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2016——2017数学必修一模块检测试题


宜昌市第一中学 2016 年秋季学期高一年级期中考试 数 学 试 题
考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分

一、选择题: (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1.函数 y = A. ?1,2 ? 2. 函数 y ?

log 2 ( x ? 1

) 2? x

的定义域是( B.(1,2)

) C.(2,+∞) D.(-∞,2)

2 的定义域是 (??,1) ? [2,5) ,则其值域是( ) x ?1 1 1 1 A. ?? ?,0? ? ( ,2] B. ( ?? ,0) ? ( ,2] C. (?? , ) ? [2,?? ) 2 2 2
) D. y ? x | x |

D. (0,??)

3. 下列函数中,在其定义域上既是奇函数又是增函数的为( A. y ? x ? 1 4. 已知函数 f ( x) ? ? A.4 B. B. y ? ? x
3

C. y ? ?

1 x

?log 3 x, x ? 0 ?2 , x ? 0
x

,则 f ( f ( )) 等于( D. ?

1 9



1 4

C. ? 4

1 4
)

5.已知 a= 0.3 ,b= 20.3 , c ? 0.30.2 ,则 a,b,c 三者的大小关系是( A .

b?c?a

B. b ? c ? a

C.

a?b?c


D. c ? b ? a

6.已知 f ( x) ? log 1 ( x 2 ? 2 x) 的单调递增区间是(
2

A. (1, ??)

B. (2, ??)

C. (??, 0)

D. (??,1) )

7.关于 x 的方程 3 x ? a 2 ? 2a ,在 (???1] 上有解,则实数 a 的取值范围是( A. ?? 2,?1? ? ?0,1? C. ?? 3,?2 ? ? ?0,1? B. ?? 3,?2 ? ? ?0,1? D. ?? 2,?1? ? ?0,1?

8 . 函 数 f ( x) 对 任 意 正 整 数 m, n 满 足 条 件 f ?m ? n? ? f ?m? f ?n? , 且 f ?1? ? 2 , 则

1

f ?2? f ?4? f ?6? f ?2016? ( ) ? ? ?? ? ? f ?1? f ?3? f ?5? f ?2015?
A. 21008
x

B. 1008

C. 2016

D. 4030

9. f ?x? ? 3 ? 3x ? 8 ,且 f ?1? ? 0, f ?1.5? ? 0, f ?1.25? ? 0, f (2) ? 0, 则函数 f ( x ) 的零点 落在区间( A. (1,1.25) ) B. (1.25,1.5) C. (1.5, 2) D.不能确定

? x,x>1, 10.已知函数 f(x)=? |x| ?2 ,x≤1,
围 为 ( ) A.(0,+∞) B.[1,+∞)

函数 g(x)=f(x)-k 有 3 个零点,则实数 k 的取值范

C.(0,2)

D.(1,2] )

11.若不等式 3 x 2 ? log a x ? 0 对任意 x ? (0, ) 恒成立,则实数 a 的取值范围为( A .

1 3

[

1 ,1) 27

B. (

1 ,1) 27

C.

(0,

1 ) 27

D. (0,

1 ] 27

12.已知函数 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) 在 [?2,2] 的图象如下所示:

给出下列四个命题: (1)方程 f [ g ( x)] ? 0 有且仅有 6 个根 (3)方程 f [ f ( x)] ? 0 有且仅有 5 个根 其中正确命题的个数是( A. 1 个 B. 2 个 ) C. 3 个 D. 4 个 (2)方程 g[ f ( x)] ? 0 有且仅有 3 个根 (4)方程 g[ g ( x)] ? 0 有且仅有 4 个根

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
2 13.已知集合 A ? a ? 2, 2a ? 5a,12 , ?3 ? A ,则 a 的值为

?

?

.

14.若 x log2 3 ? 1 ,则 3 ? 9 的值为
x x

.
2

15.函数 y ?

ax ? 1 的图像与其反函数图像重合,则 a ? 2x ? 3

.

16.函数 f ?x ? ? ?x? 的函数值表示不超过 x 的最大整数,例如, ?? 3.5? ? ?4 , ?2.1? ? 2 . 当 x ? (?2. 5, 3] 时, f ?x ? 的值域是 .

