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2015-2016学年高中数学 第三章 直线与方程单元测试题 新人教A版必修2

时间:2015-10-21


【名师一号】 (学习方略)2015-2016 学年高中数学 第三章 直 线与方程单元测试题 新人教 A 版必修 2
(时间:120 分钟 总分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1. 给出以下命题: ①任意一条直线有唯一的倾斜角; ②一条直线的倾斜角可以为-30°; ③倾

斜角为 0°的直线只有一条, 即 x 轴;④按照直线的倾斜角的概念,直线集合与集合 {α |0°≤α <180°}建立了一一对应的关系.正确的命题的个数是( A.1 C.3 解析 仅有①正确,其他均错. 答案 A 2.过点 A(4,y),B(2,-3)的直线的倾斜角为 135°,则 y 等于( A.1 C.5 B.-1 D.-5 ) B.2 D.4 )

y+3 解析 由题意可知 =tan135°=-1,∴y=-5. 4-2
答案 D 3.与原点距离为 2 ,斜率为 1 的直线方程为( 2 )

A.x+y+1=0 或 x+y-1=0 B.x+y+ 2=0 或 x+y- 2=0 C.x-y+1=0 或 x-y-1=0 D.x -y+ 2=0 或 x+y- 2= 0 |b| 2 解析 可设直线方程为 y=x+b,则 = ,∴|b|=1,b =±1,故直线方程为 x-y 2 2 +1=0 或 x-y-1=0. 答案 C 4.如果点(5,a)在两条平行直线 6x-8y+1=0 和 3x-4y+5=0 之间,则整数 a 的值 为( ) A.5 C.-5 B.4 D .-4

|30-8a+1| 解析 由题意可知(5, a)到两平行线间距离之和等于两平行线间的距离, ∴ 2 2 6 +8
1

|30-8a+10| |10-1| + = 2 , 即|31-8a|+|40-8a|=9, 把选项代入, 知 a=4, (a=5 舍去). 2 2 2 6 +8 6 +8 答案 B 5.过点(5,2)且在 x 轴上的截距是在 y 轴上的截距的 2 倍的直线方程是( A.2x+y-12=0 C.x-2y-1=0 解析 解法 1:验证 知 D 为所求. 2 解法 2:当直线过原点时,设 y=kx,代入点(5,2)求得 k= , 5 2 ∴y= x,即 2x-5y=0; 5 B.2x+y-12=0 或 2x-5y=0 D.x+2y-9=0 或 2x-5y=0 )

x y 9 当直线不过原点时,可设方程为 + =1,代入点(5,2)求得 a= .∴方程为 x+2y-9 2a a 2
=0. 故所求方程为 x+2y-9=0,或 2x-5y=0. 答案 D 6.直线 2x-y+k=0 与 4x-2y+1=0 的位置关系是( A.平行 C.平行或重合 B.不平行 D.既不平行又不重合 )

1 解析 因为 2x-y+k=0 与 4x-2y+1=0 可变形为 y=2x+k 和 y=2x+ ,所以当 k 2 1 1 = 时,两直线重合;当 k≠ 时,两直线平行.故应选 C. 2 2 答案 C 7.方程 ax+by+c=0 表示倾斜角为锐角的直线,则必有( A.ab>1 C.a>0 且 b<0 B.ab<0 D.a>0 或 b<0 )

解析 由题意知直线的斜率存在,且 k=- >0,∴ab<0. 答案 B 8. 已知点 A(x1, y1), B(x2, y2)在斜率为 k 的直线上, 若|AB|=a, 则|y2-y1|等于( A.|ak| C. B.a 1+k
2 2

a b

)

a
1+k

D.

a|k| 2 1+k
2 2

解析

设 AB 的方程为 y=kx+b, 则 a=|AB|= ?x2-x1? +?y2-y1? =

?1+ 12? ? k? ? ?
2

|y2-y1|, ∴|y2-y1|= 答案 D 9.如图,在同一直角坐标系中表示直线 y=ax 与 y=x+a,正确的是( )

a|k| . 2 1+k

解析 当 a>0 时,由 y=ax 可知,C、D 错误;又由 y=x+a 又知 A、B 也不正确.当 a<0 时,由 y=ax 可知 A、B 错误;又由 y=x+a 可知 D 也不正确. 答案 C 1 π 10.已知直线 l:xsinθ +ycosθ =1,点(1,cosθ )到 l 的距离为 ,且 0≤θ ≤ , 4 2 则 θ 等于( A. C. π 12 π 4 ) B. D. π 6 π 3

