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高二年级上学期期末考试数学试题


高二数学试题
一.选择题 1. 在等差数列 {an } 中, a1 =3, a3 ? 9 则 a5 的值为( A . 15 B.6
2

) D. 9 ) D.钝角三角形

C. 81

2.在 ?ABC 中, B ? 60 , b ? ac ,则 ?ABC 一定是 ( A.直角三角形 B.等边三角形

) C.锐角三角形

3.椭圆 x 2 ? 4 y 2 ? 1 的离心率为(

A.

2 2
2

B.

3 4

C.

3 2 ? ?

D.

2 3
)

4.若不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集为 ? x | ? A.-10 B.-14 C. 10

1 1? ? x ? ? ,则 a-b 的值是( 2 3?
D. 14 ) D. x ? 4 y ? 3 ? 0

5.若曲线 y ? x4 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,( A. x ? 4 y ? 5 ? 0 B. 4 x ? y ? 3 ? 0 C. 4 x ? y ? 3 ? 0

6.抛物线 y ? ? x2 上的点到直线 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 距离的最小值是( A. 3 7.若 f ? x ? ? A.4 B.

)

7 5

C.

8 5

D.

4 3

1 ,则 f ' ?2? ? ( ) x 1 B. C. ? 4 4

D. ?

1 4
)

8.全称命题“所有被 5 整除的整数都是奇数”的否定 ( A.所有被 5 整除的整数都不是奇数 C.存在一个被 5 整除的整数不是奇数

B.所有奇数都不能被 5 整除 D.存在一个奇数,不能被 5 整除

9.双曲线

x2 y 2 ? ? 1? mn ? 0 ? 离心率为 2,有一个焦点与抛物线 y 2 ? 4x 的焦点重合, m n
)

则 mn 的值为 ( A.

3 16

B.

3 8

C.

16 3

D.

8 3

x ?1 ? ? y ?1 10.已知变量 x , y 满足, ? 目标函数是 z ? 2 x ? y ,则有 ( ?x ? y ? 3 ? 0 ?
A. z max ? 5, z min ? 3 C. z min ? 3, z 无最大值
2

)

B. z max ? 5 , z 无最小值 D. z 既无最大值,也无最小值
2 2

11.已知不等式 x -2x-3<0 的解集为 A, 不等式 x +x-6<0 的解集是 B, 不等式 x +ax+b<0 的解集是 A?B, 那么 a+b 等于 ( ) A.-3 B.1 C.-1 D. 3 12.过点(-1,0)作抛物线 y ? x2 ? x ? 1 的切线,则其中一条切线为( A. 2 x ? y ? 2 ? 0 B. 3x ? y ? 3 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 1 ? 0 )

二.填空题 13.抛物线 y 2 ? ?8x 的焦点坐标为 .

14、数列?an ?的通项公式an ? n(n ? 1),则Sn为数列{ 的和,则Sn = _________ .

1 }的前n项 an

B、 C 成等差数列,AB ? 1, BC ? 4 , 15.在 ?ABC 中, 三个角 A 、 则 BC 边上的中线 AD 的长为

.

16.已知

2 3 ? ? 2, ( x ? 0, y ? 0) ,则 xy 的最小值是_________. x y

三.解答题 17. 已知 p : ?2 ? x ? 10 ;q : x2 ? 2x ? 1 ? m2 ? 0(m ? 0) , 若 取值范围.

? p 是 ? q 的必要非充分条件, 求实数 m 的

18.已知在锐角Δ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c, sin A ? 的值.

2 2 .a=2, S ?ABC ? 2 .求 b 3

19.某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为 100%和 50%, 可能的最大亏损率分别为 30%和 10%,投资人计划投资金额不超过 10 万元,要求确保可能的资金亏损不 超过 1.8 万元,问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的盈利最大?

20.(本小题满分 10 分)数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1, an ?1 ? (1)求数列{an}的通项公式; (2)a2+ a4+ a6+?+ a2n 的值.