三、解答题(本题共 6 道小题,共 70 分,) 17.(本小题满分 10 分) 计算:
2 ? ? (1) ? 0.027 3 ? ? ? ?0.5 3 1 ?2 ? ? ?810.25 ? ? ?32 ? 5 ? 0.02 ? ( )?2 ? 10 ? ? ; 1

(2) lg 25 ?

2 lg 8 ? lg 5 ? lg 20 ? lg 2 2 . 3

18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? log 2

2? x 的定义域为集合 A ,关于 x 的不等式 2a ? 2? a ? x 的解集 x ?1

为 B ,若 A ? B ? A ,求实数 a 的取值范围.

19.(本小题满分 12 分) 首届世界低碳经济大会在南昌召开,本届大会以“节能减排,绿色生态”为主题.某 单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利 用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为 300 吨,最多为 600 吨,月处理成本 y (元) 与月处理量 x (吨)之间的函数关系可近似地表示为 y ? 吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 200 元. (1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低? (2)该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则需要国家至少补贴 多少元才能使该单位不亏损?

1 2 x ? 200 x ? 45000 ,且每处理一 2

3

20.(本小题满分 12 分) 已知函数 , 1 2 x ? b ,且 ? ? ? ? f 1 ? , f 0 ? 0 f ?x ? ? x 3 2 ?a

(1)求函数 f ?x ? 的解析式; (2)求函数 f ?x ? 的值域; (3)求证:方程 f ?x ? ? ln x 至少有一根在区间 ?1,3? .

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? 2x ? 2 ? a(a ? 0) ,
2

(1)若 a ? ?1 ,求函数的零点; (2)若函数在区间 (0,1] 上恰有一个零点,求 a 的取值范围.

22.(本小题满分 12 分) 已知

f ( x) 是定义在 ?? 1,1? 上的奇函数,且 f (1) ? 1 ,
f ( m) ? f ( n) ?0 m?n

若 m, n ? ?? 1,1?, m ? n ? 0 时,有 (1)证明

f ( x) 在 ?? 1,1? 上是增函数;
2

(2)解不等式 f ( x ? 1) ? f (3 ? 3 x) ? 0 (3)若 f ( x) ? t ? 2at ? 1 对 ?x ? ?? 1,1?, a ? ?? 1,1? 恒成立,求实数 t 的取值范围.
2

宜昌市第一中学 2016 年秋季高一年级期中考试 数学试题 参考答案 一、选择题:BBDBA,CCCBD,AC 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)

4

13.. -

3 14..6; 2

15. a ? 3; 16. ?? 3, ? 2, ? 1, 0, 1, 2, 3?

三.解答题(本题共 6 道小题,共 70 分,)

19 17.1) 3 ;(2)3.
18. 【解析】要使 f ? x ? 有意义,则 即 A ? x 1? x ? 2

2? x ? 0 ,解得 1 ? x ? 2 , x ?1
由 2 a ? 2 ? a ? x ,解得 x ? ?2a ,

?

?

4分 4分

即 B ? {x | x ? ?2a}

? A ? B ∴ 2 ? ?2a 解得 a ? ?1
10 分

故实数 a 的取值范围是 {a | a ? ?1}

19.解(1)由题意可知,二氧化碳每吨的平均处理成本为

1 45000 y 1 45000 ? x? ? 200 ? 2 x? ? 200 ? 100 ,-----------------4 分 x 2 x 2 x
当且仅当

45000 1 x= ,即 x=300 时等号成立,-------------------5 分 x 2

故该单位月处理量为 300 吨时,才能使每吨的平均处理成本最低, 最低成本为 100 元.-----6 分 (2)获利.设该单位每月获利为 S 元,则 S=200x-y=-

1 2 1 2 x +400x-45000=- (x-400) +35 000,--------------9 分 2 2

因为 x∈[300,600],所以 S∈[15 000,35 000].-----------------11 分 故该单位每月获利,最大利润为 35000 元。-----------------------12 分 20 解:(1)由已知可得 , ,

解得,a=1,b=﹣1,所以,



(2)∵y=f(x)=

,∴分离 2x 得,2x=



由 2x>0,解得 y∈(﹣1,1),所以,函数 f(x)的值域为(﹣1,1); (3)令 g(x)=f(x)﹣lnx= ﹣lnx,因为,g(1)=f(1)﹣ln1= >0,

5

g(3)=f(3)﹣ln3=

﹣ln3<0,根据零点存在定理,函数 g(x)至少有一零点在区间

(1,3),因此,方程 f(x)﹣lnx=0 至少有一根在区间(1,3)上.

