不为人知的事实,可能是最重要的。教小宝宝知识,他会自己找出应用 的方法。幼儿学说话就是最明显的例子。 三岁的小宝看着窗外说: 「垃圾先生来了。 」 原来是收垃圾的清洁队员。 没有人教他 「垃圾先生」 , 那么他去哪里学的呢? 只有一种可能,那个孩子自己想的。他听到大人称呼指挥交通的警察先生、送 信的邮差先生,当然就有清洁垃圾的「垃圾先生」了。每一个孩子都会根据一 般的规则,自行发明字汇。当然, 「垃圾先生」的说法并不正确,但是他的出发 点并没有错。问题是语言的规则中存在着太多的例外,否则三岁的小宝宝绝对 不会说错。 小宝宝从事实中找出规则的能力很强,如果我们教他规则(抽象) ,他却不 可能自己找到事实(具体) 。 数学也是人类发明的,但是发明数学并不像发明语言那样有迫切的需要。 世界上还有很多原始部落根本不会计算,有些则只会从一数到五。 如果你教孩子数学的基本事实,也就是数量或价值,而不是数字,他会自 己找出加、减、乘、除、代数等运算规则。在第七章「如何教宝宝数学」里有 详细的说明。

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注意:以下提到的「数量」代表事物确实的数量或真正的价值,而「数字」 则是代表数量或价值的符号。 人类往往过于重视理论而忽略事实。但有很多事情,是必须实际做完之后 才能够了解。 幼儿学习数学比大人容易,因为他们确实了解数学的运作情形;只有少数 的大人真正了解数学的意义。

第五章 宝宝应该学数学

——数学不仅是一种真理,而且是至高无上的美。 ——罗素

宝宝应该学数学,理由有二:第一,数学是大脑最重要的功能之一,所有 的动物之中,只有人类懂得运算。 数学在日常生活中也非常重要,人们从小到老都离不开数学。学生每天要 算数学,家庭主妇、木匠、商人及科学家也都会用到数学。 第二个理由更重要:愈小开始学习数学的效果愈好,并且有助于提升孩子 的智慧。我们花了三十五年的时间,致力于研究大脑的发育,获得五项重要的 结论,其重点分述如下: ? 肌肉是锻链出来的,大脑的训练亦同 这是适用于所有人类在建筑、工程、医药等各项进步的准则,用一般的话 说,我做的事情造就了我。

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伐木工人整天伐木,锻链出结实的肌肉;缺乏运动的人则不容易有强健的 体魄。我们可以用举重清楚地说明。如果我每天举二十五磅,我的肌肉会长出 来;如果你每天举五十磅,你的肌肉会长得更多。此外,你举的东西重量会比 我多一倍,如果我们同样举二十五磅,我必须费尽全力,你只要用一半的力量 就够了。肌肉是锻链出来的,大脑的训练也是一样的。 ? 大脑愈用愈好 大脑的感官分成五种,爱因斯坦、达文西、你或是小宝宝一生中学习的事 物,同样都必须经过听觉、触觉、视觉、味觉、嗅觉这五种感官。 感官也是愈用愈灵敏。也就是说,通过这五种感官的讯息愈多,路径愈畅 通,作用也愈灵活。反之亦然,通过的讯息愈少,感受的能力愈迟钝,最后不 再成长。 正常的孩子出生时即有这五种与生俱来的感官,但是尚未发育成熟。 受到光线、声音、触摸、品尝等刺激,才逐渐发育成熟。所以幼儿应该尽 早学习阅读、算数学、学习各种语言、接受艺术的陶冶、运动;因为阅读刺激 视觉的发育,听音乐刺激听觉的发育,这也是父母应该尽量和小宝宝说话的原 因。如果不让孩子学习,他永远都不懂得学习。阁楼里的低能儿就是明显的例 子。 大脑愈用愈灵光,脑神经学家在半个世纪以前就知道了,并且作过许多动 物实验加以证实。其中苏俄的波利斯·卡洛夫斯基及美国的大街·克兰奇都是 个中的翘楚。 克兰奇和他在柏克莱的研究人员把新生的两老鼠分成两组,其中一组在一 个完全隔绝的环境之中成长,没有看、听、尝或嗅、触摸的机会。另外一组则

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在活泼的环境中长大,有许多机会看、听、尝或嗅、触摸。随后测试两组老鼠 的智力,以显微镜测量老鼠大脑的体积和重量。 克兰奇的结论是,在隔离的环境中长大的老鼠,发育不良、智商低,而在 活泼的环境下长大的老鼠比较聪明。此类实验及结论屡见不鲜。 肢体的活动亦然。孩子在两岁以前可以,并且应该学习游泳、跳舞或从事 各类体能活动。 ? 大脑的特性是,输入愈多讯息,可以储存愈多 我们知道大脑愈用功能愈强,但大脑的成长有没有极限? 大脑的神经之间有无数种连接与组合的方式,几乎可以说是无限多种。大 脑的容量,比我们一生中所能输入的讯息总和还要多,输入的讯息愈多,功能 也愈强。 数学是你应该放进小宝宝大脑里面的有用讯息。 提升大脑的某种功能,同时也会提升其它的功能。 ? 如果您促进大脑其中之一的功能,也会加强其他的各项功能 大脑有六种主要的功能。其中三种是与生俱来的功能。 1、活动力:只有人类能够站立,双手摆动、以双脚行走。 2、语言:只有人类够以抽象的语言传达思想和感情。 3、协调性:只有人类能够弯曲拇指和其它四指书写文字。 另外还有三种感官的功能: 4、视觉:只有人类能够阅读抽象的文字。 5、听觉:只有人类能够听懂抽象的语言。 6、触觉:只有人类能以触摸的方式了解语言(点字) 。

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这些大脑的功能互相连结,环环相扣,只要加强其中一种能力,一定会连 带加强其它的各项功能。学会阅读的孩子,也会觉得数学比较容易。 相反地,一种能力受到阻碍,相对地也会降低其它的能力,例如,看不见 的孩子,无法像正常的孩子那样行动灵活自如。 ? 智慧是思考的结果 一般人的观念恰好相反。我们误认为思考才是智慧的结果。当然,人类若 没有智慧就无法思考。但哪一个是因,哪一个是果?无有鷄还是先有蛋? 智慧的基因是人类与生俱来的,但未经使用的智慧基因是没有作用的,必 须经由思考,才能够累积智慧。而数学则是一种重要的思考方式。

第六章

宝宝会数学吗?