1 S n , n ? 1, n ? N ? . 3

21.设椭圆中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,一个顶点 ?2,0? ,离心率为 (1)求椭圆的方程;

3 . 2

(2 若椭圆左焦点为 F1 ,右焦点 F2 ,过 F1 且斜率为 1 的直线交椭圆于 B ,求 ?ABF2 的面积.

22.(本小题满分 12 分)

设 x1、x2(x1≠x2)是函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? a 2 x(a ? 0) 的两个极值点. (1)若 x1=-1,x2=2,求函数 f(x)的解析式; (2)若 | x1 | ? | x 2 |? 2 2 ,求 b 的最大值.

高二文科数学试题(A)参考答案及评分标准
一.选择题:. 1.A 2.B 3.C 4.A 5.B 二.填空题: 13. ?? 2,0? 三.解答题: ⒘ 14. 6. D 7.D 8.C 9.A 10.A 11.A 12.D

n n ?1

15. 3

16. 6

? ? p : B ? ?x | x ? ?2或x ? 10? ????????????4 分 ? ? p 是 ? q 的必要非充分条件,且 m ? 0 , ? A ? B ?m ? 0 (1) ? ? ? ?1 ? m ? ?2 (2) ????????????6 分 ? 1 ? m ? 10 (3) ? ?
即 m ? 9 , 注意到当 m ? 9 时,(3)中等号成立,而(2)中等号不成立 ? m 的取值范围是 m ? 9 ????????????8 分 ⒙解:因为锐角△ABC 中,A+B+C=?, sin A ?

? ? q : A = ?x | x ? 1 ? m或x ? 1? m?

解: 解:由 x2 ? 2 x ? 1 ? m2 ? 0(m ? 0) ,得 1 ? m ? x ? 1 ? m ??????1 分 ??????2 分

1 2 2 ,所以 cosA= ,???2 分 3 3
???5 分

因为 S?ABC ?

1 1 2 2 ? 2 ,则 bc=3 2 又 S?ABC ? bcsinA ? bc ? 2 2 3
1 3 2 2 2 ,c= 代入余弦定理: a =b +c -2bccos A 中得 3 b

将 a=2,cosA=

b4-6b2+9=0 解得 b= 3
解得 b= 3 ????????????8 分

⒚解:设投资人分别用 x万元、y 万元投资甲、乙两个项目,

? x ? y ? 10, ?0.3x ? 0.1y ? 1.5, ? 由题意知 ? ? x ? 0, ? ?y ? 0
目标函数 z ? x ? 0.5 y ??????4 分

上述不等式组表示的平面区域如图所示,阴影部分(含边界)是可行域 作直线 l0 : x ? 0.5 y ? 0, 关作平行于直线 l0 的一组直线 ? 0.5 y ? z, z ? R, 与可行域相交,其中有一 条 直 线 经 过 可 行 域 上 的 M 点 , 此 时 纵 截 距 最 大 , 这 里 点 M 是 直 线

x ? y ? 10和0.3 ? 0.1y ? 1.8 的交点
解方程组

????????????5 分

?x ? y ? 10, ? ?0.3x ? 0.1y ? 1.8

x ? 4, y ? 6
????????????6 分

此时 z ? 4 ? 0.5 ? 6 ? 7 (万元)

?当x ? 4, y ? 6 时 z 取得最大值.

