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2013届高考数学一轮复习精品学案:第5讲


高考数学科一轮复习精品学案
第5讲
一.课标要求:
1.掌握基本初等函数的图象的画法及性质。如正比例函数、反比例函数、一元一次函 数、一元二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等; 2.掌握各种图象变换规则,如:平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换等; 3.识图与作图:对于给定的函数图象,能从图象的左右、上下分布范围,变化趋势、 对称性等方面研究函数

的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性。甚至是处理涉及函数图 象与性质一些综合性问题; 4.通过实例,了解幂函数的概念;结合函数 y ? x, y ? x 2 , y ? x 3 , y ? x ?1 , y ? x 2 的图 像,了解它们的变化情况。
1

函数的图像

二.命题走向
函 数 不 仅 是 高 中 数 学 的 核 心 内 容 ,还 是 学 习 高 等 数 学 的 基 础 ,所 以 在 高 考 中 ,函 数 知 识 占 有 极 其 重 要 的 地 位 。其 试 题 不 但 形 式 多 样 ,而 且 突 出 考 查 学 生 联 系 与 转 化 、分 类 与 讨 论 、数 与 形 结 合 等 重 要 的 数 学 思 想 、能 力 。知 识 覆 盖 面 广 、综 合 性 强 、思 维 力 度 大 、能 力 要 求 高 ,是 高 考 考 数 学 思 想 、数 学 方 法、考能力、考素质的主阵地。 从历年高考形势来看: (1)与函数图象有关的试题,要从图中(或列表中)读取各种信息,注意利用平移变 换、伸缩变换、对称变换,注意函数的对称性、函数值的变化趋势,培养运用数形结合思想 来解题的能力,会利用函数图象,进一步研究函数的性质,解决方程、不等式中的问题; (2)函数综合问题多以知识交汇题为主,甚至以抽象函数为原型来考察;
1

(3)与幂函数有关的问题主要以 y ? x, y ? x 2 , y ? x 3 , y ? x ?1 , y ? x 2 为主,利用它 们的图象及性质解决实际问题; 预测 2013 年高考函数图象:(1)题型为 1 到 2 个填空选择题;(2)题目多从由解析 式得函数图象、数形结合解决问题等方面出题; 函数综合问题:(1)题型为 1 个大题;(2)题目多以知识交汇题目为主,重在考察函 数的工具作用; 幂函数: 单独出题的可能性很小, 但一些具体问题甚至是一些大题的小过程要应用其性 质来解决;

三.要点精讲
1.函数图象 (1)作图方法:以解析式表示的函数作图象的方法有两种,即列表描点法和图象变换法, 掌握这两种方法是本讲座的重点。 作函数图象的步骤:①确定函数的定义域;②化简函数的解析式;③讨论函数的性质即 单调性、奇偶性、周期性、最值(甚至变化趋势);④描点连线,画出函数的图象。 运用描点法作图象应避免描点前的盲目性,也应避免盲目地连点成线要把表列在关键 处,要把线连在恰当处这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大 概的研究。而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段,是一个难点用图象 变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换, 以及确定怎样的变换, 这也

是个难点。 (2)三种图象变换:平移变换、对称变换和伸缩变换等等; ①平移变换: Ⅰ、水平平移:函数 y ? f ( x ? a) 的图像可以把函数 y ? f ( x) 的图像沿 x 轴方向向左

(a ? 0) 或向右 (a ? 0) 平移 | a | 个单位即可得到;
1)y=f(x) ? y=f(x+h);2)y=f(x) ? y=f(x?h); Ⅱ、竖直平移:函数 y ? f ( x) ? a 的图像可以把函数 y ? f ( x) 的图像沿 x 轴方向向上
左移 h 右移 h

