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【红对勾】(新课标)2016高考数学大一轮复习 第八章 平面解析几何课时作业55 理 新人教A版

时间:2016-03-14


课时作业 55
一、选择题

圆的方程

1.若过点 A(a,a)可作圆 x +y -2ax+a +2a-3=0 的两条切线,则实数 a 的取值范 围是( )

2

2

2

A.(-∞,-3)

? 3? B.?1, ? ?

2? ? 3? C.(-∞,-3)∪?1, ? ? 2?
D.(-3,+∞) 解析:圆的方程可化为(x-a) +y =3-2a.过点 A(a,a)可作圆的两条切线,
?a +a -2a +a +2a-3>0, ? 所以? ?3-2a>0, ?
2 2 2 2 2 2

3 解之得 a<-3 或 1<a< , 2

? 3? 故 a 的取值范围为(-∞,-3)∪?1, ?. ? 2?
答案:C 2.已知方程 x +y +kx+2y+k =0 所表示的圆有最大的面积,则取最大面积时,该圆 的圆心的坐标为( A.(-1,1) C.(1,-1) ) B.(-1,0) D.(0,-1)
2 2 2

1 2 1 2 2 2 2 2 解析:由 x +y +kx+2y+k =0 知所表示圆的半径 r= k +4-4k = -3k +4, 2 2 1 当 k=0 时,rmax= 4=1, 2 此时圆的方程为 x +y +2y=0, 即 x +(y+1) =1,所以圆心为(0,-1). 答案:D 3.已知圆 C 的方程为 x +y +2x-2y+1=0,当圆心 C 到直线 kx+y+4=0 的距离最大 时,k 的值为( A. 1 3 ) B. 1 5
2 2 2 2 2 2

1

1 C.- 3
2 2

1 D.- 5

解析:圆的方程变形为(x+1) +(y-1) =1,圆心 C(-1,1),半径 r=1,直线 kx+y +4=0 恒过定点 B(0,-4),当直线与直线 BC 垂直时,圆心 C 到直线 kx+y+4=0 的距离最 -4-1 1 大,由斜率公式可得直线 BC 的斜率为 =-5,故 k=- . 0- - 5 答案:D 4.若圆 x +y -2x+6y+5a=0 关于直线 y=x+2b 成轴对称图形,则 a-b 的取值范围 是( ) A.(-∞,4) C.(-4,+∞)
2 2 2 2

B.(-∞,0) D.(4,+∞)

解析:将圆的方程变形为(x-1) +(y+3) =10-5a,可知,圆心为(1,-3),且 10- 5a>0,即 a<2. 因为圆关于直线 y=x+2b 对称,所以圆心在直线 y=x+2b 上,即-3=1+2b,解得 b =-2,所以 a-b<4. 答案:A 5.已知圆(x+1) +(y-1) =1 上一点 P 到直线 3x-4y-3=0 的距离为 d,则 d 的最小 值为( A.1 C. 2 5 ) B. 4 5
2 2

D.2 - 5 -4-3| =2,∴dmin

解析:∵圆心 C(-1,1)到直线 3x-4y-3=0 的距离为 =2-1=1. 答案:A

6.已知圆 C 关于 y 轴对称,经过点(1,0)且被 x 轴分成两段弧长比为 程为( )

,则圆 C 的方

A.?x±
2

? ?

4 3?2 2 ? +y =3 3?

B.?x±
2

? ?

3? 2 2 1 ? +y =3 3?

C.x +?y±

? ?

3?2 4 ?= 3? 3

D.x +?y±

? ?

3?2 1 ?= 3? 3

2 解析:由已知得圆心在 y 轴上,且被 x 轴所分劣弧所对圆心角为 π ,设圆心(0,a),半 3 π π 2 4 3 3 2 径为 r,则 rsin =1,rcos =|a|,解得 r= ,即 r = ,|a|= ,即 a=± ,故圆 3 3 3 3 3 3

2

C 的方程为 x2+?y±
答案:C 二、填空题

? ?

3? 2 4 ?= . 3 ? 3

7.已知圆 C 的圆心与点 M(1,-1)关于直线 x-y+1=0 对称,并且圆 C 与 x-y+1=0 相切,则圆 C 的方程为____________________. 解析:所求圆的圆心为(-2,2),设圆的方程为(x+2) +(y-2) =r (r>0),则圆心(- 3 2 9 2 2 2,2)到直线 x-y+1=0 的距离为 r,得 r= ,故圆 C 的方程为(x+2) +(y-2) = . 2 2 9 2 2 答案:(x+2) +(y-2) = 2 4 1 2 2 2 2 8.圆 C1 的方程为(x-3) +y = ,圆 C2 的方程为(x-3-cosθ ) +(y-sinθ ) = (θ 25 25 ∈R),过 C2 上任意一点 P 作圆 C1 的两条切线 PM、PN,切点分别为 M、N,则∠MPN 的最大值 为________. 解析:圆 C2 的圆心的轨迹方程是(x-3) +y =1,当∠MPN 取最大值时,P 点与圆 C1 的圆 4 2 π 心之间的距离最小,此时 dmin= ,r1= ,所以∠MPN 的最大值为 . 5 5 3 π 答案: 3 9.已知直线 2ax+by=1(a,b 是实数)与圆 O:x +y =1(O 是坐标原点)相交于 A,B 两点,且△AOB 是直角三角形,点 P(a,b)是以点 M(0,1)为圆心的圆 M 上的任意一点,则圆 M 的面积的最小值为________. 解析:因为直线与圆 O 相交所得△AOB 是直角三角形,可知∠AOB=90°,所以圆心 O 到 直线的距离为 1 2a +b
2 2 2 2 2 2 2 2 2