小宝宝会不会数学?这并不是问题, 问题在于大人老是把数字和事实混为一 谈。我们看到五个圆点,想到的是数字 5。 如果圆点只有 5 个,大人可以看得出来。从 l 个圆点到 12 个圆点大人都可 能看得出来。 但是从 12 个圆点到大约 20 个圆点反应最快的大人,也不容易一眼就看得 出来。 超过 20 个圆点,大概就只能凭猜测,而且经常会猜错。 如果孩子看得懂数字 5、7、10、13,却看不出实际的数量,就学不会立即 反应的数学。 如果你说 79,我只知道 79,却看不出来,大人做不到,小宝宝却可以一眼

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就看出来。 教小宝宝认识 1,要让他看到事实: 告诉他: 「这是 1」 。 接着让他看。 告诉他: 「这是 2」 。 接下来说: 「这是 3」 ,让他看。 依此类推。 多练习几次,直到宝宝了解并且记住为止。 大人发现小宝宝从 1 到 79 都看得出来, 大多讶异不已, 以为他们天赋异禀, 其实只是练习得法。 如果一岁大的宝宝在学习数字之前,先学会辨识真正的数量,那么他只要 看一眼,就知道卡片上有几个圆点。 排成数字 27 的卡片是 27 个圆点吗?抱歉,你上当了,总共是 40 个圆点, 不是 27 个! 大人只看得懂数字 40。 小孩子不会上当,不论你怎么排列,他们都只看到事实;而大人要算一遍 才知道。 如果改为规则的排列大人会先算出一行有 8 个圆点,共有五行,再算出。 这种计算的过程慢得令人难以置信,唯一的好处是最后的答案正确。 而大人的 40 还必须加上单位才有意义,例如每天赚 40 元,或是一个月再 加十天。小孩于看到的却是绝对的事实:不多也不少。 如果我们把数字加上单位,例如三十天,小孩子看到的九月、四月、六月

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及十一月的日数都像这样。 在他们的量的概念里尚无 30 的符号。如果我们说四十天是一个月再加十 天,每一个孩子都可以看得出来。

第七章 如何教宝宝实数学

——母亲是陶艺家,而孩子则是黏土。 ——温妮弗瑞德·沙克菲尔,史东勒

教宝宝数学时,不论你教得好不好,都会有收获;这是一场一定可以得分 的游戏。当然,你愈用心,技巧愈纯熟,孩子学习的速度愈快,效果愈好。 有几项重要的观念必须记住。 数字,如 l、5、9,是代表数量的符号;而数量则表示事物实际的量或价值, 例如一个、五个、或九个。 (图) 数学不好的父母教孩子数学,也一样可以胜任愉快,本章将告诉你正确的 方法。 此外,在探讨如何教导孩子之前,应该先了解孩子: 1、五岁以下的幼儿很容易吸收大量的资讯,年纪愈小效果愈好。 2、五岁以下的幼儿接受资讯的速度惊人。 3、孩子在五岁以前吸收愈多资讯,能够记住愈多。 4、五岁以下的幼儿精力过人。 5、五岁以下的幼儿有旺盛的求知欲。

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6、五岁以下的幼儿有阅读的能力和意愿。 7、幼儿都是语言天才。 8、五岁以下的幼儿接触到任何语言,都能学得很完整;而数学也是一种语 言。 ? 教宝宝数学的基本技巧 ? 几岁开始教宝宝数学最恰当 在宝宝周岁以前, 是开始教数学的理想时机, 也可以从宝宝出生之后开始; 但两岁以后效果就会逐渐降低。我们将在第十二章作深入的探讨。 ? 教导宝宝时,必须注意两项重点: 1、父母的态度和方法。 2、教材的大小和顺序。 ? 父母的教导态度和方法 小孩子有强烈的求知欲,学习是一种本能,也是一种需要;是对生命的探 索,是好玩的游戏,但并不是工作。父母应该鼓励并引发孩子之学习动机,不 可扼杀学习的乐趣。 ? 准备最佳的教学环境 婴幼儿在学习中,为了他们注意力的集中,要为他们准备一个不受影响的 空间,我们称之为安宁教室,它的条件是: ①安静、不受杂音及人们进出干扰的空间。 ②空旷无其它视觉干扰的空间(不要有玩具、杂物堆积也不要贴有图片的 房间。 ) ③房间最好有冷气机、温度调在 19-20℃左右。

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④教导者不要穿花衣服,也下要发饰花俏。 ? 最佳的教导时机 父母和孩子都必须用愉快的心情玩数学。避免在孩子烦躁、疲倦或饥饿时 教数学,应该先处理孩子的需要。如果父母的情绪不佳,必须先自我调适,才 能愉快地教宝宝数学。 ? 练习的时间 每次练习的时间不能太长。刚开始时,原则上是一天三次,每一次只进行 几秒钟。并且要在孩子意犹未尽时结束,如此才能刺激孩子继续学习的欲望。 ? 教学的方式 不论是学习辨认数量或是练习算术,父母的教学热忱都会激发孩子学习的 兴趣,提高学习效果。许多大人要求孩子正襟危坐,注意看着教材,认真听讲, 违反孩子活泼好动的本性,经常使孩子视学习为畏途。 正确的方法是,以最快的速度让孩子看卡片,多练习几次,就能掌握其中 的诀窍。动作熟练之后,还要注意声音和表情,避免变得机械化,对孩子失去 吸引力。 下列这些事项,关系到教孩子数学的效果: 1、让孩子看教材的速度。 2、新教材所占的比例。 3、父母愉快的态度。 练习时速度愈快、新教材愈多:心情愈愉快,效果愈好。 速度本身就足以影响教学的成败。求知欲旺盛、聪明的孩子可以在瞬间吸 收新的知识;时间太长,反而使他们失去学习的兴趣。随时加入新的教材,是