(a ? 0) 或向下 (a ? 0) 平移 | a | 个单位即可得到;
1)y=f(x) ? y=f(x)+h;2)y=f(x) ? y=f(x)?h。 ②对称变换: Ⅰ、函数 y ? f (? x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于 y 轴对称即可得到; y=f(x) ? y=f(?x) Ⅱ、函数 y ? ? f ( x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于 x 轴对称即可得到; y=f(x) ? y= ?f(x) Ⅲ、函数 y ? ? f (? x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于原点对称即可得到; y=f(x) ? y= ?f(?x) Ⅳ、函数 x ? f ( y ) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 y ? x 对称得到。
直线 y ? x
原点 x轴 上移 h 下移 h

y轴

y=f(x)

? x=f(y)

Ⅴ、 函数 y ? f (2a ? x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? a 对称即可得 到;
直线 x ? a

y=f(x)

? y=f(2a?x)。

③翻折变换: Ⅰ、函数 y ?| f ( x) | 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像的 x 轴下方部分沿 x 轴翻折到

x 轴上方,去掉原 x 轴下方部分,并保留 y ? f ( x) 的 x 轴上方部分即可得到;

y

y=f(x)

y

y=|f(x)|

a

o

b

c

x

a

o

b

c

x

Ⅱ、函数 y ? f (| x |) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像右边沿 y 轴翻折到 y 轴左边替 代原 y 轴左边部分并保留 y ? f ( x) 在 y 轴右边部分即可得到
y

y=f(x)

y

y=f(|x|)

a

o

b

c

x

a

o

b

c

x

④伸缩变换: Ⅰ、函数 y ? af ( x) (a ? 0) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像中的每一点横坐标不变 纵坐标伸长 (a ? 1) 或压缩( 0 ? a ? 1 )为原来的 a 倍得到; y=f(x) ? y=af(x) Ⅱ、函数 y ? f (ax) (a ? 0) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像中的每一点纵坐标不变 横坐标伸长 (a ? 1) 或压缩( 0 ? a ? 1 )为原来的
x? a y?a

1 倍得到。 a

f(x) y=f(x) ? y=f( ax )
(3)识图:分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面。 2.幂函数

y ? x ? (? ? 0,1) 在第一象限的图象,可分为如图中的三类:

? ?1

0?? ?1

? ?0

在考查学生对幂函数性的掌握和运用函数的性质解决问题时,所涉及的幂函数 y ? x

?

中 ? 限于在集合 ??2 , ? 1, ?

? ?

1 1 1 ? , , ,1,2 ,3? 中取值。 2 3 2 ?

幂函数有如下性质: ⑴它的图象都过(1,1)点,都不过第四象限,且除原点外与坐标轴都不相交; ⑵定义域为 R 或 的幂函数都具有奇偶性,定义域为

R ? 或?0, ? ?? 的幂函数都不具有奇偶性;
⑶幂函数 y ? x ? (? ? 0) 都是无界函数; 在第一象限中, 当 ? ? 0 时为减函数, 当? ? 0 时为增函数; ⑷任意两个幂函数的图象至少有一个公共点(1,1),至多有三个公共点;

四.典例解析
题型 1:作图 例 1.(2012 沈阳二中阶段考试)如图所示,单位圆中弧 AB 的长为 x,f(x)表示弧 AB 与弦 AB 所围成的弓形面积的2倍,则函数 y=f(x)的图象是( )

A

B

C 解析:显然当 x ?

D

1 圆的面积减去以圆的半径为腰的等腰 4 2 ? ? 1 ? ?2 ? ? ? ?2 ? ,即点 ( , ) 在直线 y ? x 的下 直角三角形的面积, f ( ) ? 2( ? ) ? 2 4 2 2 2 2 2 1 ? 方,故应在 C、D 中选择。而当当 x ? 时,阴影部分的面积等于 圆的面积加上以圆的 4 2 3? ? ? 2 3? ? 2 3? )? ? 半 径 为 腰 的 等 腰 直 角 三 角 形 的 面 积 , f ( ) ? 2(? ? ,即点 2 2 2 2 3? 3? ? 2 ( , ) 在直线 y ? x 的上方,故应选择 D。 2 2
时,阴影部分的面积等于 点评: 该题属于实际应用的题目, 结合函数值变化的趋势和一些特殊点函数值解决问题 即可。要明确函数图像与函数自变量、变量值的对应关系,特别是函数单调性与函数图象个 关系;

?

