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2008年江苏省高中数学竞赛试卷


2008 年江苏省高中数学竞赛试卷
一、选择题(本题满分 30 分,每小题 6 分) 选择题( 2 2 , 为常数, 1.如果实数 m,n,x,y 满足 m + n = a , x 2 + y 2 = b ,其中 a,b 为常数,那么 mx+ny . , , , 的最大值为 ( ) A. .

a+b 2

B. ab .

/>x

C. .

a2 + b2 2

D. .

a2 + b2 2

2.设 y = f ( x ) 为指数函数 y = a .在 P(1,1) Q(1,2) M(2,3) N ? , ? 四点中,函 . 四点中, ( ) ( ) ( ) , , , 数 y = f (x ) 与其反函数 y = f ( x ) 的图像的公共点只可能是 ( A.P B.Q C.M D.N . . . . 3.在如图的表格中,如果每格填上一个数后,每一横行成等差数列,每一纵列成等比 .在如图的表格中,如果每格填上一个数后,每一横行成等差数列, 列,那么 x + y + z 的值为 ( 1 2 A.1 B.2 . . 0.5 1 C.3 D.4 . .
?1

?1 1? ?2 4?

) 数 )

x

z ?A2 B2 C 2 的三个内角的正弦值,那么 的三个内角的正弦值 正弦值, ( ) A. ?A1 B1C1 与 ?A2 B2 C 2 都是锐角三角形 都是锐角三角 . 是锐角三角形, 是钝角三角 B. ?A1 B1C1 是锐角三角形, ?A2 B2 C 2 是钝角三角形 . C. ?A1 B1C1 是钝角三角形, ?A2 B2 C 2 是锐角三角形 是钝角三角形, 是锐角三角 . D. ?A1 B1C1 与 ?A2 B2 C 2 都是钝角三角形 都是钝角三角 . 5.设 a,b 是夹角为 30°的异面直线,则满足条件“ a ? α , b ? β ,且 α ⊥ β ”的平面 α , 的异面直线, . , 的异面直线 则满足条件“

4.如果 ?A1 B1C1 的三个内角的余弦值分别是 .

y

β





6.设集合 A = x x ? [x] = 2 和B = x x < 2 ,其中符号 [x ] 表示不大于 x 的最大整数,则 . 的最大整数,
2

A.不存在 . B.有且只有一对 . C.有且只有两对 D.有无数对 . . 填空题( 二、填空题(本题满分 50 分,每小题 10 分)

{

}

{

}

A ∩ B = ___________________. 7.同时投掷三颗骰子,于少有一颗骰子掷出 6 点的概率是 P = ____________(结果要求写 .同时投掷三颗骰子, ( 成既约分数) 成既约分数).
8 . 已 知 点 O 在 ?ABC 内 部 , OA + 2OB + 2OC = 0 . ?ABC与?OCB 的 面 积 之 比 为 _________________. 9 . 与 圆 x 2 + y 2 ? 4x = 0 外 切 , 且 与 y 轴 相 切 的 动 圆 圆 心 的 轨 迹 方 程 为 ________________________.

a 2 + b2 10.在 ?ABC 中,若 tanAtanB=tanAtanC+tanctanB,则 =______________. . , c2
三、解答题(本题满分 70 分,各小题分别为 15 分、15 分、20 分、20 分) 解答题( 11.已知函数 f ( x ) = ?2 x 2 + bx + c 在 x = 1 时有最大值 1, 0 < m < n ,并且 x ∈ [m, n] 时, . ,

?1 1 ? f (x) 的取值范围为 ? , ? . 试求 m,n 的值 , 的值. ?n m?

12.A、B 为双曲线 . 、

x2 y2 ? = 1 上的两个动点,满足 OA ?OB = 0 。 上的两个动点, 4 9

为定值; (Ⅰ)求证: 1 + 1 为定值; 求证: 2 2 OA OB 求证: 在定圆上. (Ⅱ)动点 P 在线段 AB 上,满足 OP? AB = 0 ,求证:点 P 在定圆上

13.如图,平面 M、N 相交于直线 l. A、D 为 l 上两点,射线 DB 在平面 M 内,射线 DC 在 .如图, 上两点, 、 、 都是锐角. 平面 N 内. 已知 ∠BDC = α ,∠BDA = β ,∠CDA = γ ,且 α , β ,γ 都是锐角 求 的平面角的余弦值( 的三角函数值表示) 二面角 M ? l ? N 的平面角的余弦值(用 α , β , γ 的三角函数值表示).