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最明智的作法。 ? 持之以恒 每天愉快且持续不断的练习,胜过好高骛远却断断续续。但是在某些情况 下,例如,新生的宝宝降临、搬家、旅行、家人生病时,最好停止练习,直到 恢复正常的生活规律再重斩开始;不要敷衍了事,否则将徒增你和孩子的挫折 感。在中断的期间内,你仍然可以从日常生活中取材,启发孩子数学的观念, 例如,一个人有几根手指头、花瓶里有几朵花、一楼到二楼有几级楷梯等。恢 复练习时,必须从中断的部分继续衔接,不要完全从头开始。 不论你选择教孩子基本的数学概念, 或是复杂的运算练习, 都要持之以恒, 孩子的快乐与自信将会与日俱增。 ? 不要考试 教孩子学习新的知识,是给他最好的礼物,而考试则是要求回报,严重扼 杀孩子学习的乐趣。 用心地教导孩子,但不要考试。在第十章我们会告诉你如何让孩子练习解 答问题。 ? 准备教具的方法 教宝宝数学时,使用的教材非常简单,你可以自行制作。 1、将白色的硬卡纸裁成 11 寸 X11 寸(28 公分 28 公分)的正方形。最好 购买现成的卡片,以节省时间。第一组卡片共需要一百零一张。 2、每一张卡片分别贴上一到一百个直径 3/4 寸(约 1.9 公分)的红色圆 点,共需要 5050 个自黏的圆点。零的量卡就不用贴圆点了。 3、红色的麦克笔,线条愈粗愈好。

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我们选用红色的圆点,因为红色最能吸引幼儿的注意力,同时能刺激小宝 宝的视力发育。 制作这些卡片虽然费时,但是并不困难。以下是一些应该注意的事项: 1、从一百点的卡片开始制作,再逐渐递减到一点。因为点数愈多愈麻烦, 你会比较小心。 2、先算清楚点数再贴到卡片上。 3、在卡片背面的四个角落写上点数,再于正面贴上圆点。 4、不要把圆点贴成几何图形,例如炬形、三角形、圆形、菱形。 5、从中间开始,以不规则的方式贴上圆点,不要互相重叠。 6、卡片四周留一些空白的位置,手指揑住卡片时,才不会遮住圆点。 制作这些卡片,不但费时,而且并不便宜。但是看到孩子学数学的兴奋和 快乐,一切的努力都值得了。 你应该先把一百零一张卡片都准备好,才开始教孩子。如此你才能适时地 加入新的卡片,避免进度落后,重复使用旧的卡片,而使孩子兴趣索然,甚至 会使数学课程无疾而终。 如果你实在来不及准备,宁可暂停一天或一个星期,也不要一再重复旧的 卡片。

第八章 教孩子认识数量

? 完整的学习课程 教孩子数学的方法非常简单。总共分为下列五个阶段:

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第一阶段 认识数量 第二阶段 算式练习 第三阶段 解题练习 弟四阶段 认识数字 第五阶段 数字的算式练习 ? 第一阶段 认识数量 首先要让宝宝学习的是认识数量,而不是抽象的数字,数字只是代表数量 的符号。 选择宝宝清醒、心情愉快的时候开始教他。屋子里不要有太多东西, 不要开收音机,也不要有其它容易使宝宝分心的东西。 开始了。拿出一点的卡片,在宝宝拿不到的距离,清楚且愉快地告诉他: 「这是 1」 。很快地让他看一眼,说完马上收起来,前后不超过一秒钟。 完全不需要作任何解释。 接着,让他看两点的卡片,愉快地说: 「这是 2」 。 依此类推,再让宝宝看三点、四点及五点的卡片。动作愈快,愈能吸引孩 子的兴趣。

每日的课程进度(第二天起)

每天的进度:两组卡片 每次练习:一组(五张卡片)

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次数:每天每组卡片各练习三次 圆点大小:直径 3/4 寸的红色圆点 时间:每次练习时间约 3—5 秒钟以内 新卡片:每天增加两张(每组各增加一张) 旧卡片:每天抽换两张(点数最少的两张) 每张卡片寿命:每天练习 3 次 X5 天≈共 15 次 原则:在宝宝意犹未尽时结束 ?(注)人类对光的视觉在 1/100 秒即已完成,故卡 片之闪读要 越快越好,每一张不得超过一秒钟以上。

(注: 初开始的数量卡闪读不可依数量序列, 至第 96 天教数字时, 才教序列数。 ) 不可以要求孩子复述你告诉他的数字。五张卡片都看完之后,以最热烈的 方式拥抱并且亲吻孩子,赞美他可爱聪明,你非常乐于教他数学。 上述的过程在第一天当中再重复两次。 (总共花费不到三分钟) 第二天加入新的五张卡片(6—10) ,共有两组卡片,各重复作三次练习。 第一次你可以依照大小顺序(例 如 1—5)让宝宝看卡片,之后就要把各 组卡片混在一起,再随意抽出,使宝宝无法预知下一张卡片是什么。 每次练习结束时,都要真心地称赞宝宝很乖、很聪明,告诉他你很爱他, 以他为傲。并且拥抱他,以肢体语言表达你对他的爱。 不要用糖果或饼干贿赂他。因为他学习的速度太快了,你不可能买那么多 饼干,况且零食吃多了有害健康。此外,与你由衷的爱与赞美比起来,饼干实