例 2.在下列图象中, 二次函数 y=ax2+bx 与指数函数 y=(

b x ) 的图象只可能是( a



解析一:由指数函数图象可以看出 0<

b b 2 b2 <1。抛物线方程是 y=a(x+ )- ,其 a 2a 4a 2

顶点坐标为(-

b b b 1 b2 ,- ),又由 0< <1,可得- <- <0.观察选择支,可选 A。 2 2a a 2a 4a b b , 而-1<- <0。 a a

解析二: 求 y=ax2+bx 与 x 轴的交点, 令 ax2+bx=0, 解得 x=0 或 x=-

故选 A。 点评:本题主要考查二次函数、指数函数的图象及性质,源于课本,考查基本知识,难 度不大。本题虽小,但一定要细致观察图象,注意细微之处,获得解题灵感。 题型 2:识图 例 3.某地一年内的气温 Q(t ) (单位:℃)与时间 t (月份)之间的关系如图所示,已知该年 的平均气温为 10℃,令 C (t ) 表示时间段 ?0, t ? 的平均气温,

C (t ) 与 t 之 间 的 函 数 关 系 用 下 图 表 示 , 则 正 确 的 应 该 是
( )

解析:平均气温 10℃与函数图像有两个交点,观察图像可知两交点的两侧都低于平均 气温, 而中间高于平均气温。时间段内的平均气温,应该从开始持续到平均气温左交点向 右一段距离才开始达到平均气温,持续上升一段时间,最后回落到平均气温。答案 A。 点评:联系生活,体会变量间的相互关系,重视观察图像的变化趋势,结合导数的知识

处理实际问题。 例 4.一般地,家庭用电量(千瓦时)与气温(℃)有一定的关系,如图 2—1 所示, 图(1)表示某年 12 个月中每月的平均气温.图(2)表示某家庭在这年 12 个月中每个月的 用电量.根据这些信息,以下关于该家庭用电量与其气温间关系的叙述中,正确的是( )

A.气温最高时,用电量最多 B.气温最低时,用电量最少 C.当气温大于某一值时,用电量随气温增高而增加 D.当气温小于某一值时,用电量随气温渐低而增加 解析:经比较可发现,2 月份用电量最多,而 2 月份气温明显不是最高。因此 A 项错误。 同理可判断出 B 项错误。由 5、6、7 三个月的气温和用电量可得出 C 项正确。 点评:该题考查对图表表达的函数的识别和理解能力,要从题目解说入手,结合图像和实 际解决问题。 题型 3:函数的图象变换 例 5.函数 y=1-

1 的图象是( x ?1



解析一:该题考查对 f(x)=

1 1 图象以及对坐标平移公式的理解,将函数 y= 的图形 x x

变形到 y=

1 1 ,即向右平移一个单位,再变形到 y=- 即将前面图形沿 x 轴翻转,再 x ?1 x ?1 1 +1,从而得到答案 B。 x ?1

变形到 y=-

解析二:可利用特殊值法,取 x=0,此时 y=1,取 x=2,此时 y=0。因此选 B。 点评:借助函数图像的变换规则解决实际问题。 例 6.在同一平面直角坐标系中,函数 y ? f ( x) 和 y ? g ( x)

的图象关于直线 y ? x 对称。现将 y ? g ( x) 的图象沿 x 轴向左平移 2 个单位,再沿 y 轴向 上平移 1 个单位,所得的图象是由两条线段组成的折线(如图 2 所示),则函数 f ( x) 的表 达式为( )

?2 x ? 2,?1 ? x ? 0 ? A. f ( x ) ? ? x ? 2,0 ? x ? 2 ? ?2 ?2 x ? 2,1 ? x ? 2 ? C. f ( x ) ? ? x ? 1,2 ? x ? 4 ? ?2