2 1 2 2 ,所以 a =1- b ≥0,即- 2≤b≤ 2.设圆 M 的半径为 r,则 2 2
2

r = |PM| = a2+ b-



1 2 2 b -2b+2 = (2 - b) , 又 - 2 ≤b≤ 2 , 所 以 2 + 2 2

1≥|PM|≥ 2-1,所以圆 M 的面积的最小值为(3-2 2)π . 答案:(3-2 2)π 三、解答题 10.已知△ABC 的顶点坐标分别为 A(-1,5),B(-2,-1),C(4,3),M 是 BC 的中点. (1)求 AB 边所在直线的方程. (2)求以线段 AM 为直径的圆的方程.

y-5 x- - 解: (1)因为 A(-1,5), B(-2, -1), 所以由两点式得 AB 的方程为 = -1-5 -2- -



3

整理得 y=6x+11. (2) 因 为 M 是 BC 的 中 点 , 所 以 M ? -1-
2

?-2+4,-1+3? , 即 M(1,1) , 所 以 |AM| = 2 ? ? 2 ?





2

=2 5,

所以圆的半径为 5. 所以 AM 的中点为?

?-1+1,5+1?,即中点为(0,3), ? 2 ? ? 2
2 2

所以以线段 AM 为直径的圆的方程为 x +(y-3) =5. 11.在直角坐标系 xOy 中,以 O 为圆心的圆与直线 x- 3y=4 相切. (1)求圆 O 的方程; → → (2)圆 O 与 x 轴相交于 A, B 两点, 圆内的动点 P 使|PA|, |PO|, |PB|成等比数列, 求PA·PB 的取值范围. 解:(1)依题设,圆 O 的半径 r 等于原点 O 到直线 x- 3y=4 的距离,即 r= 所以圆 O 的方程为 x +y =4. (2)由(1)知 A(-2,0),B(2,0). 设 P(x,y),则由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列得,
2 2

|-4|

=2, 1+3

x+
→ →

2

+y ·

2

x-

2

+y =x +y ,即 x -y =2.

2

2

2

2

2

PA·PB=(-2-x,-y)·(2-x,-y)
=x -4+y =2(y -1),
?x +y <4, ? 由于点 P 在圆 O 内,故? 2 2 ?x -y =2, ?
2 2 2 2 2

→ → 2 由此得 y <1,所以PA·PB的取值范围为[-2,0).

1.已知点 P(x,y)是直线 kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA,PB 是圆 C:x +y -2y=0 的两条切线,A,B 为切点,若四边形 PACB 的最小面积是 2,则 k 的值为( A.4 C.2
2 2

2

2

)

B.3 D. 2

解析:圆 C 的方程可化为 x +(y-1) =1,因为四边形 PACB 的最小面积是 2,且此时切 线长为 2,故圆心(0,1)到直线 kx+y+4=0 的距离为 5,即 5 1+k
2

= 5,解得 k=±2,又

k>0,所以 k=2.
4

答案:C 2.已知直线 l:x+y-6=0 和⊙M:x +y -2x-2y-2=0,点 A 在直线 l 上,若直线
2 2

AC 与⊙M 至少有一个公共点 C,且∠MAC=30°,则点 A 的横坐标的取值范围是(
A.(0,5) C.[1,3] 解析: B.[1,5] D.(0,3]

)

如图所示, 设点 A 的坐标为(x0,6-x0), 圆心 M 到直线 AC 的距离为 d, 则 d=|AM|sin30°. 因为直线 AC 与⊙M 有交点,所以 d=|AM|sin30°≤2? (x0-1) +(5-x0) ≤16? 1≤x0≤5. 答案:B 3.(2014·湖北卷)已知圆 O:x +y =1 和点 A(-2,0),若定点 B(b,0)(b≠-2)和常数 λ 满足:对圆 O 上任意一点 M,都有|MB|=λ |MA|,则 (1)b=________; (2)λ =________. 解析:因为对圆 O 上任意一点 M,都有|MB|=λ |MA|,所以可取圆上点(-1,0),(1,0),
? ?|b+1|=λ , 满足? ?|b-1|=3λ , ?
2 2 2 2

1 1 1 解得 b=- 或 b=-2(舍去),b=- ,λ = , 2 2 2 1 1 故答案为(1)- ,(2) . 2 2 1 答案:(1)- 2 1 (2) 2

4. 在以 O 为原点的直角坐标系中, 点 A(4, -3)为△OAB 的直角顶点, 已知|AB|=2|OA|, 且点 B 的纵坐标大于 0. → (1)求AB的坐标; (2)求圆 x -6x+y +2y=0 关于直线 OB 对称的圆的方程. → → → 解:(1)设AB=(x,y),由|AB|=2|OA|,AB·OA=0,
2 2

5

?x +y =100, ? 得? ?4x-3y=0, ?

2

2

解得?

?x=6, ? ?y=8 ?

或?

?x=-6, ? ?y=-8. ?

→ 若AB=(-6,-8),则 yB=-11 与 yB>0 矛盾. 所以?
?x=-6, ? ? ?y=-8
2 2

→ 舍去.即AB=(6,8).

(2)圆 x -6x+y +2y=0, 即(x-3) +(y+1) =( 10) , 其圆心为 C(3,-1),半径 r= 10, → → → ∵OB=OA+AB=(4,-3)+(6,8)=(10,5), 1 ∴直线 OB 的方程为 y= x. 2
2 2 2

b+1 =-2, ? ? a-3 1 设圆心 C(3, -1)关于直线 y= x 的对称点的坐标为(a, b), 则? 2 b-1 1 a+3 ? ? 2 =2· 2 ,
解得?
? ?a=1, ?b=3, ?

∴所求的圆的方程为(x-1) +(y-3) =10.

2

2

6


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