????????????7 分

答:投资人用 4 万元投资甲项目、6 万元投资乙项目,才能在确保 可能的亏损不超过 1.8 万元的前提下,使可能的盈利最大 20. 解:(1)由 a1=1, an ?1 ? ?????8 分

1 S n ,n=1,2,3,??,得 3 1 1 1 a2 ? S1 ? a1 ? , ????????????2 分 3 3 3 1 1 由 an ?1 ? an ? ( S n ? S n ?1 ) ? an (n≥2), 3 3 4 得 an ?1 ? an (n≥2), 3 1 4 n?2 1 又 a2= ,所以 an= ( ) (n≥2) ??????6 分 3 3 3

n ? 1, ?1, ? ∴ 数列{an}的通项公式为 an= ? 1 4 n ? 2 ??????7 分 ( ) , ? n?2 ?3 3
(2)由(1)可知 a2,a4,?,a2n 是首项为

4 2 1 ,公比为 ( ) ,且项数为 n 的等比数列, 3 3
??????10 分

4 1 ? ( )2n 1 3 ? 3 [( 4 )2 n ? 1] 所以 a2+a4+ a6+?+a2n= ? 3 1 ? ( 4 )2 7 3 3
21.(1)设椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? , ????????????1 分 a2 b2

由题意, a ? 2,

c 3 ? ,? c ? 3,b 2 ? a 2 ? c 2 ? 1 ????????????3 分 a 2
?????????????????????4 分 A F1 B 第 22 题图 y O F2 x

x2 ? y2 ? 1 ∴椭圆的方程为 4
(2) F1 ? 3,0 , F2

?

? ? 3,0?,设 A?x , y ?, B?x , y ?,
1 1 2 2

则直线 AB 的方程为 y ? x ? 3 .

?????5 分

?y ? x? 3 ? 由 ? x2 ,消 x 得 5 y 2 ? 2 3 y ? 1 ? 0 ???6 分 2 ? y ? 1 ? ?4
∴ y1 ? y 2 ?

2 3 1 , y1 y 2 ? ? , y1 ? y 2 5 5 4 2 5

2

? ? y1 ? y 2 ? ? 4 y1 y 2 ?
2

32 ?????7 分 25

∴ y1 ? y 2 ?

????????????????????8 分

∴ S ?ABF1 ? S ?AF1F2 ? S ?BF1F 2 ? =

1 1 1 ? F1 F2 ? y1 ? ? F1 F2 ? y 2 ? F1 F2 ? y1 ? y 2 2 2 2
????????????????????10 分

1 4 2 4 6 ?2 3? ? 2 5 5

22.解: f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? a 2 (a ? 0).

???????????????1 分

(1)? x1 ? ?1, x2 ? 2 是函数 f(x)的两个极值点,

? f ' ?? 1? ? 0 ? 3a ? 2b ? a 2 ? 0 即 ? ' ? 2 ? f ?2? ? 0 ?12a ? 4b ? a ? 0
解得 a ? 6, b ? ?9

????????3 分

? f ( x) ? 6x 3 ? 9x 2 ? 36x.

????????????5 分

(2)∵x1、x2 是 f(x)是两个极值点,? f ?( x1 ) ? f ?( x2 ) ? 0. ∴x1、x2 是方程 3ax ? 2bx ? a ? 0 的两个实根. ?????????????6 分
2 2

∵△= 4b2 + 12a3, ∴△>0 对一切 a > 0, b ? R 恒成立.

x1 ? x2 ? ? a ? 0,

2b a , x1 ? x2 ? ? , 3a 3 ? x1 ? x2 ? 0

4b 2 4 ? a ? 2 2 ,? b 2 ? 3a 2 ?6 ? a ? ? | x1 | ? | x2 |?| x1 ? x2 |? 2 2. 得 2 3 9a

???8 分

? b 2 ? 0, ? 3a 2 (6 ? a) ? 0, 0 ? a ? 6.
令 h(a) ? 3a 2 (6 ? a),则h?(a) ? ?9a 2 ? 36a.

0 ? a ? 4时, h?(a) ? 0 ? h(a) 在(0,4)内是增函数 4 ? a ? 6时, h?(a) ? 0 ∴h(a)在(4,6)内是减函数.
??????10 分

∴a = 4 时,h(a)有极大值为 96,? h(a)在?0,6? 上的最大值是 96 ?????11 分 ∴b 的最大值是 4 6 ???????????????12 分

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