?2 x ? 2,?1 ? x ? 0 ? B. f ( x ) ? ? x ? 2,0 ? x ? 2 ? ?2 ?2 x ? 6,1 ? x ? 2 ? D. f ( x ) ? ? x ? 3,2 ? x ? 4 ? ?2

解析:原函数的图像仍然是由两条折线段组成,折线段的端点(-2,0)、(0,1)、 (1,3)向下平移 1 个单位是端点(-2,-1)、(0,0)、(1,2),再向右平移 2 个单 位端点为(0,-1)、 (2,0)、 (3,2),关于直线 y ? x 对称后折线段端点为(-1,0)、 (0,2)、(2,3)。答案 A。 点评: 该题是应用函数图象变换求函数解析式。 由函数图像的变换的函数的性质逆向变 换既可,注意函数图像的变换中平移、对称都不会改变原来函数的形状。 题型 4:函数图象应用 例 7.函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的图像如下图:则函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的图像可能是 ( )
y y=f(x) o x
o y y=g(x) x

y

y
x

y
x
B

y x
C

o

o

o

o
D

x

A

解析:∵函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的定义域是函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的定义域的交集

(??,0) ? (0, ??) ,图像不经过坐标原点,故可以排除 C、D。
由于当 x 为很小的正数时 f ( x) ? 0 且 g ( x) ? 0 ,故 f ( x) ? g ( x) ? 0 。∴选 A。 点评:明确函数图像在 x 轴上下方与函数值符号改变的关系,数值相乘“同号为正、异 号为负”。 例 8.已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象如图, y 求 b 的范围。

o

1

2

x

解法一:观察 f(x)的图象,可知函数 f(x)的图象过原点,即 f(0)=0,得 d=0, 又 f(x)的图象过(1,0), ∴f(x)=a+b+c ① 又有 f(-1)<0,即-a+b-c<0 ② ①+②得 b<0,故 b 的范围是(-∞,0) 解法二:如图 f(0)=0 有三根 0,1,2, ∴f(x)=ax3+bx2+cx+d=ax(x-1)(x-2)=ax3-3ax2+2ax, ∴b=-3a, ∵当 x>2 时,f(x)>0,从而有 a>0, ∴b<0。 点评:通过观察函数图像,变形函数解析式,得参数的取值范围。 题型 5:函数图像变换的应用 例 9.已知 0 ? a ? 1 ,方程 a| x| ?| loga x | 的实根个数为( A.2 B.3 C.4 )

D.2 或 3 或 4
| x|

根 据 函 数 与 方 程 的 关 系 , 知 方 程 a| x| ?| loga x | 的 根 的 个 数 即 为 函 数 y ? a 与 函 数

y ?| l o g a x | 的图像交点的个数。
该题通过作图很可能选错答案为 A,这是我们作图的易错点。若作图标准的话,在同一 个直角坐标系下画出这两个函数的图像,由图知当 0 ? a ? e 个;当 a ? D。 点评:该题属于“数形结合”的题目。解题思路是将“函数的零点”问题转化为“函数的交 点问题”,借助函数的图象以及函数的图象变换规则求得结果即可。 例 10.设 f ( x) ?| 2 ? x2 | ,若 a ? b ? 0 ,且 f (a) ? f (b) ,则 ab 的取值范围是( )
?e

