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高一数学典型例题分析:一元二次不等式解法


一元二次不等式解法·典型例题 能力素质

1 例1 若 0<a<1,则不等式 (x-a)(x- ) < 0的解是 a
[ ]

A.a<x<

1 a

1 B. <x<a a 1 C.x> 或x<a a 1 D.x< 或x>a a
1 分析 比较a与 的大小后写出答案. a

/>
1 1 解 ∵ 0<a<1,∴a< ,解应当在“两根之间”,得a<x< . a a 选A.

例2

x 2 ? x ? 6有意义,则x的取值范围是



分析 求算术根,被开方数必须是非负数. 解 据题意有,x2-x-6≥0,即(x-3)(x+2)≥0,解在“两根之外” ,所以 x≥3 或 x≤-2. 例 3 若 ax2+bx-1<0 的解集为{x|-1<x<2}, a=________, 则 b=________. 2+bx-1=0 的两 分析 根据一元二次不等式的解公式可知,-1 和 2 是方程 ax 个根,考虑韦达定理. 解 根据题意,-1,2 应为方程 ax2+bx-1=0 的两根,则由韦达定理知

? b ?? a ? ( ?1) ? 2 ? 1 ? 得 ? ?? 1 ? ( ?1) × 2 ? ?2 ? a ?
a? 1 1 ,b ? ? . 2 2

例 4 解下列不等式 (1)(x-1)(3-x)<5-2x (2)x(x+11)≥3(x+1)2 (3)(2x+1)(x-3)>3(x2+2)

-1-

3 (4)3x 2 ? 3x ? 1> ? x 2 2 1 (5) x 2 ? x ? 1> x( x ? 1) 3
分析 将不等式适当化简变为 ax2+bx+c>0(<0)形式,然后根据“解公式”给 出答案(过程请同学们自己完成). 答 (1){x|x<2 或 x>4}

3 (2){x|1≤x≤ } 2
(3)?
(4)R (5)R 说明:不能使用解公式的时候要先变形成标准形式.

例5 不等式1+x>
A.{x|x>0} C.{x|x>1} 0}

1 的解集为 1? x
[ ] B.{x|x≥1} D.{x|x>1 或 x=

分析 直接去分母需要考虑分母的符号,所以通常是采用移项后通分.

1 > 0, 1? x ? x2 x2 通分得 > 0,即 > 0, 1? x x ?1 解 不等式化为1+x-
∵x2>0,∴x-1>0,即 x>1.选 C. 说明:本题也可以通过对分母的符号进行讨论求解.

例 6 与不等式

x?3 ≥ 0同解的不等式是 2?x
[ ]

A.(x-3)(2-x)≥0 B.0<x-2≤1

C.

2?x ≥0 x?3

D.(x-3)(2-x)≤0

?( x ? 3)(2 ? x) ≥ 0, 解法一 原不等式的同解不等式组为 ? ? x ? 2 ≠ 0.
故排除 A、C、D,选 B.

解法二

x?3 ≥ 0化为x= 3或 (x- 3)(2 -x) > 0即 2 <x≤ 3 2?x

两边同减去 2 得 0<x-2≤1.选 B.

-2-

说明:注意“零” . 点击思维

例 7 不等式

ax <1的解为{x|x<1或x> 2},则a的值为 x ?1
[ ]

1 2 1 C.a= 2 A.a<

B.a>

1 2 1 2

D.a=-

分析 可以先将不等式整理为

(a ? 1) x ? 1 < 0,转化为 x ?1 1 1 = 2 ,∴a= . a ?1 2

[(a-1)x+1](x-1)<0,根据其解集为{x|x<1 或 x>2}

可知a-1< 0,即a<1,且-

答 选 C. 说明:注意本题中化“商”为“积”的技巧.

例8 解不等式


3x ? 7 ≥2. x ? 2x ? 3
2

先将原不等式转化为

3x ? 7 ? 2≥0 x ? 2x ? 3
2

? 2x 2 ? x ? 1 2x 2 ? x ? 1 ≥ 0,所以 2 ≤ 0. x 2 ? 2x ? 3 x ? 2x ? 3 1 7 由于 2x 2 +x+1= 2(x+ ) 2 + > 0, 4 8 即
∴不等式进一步转化为同解不等式 x2+2x-3<0, 即(x+3)(x-1)<0,解之得-3<x<1.解集为{x|-3<x<1} . 说明:解不等式就是逐步转化,将陌生问题化归为熟悉问题. 例 9 已知集合 A={x|x2-5x+4≤0}与 B={x|x2-2ax+a+2

≤0},若B ? A,求a的范围.

-3-

分析 先确定 A 集合,然后根据一元二次不等式和二次函数图像关

系,结合B ? A,利用数形结合,建立关于a的不等式.
解 易得 A={x|1≤x≤4} 设 y=x2-2ax+a+2(*)

(1) 若B=?,则显然B ? A,由Δ <0得
4a2-4(a+2)<0,解得-1<a<2.