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在是太微不足道了。 孩子学习的速度非常快,对于重复出现的事物也很容易感到厌烦。因此, 练习时必须随时注意宝宝的反应,千万不要让他感到厌烦。节奏宁可太快,也 不能太慢。 从第三天开始,把十张卡片随意混合,再分成两组,例如第一组为 3、10、 8、2、5,其余为第二组。这种全新的组合,使游戏更刺激好玩,因为孩子猜不 到接下来会出现哪一张卡片。这是使教学游戏新鲜有趣的重要技巧。 继续每天教这两组卡片,持续五天。从第六天开始要换新的卡片,旧的卡 片就不要再用了。 以下是加入新的卡片,替换旧卡片的方法。每天都抽掉两张点数最少的旧 卡片,同时加入两张新的卡片。第一次抽掉的是 1,和 2,加入两张新的卡片 11 和 12。 (数量序列不按次序抽换)我们说被抽掉的卡片「退休」了。到了第 二阶段及第三阶段,每一张退休的卡片都会被赋予全新的任务。 简单地说,每天教十张卡片,分成两组,每组五张。每天增加两张新的卡 片,每组各一张,同时让两张点数最少的旧卡片退休。 如果你进行顺利,平均每天的进度是两张新的卡片。这是最低的进度,可 以视宝宝吸收的情形,增加到每天三到四张新的卡片。 每天三分钟教宝宝认识数量,他可以一眼就看出卡片上的圆点是 39 个或 38 个;是 92 个或是 93 个。宝宝知道实际的数量,而不只是记忆抽象的数字; 了解数学真正的意义,而不只是背诵公式或口诀。 不要考试,不要怀疑孩子的能力。他一定做得到。 继续以同样的方法教宝宝认识卡片上的圆点数,等到一百张卡片全部看完

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即可, 不必再增加另外一百张。 有些求好心切的父母下断增加点数更多的卡片, 持续好几年,这是没有必要的。只要宝宝以正确的方法学会 0-100,对数量已 经有很好的概念。 事实上,只要让宝宝看完二十张卡片,就可以进行第二阶段的练习了。但 为了不让宝宝死背数卡,每一同类(套)的数卡闪读间隔至少要三十五分钟以 上。

第九章 如何教实宝计算

? 第二阶段 算式练习 现在宝宝已经学会 1 到 8。你不需要再复习旧的卡片,否则孩子会感到厌 烦;也不可以考试,以免使亲子关系变得更紧张,或降低宝宝学习的意愿。 宝宝学会 1 到 20 了, 我们开始把这些数量放在一起, 看看总数会变成多少, 这就是加法。 加法并不难,事实上,宝宝已经看了好几个星期。每次他看到新的卡片, 就会注意到圆点增加了。20 个圆点加 1 个圆点,就是 21。虽然他并不知道这叫 做加法,但已经有了基本的概念。 你只要在卡片的背面, 以铅笔或钢笔写上简单的算式, 像这样: (如下页图) (59)

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? 加法 练习加法时,把 1、2 及 3 三张卡片放在膝盖上。 拿起 1 的卡片,说「1」 ,放下去。然后说「加」 ,再拿起 2 的卡片,说「2」 。 放下卡片,说「等于」 ,拿起 3 的卡片,再说「3」 。 宝宝从你的动作及卡片中学会「加」和「等于」 。 不要期待小宝宝正襟危坐,专心看着你教算式;你只要准备好了就直接开 始,自然会吸引宝宝的注意力。 每一个算式只进行几秒钟的时间。不要解释「加」和「等于」的意义,宝 宝从你的示范中了解得更清楚。 如果大人说,1 加 2 等于 3:心里可能想着「1+2=3」 。因为大人已经受制 于符号,而看不到事实。 小孩子看到的却是这样: (下页例)全部都是 3 个。孩子看到的是事实,并 不是符号。

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避免类似的算式,例如: (例)

这样就好多了: (例)

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个位数的算式比较紧凑活泼,适合小宝宝。 利用 1 到 20 的卡片, 可以变化出一百九十题不同的个位数算式。 不要担心 你会没有戏唱,你的灵感将取之不竭。 每天做九个不同的算式,两个星期之后,就可以开始教减法,否则宝宝会 逐渐失去注意力和兴趣。 ? 减法 和加法大同小异。在卡片的背面写上各种减法的算式。从「3 减 2 等于 1」 开始,同样把三张卡片放在膝盖上,配合说明,让宝宝练习: (图)

现在你已经用完了二十以内的卡片,因此教减法算式时,可以使用点数较 多的卡片。每天作三次练习,每次作三个不同减法算式,不必再练习加法。 接下来两个星期,主题都是减法。在这一段期间内,宝宝练习大约一百二 十六个不同的减法算式。这样已经够了,可以接着教乘法。

每日的课程表

第一课 认识卡片的圆点数 1 第二课 减法算式 2 第三课 认识卡片的圆点数

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第四课 认识卡片的圆点数 第五课 减法算式 3 第六课 认识卡片的圆点数 第七课 认识卡片的圆点数 4 第八课 减法算式 5 第九课 认识卡片的圆点数

? 注 每一单元之数学间仍要间隔三 十五分钟以上,以免宝宝死背图型。

? 乘法 乘法不过是连续的加法, 所以并不难, 只是让宝宝多学了一种数学的语言,

对他非常有帮助。 因为宝宝对于卡片已经日渐熟悉,你的运用也可以更灵活。在卡片的背后 写上许多乘式,让宝宝练习。 开始时同样用三张卡片,说: 「2 乘 3 等于 6」 : (下图) 闪 2—3—6 之数量卡。

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从你的示范中他就学会「乘」的意义。 每天作三次乘法练习,每次作三个不同的乘式,进行两个星期。方式和加 法及减法一样。 此时你的宝宝应该看完 1 到 100 的卡片,但是还看不懂数字,连最简单的 1 和 2 都还看不懂。最后我们要教的是「零」 。 「零」的卡片制作非常容易,只 要一张 11 寸 X11 寸空白的硬卡纸就可以了。但是运用却非常广泛,不论是加 法、减法或乘法,都可以随时让宝宝作练习。例如: (图)

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? 除法 乘法练习两个星期之后,接着教除法。因为宝宝已经学会 l 到 100 的卡片, 你可以自由运用,作除式的练习。同样把练习的除式写在每一张卡片的背面, 先从简单的开始,6 除以 2 等于 3: (下图)