? 1 时,图像的交点个数为 3

1 1 时,图像的交点个数为 4 个;当 a ? 时,图像的交点个数为 2 个。选项为 16 2

A. (0 , 2)

B. (0 , 2]

C. (0 , 4]

D. (0 , 2)

解析:保留函数 y ? 2 ? x 2 在 x 轴上方的图像,将其在 x 轴下方的图像翻折到 x 轴上 方区即可得到函数 f ( x) ?| 2 ? x2 | 的图像。 通过观察图像, 可知 f ( x) 在区间 (??, ? 2] 上是减函数, 在区间 [? 2,0] 上是增函数, 由 a ? b ? 0 ,且 f (a) ? f (b) 可知 a ? ? 2 ? b ? 0 ,所以 f (a) ? a 2 ? 2 , f (b) ? 2 ? b2 ,从 而 a 2 ? 2 ? 2 ? b2 ,即 a 2 ? b 2 ? 4 ,又 2 | ab |? a 2 ? b2 ? 4 ,所以 0 ? ab ? 2 。选项为 A。 点评: 考察函数图像的翻折变换。 体现了数学由简到繁的原则, 通过研究函数 y ? 2 ? x
2

的图像和性质,进而得到 f ( x) ?| 2 ? x2 | 的图像和性质。 题型 6:幂函数概念及性质
m

例 11.函数 y ? x n (m, n ? Z , m ? 0, | m |, | n | 互质)图像如图所示,则( A. m n ? 0, m, n 均为奇数 B. m n ? 0, m, n 一奇一偶 C. m n ? 0, m, n 均为奇数 D. m n ? 0, m, n 一奇一偶 )

y

O

x

解析:该题考察了幂函数的性质,由于幂函数在第一象限的图像趋势表明函数在
? m (0,??) 上单调递减,此时只需保证 ? 0 ,即 mn ? 0 ,有 y ? x n ? x |n| ;同时函数只 n m |m|

在第一象限有图像,则函数的定义域为 (0,??) ,此时 | n | 定为偶数, n 即为偶数,由于两 个数互质,则 m 定为奇数。 答案:选项为 B。 点评:该题突破了传统借形言数思路,属于“由图形得解析式”的题目。为此需要分清幂函
? 数 y ? x 在 ? ? 0,0 ? ? ? 1, ? ? 1 几种不同情况下函数的图像的特点,更甚至在同一种情

形下 ? 取不同数值对函数图像的影响也要了解。 例 12.画出函数 的图象,试分析其性质。

解析: 先要找出它是哪一种函数平移而来的, 它 应 是 由 反 比 例 函 数 平 移 而 来 , (这种变 换是解决这类问题的关键) , 由此说明, 是由 图象向右平移 3 个单位,再向下平移 2

个单位得到的, 如图所示: 具体画图时对于图象与坐 标 轴 的 交 点 位 置 要 大 致 准 确 , 即

x ? 0, y ? ?1, y ? 0, x ?
和 两个关键点。

。 故图象一定过 (0, -1)

再观察其图象可以得到如下性质:定义域 {x | x ? 3, x ? R}值域 { y | y ? ?2, y ? R} , 单调区间 上单调递增;既不是奇函数也不是偶函数,但是图象是中心对称

图形,对称中心是(3,-2)。 点评: 幂函数 y ? 用并集号 。

1 的图象与性质是解决该类问题基础。 注意此题两个增区间之间不能 x

题型 7:抽象函数问题 例 13 . 函 数 f ( x) 的 定 义 域 为 D : {x | x ? 0} 且 满 足 对 于 任 意 x1 , x2 ? D , 有
f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ).

(Ⅰ)求 f (1) 的值; (Ⅱ)判断 f ( x) 的奇偶性并证明; (Ⅲ)如果 f (4) ? 1, f (3x ? 1) ? f (2 x ? 6) ? 3, 且f ( x)在(0,??) 上是增函数,求 x 的 取值范围。 (Ⅰ)解:令 x1 ? x2 ? 1, 有f (1?1) ? f (1) ? f (1), 解得f (1) ? 0. (Ⅱ)证明:令 x1 ? x2 ? ?1,