解析 由点到直线的距离公式,可得 |sinθ +cos θ -1| 1 1 π 2 = ,即|sinθ -sin θ |= ,经验证知 θ = 满足题意. 2 2 4 4 6 sin θ +cos θ 答案 B 11.一条线段的长是 5,它的一个端点 A(2,1),另一端点 B 的横坐标是-1,则 B 的纵 坐标是( A.-3 C.-3 或 5 ) B.5 D.-5 或 3
2 2 2 2 2

解析 设点 B 的坐标为(-1,y),由题意得(-1-2) +(y-1) =5 ,∴(y-1) =16. 解得 y=5 或-3.
3

答案 C 12.若 A(-4,2),B(6,-4),C(12,6),D(2,12),下面四个结论正确的个数是( ① AB∥CD;②AB⊥AD; ③|AC|=|BD|;④AC⊥BD. A.1 个 C.3 个 B.2 个 D.4 个 )

-4-2 3 12-6 3 解析 ①kAB= =- ,kCD= =- , 6+4 5 2-12 5 ∴AB∥CD. 3 12-2 5 ②kAB=- ,kAD= = , 5 2+4 3 ∵kAB?kAD=-1,∴AB⊥AD. ③|AC|= ?12+4? +?6-2? = 272,|BD|= ?2-6? +?12+4? = 272. ∴|AC|=|BD|. 6-2 1 12+4 ④kAC= = ,kBD= =-4, 12+4 4 2-6 ∵kAC?kBD=-1,∴AC⊥BD. 综上知,①、②、③、④均正确.故选 D. 答案 D 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上) 13.已 知 A(a,3),B(3,3a+3)两点间的距离是 5,则 a 的值为________. 解析 ?3-a? +?3a+3-3? =5,
2 2 2 2 2 2

8 2 2 即(3-a) +9a =25,解得 a=-1 或 . 5 8 答案 -1 或 5 14.两条平行直线分别过点 A(6,2)和 B(-3,-1),各自绕 A,B 旋转.若这两条平行 线距离取最大时,两直线方程是________. 解析 根据题意,当这两条直线平行旋转到与直线 AB 垂直时,距离取得最大值. 1 ∵kAB= , 3 ∴两直线分别为

y-2=-3(x-6)和 y+1=-3(x+3),
即 3x+y-20=0 和 3x+y+10=0. 答案 3x+y-20=0,3x+y+10=0 15.已知直线 l1 与直线 l2:x-3y+6=0 平行,与两坐标轴围成的三角形面积为 8,则 直线 l1 的方程为________.
4

解析 ∵l1 与 l2 平行,故可设 l1 的方程为 x-3y+m=0.与两坐标轴的交点(0, ),(- 3

m

m,0).
1 m 由题意可得 |-m? |=8. 2 3 ∴m=4 3,或 m=-4 3. 答案 x-3y±4 3=0 16.设点 P 在直线 x+3y=0 上,且 P 到原点的距离与 P 到直线 x+3y-2=0 的距离相 等,则点 P 坐标是________. 解析 ∵点 P 在直线 x+3y=0 上,可设 P 的坐标为(-3a,a). |-3a+3a-2| 4 1 2 2 2 依题意可得 ?-3a? +a = ,化简得 10a = ,∴a=± . 2 2 10 5 1 +3 1? ? 3 1? ?3 故 P 的坐标为?- , ?,或? ,- ?. 5? ? 5 5? ?5 1? ?3 ? 3 1? 答案 ? ,- ?,或?- , ? 5? ?5 ? 5 5? 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤) 17.(10 分)已知直线 l 经过点(0,-2),其倾斜角为 60°. (1)求直线 l 的方程; (2)求直线 l 与两坐标轴围成三角形的面积. 解 (1)依题意 得斜率 k=tan60°= 3.