N C A D

B M

14.能否将下列数组中的数填入 3×3 的方格表,每个小方格中填一个数,使得每行、每列、 . × 的方格表,每个小方格中填一个数,使得每行、每列、 个数的乘积都相等?若能,请给出一种填法;若不能,请给予证明. 两条对角线上的 3 个数的乘积都相等?若能,请给出一种填法;若不能,请给予证明 (Ⅰ)2,4,6,8,12,18,24,36,48; ; (Ⅱ)2,4,6,8,12,18,24,36,72.

参考答案
一、选择题(本题满分 30 分,每小题 6 分) 选择题( 1.解 由 柯 西 不 等 式 ( mx + ny ) 2 ≤ (m 2 + n 2 )( x 2 + y 2 ) = ab ; 或 三 角 换 元 即 可 得 到

mx + ny ≤ ab ,当 m = n = a , x = y = b 时, mx + ny = ab . 选 B.
2
2

1 1 1 ? 1 ?4 1 2.解 取 a = 把坐标代入检验, ? ? . ,把坐标代入检验,∵ ? ? = ,而 ? ? = ,∴公共点只可能是点 16 2 4 ? 16 ? ? 16 ?
N. 选 D.

1 2

1

3. . 解 第一、 第一、 3 1.5; 第三、 五列中的 x = 0.5 ,y = 二行后两个数分别为 2.5, 与 1.25, ; , , 第三、 、 四

5 , 16

3 ,则 x + y + z = 1 . 选 A. 16 4.如果 ?A1 B1C1 的三个内角的余弦值分别是 ?A2 B2 C 2 的三个内角的正弦值,那么解 两个 的三个内角的正弦值, . 三角形的内角不能有直角; 的内角余弦都大于零,所以是锐角三角形; 三角形的内角不能有直角 ; ?A1 B1C1 的内角余弦都大于零 , 所以是锐角三角形 ; 若 ?A2 B2 C 2 是锐角三角形,则不妨设 是锐角三角形, z=
cos A1 =sin A2 =cos ?

?π ? ?π ? ? A1 ? , cos B1 =sin B2 =cos ? ? A2 ? , ?2 ? ?2 ? ?π ? cos C1 =sin C 2 =cos ? ? C1 ? . ?2 ?
则 即

A1 =

π
2

? A2 , B1 =

π
2

? B2 , C1 =

π
2

? C2 ,

A1 + B1 + C1 =

6.解 ∵ x < 2 , [x ] 的值可取 ? 2,?1,0,1 . . 无解; 当[x]= ? 2 ,则 x = 0 无解;
2

可以作无数个. 的垂线. 5.解 任作 a 的平面 α ,可以作无数个 在 b 上任取一点 M,过 M 作 α 的垂线 b 与垂线 . , 确定的平面 β 垂直于 α . 选 D. 填空题( 二、填空题(本题满分 50 分,每小题 10 分) 当[x]= ? 1 ,则 x = 1 ,∴x= ? 1 ;
2

3π ? ( A2 + B2 + C 2 ) ,矛盾 选 B. 矛盾. 2

无解; 当[x]=0,则 x = 2 无解; ,
2

当[x]=1,则 x = 3 ,∴ x = ,
2

3.

所以 x = ?1或 3 . 7.解 考虑对立事件, P = 1 ? ? ? = . 考虑对立事件,

?5? ?6?

3

91 . 216

8.解 由图, ?ABC 与 ?OCB 的底边相同,高是 5:1. 故面积比是 5:1. . 由图, 的底边相同, : : 9.解 由圆锥曲线的定义,圆心可以是以(2,0)为焦点、 . 由圆锥曲线的定义,圆心可以是以( )为焦点、 x = ?2 为准线的抛物线上的点;若切点是原点,则圆心 为准线的抛物线上的点 若切点是原点, 线的抛物线上的 轴负半轴上.所以轨迹方程为 在 x 轴负半轴上 所以轨迹方程为 y = 8 x ( x > 0) , 或 y = 0( x < 0) .
2

A

O B

C

10.解 切割化弦,已知等式即 . 切割化弦,

sin A sin B sin A sin C sin B sin C = + , cos A cos B cos A cos C cos B cos C sin A sin B sin( A + B ) sin A sin B cos C ab cos C = =1,即 = 1. 亦即 ,即 , 2 sin C cos C sin C c2 a2 + b2 ? c2 a2 + b2 所以, = 1 ,故 = 3. 所以, 2c 2 c2