(2) 若B≠?,则抛物线(*) 的图像必须具有图1-16特征: 应有{x|x1≤x≤x 2 } ? {x|1≤x≤4}从而
? ?12 - 2a·1+a+ 2 ≥ 0 ? 2 ?4 - 2a· 4 +a+ 2 ≥ 0 ? ? 2a ?1≤ ≤4 ?2 ?

解得12 ≤a≤

18 7

综上所述得a的范围为-1<a≤

18 . 7

说明:二次函数问题可以借助它的图像求解. 例 10 解关于 x 的不等式 (x-2)(ax-2)>0. 分析 不等式的解及其结构与 a 相关,所以必须分类讨论. 解 1° 当 a=0 时,原不等式化为 x-2<0 其解集为{x|x<2};

2 2 2 ° 当a< 0时,由于 2 > ,原不等式化为 (x- 2)(x- ) < 0,其解 a a 集为
2 {x| <x< 2}; a

2 2 3° 当 0<a<1时,因 2 < ,原不等式化为 (x- 2)(x- ) > 0,其解 a a 集为
2 {x|x< 2 或x> }; a
4° 当 a=1 时,原不等式化为(x-2)2>0,其解集是{x|x≠2};

2 2 5° 当a>1时,由于 2 > ,原不等式化为 (x- 2)(x- ) > 0,其解 a a 集是

-4-

2 {x|x< 或x> 2}. a
从而可以写出不等式的解集为: a=0 时,{x|x<2} ;

2 a< 0时,{x| <x< 2 }; a 2 0<a<1时,{x|x< 2 或x> }; a
a=1 时,{x|x≠2};

2 a>1时,{x|x< 或x> 2}. a
说明:讨论时分类要合理,不添不漏. 学科渗透 例 11 若不等式 ax2+bx+c>0 的解集为{x|α <x<β }(0<α <β ),求 cx2+bx +a<0 的解集. 分析 由一元二次函数、方程、不等式之间关系,一元二次不等式的解集实质 上是用根来构造的,这就使“解集”通过“根”实现了与“系数”之间的联系.考虑 使用韦达定理: 解法一 由解集的特点可知 a<0,根据韦达定理知:

? b ?- a =α +β , ? ? ? c =α ·β . ? ?a ?b ? a =- ( α +β ) < 0, ? 即? ? c =α ·β > 0. ?a ?
∵a<0,∴b>0,c<0.



b a b × ? , a c c

b 1 1 =- ( + ) c α β c a 1 1 由 =α ·β ,∴ = · a c α β ∴
对cx 2 +bx+a< 0化为x 2 +

① ②

b a x+ > 0, c c

由①②得

1 1 b a 1 1 , 是x 2 + x+ =0两个根且 > > 0, α β c c α β

-5-

b a 1 1 ∴x 2 + x+ >0即cx 2 +bx+a<0的解集为{x|x> 或x< }. c c α β
解法二 ∵cx2+bx+a=0 是 ax2+bx+a=0 的倒数方程. 且 ax2+bx+c>0 解为α <x<β ,

∴cx 2 +bx+a<0的解集为{x|x>

1 1 或x< } . α β

说明:要在一题多解中锻炼自己的发散思维.

例12 解关于x的不等式:

x <1-a(a∈R) . x ?1

分析 将一边化为零后,对参数进行讨论.

解 原不等式变为

x ax ? 1 ? a - (1-a) < 0,即 < 0, x ?1 x ?1

进一步化为(ax+1-a)(x-1)<0. (1)当 a>0 时,不等式化为

(x- <1};

a ?1 a ?1 a ?1 )(x-1) < 0,易见 <1,所以不等式解集为{x| <x a a a

(2)a=0 时,不等式化为 x-1<0,即 x<1,所以不等式解集为{x|x<1};

(3)a<0时,不等式化为(x- 不等式解集为{x|x<1或x>

a ?1 a ?1 ) ·(x-1) >0,易见 >1,所以 a a

a ?1 }. a

综上所述,原不等式解集为:

当a>0时,{x| a ?1 或x<1}. a

a ?1 <x<1};当a=0时,{x|x<1};当a<0时,{x|x> a

高考巡礼 例 13 (2001 年全国高考题)不等式|x2-3x|>4 的解集是________. 分析 可转化为(1)x2-3x>4 或(2)x2-3x<-4 两个一元二次不等式.

由(1) 可解得x<-1或x>4,(2)?.
答 填{x|x<-1 或 x>4}. 例 14 (1998 年上海高考题)设全集 U=R,A={x|x2-5x-6>0},B={x||x-5| <a}(a 是常数),且 11∈B,则 [ ] A.(
UA)∩B=R

-6-

B.A∪( C.(

UB)=R UB)=R

UA)∪(

D.A∪B=R 分析 由 x2-5x-6>0 得 x<-1 或 x>6,即 A={x|x<-1 或 x>6}由|x-5|<a 得 5-a<x<5+a,即 B={x|5-a<x<5+a} ∵11∈B,∴|11-5|<a 得 a>6 ∴5-a<-1,5+a>11 ∴A∪B=R. 答 选 D. 说明:本题是一个综合题,涉及内容很广泛,集合、绝对值不等式、一元二次 不等式等内容都得到了考查

-7-


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