如此他就可以了解「除」的意义。每次练习三个不同的除式,每天作三次练 习,总共作九个不同的除式。此时你和宝宝早已驾轻就熟。 利用两个星期的时间练习除法,第二阶段的练习即全部完成,准备进入第 三阶段。

第十章

如何教实宝解题

? 第三阶段 解题练习 如果你一直都是给予,完全没有要求,这样就对了。我们谈了很多教的技 巧,却完全没有提到考试。因为我们强调的重点是,不要考孩子。小宝宝热爱 学习,却讨厌大人考他们,这方面和大人非常类似。考得愈多,压力愈大,学 习的速度愈慢,学习的意愿也愈低落。 何谓考试? 考试的目的是想要了解孩子会不会。例如, 「告诉爸爸这一题的答案是什 么?」在本质上并不尊重孩子,因为大人不相信他会数学,才会一再要他证明。

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考试也有否定的意味,想看出孩子哪些地方不会。 考试的结果将降低学习的意愿。因此,不要考孩子,也不要让任何人考孩 子。 父母应该怎么做?下要考试,而以提供解题的机会取代考试;让他练习解答 问题,如此你就可以评量出他会不会了。 例如,拿出两张卡片让宝宝看,分别是十五点及三十二点,然后问他: 「哪 一张是 32?」 (此时父母要微笑的问。 ) 如果宝宝看或摸着 32 的卡片, 你当然很开心; 如果他选了另外一张也没有 关系,你可以告诉他: 「这是 32,这是 15」 。 如果他对你的问题没有反应, 可以把 32 的卡片靠近他一点, 同样用轻松愉 快、而且活泼的语气说: 「这是不是 32?」 每次的算式练习结束之后,可以安排此类的解题练习。练习三个不同的算 式之后,让宝宝有机会自己解答问题。如果宝宝略显疑惑或困难应即停止解题 活动,再做旧卡练习隔几天再进行解题活动。 先从辨认圆点数开始,很快就可以让宝宝解答算式。作解答练习时,除了 练习算式的三张卡片之外,还需要一张选择答案的卡片。让宝宝从两个可能的 答案之中,选出正确的答案。不必要求宝宝说出答案,尤其是还不会说话,或 正在牙牙学语的小宝宝。因为你并不想教宝宝学说话,而是在教他数学。选择 答案轻而易举,但是要求宝宝说出来,他很快就会不耐烦。 如果宝宝已经学完所有的卡片、及加法、减法、乘法、除法,就可以作更 多更复杂的变化。作算式或解答练习时,不必每个数字都看卡片,只要让宝宝 看答案的卡片即可。例如,

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你说: 「22 除以 11 等于 2」 ,让宝宝看两点的卡片,就是这么简单。 孩子已经学会 22 和 11, 所以不需要看卡片。 严格说起来, 答案也没有 必 要再看卡片,但是我们发现这种练习的方式比较有趣,宝宝也比较喜欢。 等到宝宝对于加法、减法、乘法及除法的运算都非常熟练之后,就可以开 始三段式的算式练习。准备一些卡片纸,利用计算机,把三段式的算式和答案 写在每一张卡片的背面。 (如上例)中国

请注意练习的时间仍然非常短。现在宝宝每天作三次三段式的算式练习, 加上每次练习之后的一次解题练习。也就是说,每次练习时,有三个算式你告 诉他答案;练习结束后,如果他愿意,让他从第四个算式中自己选择答案。 以前述方式练习几个星期之后,课程就可以再加点料,开始让宝宝作最有 趣的四则综合运算练习。例如: (下例)

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请注意在四则运算中,必须先算乘、除,再作加减。同样把准备练习的算 式写在卡片的背面。同时让宝宝作解题的练习。几个星期之后,再作一些新的 变化,进入四段式的运算练习,例如:

这些四段式的算式有趣极了。如果你本来对于教孩子数学不太有把握,现 在应该完全放心了,而且和孩子一样喜欢这些更高级的运算练习。你可以自由 发挥,随意让孩子作练习,例如:

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你会惊讶孩子解题的速度。你甚至怀疑他是否天赋异禀,或是用猜的。事 实上,只是你的教导得法,启发了孩子与生俱来的能力。 除了运算练习, 我们还增加下列的内容, 让有心的父母有更大的发挥空间: 1、序列数练习。 2、大于和小于。 3、等于及不等于。 4、数字的特性。 5、分数。 6、简单的代数。 这些都必须利用到圆点的卡片,让孩子了解数量和各种符号之间的关系。 ? 序列数练习 数学的序列数非常迷人。简单的有 2、4、6、8、10,有些则非常复杂和困 难。小宝宝也喜欢序列数,教他认识基本的序列数非常容易,值得一试。 从最简单的开始,例如: 递增的序列数: (例) 3, 6,9,12,15,18,2l 4, 8,12,16, 20,24,28 5,10,15, 20,25,30,35 递减的序列数: (例) 100,90,80,70,60,50,40 72, 70,68,66,64,62,60 95,80,65,50,35,20,5.

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找出所需的卡片,依次排奸,放在膝盖上,再逐一抽出来给宝宝看。每一 张卡片都很快地让宝宝看过。你可以把数字念出来,或是让宝宝自己看。 从简单的练习开始,逐渐加深难度。例如:6,12,10,16,14,20,18 作序列数练习时,至少要有六个数字,才能够清楚地看出序列数的关系。 逐渐熟悉之后,也可以进行解题练习,让宝宝从两张卡片中选出正确的答案。 驾轻就熟之后,就可以大胆地加上乘法和除法。 ? 大于和小于的练习 宝宝当然已经有了较大和较小的数量观念, 但是他应该学习此种数学语言。 我们利用圆点的卡片来教他。 你需要制作两张新的卡片。 同样是: 11 寸 X11 寸的白色硬卡纸。 一张画 「大 于」 ,另外一张画「小于」 。 (如下图) 。

