nbhkdz.com冰点文库

2008年全国高中数学联赛试题


2008 试题部分 第一试 一, 选择题(每小题 6 分,共 36 分)

5 4 x + x2 1. 函数 f ( x) = 在 ( ∞, 2) 上的最小值是( 2 x
(A) 0 2. (B) 1 (C) 2
2

) (D) 3 )

设 A = [ 2, 4 ) ,B = x x ax

4 ≤ 0 . B A , 若 则实数 a 的取值范围是( (A)

{

}

[ 1, 2 )

(B)

[ 1, 2]

(C) [ 0,3]

(D)

[ 0,3)

3.

甲,乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得 1 分,负者得 0 分,比赛进行到有一 人比对方多 2 分或打满 6 局时停止.设甲在每局中获胜的概率为 胜的概率为 (A)

2 ,乙在每局中获 3
)

241 81

1 ,且各局胜负相互独立.则比赛停止时已打局数 ξ 的期望 Eξ 为( 3 266 274 670 (B) (C) (D) 81 81 243
2

4.

若三个棱长均为整数(单位: cm )的正方体的表面积之和为 564 cm ,则这三个 正方体的体积之和为( (A) 764 cm
3

)
3

或 586cm
3

(B) 764 cm

3

(C) 586cm 或 564cm

3

(D) 586cm

3

x + y + z = 0 5. 方程组 xyz = 0 的有理数解 ( x, y , z ) 的个数为( xy + yz + xz + y = 0
(A) 1 6. (B) 2 (C) 3 设 △ ABC 的 ∠A , ∠B , ∠C 所对的边 a , b , c 成比例.则 的取值范围是( (A) ) (B) 0,

)

(D) 4

sin Aicot C + cos A sin B icot C + cos B

( 0, +∞ )



5 +1 2

(C)

5 1 5 +1 , 2 2

(D)

5 1 , +∞ 2

二, 填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7. 设 f ( x ) = ax + b ( a , b 为实数) ,

f1 ( x) = f ( x) , f n +1 ( x) = f ( f n ( x))(n = 1, 2,)
若 f 7 ( x ) = 128 x + 381 ,则 a + b =__________. 8. 9. 设 f ( x ) = cos 2 x 2a (1 + cos x ) 的最小值为

1 .则 a =__________. 2

将 24 个志愿者名额分配给三所学校, 则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的 分配方法共有__________种.

10.

设 数 列 {an } 的 前 n 项 和 Sn 满 足 S n + an =

n 1 ( n = 1, 2,) . 则 通 项 n(n + 1)

an =__________.
11. 设 f ( x ) 是 定 义 在 上 的 函 数 . 若 f (0) = 2008 , 且 对 任 意 x ∈ , 满 足

f ( x + 2) f ( x) ≤ 3 × 2 x , f ( x + 6) f ( x) ≥ 63 × 2 x ,则 f (2008) =__________.
12. 一个半径为 1 的小球在一个内壁棱长为 4 6 的正四面体容器内可向各个方向自由 运动.则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是__________. 三,解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13. 已知函数 f ( x) = sin x 的图像与直线 y = kx ( k > 0) 有且仅有三个交点,交点的横

坐标的最大值为 a .求证: 14. 解不等式

cos a 1 + a2 = sin a + sin 3a 4a

log 2 ( x12 + 3 x10 + 5 x8 + 3 x 6 + 1) < 1 + log 2 ( x 4 + 1)
15. 如图 1, P 是抛物线 y 2 = 2 x 上的动点,点 B ,C 在 y 轴上,圆 ( x 1) 2 + y 2 = 1 内 切于 △ PBC .求 △ PBC 面积的最小值.

A D P O E C

B

图1

图2





一, (50 分)如图 2,给定凸四边形 ABCD , ∠B + ∠D < 180 , P 是平面上的动点, 令 f ( P ) = PAi BC + PD iCA + PC i AB .

(1)求证:当 f ( P ) 达到最小值时, P , A , B , C 四点共圆;

( 2)设 E 是 △ ABC 外接圆 ⊙O 的 AB 上一点 ,满足

AE 3 BC = , = 3 1 , AB 2 EC

∠ECB =

1 ∠ECA ,又 DA , DC 是 ⊙O 的切线, AC = 2 ,求 f ( P ) 的最小值. 2

二, (50 分)设 f ( x ) 是周期函数, T 和 1 是的周期且 0 < T < 1 .证明: (1)若 T 为有理数,则存在质数 p ,使

1 是 f ( x ) 的周期; p

(2)若 T 为无理数,则存在各项均为无理数的数列

{an }

满足

1 > an > an +1 > 0 ( n = 1, 2,) ,且每个 an ( n = 1, 2,) 都是 f ( x) 的周期.
三, (50 分) ak > 0 ( k = 1, 2, , 2008 ) . 设 证明: 当且仅当 满足以下条件: (1)0= x0 < xn < xn +1 ( n = 1, 2,) ; (2) lim xn 存在;
n →∞

2008 k =1

∑a

k

存在数列 { xn } > 1 时,

(3) xn xn 1 =

2008
k =1

∑ ak xn+k ∑ ak +1 xn+k ( n = 1, 2,) .
k =1

2007

2008年全国高中数学联赛试题及答案

2008年全国高中数学联赛试题及答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。2008 年全国高中数学联赛试题及答案一一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.函数 f ( x ) ...

2008年全国高中数学联赛试题及答案[1]

更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册(预赛试题集锦) 》 2008 年全国高中数学联赛中国数学会委托,2008 年全国高中数学联赛由重庆市数学会承办。中国数学会...

2008年全国高中数学联赛二试试题与答案(1试2试)2

2008年全国高中数学联赛二试试题与答案(1试2试)2_数学_高中教育_教育专区。竞赛题巨人高考网,祝你一份耕耘,一份收获!http://gk.juren.com/ 2008 年全国高中...

2008全国高中数学联赛试题

2008全国高中数学联赛试题2008全国高中数学联赛试题隐藏>> 数列奥赛竞赛练兵 一、选择题 1. (2000 年全国高中数学联赛)给定正数 p,q,a,b,c,其中 p≠q。若 p...

2008年全国高中数学联赛试题

2008 年全国高中数学联合竞赛试卷 4.若三个棱长均为整数(单位:cm)的正方体的表面积之和为 564 cm ,则这三个正方体 的体积之和为 ( 3 2 )。 3 (A)...

2008年全国高中数学联赛加试试题及解答

2008 年全国高中数学联合竞赛加试(A 卷) 试题参考答案及评分标准说明: 1.评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分; 2.如果考生的解答方法和本解答不同,...

2008年全国高中数学联赛试题

2008年全国高中数学联赛试题_数学_小学教育_教育专区。2008年全国高中数学联赛试题 2008 试题部分 第一试 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1. 函数 f(x...

2008年全国高中数学联赛试题解答

2008年全国高中数学联赛试题解答_学科竞赛_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 2008年全国高中数学联赛试题解答_学科竞赛_高中教育_教育专区。...

2008年全国高中数学联赛试题及详细解析

2008年全国高中数学联赛试题及详细解析 隐藏>> 受中国数学会委托,2008 年全国高中数学联赛由重庆市数学会承办。中国数学会普及 工作委员会和重庆市数学会负责命题工作...

2008年全国高中数学联赛试题及解答

2008 年全国高中数学联合竞赛一试试题(A 卷)说明: 1.评阅试卷时,请依据本评分标准.选择题只设 6 分和 0 分两档,填空题只设 9 分和 0 分两档; 其他各...