三、解答题(本题满分 70 分,各小题分别为 15 分、15 分、20 分、20 分) 解答题(

11.解 由题 f ( x) = ?2( x ? 1) + 1 , .
2

……5 …… 分

1 ≤ 1 ,即 m ≥ 1 ,∴ f ( x)在[m, n] 上单调减, 上单调减, m 1 1 ∴ f (m) = ?2(m ? 1) 2 + 1 = 且 f (n) = ?2(n ? 1) 2 + 1 = . m n 1 ∴ m ,n 是方程 f ( x) = ?2( x ? 1) 2 + 1 = 的两个解,方程即 的两个解, x ( x ? 1)(2 x 2 ? 2 x ? 1) =0, ,
∴ f ( x ) ≤ 1 ,∴
解方程, 解方程,得解为 1, ,

……10 …… 分

1+ 3 1? 3 . , 2 2 1+ 3 ∴1 ≤ m < n ,∴ m = 1 , n = . ……15 …… 分 2 12.证 (Ⅰ)设点 A 的坐标为 (r cosθ , r sin θ ) ,B 的坐标为 ( r ′ cos θ ′, r ′ sin θ ′) , .
则 r = OA ,

? cos 2 θ sin 2 θ ? r ′ = OB ,A 在双曲线上,则 r 2 ? 在双曲线上, ? 4 ? 9 ? = 1. ? ? ? 2 2 1 cos θ sin θ ? . 所以 2 = 4 9 r 由 OA ? OB = 0 得 OA ⊥ OB , 2 2 2 2 所以 cos θ ′ = sin θ , cos θ = sin θ ′ . 1 cos 2 θ ′ sin 2 θ ′ sin 2 θ cos 2 θ ? = ? 同理, , 同理, 2 = 4 9 4 9 r′ 1 1 1 1 1 1 5 + = 2+ 2 = ? = . 所以 4 9 36 r' | OA |2 | OB |2 r
(Ⅱ)由三角形面积公式, 由三角形面积公式, 得 OP × AB = OA × OB ,所以
2 2 2 2 2 2 2 2 2 OP × AB = OA × OB ,即 OP × ? OA + OB ? = OA × OB . ? ? ? ? ? ? 2 2 2 ? ? 即 OP × ? 1 + 1 ? = OP × ? 1 ? 1 ? = OP × ? 5 ? = 1 . ? ? ? ? 2 2 ?4 9? ? 36 ? ? OA OB ? ? ?

……5 …… 分

……10 …… 分

于是, 于是, OP 2 = 36 . 5

6 5 为半径的定圆上. 为半径的定圆上 5 13.解 在平面 M 中,过 A 作 DA 的垂线, 的垂线, . 交射线 DB 于 B 点; 的垂线, 在平面 N 中,过 A 作 DA 的垂线,
为圆心、 即 P 在以 O 为圆心、

……15 …… 分

交射线 DC 于 C 点. 设 DA=1,则 ,

1 , cos β 1 AC = tan γ , DC = ……5 , …… 分 cos γ 平面角. ……10 并且 ∠BAC = ? 就是二面角 M ? l ? N 平面角 …… 分 在 ?DBC与?ABC 中,利用余弦定理,可得等式 利用余弦定理, 1 1 2 BC 2 = + ? cos α = tan 2 β + tan 2 γ ? 2 tan β tan γ cos ? , 2 2 cos β cos γ cos β cos γ 1 1 2 2 2 所以, ? + cos α 所以, 2 tan β tan γ cos ? = tan β + tan γ ? 2 2 cos β cos γ cos β cos γ 2(cos α ? cos β cos γ ) = ……15 , …… 分 cos β cos γ cos α ? cos β cos γ . 故得到 cos ? = sin β sin γ
AB = tan β , DB =
……20 …… 分 14.解(Ⅰ)不能 不能. ……5 . …… 分 因为若每行的积都相等, 个数的积是立方数. 因为若每行的积都相等,则 9 个数的积是立方数 但是 1+1+ 2 +1+ 2 +1 =219·38 不是立方数,故不能 不是立方数,故不能. 2×4×6×8×12×18×24×36×48=21+2+1+3+2+1+3+2+4×3 (Ⅱ)可以. 可以 如右表 ……15 …… 分

36 8 6

2 12 72

24 18 4
……20 …… 分

表中每行、 表中每行、每列及对角线的积都是 26·23.


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