有f [(?1) ? (?1)] ? f (?1) ? f (?1), 解得f (?1) ? 0
令 x1 ? ?1, x2 ? x有f (? x) ? f (?1) ? f ( x),? f (? x) ? f ( x). ∴ f ( x) 为偶函数。 (Ⅲ) f (4 ? 4) ? f (4) ? f (4) ? 2, f (16 ? 4) ? f (16) ? f (4) ? 3. ∴ f (3x ? 1) ? f (2 x ? 6) ? 3即f [(3x ? 1)(2 x ? 6)] ? f (64) (1) ∵ f ( x)在(0,??) 上是增函数, ∴(1)等价于不等式组:

?(3x ? 1)(2 x ? 6) ? 0, ?(3x ? 1)(2 ? 6) ? 0, 或? ? ?(3x ? 1)(2 x ? 6) ? 64, ?? (3x ? 1)(2 x ? 6) ? 64.
1 ? x ? 3或x ? ? , ? 1 ? ? 3 ?? ? x ? 3, 或? 3 ? 7 ?? ? x ? 5, ? ?x ? R ? ? 3
∴ 3 ? x ? 5或 ?

7 1 1 ? x ? ? 或 ? ? x ? 3. 3 3 3

∴x 的取值范 围为 {x | ?

7 1 1 ? x ? ? 或 ? ? x ? 3或3 ? x ? 5}. 3 3 3

点评:以抽象函数为模型,考查函数概念,图象函数的奇偶性和周期性以及数列极限等 知识, 还考查运算能力和逻辑思维能力。 认真分析处理好各知识的相互联系, 抓住条件 f(x1+x2) =f(x1)· f(x2)找到问题的突破口,由 f(x1+x2)=f(x1)· f(x2)变形为 f ( x) ? f ( ? ) ? f ( ) ? f ( ) 是解决 问题的关键。 例 14.设函数 f ( x)在(??,??) 上满足 f (2 ? x) ? f (2 ? x), f (7 ? x) ? f (7 ? x) , 且在闭区间[0,7]上,只有 f (1) ? f (3) ? 0. (Ⅰ)试判断函数 y ? f ( x) 的奇偶性; (Ⅱ)试求方程 f ( x) ? 0 在闭区间[-2005,2005]上的根的个数,并证明你的结论。

x x 2 2

x 2

x 2

? f (2 ? x) ? f (2 ? x) ? f ( x) ? f (4 ? x) 解析:(Ⅰ)由 ? ?? ? f (4 ? x) ? f (14 ? x) ? f (7 ? x) ? f (7 ? x) ? f ( x) ? f (14 ? x)

? f ( x) ? f ( x ? 10) ,
从而知函数 y ? f ( x) 的周期为 T ? 10 又 f (3) ? f (1) ? 0, 而f (7) ? 0 ,

f (?3) ? f (?3 ? 10) ? f (7) ? 0 ,所以 f (?3) ? ? f (3)
故函数 y ? f ( x) 是非奇非偶函数; (II) 又 f (3) ? f (1) ? 0, f (11) ? f (13) ? f (?7) ? f (?9) ? 0 故 f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解, 从而可知函数 y ? f ( x) 在[0,2005]上有 402 个解, 在[-2005.0]上有 400 个解,所以函数 y ? f ( x) 在[-2005,2005]上有 802 个解。 点评:充分利用函数的数字特征,并将其转化为函数的性质,再来解题。 题型 8:函数图象综合问题 例 15. 如图, 点 A、 B、 C 都在函数 y= x 的图象上, 它们的横坐标分别是 a、 a+1、 a+2。 又 A、 B、 C 在 x 轴上的射影分别是 A′、 B′、 C′,记△ AB′C 的面积为 f(a), △ A′BC′的面积为 g(a)。 (1)求函数 f(a)和 g(a)的表达式; (2)比较 f(a)与 g(a)的大小,并证明你的结论。 解: (1)连结 AA′、BB′、CC′, 则 f(a)=S△ AB′C=S 梯形 AA′C′C-S△ AA′B′-S△ CC′B