每次练习比较三组卡片的大小,例如。 :2 大于 5。练习时坐在地板上,把 三张卡片都放在地上,让孩子看清楚。几天之后,加入解答的练习。例如,把 68 和「大于」的卡片放在地上,问孩子: 「这里要放什么?28 或 96?」 同样让他以二选一的方式回答问题。 ? 等于和不等于的练习 教「等于」和「不等于」与「大于」和「小于」非常类似。 你需要制作六张新的卡片。这些数学符号同样用 11 寸 X11 寸的白色硬卡

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纸,用线条最粗的麦克笔画上加(+) 、减(-) 、乘(X) 、除(÷) 、等于(=) 和不等于(≠) 。要画得很清楚,让孩子容易看得清楚。 在每一张卡片背面的左上角,用铅笔写上这些符号。拿给宝宝看时自己才 知道卡片上是什么。 卡片就像这样: (例)

用一些加法和减法的简单算式,教宝宝等于及不等于的观念,而不是用单 独的卡片。例如: 2+4≠2+5 4+5=3+6 25+4≠25+5 8-6≠8-7 10-3=8-l 55-10≠50-10 3X5=5X3 5X4≠2X12: 4X6≠10X3 100÷ 50=10÷ 5

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20÷5≠10÷2 5÷ 1=25÷ 5 练习时把所有的卡片都放在地板上,让宝宝可以看到完整的算式。一次练 习一组,配合你的说明, 「2 加 4 不等于 2 加 5」 ,或是「4 加 5 等于 3 加 6」 。 孩子已经学会加法、减法、乘法和除法,再加上这六种重要的数学符号, 就更完整了。 ? 数字的特性 在宝宝学习卡片上的圆点时,可能已经对某些卡片产生偏好,因为每一种 排列的方式,都有独特的美感。除此之外,每一个数字都是独一无二的,并且 有不同的特性。找出每一个数字的特性,更容易体会数学的奥妙。从倍数练习 当中,你会看到奇数、偶数、三的倍数等不同的族群。有些数字可能属于某个 特定的族群,也可能分属很多个族群;有些却是独行侠,几乎不属于任何族群。 12 在日常生活中占有特殊的地位。它是 2、3 和 4 的倍数,许多东西在销 售时都以「打」计算,例如,一盒鷄蛋可以排成 3X4 或 2X6,都非常方便。 lX2X3X4 等于 24。 一天可以分成两个十二小时, 或是三班制, 每班八小时, 甚至更短的四、六、三或两小时。 5 个 12 是 60。60 是 2、3、4、5、和 6 的倍数,也是 10、12、15、20 及 30 的倍数。所以我们把一小时分为六十分钟,每分钟分为六十秒。 有些数字是正方形。九个方格组成的正方形可以玩 0X 游戏;棋盘上有六 十格。4、16、25、36、49、81 和 100 是宝宝学过的平方数,也许他已经在心 里把这些卡片上的圆点排成正方形。 有些数字是三角形。把一个硬币和两个硬币(1+2)排在一起,你会看到一

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个三角形;底下再加一排(1+2+3+4=10) ,变成另外一个三角形。让孩子自己多 找几个例子,他可能会发现 36 是三角形,也可以变成正方形。 7 是六角形。一个硬币周围排上六个硬币,就可以看出形状。还有哪些是 六角形的数字?你找得出同时是六角形和正方形的数字吗? 7 也属于另外一个非常有趣的族群: 「质数」 。质数无法排成任何相等的行 或列。最小的质数是 2、3 和 5,有些孩子不喜欢质数,有些却很喜欢。60 可以 分成两行,每行 30、三行 20、4 行 15、五行 12 或六行 10,但是 7、11 和 13 这些质数却排不出来。或许正因为如此,贝斯提·罗斯才会把国旗(美国)上 面最初的十三颗星排成圆形。选择一个数字,深入地探讨,找出所有的特性。 例如 1: (左上例)或是 12: (左下例)

你也可以鼓励宝宝提出自己的看法。选一个数字,例如 12,准备硬币或是 小圆点,你和宝宝就会知道 12 可以排成哪些形状。

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练习时可以包括四个类似的算式,例如: (下例) 值得注意的是,你和宝宝可能会欲罢不能,必须理智地及时结束,以免宝 宝厌烦。 最好的教学每节课是三十五分钟以内,超过都易使大脑疲惫了,应休息一 段时间再进行。

? 分数 你还可以利用圆点的卡片教分数,告诉宝宝,十的(看 10 的卡片)十分之 一等于 1(看 1 的卡片) :

(左例)还有一些简单的练习: (左例)

就是这么简单! ? 简单的代数 很多人都不喜欢代数。事实上,再学一次代数,不但轻而易举,而且乐趣

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无穷!教宝宝以一个字母代替不同的数,我们建议你用「Y」 ,因为字母「X」很 容易和乘号混淆。以 11 寸 X11 寸的硬卡纸制作「Y」的卡片,就可以开始教宝 宝代数的观念了。例如: (下例)

依次让宝宝看五点的卡片、加号、Y、等号、及七点的卡片,配合你的说 明。接着你就可以提出问题: 「Y 代表什么?」

你自己回答: 「在这里 Y 代表 2。 」让宝宝多看一些代数式,就可以让他用 选择的方式,练习解答「Y」代表的数。

不会太难吧?你可以自由发挥创意,想出更多有趣的解题练习。你可能会发 现自己颇具数学天份呢!真的,如果有人像你现在教孩子一样,用心地启蒙你, 或许你早就是数学天才了。

第十一章 如何教宝宝数字

? 第四阶段 数字

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宝宝已经了解数量的意义,现在我们开始教他代表数量的符号。你必须制 作一套 0—100 的数字卡。用 11 寸 X11 寸的白色硬卡纸,以线条最粗的麦克笔 写上高 6 寸、宽 3 寸的数字。在每一张卡片的左上角作记号,给孩子看的时候 才不会拿倒了。就如:

