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2.1.2指数函数及其性质(人教高中课标必修模块一精品教案)


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课题:§2.1.2 指数函数及其性质
教学任务: (1)使学生了解指数函数模型的实际背景,认识数学与现实生活及 其他学科的联系; (2)理解指数函数的的概念和意义,能画出具体指数函数的图象, 探索并理解指数函数的单调性和特殊点; (3)在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法,如 具体到一般的过程、数形结合的方法等

. 教学重点:指数函数的的概念和性质. 教学难点:用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质. 教学过程: 一、 引入课题 (备选引例) 1. (合作讨论)人口问题是全球性问题,由于全球人口迅猛增加,已引 起全世界关注.世界人口 2000 年大约是 60 亿,而且以每年 1.3%的增 长率增长,按照这种增长速度,到 2050 年世界人口将达到 100 多亿, 大有“人口爆炸”的趋势.为此,全球范围内敲起了人口警钟,并把 每年的 7 月 11 日定为“世界人口日” ,呼吁各国要控制人口增长.为 了控制人口过快增长,许多国家都实行了计划生育. 我国人口问题更为突出,在耕地面积只占世界 7%的国土上,却 养育着 22% 的世界人口.因此,中国的人口问题是公认的社会问 题.2000 年第五次人口普查,中国人口已达到 13 亿,年增长率约为 1%.为了有效地控制人口过快增长,实行计划生育成为我国一项基本 国策.
1 按照上述材料中的 1%的增长率,从 2000 年起, ○ x 年后我国的

人口将达到 2000 年的多少倍?
2 到 2050 年我国的人口将达到多少? ○ 3 你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响? ○ x 2. 上一节中 GDP 问题中时间 x 与 GDP 值 y 的对应关系 y=1.073( x∈N*,

x≤20)能否构成函数? 3. 一种放射性物质不断变化成其他物质,每经过一年的残留量是原来的 84%,那么以时间 x 年为自变量,残留量 y 的函数关系式是什么? 4. 上面的几个函数有什么共同特征?

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二、

新课教学

(一)指数函数的概念 一般地,函数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 叫做指数函数(exponential function) , 其中 x 是自变量,函数的定义域为 R.
1 指数函数的定义是一个形式定义,要引导学生辨析; 注意:○ 2 注意指数函数的底数的取值范围, ○ 引导学生分析底数为什么不能

是负数、零和 1. 巩固练习:利用指数函数的定义解决(教材 P68 例 2、3) (二)指数函数的图象和性质 问题:你能类比前面讨论函数性质时的思路,提出研究指数函数性质的内 容和方法吗? 研究方法:画出函数的图象,结合图象研究函数的性质. 研究内容:定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性. 探索研究: 1.在同一坐标系中画出下列函数的图象: (1) y ? ( ) (2) y ? ( ) (3) y ? 2 (4) y ? 3 (5) y ? 5
x

1 3

x

1 2
x x

x

x 2.从画出的图象中你能发现函数 y ? 2 的图象和函数 y ? ( ) 的图象有
x

1 2

x 什么关系?可否利用 y ? 2 的图象画出 y ? ( ) 的图象?
x

1 2

3.从画出的图象( y ? 2 、 y ? 3 和 y ? 5 )中,你能发现函数的图象
x x x

与其底数之间有什么样的规律? 4.你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗? 图象特征 函数性质

a ?1

0 ? a ?1

a ?1

0 ? a ?1

向 x、y 轴正负方向无限延伸 图象关于原点和 y 轴不对称 函数图象都在 x 轴上方

函数的定义域为 R 非奇非偶函数 函数的值域为 R+

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函数图象都过定点(0,1) 自左向右看, 自左向右看, 图象逐渐上升 图象逐渐下降 在第一象限内的图 在第一象限内的图 象纵坐标都大于 1 象纵坐标都小于 1 在第二象限内的图 在第二象限内的图 象纵坐标都小于 1 象纵坐标都大于 1 图象上升趋势是越 来越陡 图象上升趋势是越 来越缓

a0 ? 1
增函数 减函数

x ? 0, a x ? 1 x ? 0, a x ? 1
函数值开始增长较 慢,到了某一值后 增长速度极快;

x ? 0, a x ? 1 x ? 0, a x ? 1
函数值开始减小极 快,到了某一值后 减小速度较慢;

5. 利用函数的单调性,结合图象还可以看出: ( 1 ) 在 [a , b] 上 , f (x) ? a x (a ? 0且a ? 1) 值 域 是 [f (a ), f (b)] 或

[f (b), f (a )] ;
(2)若 x ? 0 ,则 f ( x ) ? 1 ; f ( x ) 取遍所有正数当且仅当 x ? R ; (3)对于指数函数 f (x) ? a (a ? 0且a ? 1) ,总有 f (1) ? a ;
x

(4)当 a ? 1 时,若 x1 ? x 2 ,则 f ( x 1 ) ? f (x 2 ) ; (三)典型例题 例 1. (教材例 6) . 解: (略) 问题:你能根据本例说出确定一个指数函数需要几个条件吗? 例 2. (教材例 7) 解: (略) 问题:你能根据本例说明怎样利用指数函数的性质判断两个幂的大小? 说明:规范利用指数函数的性质判断两个幂的大小方法、步骤与格式. 巩固练习: (教材习题 A 组第 7 题) 三、 四、 归纳小结,强化思想 本节主要学习了指数函数的图象,及利用图象研究函数性质的方法. 作业布置 1. 必做题:教材习题 2.1(A 组) 第 5、6、8、12 题. 2. 选做题:教材习题 2.1(B 组) 第 1 题.


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