1 1 (A′A+C′C)= ( a ? a ? 2 ), 2 2 1 g(a)=S△ A′BC′= A′C′·B′B=B′B= a ? 1 。 2
=

1 (2) f (a) ? g (a) ? ( a ? a ? 2 ? 2 a ? 1) 2 1 ? [( a ? 2 ? a ? 1) ? ( a ? 1 ? a )] 2

1 1 1 ? ( ? )?0 2 a ? 2 ? a ?1 a ?1 ? a
∴f(a)<g(a)。 点评:本题考查函数的解析式、函数图象、识图能力、图形的组合等,充分借助图象信 息,利用面积问题的拆拼以及等价变形找到问题的突破口,解题思路:图形面积不会拆拼、 数形结合、等价转化。 例 16.设曲线 C 的方程是 y ? x3 ? x ,将 C 沿 x 轴、 y 轴正方向分别平移 t 、 s (t ? 0) 个单位长度后得到曲线 C1 , (1)写出曲线 C1 的方程; (2)证明曲线 C 与 C1 关于点 A( , ) 对称; (3)如果曲线 C 与 C1 有且仅有一个公共点,证明: s ? 解析:(1)曲线 C1 的方程为 y ? ( x ? t ) ? ( x ? t ) ? s ;
3

t s 2 2

t2 ?t 4

(2)证明:在曲线 C 上任意取一点 B1 ( x1 , y1 ) , 设 B2 ( x2 , y2 ) 是 B1 关于点 A 的对称点,则有 ∴ x1 ? t ? x2 , y1 ? s ? y2 。 代入曲线 C 的方程,得 x2 , y2 的方程: s ? y2 ? (t ? x2 ) ? (t ? x2 ) 。
3

x1 ? x2 t y1 ? y2 s ? , ? , 2 2 2 2

即 y2 ? ( x2 ? t ) ? ( x2 ? t ) ? s 可知点 B2 ( x2 , y2 ) 在曲线 C1 上。
3

反过来,同样证明,在曲线 C1 上的点 A 的对称点在曲线 C 上。 因此,曲线 C 与 C1 关于点 A 对称。 (3)证明:因为曲线 C 与 C1 有且仅有一个公共点,

∴方程组 ?

? y ? x3 ? x ? 有且仅有一组解, 3 ? ? y ? (x ? t) ? (x ? t) ? s

消去 y ,整理得 3tx2 ? 3t 2 x ? (t 3 ? t ? s) ? 0 ,这个关于 x 的一元二次方程有且仅有一个根, ∴ ? ? 9t 4 ?12t (t 3 ? t ? s) ? 0 ,即得 t (t 3 ? 4t ? 4s) ? 0 , 因为 t ? 0 ,所以 s ?

t3 ?t 。 4

点评:充分利用函数图像变换的原则,解决复合问题。

五.思维总结
函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合,有效地揭示了各类函数和定义 域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性,体现了数形结合的特征与方法,为此,既 要从定形、定性、定理、定位各方面精确地观察图形、绘制图形,又要熟练地掌握函数图象 的平移变换、对称变换。 常见的函数数字特征有: (1)函数奇偶性: 奇函数 f (? x) ? ? f ( x) ; 偶函数 f (? x) ? f ( x) 。 (2)函数单调性: 单调递增

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 或 ( x1 ? x2 )( f ( x1 ) ? f ( x2 )) ? 0 ; x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 或 ( x1 ? x2 )( f ( x1 ) ? f ( x2 )) ? 0 。 x1 ? x2
T T ) ? f (x ? ) ; 2 2

单调递增

(3)函数周期性 周期为 T : f ( x ? T ) ? f ( x) 或 f ( x ? (4)对称性 关于 y 轴对称: f (? x) ? f ( x) ; 关于原点对称: f (? x) ? ? f ( x) ; 关于直线 x ? a 对称: f (a ? x) ? f (a ? x) 或 f ( x) ? f (2a ? x) ; 关于点 ( a, b) 对称: f ( x) ? 2b ? f (2a ? x) 或 f (a ? x) ? b ? b ? f (a ? x) 。


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