此时每天的进度仍然是三次算式练习,每次练习结束后,加上一些解题的 练习。教数字的方法,和几个月以前教圆点的卡片完全相同。 每天教两组数字卡片。从 1—5 及 6—10 开始,第一次依照大小顺序,以后 就把卡片弄乱,让宝宝无法预测下一个数字是什么。和以前一样,每天抽掉两 张数字最小的卡片,再加上两张新的卡片。每组各抽换一张,每天练习三次。 等宝宝学完 l—100,就可以开始教大于 100 的数字,例如 200、300、400、 500 和 1000,之后再回过头来教他 210、325、450、586、830 等数字。不必逐 一教。 当你教完数字 0—20 时, 就可以开始配合圆点和符号, 做更多应用的练习, 包括运算练习、等于、不等于、大于、小于。 例如,把十点、 「不等于」的符号及数字 35 的卡片依次放在地板上,说,

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「10 不等于 35」 。 以下是一次练习的题目: (图) 随意设计组合数字及圆点的卡片,让宝宝迅速且愉快地学会数字,接着进 入第五个阶段。

? 第五阶段 数字的算式 最后我们要复习所有学过的内容,包括加法、减法、乘法、除法、倍数、 等于、不等于、大于、小于、开平方、分数、简单代数。 现在你需要长 18 寸、宽 4 寸的硬卡纸,用数字写上算式。利用红、黑两色 粗线条的麦克笔互相搭配,字体比先前小一点,大约是 2 寸高,1 寸。像这样:

回到第二阶段,但这次用数字的卡片取代圆点卡片作练习,之后再继续进 行第三阶段,加上解题练习。 准备几张没有写答案的算式卡片,再用单独的数字卡片让宝宝选择答案。

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事先把正确的答案写在解题练习卡片的左上角,例如:

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以下是一些练习的范例: 继续用 2 寸大小的数字,等宝宝适应之后,逐渐把数字写得小一点。注意 要循序渐进,若字体突然变得太小,宝宝可能会失去兴趣和注意力。 等到数字逐渐缩小到 1 寸以下,卡片上就有足够的空间写更长更复杂的算 式。此时宝宝可能会自己设计解题练习的题目,让你回答。所以要准备好计算 机,以便随时派上用场! ? 摘要 当你带领宝宝完成第一到第五个阶段的数学探险, 一定会非常快乐。 因为, 第一,宝宝学会数量及分辨不同的数量。 第二,他学会把不同的数量放在一起,或是分开,尝试了各种数量的组合 和排列。 第三,他学会代表数量的符号及语言。 最后,最重要的是,他学会了数量与符号之间的差异。 大多数的人们都迫不及待地逃离数学,只有少数的人们能够一窥堂奥。宝 宝在你的带领之下,已经轻松愉快地学会简单的算数,准备进入更奥妙、更高

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深、更迷人的数学世界。

第十二章 理想的学习年龄

——愈小开始效果愈好。 ——咸廉·瑞克 前述五个阶段的学习方式, 适合每一个孩于, 但是要随着孩子的年龄大小, 作适当的调整,以求达到最好的效果。 不要只读适合孩子年龄的章节,你应该要全盘了解,才能切实掌握正确的 方法。 ? 新生儿 如果你自宝宝出生之后就开始进行,此时并未正式教他数学,而是刺激他 视觉的发展。我们称为零级。 新生儿只能看到光线的明暗及物体模糊的轮廓。他看得到母亲的影子在明 亮的窗前移动,这种明暗的对比,有助于新生儿视力的发展。 等到他看清楚轮廓,就会开始搜寻细节,例如母亲的眼睛、鼻子和嘴巴。 此时让新生的小宝宝看有圆点的卡片,对于他的视力发展,有非常好的刺激作 用。 对小宝宝而言,语言远比文字或图形更抽象,更难以理解。同样的一句话, 因为语气不同,对于小宝宝的意义也不相同。 图形是不会改变的。白色的卡片上面画着三个大的圆点,告诉宝宝, 「3 」 。 不论看多少次,小宝宝每一次看到的都是同样的东西。因此他学习的效果更快

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更好。 先从 1—7 开始。给新生儿看的卡片,圆点要非常大,直径大约是一寸半, 也可以用粗线条的麦克笔画在卡片上。此时最好是在白色的卡片画上黑点。在 这个阶段的小宝宝,黑点比红点看得更清楚。 把小宝宝抱在怀里,卡片距离他大约是十八英寸,告诉他「1」 ;拿着卡片 停一会儿,他会调整自己的视线。等他看到了,再清楚地说一次, 「1」 ,让他注 意看一两秒钟,再把卡片拿开。 新生儿的视力很差,如果你拿着卡片来回移动,他就很难看得清楚;因此, 你应该拿着卡片静止不动,起初要十五秒以上,时间会随着小宝宝的视力发展 而逐渐减少。 充足的光线非常重要。光线应该直接照在卡片上,不能直射宝宝的眼睛。 ,

第一天只让宝宝看 1 的卡片,至少十次,次数愈多愈好。在每次换好尿布 时让宝宝看卡片,效果非常好。 第二天换成 2 的卡片,同样看十次。每天换一张卡片,一个星期之后,宝 宝已经看完 l 到 7。 接着再从 1 开始,一天看十次。重复三个星期。 如果你拿出一张卡片,宝宝立刻会兴奋地扭动身体,踢踢小腿,就表示他 不但看得到,而且了解卡片上的内容。更重要的是,他非常喜欢这种游戏。 选择适当的时机让宝宝看卡片,避免疲倦及饥饿的时间;如果宝宝烦噪不 安、整天哭闹,就要暂时停止练习,等到他的情绪恢复。 反覆练习第一组七张卡片,三个星期之后,改为 8—14,再以同样的方式 反覆练习,直到小宝宝能持续且轻而易举地看清楚卡片上的圆点。此时宝宝已