又经过点(0,-2),故直线 l 的方程为 y+2= 3(x-0),即 3x-y-2=0. (2)由(1)知,直线 l: 3x-y-2=0 在 x 轴、y 轴上的截距分别为 1 2 2 3 与两坐标轴围成的三角形的面积为 S= ? ?2= . 2 3 3 18.(12 分)直线 l 在两坐标轴上的截距相等,且点 P(4,3)到直线 l 的距离为 3 2,求 直线 l 的方程. 解 得 |4k-3| 3 3 3 2= ,解 k=-6± 14.故所求直线的方程为 y=(-6± 14)x. 2 2 2 1+k (2) 当直线不经过坐标原点时,设所求直线为 + = 1 ,即 x + y - a = 0. 由题意可得 (1)当所求直线经过坐标原点时,设其 方程为 y=kx,由点到直线的距离公式,可 2 3 和-2,故直线 l

x a

y a

5

|4+3-a| =3 2,解 a=1,或 a=13.故所求直线的方程为 x+y-1=0 或 x+y-13=0.综 2 3 ? ? 上,可知所求直线的方程为 y=?-6± 14?x,或 x+y-1=0,或 x+y-13=0. 2 ? ? 19.(12 分)当 m 为何值时,直线(2m +m-3)x+(m -m)y=4m-1. π (1)倾斜角为 ; 4 (2)在 x 轴上的截距为 1. 解 π (1)倾斜角为 ,则斜率为 1. 4
2 2 2

2m +m-3 ∴- 2 =1. m -m 解得 m=1,或 m=-1. 当 m=1 时,m -m=0,不符合题意. 当 m=-1 时,直线方程为 2x-2y-5=0 符合题意, ∴m=-1. 4m-1 (2)当 y=0 时,x= 2 =1, 2m +m-3 1 解得 m=- ,或 m=2. 2 1 当 m=- ,或 m=2 时都符合题意, 2 1 ∴m=- ,或 m=2. 2 20.(12 分)求经过直线 l1:3x+4y+5=0 与 l2:2x-3y-8=0 的交点 M,且满足下列 条件的直线方程. (1)经过原点; (2)与直线 2x+y+5=0 平行; (3)与直线 2x+y+5=0 垂直. 解
? ?3x+4y+5=0, 由? ?2x-3y-8=0, ?
2

得交点 M 的坐标为(1,-2). (1)直线过原点,可得直线方程为 2x+y=0. (2)直线与 2x+y+5=0 平行,可设为 2x+y+m=0,代入 M(1,-2),得 m=0. ∴直线方程为 2x+y=0. (3)直线与 2x+y+5=0 垂直,

6

1 ∴斜率为 k= ,又过点 M(1,-2). 2 1 故所求方程为 y+2= (x-1). 2 即 x-2y-5=0. 21.(12 分)已知两条直线 l1:ax-by+4=0,l2:(a-1)x+y+b=0.求分别满足下列 条件的 a 和 b 的值. (1)求直线 l1 过点(-3,-1),并且直线 l1 与直线 l2 垂直; (2)直线 l1 与 l2 平行,并且坐标原点到 l1,l2 的距离相等. 解 (1)∵l1⊥l2,

∴(a-1)a+(-b)?1=0. 即 a -a-b=0.① 又点(-3,-1)在 l1 上, ∴-3a+b+4=0.② 由①②解得 a=2,b=2. (2)∵l1∥l2,且 l2 的斜率为 1-a,∴l1 的斜率也存在,即 b≠0. ∴ =1-a.∴b= (a≠1). b 1-a 故 l1、l2 的方程分别可以表示为
2

a

a

l1:(a-1)x+y+ l2:(a-1)x+y+

4?a-1? =0,

a

=0. 1-a

a

∵原点到 l1 和 l2 的距离相等. ∴4|

a-1 a |=| |, a 1-a

2 解得 a=2,或 a= , 3
? ?a=2, 因此? ?b=-2, ?

2 ? ?a= , 或? 3 ? ?b=2.

22.(12 分)等腰直角三角形斜边所在直线的方程是 3x-y=0,一条直角边所在的直线

l 的斜率为 ,且 经过点(4,-2),且此三角形的面积为 10,求此直角三角形的直角顶点的
坐标. 解 设直角顶点为 C,C 到直线 y=3x 的距离为 d.

1 2

7

1 则 ?d?2d=10,∴d= 10. 2 1 1 又 l 的斜率为 ,∴l 的方程为 y+2= (x-4). 2 2 即 x-2y-8=0. 设 l′是与直线 y=3x 平行且距离为 10的直线, 则 l′与 l 的交点就是 C 点, 设 l′的方程是 3x-y+m=0, 则 |m| = 10, 10

∴m=±10,∴l′的方程是 3x-y±10=0,
? ?x-2y-8=0, 由方程组? ?3x-y-10=0, ? ? ?x-2y-8=0, 及? ?3x-y+10=0, ?

14? 34? ?12 ? 28 得 C 点坐标是? ,- ?,或?- ,- ?. 5? 5? ?5 ? 5

8


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