21.解: (1)若 a ? ?1 ,则 f ( x) ? ? x ? 2 x ?1,
2

1分 2分 4分

由 f ( x) ? ? x ? 2 x ?1=0,得 x ? 2 x ? 1 ? 0 ,
2
2

解得 x ? 1 ,

3分
2

∴当 a ? ?1 时,函数 f ( x ) 的零点是 1.

(2)已知函数 f ( x) ? ax ? 2x ? 2 ? a, 且a ? 0 ①当 a ? 0 时, f ( x) ? 2 x ? 2 ,由 2 x ? 2 ? 0, 得 x ? 1, 且1? (0,1] , ∴当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在区间 (0,1] 上恰有一个零点. 当 a ? 0 时, ? ? 4 ? 4a(a ? 2) ? 4(a ? 1) ? 0
2

5分 6分

②若 a ? ?1 ,则 ? ? 0 ,由(1)知函数 f ( x ) 的零点是 1, 且1? (0,1] , ∴当 a ? ?1 时,函数 f ( x ) 在区间 (0,1] 上恰有一个零点.
2 ③若 a ? ?1 , 或-1 ? a ? 0 ,则 ? ? 0 ,由 f ( x) ? ax ? 2 x ? 2 ? a ? 0 ,

7分

解得 x1,2 ?

?1 ? (a ? 1) 2 ,即 x1 ? 1, x2 ? ?1 ? , a ?a

8分

∴函数 f ( x ) 在区间 (0,1] 上必有一个零点 x ? 1 . 要使函数 f ( x ) 在区间 (0,1] 上恰有一个零点. 必须 x2 ? ?1 ?

2 2 ? 0 ,或 x2 ? ?1 ? ? 1 , 10 分 解得 a ? ?2 , 或 a ? ?1 , ?a ?a
∴ a ? ?2 , 或 ?1 ? a ? 0 , 12 分

11 分

又∵ a ? ?1 , 或 ?1 ? a ? 0 ,

综合①②③得, a 的取值范围是 (??, ?2] ? [?1,0] . 22.解析: (1)任取 ? 1 ? x1 ? x 2 ? 1 , 则 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? f (? x 2 ) ?

f ( x1 ) ? f (? x 2 ) ( x1 ? x 2 ) x1 ? x 2

2分

? ?1 ? x1 ? x 2 ? 1,? x1 ? (? x 2 ) ? 0 ,由已知

f ( x1 ) ? f (? x 2 ) ? 0, x1 ? x 2 ? 0 3 分 x1 ? x 2
6

? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 ,即 f ( x) 在 ?? 1,1? 上是增函数 4 分
(2)因为

f ( x) 是定义在 ?? 1,1? 上的奇函数,且在 ?? 1,1? 上是增函数

? x 2 ? 1 ? 3x ? 3 ? 2 ? 4? 2 不等式化为 f ( x ? 1) ? f (3 x ? 3) ,所以 ? ? 1 ? x ? 1 ? 1 ,解得 x ? ?1, ? ? 3? ?? 1 ? 3 x ? 3 ? 1 ?
(3)由(1)知 要 使

8分

f ( x) 在 ?? 1,1? 上是增函数,所以 f ( x) 在 ?? 1,1? 上的最大值为 f (1) ? 1 ,


f ( x) ? t 2 ? 2at ? 1

?x ? ?? 1,1?, a ? ?? 1,1?
9分













t 2 ? 2at ? 1 ? 1 ? t 2 ? 2at ? 0
2

设 g (a ) ? t ? 2at , 对?a ? ?? 1,1?, g (a ) ? 0 恒成立, 10 分 所以 ?

? g (?1) ? t 2 ? 2t ? 0 ?t ? 0或t ? ?2 ?? 2 g ( 1 ) ? t ? 2 t ? 0 ? t ? 2或t ? 0 ?

11 分 所以 t ? 2或t ? ?2或t ? 0

12 分

7


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