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经可以看清楚妈妈的表情,对妈妈的微笑立即会有反应。 现在你已经完成零级的练习,准备进入第一阶段。 ? 三到六个月大 此时小宝宝能够看得清楚,也听得懂简单的话,但是还不会说话;对于资 讯有敏锐的接收能力,但是尚无法表达。 小宝宝还不会说话,如何教他数学? 宝宝利用视觉及听觉学习,而不是用自己的语言;学习是吸收新资讯的过 程,是输入,并不是输出,因此不影响教数学的效果。 四月大的宝宝不会说卡片上有几个圆点,他会默默而快速地读这些卡片。 这个时期的小宝宝对于新的知识是贪得无厌的, 他的进度可能比你的预期还快, 你可以适时加快进度,每天不限于两组卡片。 ? 七到十二个月 教七到十二个月的宝宝,要记住两件重要的事情: 1、每次的练习时间要非常短。 2、练习的次数增加。 每次的练习只看一组卡片,看完立即拿开。 原因很简单。小宝宝每天都在长大。三个月大时他会静静地看着卡片,持 续一段时间;等他会爬之后,世界上有太多新的事物等待他去探索。原本可以 开心地看完五十张卡片,现在却一刻也闲下住了。父母以为他不想学了,觉得 很泄气,不知道是哪里错了?甚至轻言放弃。 小宝宝其实学得很愉快,但是突然问圆点和算式都不见了,也会令他感到 懊恼。他并不想中断,而是太忙了。屋子里有太多事情,每一个柜子 的门都

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要开开关关,插头要拔起来,地毯上的东西要捡起来塞到嘴巴里。七个月大的 孩子不断地好奇和破坏。他也想学数学,但是一次只能看五张,在一分钟之内 学完。时间太久,他就会离开,留下不知所措的父母。 大人找到适合自己的模式之后,就会定下来,不轻易改变;孩子是动的, 一直在改变,因此我们必须跟上孩子的脚步。 也就是说,练习的时间一定要短,配合他的节奏。 ? 周岁到一岁半 这种年龄的孩子最重要的是: 1、练习的时间非常短。 2、在孩子意犹未尽时停止。 此一成长阶段的孩子太好动了,因此每次练习的时问愈短愈好。每次练习 一组五张的卡片,或是三个算式,每天练习三次最恰当。你也可能要减少到三 张卡片,甚至两张或一张。 在孩子意犹未尽时停止,这是适用孩子每一个成长阶段的教育准则,尤其 是周岁到一岁半的孩子。 练习的次数增多,但每次练习的时间缩短,让孩子快乐地学习,日积月累, 就能够达到预期的效果。 ? 一岁半到两岁半 教一岁半到两岁半的孩子是一种挑战。应该注意的是: 1、练习时要循序渐进。 2、尽快完成圆点练习,进入算式练习。 宝宝会逐渐形成自己的观点与喜恶,不像三个月时那么单纯;他什么都听

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得懂,而且要求很多,但是还在牙牙学语的阶段,只有周遭的大人才听得懂他 在说什么。 他认为对的就是对的,否则就会不以为然;他总是有自己的想法,因此你 不能太急进。先从一组五张的卡片开始,吸引他的注意力。 很快地让他看完五张卡片,然后就拿开;找出适当的时机再练习一次。几 天之后再加第二组五张卡片,等到他逐渐感兴趣,改为每天练习一组不同的三 个算式。 吊吊他的胃口,他会渴望更多;练习一段时间之后,问他喜欢哪些算式, 应他的要求练习。 教完了 1 到 100 的圆点卡片,就可以开始教算式,不必等到教完一百张卡 片。算式比单张的卡片更有趣,愈早教愈好。 ? 较大的孩子(两岁半以上) 出生后到两岁半之间的宝宝,认数的能力最强,两岁半以上的学习效果就 差多了。 如果宝宝刚刚超过这个年龄,仍然值得尝试,结果有益无害。如果孩子早 已超过两岁半,虽然不容易学会立即反应出答案,至少对数的概念会有进步, 对将来学习数学也有帮助。 如果孩子太大了,来不及教圆点,可以直接教数字。不要苛求,也不必觉 得遗憾,更不要放弃年龄较大的孩子,让孩子拥抱数学的领域和语言,学习更 灵活及合乎逻辑的思考方式,才是最重要的目标。 ? 后记 学习是生命中最快乐的事情。愉快地陪孩子玩数学的游戏,为孩子开启知

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识宝库的大门,孩子对于学习的热爱,将随着他的成长与日俱增。 对孩子而言,数字是抽象的,数量才是具体的。大人只看得懂数字,而小 孩子看得懂数量,所以对于数学问题的答案,几乎可以立即反应出来;他们就 像小型的计算机,只要一按键,答案就出来了。 小孩子每一分钟里都在学习,因此教的速度要快一点,孩子才不会厌烦。 有一位妈妈教圆点的卡片时,怕孩子无法完全了解,因此进度非常慢。 三岁的女儿不耐烦地说: 「哦,妈咪!」她抢过卡片,挑出其中几张,冲到 饭厅,把 32 点的卡片放在爸爸的盘子,30 点的卡片放在妈妈的盘子,八点的 卡片放在哥哥的盘子,五点的卡片放在姐姐的盘子,3 点的卡片放在自己的盘 子。母亲想了一会儿才明白,原来她依照每个人的年龄,放上正确的点数。她 恍然大悟,从此以后教小女儿的速度就快多了。 有一位祖母让三岁的孙女看一张 69 点的卡片,并且问她: 「小宝贝,告诉奶奶,你看到几个点啊?」 「每一点都看到了呀!」 不高明的问题却得到高明的答案。 大人不仅低估孩子的数学能力,而且高估自己的能力;给孩子作的练习太 简单,所以孩子才会兴趣索然,不喜欢数学。 小孩子不需要抽象的理论,给他们事实,他们就会自己归纳结论。不要逼 孩子,不要令孩子感到厌烦;一定要在孩子意犹末尽时结束,每次练习数分钟 即可,但要经常练习。 数学是一种游戏,而且是好玩的游戏!和孩子一起乐在其中!数学与阅读是 所有教育的基础, 父母和孩子可以从教与学的互动中, 学习到更多的爱与尊重。

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温和的革命已经开始了。小宝宝能否学数学不再是问题,问题是能学会多 少。而新的问题是,这些及时得到数学启蒙的孩子,将来要如何利用更优越的 能力,运作旧的世界,解决困扰我们的许多问题?

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